例析以四边形为载体的函数图象选择题

动点的函数图象问题数形结合思想：所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD=2，CD⊥AB于点D，点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点，连接EF、FG，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动（点M运动到AB的中点时停止）；过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P，以PM为斜边作Rt△PMN，点N在AB 上，设运动的时间为t(s)，Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致为（）A．B．C．D．本题考查几何动点问题的函数图象，正确分段并分析是解题的关键．根据题意先分段，分为0≤t≤0.5，0.5<t≤1，1<t≤2三段，分别列出三段的函数解析式便可解决，本题也可只列出0≤t≤0.5，1<t≤2两段，用排除法解决．解：分析平移过程，①从开始出发至PM与点E重合，由题意可知0≤t≤0.5，如图，则BM=2t，过点M作MT⊥BC于点T，∵∠B=60°，CD⊥AB，∴BC=2BD=4，CD==BT=12BM=t，∵∠ACB=90°，MP∥BC，∴∠ACB=∠MPA=90°，∴四边形CTMP为矩形，∴PM=CT=BC―BT=4―t，∵∠PMN=∠B=60°，PN⊥AB，∴MN=PM2=4―t2，∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2，∵E为CD中点，∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数；②当0.5<t≤1，即从PM与E重合至点M与点D重合，如图，由①可得QN=ED=DM=2―2t，DN=32t，S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°，CD⊥AB，∴SD==，∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1，∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数；③当1<t ≤2，即从点M 与点D 重合至点M 到达终点，如图，由①可得DN =32t ，MN =4―t 2，∵AD ==6， DG =12AD =3，∴NG =DG ―DN =3―32t ，∴QF =NG =3―32t ，∴PQ==，∴HQ ==1―12t ，∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数，综上，只有选项A 的图象符合，故选：A ．1．（2024·四川广元·二模）如图，在矩形ABCD 中，AB =4cm ,AD =2cm ，动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动，同时动点N 自点A 出发沿折线AD －DC －CB 以每秒2cm 的速度运动，到达点B 时运动同时停止．设△AMN的面积为y (cm2)，运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（0<x<1，1≤x<3，3≤x<4）分别求解y与x的解析式，从而求解．【解题过程】解：当0<x<1时，M、N分别在线段AB、AD上，此时AM=x cm，AN=2x cm，y=S△AMN=12×AM×AN=x2，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当1≤x<3时，M、N分别在线段、CD上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为AD=2cm，y=S△AMN=12×AM×AD=x，为一次函数，图象为直线；当3≤x<4时，M、N分别在线段AB、BC上，此时AM=x cm，△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm，y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有A选项符合题意，故选：A．2．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，∠C=135°，AC=BC=P为BC边上一动点，PQ∥AB交AC于点Q，连接BQ，设PB=x，S△BPQ=y，则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可．【解题过程】解：如图，过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E，∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ，∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x ．∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中，∠ECQ =45°，∴QE ==―x )=2―，∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选：C.3．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，点A 从点D 运动到点E 的过程中，AB 和DF 相交于点G ，AC 和EF 相交于点H ，(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ，点A 移动的距离为横坐标x ，则y 与x 关系的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，证明四边形ACFD 为平行四边形，可得AD =CF =x ，BF =4―x ，求解CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，再利用面积公式建立函数关系式即可判断．【解题过程】解：如图，过G 作GK ⊥BC 于K ，过H 作HT ⊥BC 于T ，由题意可得：AD∥CF ，DF∥AC ，∴四边形ACFD 为平行四边形，∴AD =CF =x ，∴BF =4―x ，∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形，AD∥CF ，∴∠D =∠DFB =60°，而∠B =60°，∴△BGF 为等边三角形，同理：△CFH 为等边三角形，∵HT ⊥BC ，∴CT =FT =12x ，TH ==，同理可得：GK =―x )，∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，M 是BC 的中点．P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发，并都以1cm/s 的速度运动，当点Q 到达D 点时，两点同时停止运动．在P 、Q 两点运动的过程中，与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象．根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4，到CD 的距离等于6，求出点Q 到达点C 的时间为6s ，点P 到达点C 的时间为12s ，点Q 到达点D 的时间为14s ，然后分①0≤t ≤6时，点P 、Q 都在BC 上，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可；②6<t ≤12时，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，表示出CP 、CQ ，然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解；③12<t ≤14时，表示出PQ ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解题过程】解：∵矩形ABCD 中，AB =8cm ，AD =12cm ，AC 与BD 交于点O ，∴点O 到BC 的距离=12AB =4，到CD 的距离=12AD =6，∵点M 是BC 的中点，∴CM =12BC =6，∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s，点P到达点C的时间为12÷1=12s，点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s，①0≤t≤6时，点P、Q都在BC上，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×4=12；②6<t≤12时，点P在BC上，点Q在CD上，CP=12―t，CQ=t―6，SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ，=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6)，=12t2―8t+42，=12(t―8)2+10，③12<t≤14时，PQ=6，△OPQ的面积=12×6×6=18；纵观各选项，只有B选项图形符合．故选：B．5．（2023·江苏南通·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E为AB中点，动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止，动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动，与点P同时出发，同时停止；这两点的运动速度均为每秒1个单位；若设他们的运动时间为x（s），△EPQ的面积为y，则y与x之间的函数关系的图像大致是（）A．B．C．D．【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒，点Q在CD上运动是时间为4秒，再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ，然后分①点Q 在CD 上时，表示出BP 、CP 、CQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，列式整理即可得解；②点Q 在AD 上时，表示出BP 、AQ ，再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，列式整理即可得解，再根据函数解析式确定出函数图象即可．【解题过程】解：∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位，∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6（秒），点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4（秒），∵E 为AB 中点，∴AE =BE =12AB =12×4=2，①如图1，点Q 在CD 上时，0≤x ≤4，则BP =x,CP =6―x,CQ =x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ，=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2，点Q 在AD 上时，4<x ≤6，则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ，∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ，=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10，综上所述，y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6)，函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段，只有A 选项符合．故选：A ．6．（2024·河南开封·一模）如图1，在△ABC 中，∠B =60°，点D 从点B 出发，沿BC 运动，速度为1cm/s ．点P 在折线BAC 上，且PD ⊥BC 于点D ．点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示，E 是函数图象的最高点．当S (cm 2)取最大值时，PD 的长为（ ）A ．B ．(1+cm C ．(1+cm D ．(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象，二次函数图象性质，三角形面积．本题属二次函数与几何综合题目．先根据点D 运动2s 时，点P 与点A 重合．从而求得PD ==，再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ，从而求得DC =BC ―BD =2+2=，得出PD =DC ，然后根据由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解：由题意知，点D 运动2s 时，点P ，D 的位置如图1所示．此时，在Rt △PBD 中，BD =2cm ，∠B =60°，PD ⊥BC ，∴PB =2BD =4(cm)，∴PD ==．由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ，∴DC =BC ―BD =2+2=，∴PD =DC ．由题图2点E 的位置可知，点P 在AC 上时，S △PBD 有最大值．当2≤t ≤2+P 在AC 边上，如图2，此时BD =t ×1=t (cm)，PD =DC =(2+―t )cm ，∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t ．∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0，∴当t =1+S △PBD 的值最大，此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm ．故选：B ．7．（2024·安徽·一模）如图，在四边形ABCD 中，∠A =60°，CD ⊥AD ，∠BCD =90°, AB =BC =4，动点P ，Q 同时从A 点出发，点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动；点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒，△APQ 的面积为y 个平方单位，则y 随x 变化的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】分当0≤x <2时，点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解题过程】解：过Q 作QN ⊥AD 于N ，当0≤x <2时，点Q 在AB 上，∵∠A =60°，∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ，∴QN ==，∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2，当2≤x ≤4时，点Q 在BC 上，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，∵BM ⊥AD ，∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2，∴BM ==∵CD ⊥AD ，QN ⊥AD ，∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ，∴四边形BMNQ 是矩形，∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=，综上所述，当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x ≤4时，函数图象是直线的一部分，故选：D ．8．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD =，D 为AC 上一点，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C→B→A 匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF ，设点P 的运动时间为t s ，正方形DPEF 的面积为S ，当点P 由点C 运动到点A 时，经探究发现S 是关于t 的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻t 1，t 2，t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等，当t 3=5t 1时，则正方形DPEF 的面积为（ ）A ．3B ．349C ．4D ．5【思路点拨】由题意可得：CD =CP =t ，当点P 在BC 上运动时S =t 2+2，由图可得，当点P 与点B 重合时，S =6，求出t=2，即BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，t1+t2=4①，t2+t3=8②，结合t3=5t1③，求出t的值即可得出答案．【解题过程】解：由题意可得：CD=CP=t，当点P在BC上运动时，S=DP2=CP2+CD2=t2+2，由图可得，当点P与点B重合时，S=6，∴t2+2=6，∴t=2或t=―2（不符合题意，舍去），∴BC=2，当P在BA上时，由图可得抛物线过点2，6，顶点为4，2，则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2，将2，6代入得：a(2―4)2+2=6，∴a=1，∴抛物线的表达式为：S=(t―4)2+2，从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1，若存在3个时刻t1，t2，t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看t1，t2关于x=2对称，t2，t3关于x=4对称，∴t1+t2=4①，t2+t3=8②，∵t3=5t1③，由①③③解得t1=1，∴S=t2+2=1+2=3，故选：A．9．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC=6，点O为AC 中点，点D为线段AB上的动点，连接OD，设BD＝x，OD2＝y，则y与x之间的函数关系图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ，先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ，然后再根据勾股定理求得函数解析式，最后确定函数图像即可．【解题过程】解：如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°，∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时，y =0―+274=63当x =152时，y =―+274=274当x =12时，y =12+274=27则函数图像为．故选C ．10．（2024·广东深圳·三模）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =8，点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点，点M 和点N 分别从点A 和点E 出发，沿着A→C→B 方向运动，运动速度都是1个单位/秒，当点N 到达点B 时，两点间时停止运动．设△DMN 的面积为S ，运动时间为t ，则S 与t 之间的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题主要考查动点问题，依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想，取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ，分三种情况讨论三角形的面积：（1）当0<t ≤6时，得MN =AE =6，结合三角形面积公式求解即可；（2）当6<t ≤12时，得AM ，MC ，CN 和BN ，结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ；（3）当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，结合DF 和MN 求面积即可．【解题过程】解：如图，取BC 的中点F ，连接DF ，∴DF ∥AC ，DF =12AC =6∵点D 、E 是中点，∴DE =12BC =4，DF ∥CB ，∵∠C =90°，∴四边形DECF 为矩形，当0<t ≤6时，点M 在AE 上，点N 在EC 上，MN =AE =6，∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12；如图，当6<t ≤12时，点M 在EC 上，点N 在BC 上，∵AM =t ，∴MC =12―t ，CN =t ―6，BN =14―t ，∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42；如图，当12<t ≤14时，点M 、N 都在BC 上，∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18，综上判断选项A 的图象符合题意．故选：A ．11．（2024·河南南阳·二模）如图是一种轨道示意图，其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点，∠A =60°．现有两个机器人(看成点)分别从A ，C 两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为A→B→C 和C→D→A ．若移动时间为t ，两个机器人之间距离为d ．则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】设菱形的边长为2，根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式，再利用二次函数的性质即可解答．【解题过程】解：①设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴CK=1，FT=KB=∴AE=t，CF=2―t，∴FK=2―t―1=1+t，∴ET=2―t―(1+t)=1+2t，∴在Rt△EFT中，EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4；②设AD=2，如图所示，∵移动时间为t，∠A=60°，∴BM=t―2，CM=2―(t―2)=4―t，CP=1，PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t，∴在Rt△LMQ中，ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12，∴函数图像为两个二次函数图象；③当从A出发的机器人在B点，从C出发的机器人在D点，此时距离是BD；从A出发的机器人在A点，从C出发的机器人在C点，此时距离是AC；∵设AD=2，∠A=60°，∴BD=2，AE=∴AC=2AE=∴BD<AC，∴函数图象的起点和终点高于中间点；综上所述：A项符合题意；故选A．12．（2024·山东聊城·二模）如图，等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中，现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作AQ⊥BC于点Q，可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．【解题过程】解：如图①，设AC与DE交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q，则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形，∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时，在Rt △HCE 中，∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ，∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2，所以，S 关于x 的函数图象是顶点为原点，开口向上且在0<x ≤1内的一段；当1<x ≤2时，如图，设AB 与DE 交于点P ，∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得，PE =x ―2)，∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以，图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索；当2<x ≤3时，如图，S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段，即S=<x≤3)，故选：C13．（2024·河南·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，将△BCD 沿射线BA方向匀速平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移距离为x，当点B1与点A重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象最符合y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及等腰直角三角形，平移的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些性质，学会分类讨论．过点D作DM⊥AB于M，由△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，可设AB=BC=2，可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1，然后分情况讨论：当0<x≤1时，当1<x≤2时，分别求出关于S、x的函数，再数形结合即可求解．【解题过程】解：过点D作DM⊥AB于M，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∴ AB =BC ，设AB =BC =2，∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1，当0<x ≤1时，设B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交BD 于N ，∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ，由平移知B 1G ∥BD ，∠AB 1G =∠ABD ，∴ △AB 1G 是等腰直角三角形，∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2，又∵ S △ABD =12×12×2×2=1，S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ，当x =―=23时取得最大值，故排除A 、B 选项当1<x ≤2时，B 1D 1交AC 于点G ，B 1C 1交AC 于点H ，∵ B 1H ∥BC ，∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°，又∵ ∠D 1B 1C 1=45°，∴ △B 1GH 为等腰三角形，∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ，∴ AB 1G 为等腰三角形，∴ B 1G =1=―x )，∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2，即当1<x ≤2时，函数图像为开口向上的抛物线，故排除C 选项故选：D ．14．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为（）A．B．C．D．【思路点拨】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点P在BC上时，点P在CD上时，点P在AD上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案．【解题过程】解：设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，①当0≤x≤1时，点P在BC上时，过点P作PE⊥BA，，∵根据题知：∠B =60°，PB =3x,BQ =x ，∴BE =32x ，PE =，∴y =12BQ·PE =12x·=2；②当1<x ≤2时，点P 在CD 上时，过点P 作PH ⊥BA ，，∵根据题知：∠B =60°，BC =3,BQ =x ，∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=；③当2<x ≤3时，点P 在AD 上时，过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ，，∵根据题知：∠B =60°，即∠FAD =60°，∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ，BC +CD +DP =3x ，∴AP =(9―3x)cm ，∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2；∴结合三种情况，图像如下所示：，故选：D．15．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，D，P(―1,―1)．点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在0∼1，1∼2，2∼3之间三个阶段，用含x的代数式表示出△PMN的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可．【解题过程】解：∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上，顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，∴ AB =AD =2，OA=∴ OB===1，∴ OC =OB +BC =1+2=3，∴ A ，B (1,0)，C (3,0)，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将A ，B (1,0)代入，得：k +b = ，解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴，∴N 的横坐标为x ，（1）当M 的横坐标x 在0∼1之间时，点N 在线段AB 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，∴ N (x,―+，∴ MN=(―+=，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+，∴该段图象为开口向上的抛物线；（2）当M 的横坐标x 在1∼2之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ，∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线；（3）当M 的横坐标x 在2∼3之间时，点N 在线段BC 上，△PMN 中MN 上的高为1+x ，由D ，C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+，N (x,0)，∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线；观察四个选项可知，只有选项A 满足条件，故选A ．16．（22-23九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A (2,0)，点B，点C (―，点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动，点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设y=PQ2，运动时间为t秒，则正确表达y与t 的关系图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．【解题过程】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，∴OA=2，OB∴AB=4，∠BAO=60°，过点C作CM⊥y轴于点M，则OM =BM CM =3，∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形，∠BOC =60°，∴点P 在OA 上运动用时2s ，在AB 上运动用时4s ，点Q 在OC 上运动用时2s ，在OC 上运动用时2s ，即点P 和点Q 共运动4s 后停止；由此可排除D 选项．当点P 在线段OA 上运动时，点Q 在线段OC 上运动，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，由点P ，点Q 的运动可知，OP =t ，OQ ，∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0＜t ＜2时，函数图象为抛物线，结合选项可排除A ，C ．故选：B ．17．（2022·辽宁·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情形∶①当0＜x≤2时，△CDG，②当2＜x≤4时，重叠部分为四边形AGDC，③当4＜x≤8时，重叠部分为△BEG，分别计算即可．【解题过程】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，BC＝2，AM＝∴BM＝CM＝12BC•AM＝∴S△ABC＝12①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DGCD•DG2；∴S＝12②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG4﹣x），×（4﹣x）4﹣x），∴S＝S△ABC﹣S△BDG＝﹣12∴S＝2﹣x﹣4）2③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．18．（2023·山东聊城·三模）如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P ，Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为y cm 2．已知y 与t 的函数关系图像如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论不正确的是（ ）A ．AB:AD =4:5B ．当t =2.5秒时，PQ =C ．当t =294时，BQ PQ =53D ．当△BPQ 的面积为4cm 2时，t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =5cm ，然后由5<t <7时，y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，AE ==4cm ，可以判定A ；当0<t ≤5时，根据y =25t 2得到y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2，设QH =x cm ，根勾股定理计算QH =1cm ，可计算PQ =根据AB =CD =4cm ，得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，确定直线HN 或475秒；当t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y =at 2，当t =5时，y =10，∴10=25a ，解得a =25，∴y =25t 2，由图2中的函数图像得当t =5时，点Q 到达点C ，即BC =BE =5cm ，∵5＜t ＜7时，y =10，∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ，∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ，∴AB:AD =4:5，故A 正确，不符合题意；当0<t ≤5时，∵y =25t 2，t =2.5，∴BP =BQ =2.5cm ，y =2.5cm 2，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2，设QH =x cm ，则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ，∴2.52=22+(2.5―x )2，解得x =1,x =4（舍去），∴QH =1cm ，∴PQ==故B 正确，不符合题意；根据AB =CD =4cm ，∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10)，设直线HN 的解析式为y =kt +b ，根据题意，得11k +b =07k +b =10 ，解得k =―52b =552 ，∴直线HN 的解析式为y =―52t +552，∵△BPQ 的面积为4cm 2，故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475，故D 正确，不符合题意；∵t =294>284=7时，故点Q 在DC 上，当t =294时，y =―52×294+552=758，12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43．故C错误，符合题意．故选：C．19．（2023·辽宁·中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN 的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【解题过程】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，∴△ABC是边长为6的正三角形，∵AD平分∠MAN，∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0<x≤3，∵EG∥AC，∴∠MAD=∠AGE=30°，∴∠NAD=∠AGE=30°，∴AE=EG=x，在Rt△AEF中，∠EAF=60°，∴EF==，∴S=2；②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，x=6，解得x=4，则x+12由图2到图3，此时3<x≤4，如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，∴EQ=EB=BQ=6―x，∴GQ=x―(6―x)=2x―6，而∠PQG=60°，∴PG==2x―6)，∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时，x =6，由图3到图6，此时4<x ≤6，如图5，同理△EKB 是正三角形，∴EK =KB =EB =6―x ，FC =AC ―AF =6―12x ，EF =， ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A ．20．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设平移时间为t （秒），菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ，则S 关于t 的函数图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示，由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，分①当0≤t ≤2时；②当2<t <4时；③当4≤t ≤6时；④当t >6时；四种情况，作图求解S 关于t 的函数解析式，作出图像即可得到答案．【解题过程】解：过点B 作x 轴的垂线，垂足为点E ，如图所示：∵菱形ABCD 的边长为4，且点A 与原点O 重合，边AD 在x 轴上，点B 的横坐标为―2，∴OE =2,OB =4，∴∠OBE =30°，∴∠BOE =60°，BE =①当0≤t ≤2时，如图（1）所示：S =12OA ⋅OF =12×t ×=2；②当2<t <4时，如图（2）所示：S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时，如图（3）所示：∵∠C =60°，OD =OA ―AD =t ―4，∴∠KDO =60°,OK=t ―4)，∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2，∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6，S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时，S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ，∴第一段二次函数部分，开口向上；第二段一次函数部分；第三段二次函数部分，开后向下；第四段平行于x轴的射线，故选：A．。

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B DA CB Dx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性 1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解. 3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =234ax x c ++经过B 、C 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值； （3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）△直线y=334x-+与x轴交于点C，与y轴交于点B，△B(0,3)，C(4,0)，将B(0,3)，C(4,0)代入y= 234ax x c++得：16303a cc++=⎧⎨=⎩，解得：383ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，△抛物线的解析式为：233384y x x=-++.（2）过点E作EF△x轴于F，交BC于M，设E（x，233384x x-++），则M（x，334x-+），△ME=233384x x-++－（334x-+）=23382x x-+△S△BEC=12×EM×OC=2EM=2(23382x x-+)=()23234x--+,△当x=2时，△BEC的面积取最大值3，此时E(2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0), 设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )△当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3， 即P (－3，218-)； △当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5 即P (5, 218-)； △当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，158)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158).【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标； （2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ △AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：9303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩， 解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3，顶点M 的坐标为：（1，－4）； （2）连接BC ，BM ，CM ，过M 作MD △x 轴于D ，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，△S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.△当点Q在x轴上方时，过Q作QF△x轴于F，如图所示，△四边形ACPQ为平行四边形，△QP△AC，QP=AC△△PFQ△△AOC，△FQ=OC=3，△3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，△Q，3)或(1，3)；△当点Q在x轴下方时，过Q作QE△x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ△△AOC，△EQ=OC=3，△﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，△Q(2，﹣3)；综上所述，点Q 的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx －5与x 轴交于A (-1,0),B (5,0)两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE △x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC 、CE 分别交于点F 、G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M 是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N 是反比例函数y =kx图象上一点，若以点B 、C 、M 、N 为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩， 即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5), △CE △x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称， △E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5， 设H (m ，m 2－4m －5)， △FH △CE ， △F (m ，m －5)，△FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S四边形CHEF=12·FH·CE=12（－m2+5m）×4=－2（m－52）2+252，当m=52时，四边形CHEF的面积取最大值252，此时H(52，354-).（3）设M（2，m），N(n，kn)，B(5,0)，C(0，－5)，△当BC为矩形对角线时，此时：2+n=5+0，m+kn=0－5，即n=3，设BC与MN交于点H，则H(52，52-)，MH=12BC△22255222m⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：m=1或m=－6，当m=1时，k=－18；m=－6时，k=3，△当BC为矩形边时，分两种情况讨论：（i）当点M在直线BC下方时，即四边形BCMN为矩形，则△BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH△y轴于H，则由OB=OC知，△OCB=45°，△△MCH=△CMH=45°，即CH=MH，△－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则△CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x 轴交于点H ，同理可得：BH =MH ， △3=m ，n =－3，k =6；综上所述，k 的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，且与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E ，连接BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE =PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF △x 轴于点 F ，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点， △10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)， 可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-，由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-， 解得：m =2，即P (2，2).（3）△M 在x 轴上，N 在直线PF 上， △△NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ， 设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)， MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|， △|-n 2+2n +3|=|n -2|， 解得：nn或n或n， 故点M 的坐标为：（32+，0），（320），（12+，0），（12-，0）. 【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分△PMO ，求t 的值. （3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），△31640ca b ca b c=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434cba⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y=34-x294-x+3.（2）由A(-4,0)，C(0,3)得直线AC的解析式为：y=334x+，△点P的横坐标为t，△M(t, 334t+)，△PN△y轴，△△PMC=△MCO，△MC平分△PMO，△△PMC=△OMC，△△MCO=△OMC，即OM=OC=3，△OM2=9，即223394t t⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得：t=0（舍）或t=7225，△当MC平分△PMO时，t=72 25.（3）设P(t,34-t294-t+3)，△当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，则PD△y轴，CD=PD，则D(t，33 4t+),△PD =34-t 294-t +3－（334t +）=34-t 23-t ， 由勾股定理得：CD=54t -，△34-t 23-t =54t -，解得：t =0（舍）或t =73-， 即PD =3512，菱形面积为：3512×73=24536；△当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）△矩形OBDC的边CD＝1，△OB＝1，由AB＝4，得OA＝3，△A（﹣3，0），B（1，0），△抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，△a+b+2=0，9a－3b+2=0，解得：a=23-，b=43-，△抛物线解析式为y＝23-x243-x+2；（2）以AC为边或对角线分类讨论：A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝23-x243-x+2的对称轴为x＝﹣1，设M(m, y M)，N(－1，n)，y M=23-m243-m+2△当四边形ACMN为平行四边形时，有：312Mmy n-+=-⎧⎨=+⎩，解得：m=2，y M=103-，即M(2，103-)；△当四边形ACNM为平行四边形时，有：312Mmy n --=⎧⎨+=⎩，解得：m=－4，y M=103-，即M(－4，103-)；△当四边形AMCN为平行四边形时，有：312Mmy n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m=－2，y M=2，即M(－2，2)；综上所述，点M的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）．2.（2019·开封模拟）如图，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝﹣12x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP＝90°，求出点P坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F是抛物线上一点，是否存在点E和点F使得以点E，F，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）△OA＝OB＝4，△△ABO＝45°，△△ABP＝90°，则△PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，△当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，△n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；△当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；△当四边形OFBE是平行四边形时，有：41Fnm y=+⎧⎨=+⎩,即n=3，F点坐标为（3，52）；综上所述：点F的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）．3.（2019·开封二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线y＝﹣x交第二象限于点E，与x轴交于A（﹣3，0），B 两点，与y轴交于点C，EC△x轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC △x 轴 △点E 的纵坐标为2， △点E 在直线y ＝﹣x 上， △点E （﹣2，2），△将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+； （2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1， 设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)，△A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-； 即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-； 即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2； 即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF △x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．△A（﹣3，0）．△抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，△109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣﹣1），（，﹣1），（﹣4，3）．△当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；△当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；△当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，△当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH△x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：△APO=△MAH，△tan△APO= tan△MAH，即OA MHOP AH=2，△OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），△点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，△T(0，92 )；△当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数k yx =（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN△x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN△OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，△82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=或m=－，△点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）△二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），△493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y =43x 2﹣83x ﹣4； （2）过点D 作DM △y 轴于点M ，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163， △点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4），S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4 =4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF △AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ △AP =AQ =t ， △AP =AQ =QE =EP ， △四边形AQEP 为菱形， △FQ △OC ，△AF FQ AQOA OC AC ==， △345AF FQ t ==△AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ）， △E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上， △﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4， △t =14564或t =0（舍去）， △E （﹣58，﹣2916）． 8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4， 即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得：21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， △抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++， △MN =2712(2)22t t t -++--+ =2(2)4t --+，△当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH △x 轴于点H ，再过点F 作FG △x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）△抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，△4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩， 解得：13a b =-⎧⎨=⎩， 即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4.（2）△四边形EFGH 是矩形，△当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E (m , －m 2+3m +4)，则F (3－m ，－m 2+3m +4)，m >32， △EF =2m －3，EH =|－m 2+3m +4|，△2m －3=|－m 2+3m +4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍） △正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH 的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：△直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，△A (－1,0)，D (0，1)，△点C （a ，5）在直线y =x +1上，△a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， △抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），△DE =4，由题意知：DE △MN ，△当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，△| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m = 或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），（32，52），（32，52）. 11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF △AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-， △抛物线的解析式为：239344y x x =-++， 设直线AB 的解析式为：y =kx +b ， △4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3， △直线AB 的解析式为：y =34-x +3. （2）△点C 的横坐标为m ，△D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)， AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+， △BC △y 轴， △43AC OA CE OB ==，即443m CE -=， △CE =()344m -，AE =()544m -， △△DF A =△DCA =90°，△DBF =△AEC ，△△DFE △△ACE ，△S 1=4S 2，△AE =2DE ， 即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56， 即m 的值为56. （3）如图，过点G 作GM △DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+， 2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，△MG =4-2m ， 由45MG EG =得：EG =()5424m -, △C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++ =23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，△当m=13时，C最大，此时n=113，即G(113，14)，E(13，114),由图象可知当E、G互换位置时满足题意，即G(13，114),E(113，14)，综上所述，G点坐标为：(13，114)，(113，14).13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．△当△MBA＝△BDE时，求点M的坐标；△过点M作MN△x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，△抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）△过点M作MG△x轴于G，连接BM．则△MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），△MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，△DE△x轴，D（1，4），B（3，0），△△DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，△△MBA＝△BDE，△tan△MBA＝tan△BDE＝12，△2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）△满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；△△MN△x轴，△点M、N关于抛物线的对称轴对称，△四边形MPNQ是正方形，△OP＝1，由△QPM=△MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。

可编辑修改精选全文完整版一次函数压轴题研究（五）平行四边形存在性（讲义及答案）➢课前预习1.如图，点A，B，C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则在平面内符合该条件的点D有________个．CBA➢知识点睛1.存在性问题处理框架：①研究背景图形．②根据不变特征，确定分类标准．③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解．④结果验证．2.平行四边形存在性问题特征举例：①三定一动，连接定点出现三条定线段．定线段分别作为平行四边形的________，利用________确定点的坐标．②两定两动，连接定点出现一条定线段．若定线段作为平行四边形的________，则通过________确定点的坐标；若定线段作为平行四边形的________，则定线段绕________旋转，利用________________确定点的坐标．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C在y轴正半轴上，且OB=2OC．若M是坐标平面内一点，且以点M，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为_____________________．2.如图，在平面直角坐标0)，B(0，1)，C(2，2)，若D是坐标平面内一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______________．3.如图，在平面直角坐标系中，直线2y x=+与坐标轴分别交于点A，B，点C在y轴正半轴上，且12OAAC=，直线CD⊥AB于点P，交x轴于点D．在坐标平面内是否存在点M，使得以点B，P，D，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在平面直角坐标系中，直线334y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(0，2-)．若点D在直线AB上运动，点E在直线AC上运动，当以点O，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标．5.1经过点A ，且与y 轴交于点D ．若M 是直O ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边6.【参考答案】➢课前预习1. 3➢知识点睛2.①对角线平移②边平移对角线其中点中点坐标公式➢精讲精练1.(3,2)，(-3,2)，(5，-2)2.(5,1)，(-1,3)，(1，-1)3.存在(，3)，(-，3)，(-3)4.(125，65)，(285，-65)5.存在(-3，0)，(7,0)，(3,0)6.存在(3，(1-，)，(1+，8)。

一次函数与平四学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．周末，小明骑自行车从家里出发去游玩．从家出发1小时后到达迪诺水镇，游玩一段时间后按原速前往万达广场．小明离家1小时50分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往万达广场．妈妈出发25分钟时，恰好在万达广场门口追上小明．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象，则下列说法中正确的是（）A．小明在迪诺水镇游玩1h后，经过512h到达万达广场B．小明的速度是20km/h，妈妈的速度是60km/h C．万达广场离小明家26kmD．点C的坐标为（2912，25）【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，小明在迪诺水镇游玩1h后，经过25501-2160604h⎛⎫-=⎪⎝⎭到达万达广场，故选项A错误；小明的速度为20÷1＝20（km/h），妈妈的速度是（20＋20×14）÷2560＝60（km/h），故选项B正确；万达广场离小明家20＋20×14＝20＋5＝25（km），故选项C错误；点C的坐标为（94，25），故选项D错误；【点睛】本题考查函数图像，掌握函数图像的特征，仔细阅读图像，从中找到需要的信息是解题关键．2．将直线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．22y x =+D ．22y x =-【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将直线y =2x -3向右平移2个单位后所得函数解析式为y =2(x -2)-3=2x -7，由“上加下减”原则可知，将直线y =2x -7向上平移3个单位后所得函数解析式为 y =2x -7+3=2x -4，故选A ．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 3．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCDB ．AB ＝BC C ．AB ＝CD ，AD ＝BCD ．∠DAB +∠BCD ＝180°【答案】D【解析】【分析】 首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD 为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．解:四边形ABCD 是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，//AB CD ∴，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；过点D 分别作BC ，CD 边上的高为AE ，AF ．则AE AF =（两纸条相同，纸条宽度相同）； 平行四边形ABCD 中，∆∆=ABC ACD S S ，即⨯=⨯BC AE CD AF ，BC CD ∴=，即AB BC =．故B 正确；∴平行四边形ABCD 为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．ABC ADC ∠=∠∴，BAD BCD ∠=∠（菱形的对角相等），故A 正确；AB CD =，AD BC =（平行四边形的对边相等），故C 正确；如果四边形ABCD 是矩形时，该等式成立．故D 不一定正确．故选D ．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．4．点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式3a b -的值等于（ ）A ．5B ．3C ．2-D ．1-【答案】C【解析】【分析】把点P 的坐标代入一次函数解析式，得出3a −b ＝−2，即可．【详解】解：∵点P （a ，b ）在函数y ＝3x ＋2的图象上，∴b ＝3a ＋2，则3a −b ＝−2．故选：C ．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数关系式．5．正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y=x-k 的图像大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】根据正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大，得0k >；在结合一次函数y=x-k 的性质分析，即可得到答案．【详解】∵正比例函数y=kx 的函数值y 随x 的增大而增大∴0k >∴当0x =时，一次函数0y x k k =-=-<∵一次函数y=x-k 的函数值y 随x 的增大而增大∴选项B 图像正确故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、正比例函数的性质，从而完成求解．6．如图，在▱ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD =8，BE =3，则▱ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．14C ．26D ．24【答案】C【解析】【分析】由AD ∥BC 可知∠ADE =∠DEC ，根据∠ADE =∠EDC 得∠DEC =∠EDC ，所以DC =EC =5，根据AB =CD ，AD =BC 即可求出周长．【详解】∵AD ∥BC ，∴∠ADE =∠DEC ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE =∠EDC ，∴CE =CD =8-3=5，∴▱ABCD 的周长是（8+5）⨯2=26，故选C ．【点睛】本题考查平行四边形性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．7．若直线1l 经过点()0,4，2l 经过点()3,2，且1l 与2l 关于x 轴对称，则1l 与2l 的交点坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()2,0C ．()6,0-D ．()6,0 【答案】B【解析】【分析】设1l 的解析式为y kx b =+，根据两直线关于x 轴对称，则它们图象上的点也关于x 轴对称，利用待定系数法求出直线解析式，再求出交点坐标．【详解】解：设1l 的解析式为y kx b =+，∵直线1l 经过点()0,4，2l 经过点()3,2，且1l 与2l 关于x 轴对称，∴两条直线的交点在x 轴上且直线1l 经过点()3,2-，2l 经过点()0,4-，把点()0,4和()3,2-代入直线1l 的解析式y kx b =+中，则4342b k =⎧⎨+=-⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩， 故直线1l 的解析式为24y x =-+，∵1l 与2l 的交点坐标为1l ，2l 与x 轴的交点，∴当0y =时，2x =，即1l 与2l 的交点坐标为()2,0．故选B ．【点睛】本题考查一次函数，解题的关键是掌握两直线交点坐标的求解方法，以及理解它们的对称关系．8．已知一次函数y=﹣2x +3，当0≤x ≤5时，函数y 的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．﹣3D ．﹣7【答案】B【解析】【详解】【分析】由于一次函数y=-2x+3中k=-2＜0由此可以确定y 随x 的变化而变化的情况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在0≤x≤5范围内函数值的最大值．【详解】∵一次函数y=﹣2x+3中k=﹣2＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴在0≤x≤5范围内，x=0时，函数值最大﹣2×0+3=3，故选B ．【点睛】本题考查了一次函数y=kx+b 的图象的性质：①k ＞0，y 随x 的增大而增大；②k ＜0，y 随x 的增大而减小．二、填空题9．正比例函数(0)y kx k =≠经过点(1,3)，则k =__________．【答案】3【解析】【分析】把(1,3)代入(0)y kx k =≠，利用待定系数法求解k 即可得到答案．【详解】解：把(1,3)代入(0)y kx k =≠，3,k ∴=故答案为：3.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．10．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，AC ⊥BC ．则BD ＝_____．【答案】13【解析】【分析】由BC ⊥AC ，AB ＝10，BC ＝AD ＝6，由勾股定理求得AC 的长，得出OA 长，然后由勾股定理求得OB 的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ＝AD ＝6，OB ＝OD ，OA ＝OC ，∵AC ⊥BC ，∴AC 22AB BC -8，∴OC ＝4，∴OB 22OC BC +13∴BD ＝2OB ＝13故答案为：413【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，在ABC∆中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中BC=，则CD的长为_________．点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D，若4【答案】2【解析】【分析】BC=2，MN//BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），依据三角形中位线定理，即可得到MN=12即可得到CD=MN=2．【详解】解：∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，BC=2，MN∥BC，∴MN=12∴∠NME=∠D，∠MNE=∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE=CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD=MN=2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．12．小明早上步行去车站，然后坐车去学校．如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_____．（填序号）【答案】④【解析】【分析】根据题意小明是在上学的路上，可得离学校的距离越来越近，根据开始是步行，可得距离变化慢，后来是坐车，可得距离变化快，根据速度和距离的变化情况即可解题．【详解】①距离越来越远，选项错误；②距离越来越近，但是速度前后变化快慢一样，选项错误；③距离越来越远，选项错误；④距离越来越近，且速度是先变化慢，后变化快，选项正确；故答案为：④．【点睛】本题考查了函数图象，观察距离随时间的变化是解题关键．13．如图，在平面直角坐标系中，已知(3,6),(2,2)A B -，在x 轴上取两点C ，D （点C 在点D 左侧），且始终保持1CD =，线段CD 在x 轴上平移，当AD BC +的值最小时，点C 的坐标为________．【答案】（-1，0）【解析】【分析】作点B 关于x 轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x 轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，得到此时AD+BC的值最小，求出直线AB″，得到点D坐标，从而可得点C坐标．【详解】解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，将B′向右平移1个单位得到B″，连接AB″，与x轴交于点D，过点B′作AB″的平行线，与x轴交于点C，可知四边形B′B″DC为平行四边形，则B′C=B″D，由对称性质可得：BC=B′C，∴AD+BC=AD+B′C=AD+B″D=AB″，则此时AB″最小，即AD+BC最小，∵A（3，6），B（-2，2），∴B′（-2，-2），∴B″（-1，-2），设直线AB″的表达式为：y=kx+b，则632k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：2kb=⎧⎨=⎩，∴直线AB″的表达式为：y=2x，令y=0，解得：x=0，即点D坐标为（0，0），∴点C坐标为（-1，0），故答案为：（-1，0）．【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，一次函数表达式，解题的关键是找到AD+BC 最小时的情形．14．如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是_____．【答案】18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC∥DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC∥DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．三、解答题15．已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD ∥BC ，OA =OC ，继而可利用ASA 判定△AOE ≌△COF ，继而证得OE =OF ．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠OAE =∠OCF ，在△AOE 和△COF 中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE =OF ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点E F 、，点E 的坐标为（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0），点()P x y ，是第二象限内的直线上的一个动点，（1）求k 的值；（2）在点P 的运动过程中，写出OPA ∆的面积S 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，OPA ∆的面积为278，并说明理由．【答案】（1）k=34；（2）S=94x+18（-8＜x＜0）；（3）当P运动到139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA∆的面积为278．【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把E点坐标代入y=kx+6即可计算出k的值；（2）由于P点在直线y=34x+6，则可设P点坐标为（x，34x+6），根据三角形面积公式得到S与x的关系式，结合点P的位置即可写出自变量x的取值范围；（3）将S=278代入（2）中的解析式，解方程求得x的值，继而求得P点坐标即可．【详解】（1）把E（-8，0）代入y=kx+6得-8k+6=0，解得k=34；（2）∵点A的坐标为（﹣6，0），∴OA=6，∵直线EF的解析式为y=34x+6，点()P x y，是第二象限内的直线EF上的一个动点，∴设P点坐标为（x，34x+6），∴S=12×6（34x+6）=94x+18（-8＜x＜0）；（3）当S=278时，则94x+18=278，解得x=-132，所以y=313642⎛⎫⨯-+⎪⎝⎭=98，所以点P坐标为139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭，即当P运动到139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA∆的面积为278．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，正确理解题意，弄清各量间的关系是解题的关键．17．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）【答案】（1）甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元；（2）共有如下三种方案：方案1、A产品22个，B产品38个，方案2、A产品21个，B产品39个，方案3、A 产品20个，B产品40个；（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．【解析】【分析】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据题意列出方程，解方程即可；（2）设生产B产品a件，生产A产品(60)a-件．根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果；（3）设生产成本为W元，根据题意得出W是a的一次函数，即可得出结果．【详解】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意得：6023155x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2535xy=⎧⎨=⎩；答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．（2）设生产B产品a件，生产A产品(60)a-件．依题意得：(254351)(60)(253353)9900 38a aa⨯+⨯-+⨯+⨯⎧⎨⎩解得：3840a；a的值为非负整数，∴a=38、39、40；答：共有如下三种方案：方案1、A产品22个，B产品38个，方案2、A产品21个，B产品39个，方案3、A产品20个，B产品40个；（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．理由如下：设生产成本为W元，则W与a的关系式为：=⨯+⨯+-+⨯+⨯+=+，(25435140)(60)(35325350)5510500W a a a即W是a的一次函数，550k=>，∴随a增大而增大，W∴当38a=时，总成本最低；即生产A产品22件，B产品38件成本最低．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用；根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组、一次函数关系式是解决问题的关键．18．剧院举行新年专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，剧院制定了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会．（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别表示这两种方案；（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．【答案】（1）y1＝5x＋60；y2＝4.5x＋72；（2）当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；4≤x＜24时，优惠方案1付款较少；x＞24时，优惠方案2付款较少【解析】【分析】（1）首先根据优惠方案①：付款总金额＝购买成人票金额＋除去4人后的学生票金额；优惠方案②：付款总金额＝（购买成人票金额＋购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．【详解】（1）按优惠方案1可得：y1＝20×4＋（x－4）×5＝5x＋60，按优惠方案2可得：y2＝（5x＋20×4）×90%＝4.5x＋72，（2）y1－y2＝0.5x－12（x≥4），①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x＝24，∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案1付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，∴当x＞24时，y1＞y2，优惠方案2付款较少．【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．19．某景区的三个景点A，B，C在同一线路上．甲、乙两人从景点A出发，甲步行到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示．(1)分别求出甲、乙两人步行的速度；(2)分别求出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘观光车时y与时间x之间的函数关系式；(3)问乙出发多长时间与甲在途中相遇．【答案】(1)60米/分，80米/分(2)y=60x（0≤x≤90），y=300x-6000（20≤x≤30）(3)乙出发5分钟或30分钟时与甲在途中相遇【解析】【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两人步行的速度；（2）根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲从景点A出发步行到景点C和乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式；（3）根据题意和（2）中的关系式，可以得到乙出发多长时间与甲在途中相遇．【小题1】解：由图象可得，甲步行的速度为：5400÷90=60（米/分），乙步行的速度为：（5400-3000）÷（90-60）=80（米/分），即甲、乙两人步行的速度分别为60米/分，80米/分；【小题2】设甲从景点A 出发步行到景点C 时y 与x 之间的函数关系式为y =kx ，5400=90k ，解得k =60，即甲从景点A 出发步行到景点C 时y 与x 之间的函数关系式为y =60x （0≤x ≤90）， 设乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式y =ax +b ，200303000a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：3006000a b =⎧⎨=-⎩， 即乙乘景区观光车时y 与x 之间的函数关系式y =300x -6000（20≤x ≤30）；【小题3】由603006000y x y x =⎧⎨=-⎩，解得：251500x y =⎧⎨=⎩， 即乙出发25-20=5分钟与甲第一次相遇；令60x =3000，解得x =50，即乙出发50-20=30分钟与甲第二次相遇；由上可得，乙出发5分钟或30分钟时与甲在途中相遇．【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．20．如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB 、CD 交于点G 、H ，求证：AG ＝CH.【答案】证明见解析.【解析】【详解】【分析】根据平行四边形的性质得AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，根据平行线的性质得∠E=∠F ，再结合已知条件可得AF=CE ，根据ASA 得△CEH ≌△AFG ，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】∵在四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∠A=∠C ，∴∠E=∠F ，又∵BE ＝DF ，∴AD+DF=CB+BE ，即AF=CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ，∴CH=AG.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.21．某市计划对道路进行维护．已知甲工程队每天维护道路的长度比乙工程队每天维护道路的长度多50%，甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天．(1)求甲、乙两工程队每天维护道路的长度是多少千米？(2)若某市计划对200千米的道路进行维护，每天需付给甲工程队的费用为25万元，每天需付给乙工程队的费用为15万元，考虑到要不超过26天完成整个工程，因工程的需要，两队均需参与，该市安排乙工程队先单独完成一部分，剩下的部分两个工程队再合作完成．问乙工程队先单独做多少天，该市需付的整个工程费用最低？整个工程费用最低是多少万元？【答案】(1)甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米(2)当乙工程队先单独做10天时，该市需付的整个工程费用最低，最低费用是790万元【解析】【分析】（1）设乙工程队每天维护道路的长度是x 千米，则甲工程队每天维护道路的长度是(150%)x+千米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲工程队单独维护30千米道路的时间比乙工程队单独维护24千米道路的时间少用1天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设乙工程队先单独做m天，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合要不超过26天完成整个工程，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需工程费用为w万元，根据总费用=每天付给乙工程队的费用⨯乙工程队先单独工作的时间+每天付给两工程队的费用之和⨯两队合作的时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．(1)解：设乙工程队每天维护道路的长度是x千米，则甲工程队每天维护道路的长度是(150%)x+千米，依题意得：24301(150%)x x-=+，解得：4x=，经检验，4x=是原方程的解，且符合题意，(150%)6x∴+=．答：甲工程队每天维护道路的长度是6千米，乙工程队每天维护道路的长度是4千米．(2)解：设乙工程队先单独做m天，依题意得：20042646mm-++，解得：10m．设所需工程费用为w万元，则200415(2515)80046mw m m-=++⨯=-++，10-<，w∴随m的增大而减小，∴当10m=时，w取最小值，最小值110800790=-⨯+=．答：当乙工程队先单独做10天时，该市需付的整个工程费用最低，最低费用是790万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．22．已知函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A (﹣2，1)，点 B (1，52)． （1）求直线AB 的解析式；（2）若在x 轴上存在点C ，使S △ACO ＝12S △ABO ，求出点C 坐标．【答案】（1）122y x =+；（2）点C 的坐标为（3，0）或（-3，0） 【解析】【分析】（1）根据点A 、B 的坐标利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，根据ABO ADO BEO ADEB S S S S =--△△△梯形求出3ABO S =△，从而得到131222ACO ABO A S S OC y ===⋅△△，由此即可得到答案． 【详解】（1）∵一次函数y =kx +b 的图象经过点A （-2，1）、点B （1，52）． ∴2152k b k b -+⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝， ∴122k b ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴一次函数的解析式为122y x =+； （2）如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于E ，∵A （-2，1）、点B （1，52）， ∴1AD =，52BE =，2OD =，1OE =， ∴3DE OD OE =+=，∴ABO ADO BEO ADEB S S S S =--△△△梯形11=222AD BE DE AD OD BE OE +⋅-⋅-⋅ 511152=31212222+⨯-⨯⨯-⨯⨯ =3， ∴131222ACO ABO A S S OC y ===⋅△△ ∴3OC =，∴点C 的坐标为（3，0）或（-3，0）．【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握利用待定系数法求一次函数解析式的方法是解题的关键．23．已知y 与2x +成正比，当4x =时，4y =．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(3)a ，在这个函数图象上，求a 的值． 【答案】(1)()224 y x 2x 333=+=+;(2)a=2.5. 【解析】【分析】()1首先设()2y k x =+，再把4x =，4y =代入所设的关系式，即可算出k 的值，进而得到y 与x 之间的函数关系式；()2把(),3a 代入()1中所求的关系式即可得到a 的值．【详解】解：()1设 ()y k x 2=+，当x 4=时，y 4=，()k 424∴+=，2k 3∴=， y ∴与x 之间的函数关系式为()224y x 2x 333=+=+； ()2点()a,3在这个函数图象上，24a 333∴+=，∴=．a 2.5【点睛】考查了求一次函数关系式，关键是掌握凡是图象经过的点必能满足解析式．24．在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为对角线AC上一点，连接DE、BF，若∠ADE与∠CBF的平分线DG、BG交于AC上一点G，连接EG．（1）如图1，点B、G、D在同一直线上，若∠CBF＝90°，CD＝3，EG＝2，求CE的长；（2）如图2，若AG＝AB，∠DEG＝∠BCD，求证：AD＝BF+DE．【答案】（1）1CE=；（2）见详解．【解析】【分析】（1）由题意，先证明△BDE是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理，即可求出答案；（2）在AD上取一点M，使得DM=DE，连接MG，然后根据全等三角形的判定和性质，得到AM=BF，即可得到答案．【详解】解：（1）如图，点B、G、D在同一直线上，∵DG、BG分别是∠ADE与∠CBF的角平分线，且∠CBF＝90°，∴∠CBD=45°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD=45°，∴∠BDE =∠ADB =45°，∴∠BED =180454590︒-︒-︒=︒，∴三角形BDE 是等腰直角三角形，90CED ∠=︒，在平行四边形ABCD 中，则BD=DG ，∴线段EG 是等腰直角三角形BDE 的中线，∴EG ⊥BD ，∵2EG =， ∴222DE EG ==，在直角三角形CDE 中，由勾股定理得22223(22)1CE CD DE =-=-=；（2）如图，在AD 上取一点M ，使得DM=DE ，连接MG ，在△DMG 和△DEG 中，有DM DE MDG EDG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DEG ，∴∠DMG =∠DEG =∠BCD ，∵∠BCD =∠BAD ，∴∠DMG=∠BAD ，∴MG ∥AB ，∴∠BAF =∠AGM ，∵AG ＝AB ，∴∠AGB =∠ABG ，∵∠ABG=∠ABF +∠FBG ，∠AGB =∠GBC +∠BCG ，又∵∠FBG =∠GBC ，∴∠ABF =∠BCG ，∵AD ∥BC ，∴∠BCG=∠MAG=∠ABF，在△AMG和△BF A中，有∴BAF AGMAB AGMAG ABF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AMG≌△BF A，∴AM=BF，∴AD=AM+MD=BF+DE．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等三角形进行证明．。

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题03动点问题的函数图象压轴真题训练1．（2021•益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵▱ABCD的面积为4，x+y是平行四边形面积的一半，∴x+y＝2，∴y＝2﹣x，∴y是x的一次函数，且当x＝0时，y＝2；x＝2时，y＝0；故只有选项B符合题意．故选：B．2．（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解答】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到P A﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴t＝3．∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN．设运动时间为ts，△MND的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD•DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，当M在BD上时，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD•DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故选：B．4．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE ＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG 的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴CH＝1，当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，当1＜x≤3时，y＝＝1，当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，故选：B．5．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N 是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【答案】A【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．6．（2021•鞍山）如图，△ABC是等边三角形，AB＝6cm，点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以2cm/s的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M 作MP∥CA交AB于点P，连接MN，NP，作△MNP关于直线MP对称的△MN′P，设运动时间为ts，△MN′P与△BMP重叠部分的面积为Scm2，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图1中，当点N′落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．∵CM＝t（cm），CN＝2t（cm），CT＝TN，∴CT＝TN＝t（cm），∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∴△MCT是等边三角形，∴TM＝TC＝TN，∴∠CMN＝90°，∵MP∥AC，∴∠BPM＝∠A＝∠MPN＝60°，∠BMP＝∠C＝60°，∠C+∠CMP＝180°，∴∠CMP＝120°，△BMP是等边三角形，∴BM＝MP，∵∠CMP+∠MPN＝180°，∴CM∥PN，∵MP∥CN，∴四边形CMPN是平行四边形，∴PM＝CN＝BM＝2t，∴3t＝6，∴t＝2，如图2中，当0＜t≤2时，过点M作MK⊥AC于K，则MK＝CM•sin60°＝t，∴S＝•（6﹣t）•t＝﹣t2+t．如图3中，当2＜t≤6时，S＝•MQ•PQ＝×（6﹣t）×（6﹣t）＝×（6﹣t）2，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．7．（2021•威海）如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s 的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2cm，∠B＝∠D＝60°．∴△ABC、△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°．如图1所示，当0≤x≤1时，AQ＝2xcm，AP＝xcm，作PE⊥AB于E，∴PE＝sin∠PAE×AP＝（cm），∴y＝AQ•PE＝×2x×＝，故D选项不正确；如图2，当1＜x≤2时，AP＝xcm，CQ＝（4﹣2x）cm，作QF⊥AC于点F，∴QF＝sin∠ACB•CQ＝（cm），∴y＝＝＝，故B选项不正确；如图3，当2＜x≤3时，CQ＝（2x﹣4）cm，CP＝（x﹣2）cm，∴PQ＝CQ﹣CP＝2x﹣4﹣x+2＝（x﹣2）cm，作AG⊥DC于点G，∴AG＝sin∠ACD•AC＝×2＝（cm），∴y＝＝＝．故C选项不正确，故选：A．8．（2021•日照）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交于点Q．设AP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有0＜x≤1，此时阴影部分为等腰直角三角形，∴y＝，该函数是二次函数，且开口向上，排除B，C选项；当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，阴影部分的面积等于等腰直角△AOD的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形PBQ的面积即减去弓形QBF的面积，设∠QOB＝θ，则∠QOF＝2θ，＝﹣S△QOF，∴，S弓形QBF＝﹣＝﹣，当θ＝45°时，AP＝x＝1+≈1.7，S弓形QBFy＝+﹣（﹣）＝≈1.14，＝﹣＝﹣，当θ＝30°时，AP＝x≈1.87，S弓形QBFy＝+﹣（﹣）＝≈1.24，当θ＝60°时，AP＝x≈1.5，y≈0.98，在A，D选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项D符合题意．故选：D．法二、当1＜x＜2时，即P在OB之间时，设∠QOD＝θ，则θ∈（0，），则PQ＝cosθ，OP＝sinθ，则弧QD的长为θπ，此时S阴影＝+θπ+sinθcosθ＝+θ+sin2θ，∴y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，只有选项D符合．故选：D．9．（2021•辽宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中点，射线AE与BC的延长线相交于点F，点M从A出发，沿A→B→F的路线匀速运动到点F停止．过点M作MN⊥AF于点N．设AN的长为x，△AMN的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，∵E是CD的中点，∴CE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCF＝90°，AD＝BC＝4，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（SAS），∴CF＝AD＝4，∴BF＝CF+BC＝8，∴AF＝，当点M在AB上时，在Rt△AMN和Rt△AFB中，tan∠NAM＝，∴NM＝x＝x，∴△AMN的面积S＝×x×x＝x2，∴当点M在AB上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的一部分；当点M在BF上时，如图，AN＝x，NF＝10﹣x，在Rt△FMN和Rt△FBA中，tan∠F＝，∴＝﹣，∴△AMN的面积S＝＝﹣，∴当点M在BF上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分；故选：B．10．（2021•苏州）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵AB＝10，AC＝BD＝1，∴CD＝10﹣1﹣1＝8，∵PC＝t，∴AP＝t+1，PB＝8﹣t+1＝9﹣t，设围成的两个圆锥底面圆半径分别为r和R则：2πr＝；．解得：r＝，R＝，∴两个圆锥的底面面积之和为S＝＝＝，根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数．故选：D．11．（2021•甘肃）如图1，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D（AD＞BD）．动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，运动到点C停止．设点M的运动路程为x，△AMD的面积为y，y与x的函数图象如图2，则AC的长为（）A．3B．6C．8D．9【答案】B【解答】解：由图2知，AB+BC＝2，∵AB＝BC，∴AB＝，∵AB＝BC，BD⊥AC，∴AC＝2AD，∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AD²+BD²＝AB²＝13①，设点M到AC的距离为h，＝AD•h，∴S△ADM∵动点M从A点出发，沿折线AB→BC方向运动，∴当点M运动到点B时，△ADM的面积最大，即h＝BD，由图2知，△ADM的面积最大为3，∴AD•BD＝3，∴AD•BD＝6②，①+2×②得，AD²+BD²+2AD•BD＝13+2×6＝25，∴（AD+BD）²＝25，∴AD+BD＝5（负值舍去），∴BD＝5﹣AD③，将③代入②得，AD（5﹣AD）＝6，∴AD＝3或AD＝2，∵AD＞BD，∴AD＝3，∴AC＝2AD＝6，故选：B．12．（2021•百色）如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S．设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：①当M点运动在AE段，+S△GHD﹣S△EOM﹣S△GPS，此时S＝S△HAE∵四边形ABCD是矩形，直线l⊥AB，H、E、F、G为AD、AB、BC、CD的中点，＝S△GHD，S△EOM＝S△GPS，∴AH＝AD＝＝1，AE＝AB＝，S△HAE﹣2S△EOM，∴S＝2S△HAE＝AE•AH＝；∴S△HAE∵直线l⊥AB，∴∠OME＝∠A＝90°，∠HEA＝∠OEM，∴△HAE∽△OME，∴，∴OM＝，又∵ME＝AE﹣AM＝﹣x，∴OM＝ME＝，＝，∴S△EOM﹣2S△EOM＝，∴S＝2S△HAE此时，对应抛物线开口向下；②当M点运动到在BE段，+S△GHD+S△EO1M1+S△GP1S1，此时，S＝S△HAE+2S△EO1M1，即S＝2S△HAE与①同理，O1M1＝，又∵M1E＝AM1﹣AE＝x﹣，∴O1M1＝M1E＝，＝，∴S△EO1M1+2S△EO1M1＝，∴S＝2S△HAE此时，对应抛物线开口向上，故选：D．13．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M 从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（）①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．③当0＜t≤6时，S＝．④当t＝9+时，△ADH∽△ABM．⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【解答】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH＝AB＝6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6cm．∵当t＝6s时，S＝9cm2，∴×AB×BC＝9．∴BC＝3cm．∵当6≤t≤9时，S＝且保持不变，∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9﹣6）秒，∴HC＝3cm，即点H为CD的中点．∴BH＝cm．∴AB＝AH＝BH＝6cm，∴△ABM为等边三角形．∴∠HAB＝60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM＝AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：此时有两个符合条件的点；当AD＝AM时，△ADM为等腰三角形，如图：当DA＝DM时，△ADM为等腰三角形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM＝AN＝t，由①知：∠HAB＝60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE＝，∴ME＝AM•sin60°＝tcm，∴S＝AN×ME＝cm2．∴③正确；④当t＝9+时，CM＝cm，如图，由①知：BC＝3cm，∴MB＝BC﹣CM＝2cm．∵AB＝6cm，∴tan∠MAB＝，∴∠MAB＝30°．∵∠HAB＝60°，∴∠DAH＝90°﹣60°＝30°．∴∠DAH＝∠BAM．∵∠D＝∠B＝90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正确；⑤当9＜t＜9+3时，此时点M在边BC上，如图，此时MB＝9+3﹣t，∴S＝×AB×MB＝×6×（9+3﹣t）＝27+9﹣3t．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A．14．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：当0≤x≤3时，在Rt△APQ中，∠QAP＝90°，AP＝AQ＝x，∴PQ2＝2x2．∴y＝PQ2＝2x2；当3≤x≤4时，DQ＝x﹣3，AP＝x，∴y＝PQ2＝32+32＝18；当4≤x≤7时，CP＝7﹣x，CQ＝7﹣x，∴y＝PQ2＝CP2+CQ2＝2x2﹣28x+98．故选：C．15．（2021•湖北）如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，CD＝4，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E，则△CPE的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，∵∠PEC＝∠D＝90°，∴△PCE∽△CAD，∴＝＝，∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝＝5，∴当P在CA上时，即当0＜x≤5时，PE＝＝x，CE＝＝x，∴y＝PE•CE＝＝x2，当P在AD上运动时，即当5＜x≤8时，PE＝CD＝4，CE＝8﹣x，∴y＝PE•CE＝×4×（8﹣x）＝16﹣2x，综上，当0＜x≤5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5＜x≤8时，函数图象为一次函数图象，且y随x增大而减小，故选：D．16．（2021•衡阳）如图1，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P、Q 两点同时从O点出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为O﹣A﹣D﹣O，点Q的运动路线为O﹣C﹣B﹣O．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为厘米．【答案】（2+3）【解答】解：由图分析易知：当点P从O→A运动时，点Q从O→C运动时，y不断增大，当点P运动到A点，点Q运动到C点时，由图象知此时y＝PQ＝2cm，∴AC＝2cm，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝＝cm，当点P运动到D点，Q运动到B点，结合图象，易知此时，y＝BD＝2cm，∴OD＝OB＝BD＝1cm，在Rt△ADO中，AD＝＝＝2（cm），∴AD＝AB＝BC＝DC＝2cm，如图，当点P在A﹣D段上运动，点P运动到点E处，点Q在C﹣B段上运动，点Q运动到点F处时，P、Q两点的距离最短，此时，OE＝OF＝＝，AE＝CF＝＝＝，∴当点P在A﹣D段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q两点的运动路程之和为：（cm），故答案为：（2+3）．17．（2021•武汉）如图（1），在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，边AB 上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x＝AD，y＝AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是．【答案】﹣1【解答】解：∵图象过点（0，2），即当x＝AD＝BE＝0时，点D与A重合，点E与B重合，此时y＝AE+CD＝AB+AC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，过点A作AF⊥BC于点F，过点B作NB⊥BC，并使得BN＝AC，如图所示：∵AD＝BE，∠NBE＝∠CAD，∴△NBE≌△CAD（SAS），∴NE＝CD，又∵y＝AE+CD，∴y＝AE+CD＝AE+NE，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，如图所示，此时：AD＝BE＝x，AC＝BN＝1，∴AF＝AC•sin45°＝，\又∵∠BEN＝∠FEA，∠NBE＝∠AFE∴△NBE∽△AFE∴，即，解得：x＝，∴图象最低点的横坐标为：﹣1．故答案为：．18．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝cm2．【答案】【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴，∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，∴AP＝x，AQ＝2x，∴，在△APQ和△AED中，＝，∠A＝45°，∴△AED∽△APQ，∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，∴AP＝PQ＝x，∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），∴AD＝2x＝6cm，当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，此时S△APQ在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），∴S△APQ即y＝﹣x2+6x，当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，故答案为：．。

专题19 四边形中的动图问题（解析版）类型一平行四边形及特殊平行四边形的存在性问题1．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在X轴正半轴上，∠COA＝60°，OA＝10cm，OC ＝4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．（1）求点C，B的坐标（结果用根号表示）（2）从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形；（3）在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE＝BF＝证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标；（2）根据平行四边形的性质可知CP＝OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10﹣3x＝x，解方程即可；（3）如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形．解：（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，∵∠COA＝60°，∴∠1＝30°，∴OE=12CO＝2cm，在Rt△COE中，CE==∴C点坐标是（2，，∵四边形OABC是平行四边形，∴CO＝AB，CO∥AB，∵CE⊥OA，过B作BF⊥OA，∴CE＝BF＝，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝EO＝2，∴OF＝OA+AF＝12（cm），∴B点坐标是（12，；（2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形，10﹣3x＝x，解得：x＝2.5，故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形；（3）不能成为菱形，如果四边形OCPQ菱形，则CO＝QO＝CP＝4cm，∵OA＝10cm，∴AQ＝10﹣4＝6（cm），则Q的运动时间是：6÷3＝2（秒），这时CP＝2×1＝2（cm）∵CP≠4cm，∴四边形OCPQ不能成为菱形．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用．2．（2022春•广信区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．思路引领：（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，∴t＝16﹣t，得t＝8，故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形AQCP为平行四边形，∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形=16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，则周长为4×10cm＝40cm；面积为10cm×8cm＝80cm2．总结提升：本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．3．（2021春•睢县期中）如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连结EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，以A、C、F、E为顶点的四边形是平行四边形？思路引领：（1）由题意得到AD＝CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE＝CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD＝∠DCF，∠AED＝∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在△ADE和△CDF中，∠EAD=∠FCD∠AED=∠CFDAD=CD，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：①当点F在C的左侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意，得AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm，∵AG∥BC，当AE＝CF时，四边形AEFC为平行四边形，即t＝2t﹣6，解得t＝6，综上可得：当t＝2或6时，A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．总结提升：此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．类型二动点最值问题4．（2021春•灌云县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB =13S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（ ）A．B．C．D．思路引领：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，AP+PB＝A'B即为所求，由面积关系可得AM=23AD＝4，在Rt△ABA'中求出A'B即可．解：过P点作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，作A点关于MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P，∴AP+PB＝A'P+PB＝A'B，此时PA+PB的值最小，∵S△PAB =13S矩形ABCD，∴12×AB×AM=13×BA×AD，∴AM=23 AD，∵AD＝6，∴AM＝4，∴AA'＝8，∵AB＝10，在Rt△ABA'中，A'B＝故选：B．总结提升：本题考查轴对称求最短距离，通过面积关系，能确定P点所在直线是解题的关键．5．（自贡中考）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．思路引领：根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC ＝BC ，∴AH =12，由勾股定理可得，CH ∵12×AB ×CH =12×BC ×AN ，可得，AN =∴ME ＝AN =4，∴PE +PF总结提升：此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．6．（2020•锦州模拟）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，两顶点B 、D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是 ．思路引领：利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出A 点位置，进而求出AO 的长．解：如图所示：过点A 作AE ⊥BD 于点E ，当点A ，O ，E 在一条直线上，此时AO 最短，∵平行四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BC ＝10，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝10，∠BAD ＝∠BCD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AE 过点O ，E 为BD 中点，∵∠BOD ＝90°，BD ＝10，∴EO ＝5，故AO 的最小值为：AO ＝AE ﹣EO ＝AB sin60°―12×BD ＝―5．故答案为：―5．总结提升：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．7．（2022•利州区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）A．0.5B．2.5C D．1思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N．则△EFB≌△EHG，∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，∴△EBH为等边三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠FBE＝90°，∴∠GHE＝∠FBE＝90°，∴点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，∴∠PEC＝30°．∵EC＝BC﹣BE＝3，∴CP=12EC=32，∴CM＝MP+CP＝1+32=52，即CG的最小值为5 2．方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则△CEG≌△EFH，∴CG＝FH，当FH⊥AB时，FH最小＝1+32=52．故选：B．总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．8．（2022秋•射阳县月考）如图，△APB中，AB＝4，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是　．思路引领：先延长EP 交BC 于点F ，得出PF ⊥BC ，再判定四边形PCDE 平行四边形，根据平行四边形的性质得出：四边形CDEP 的面积＝EP ×CF ＝a ×12b =12ab ，最后根据a 2+b 2＝8，判断12ab 的最大值即可．解：如图，延长EP 交BC 于点F ，∵∠APB ＝90°，∠APE ＝∠BPC ＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF ＝180°﹣150°＝30°，∴PF 平分∠BPC ，又∵PB ＝PC ，∴PF ⊥BC ，设Rt △ABP 中，AP ＝a ，BP ＝b ，则CF =12CP =12b ，a 2+b 2＝42＝16，∵△APE 和△ABD 都是等边三角形，∴AE ＝AP ，AD ＝AB ，∠EAP ＝∠DAB ＝60°，∴∠EAD ＝∠PAB ，在△EAD 和△PAB 中，AE =AP ∠EAD =∠PAB AD =AB，∴△EAD ≌△PAB （SAS ），∴ED ＝PB ＝CP ，同理可得：△APB ≌△DCB （SAS ），∴EP＝AP＝CD，∴四边形PCDE是平行四边形，∴四边形PCDE的面积＝EP×CF＝a×12b=12ab，又∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≥0，∴2ab≤a2+b2＝16，∴12ab≤4，即四边形PCDE面积的最大值为4．故答案为：4．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．9．（2022春•番禺区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，C，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值．思路引领：（1）连接CF，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到CF＝EF，CF＝AF，从而求证结论．（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，即可得到MN+NG=12（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，结合已知推断△ABC为等边三角形，即可求解．解：（1）证明：连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN =12AF ，NG =12CF ，即MN +NG =12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF +CF 最小，即此时MN +NG 最小，∵菱形ABCD 边长为1，∠ABC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，AC ＝AB ＝1，即MN +NG 的最小值为12；总结提升：本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题．类型三 求运动路径的长10．（2022•虞城县二模）如图，矩形ABCD 中．AB =AD ＝1，点E 为CD 中点，点P 从点D 出发匀速沿D ﹣A ﹣B 运动，连接PE ，点D 关于PE 的对称点为Q ，连接PQ ，EQ ，当点Q 恰好落在矩形ABCD的对角线上时（不包括对角线端点），点P 走过的路径长为 12或1　．思路引领：当点Q 恰好落在矩形ABCD 的对角线上时存在两种情况：①如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，证明AP ＝PD 可得结论；②如图2，点P 在AB 上，连接PD ，根据30°角的三角函数列式可得AP 的长，从而计算结论．解：如图1，点P 在AD 上，点Q 在AC 上，连接DQ ，∵E 为CD 的中点，∴DE ＝CE ，∵点D 关于PE 的对称点为Q ，∴PE ⊥DQ ，DE ＝EQ ＝EC ，∴∠DQC ＝90°，∴DQ ⊥AC ，∴PE ∥AC ，∴PD ＝AP =12AD =12，即点P 走过的路径长为12；如图2，点P 在AB 上，连接PD ，∵E 为CD 的中点，且CD =∴DE ＝CE ∵∠DFE ＝90°，∴cos ∠EDF ＝cos30°=DF DE，∴DF =34，∵BD 2，∴BF ＝2―34=54，cos ∠ABD ＝cos30°=BF PB ，∴BP 5=∴AP ==∴此时点P 走过的路径长为1综上，点P 走过的路径长为12或1+故答案为：12或1+总结提升：本题主要考查了矩形的性质，对称的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键，并注意运用分类讨论的思想．11．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．（1）当点B '恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 cm ；（2）点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB ′与边CD 交于点E ，求点E 相应运动的路径长度．（3）当点A 与点B '距离最短时，求AM 的长．思路引领：（1）运用矩形性质和翻折性质得出：MB′＝NB′，再利用勾股定理即可求得答案；（2）探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．（3）如图5中，连接AN，当点B′落在AN上时，AB′的值最小，此时MN平分∠ANB．利用面积法求出AM：BM＝2，可得结论．解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′cm），∴BM＝NB′=cm）．（2）如图1中，点B'恰好落在边CD上时，BM＝NB′=cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt △ADE 中，则有x 2＝22+（4﹣x ）2，解得x =52，∴DE ＝4―52=32（cm ），如图3中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝5﹣1﹣2＝2（cm ），如图4中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，DB ′（即DE ″）＝5﹣1―（4―（cm ），∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″，运动路径＝EE ′+E ′B ′＝2―32+2﹣（432）（cm ）．（3）如图5中，连接AN ，当点B ′落在AN 上时，AB ′的值最小，此时MN 平分∠ANB ．过点M 作MP ⊥AN 于点P ，MQ ⊥BN 于点Q ．在Rt △ADN 中，AN ===∵S △AMN S △MNB =AM BM =12⋅AN⋅MP 12⋅BN⋅MQ =2，∴AM =23AB =103．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型．类型四 平移、翻折及旋转问题12．（2019春•江北区期中）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝8，F 是AB 的中点．过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E ．将△AEF 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A ′E ′F ′．设P 、P ′分别是EF 、E ′F ′的中点，当点A ′与点B 重合时，四边形PP ′F ′F 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．―8思路引领：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．首先证明四边形PP ′CD 是平行四边形，再证明DF ⊥PP ′，求出FH 即可解决问题．解：如图，连接BD ，DF ，DF 交PP ′于H ．由题意PP ′＝AA ′＝AB ＝CD ，PP ′∥AA ′∥CD ，∴四边形PP ′CD 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∵AF ＝FB ，∴DF ⊥AB ，DF ⊥PP ′，在Rt △AEF 中，∵∠AEF ＝90°，∠A ＝60°，AF ＝4，∴AE ＝2，EF ＝∴PE ＝PF =在Rt △PHF 中，∵∠FPH ＝30°，PF∴HF =12PF∴平行四边形PP ′FF ′的面积8＝故选：B ．总结提升：本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．13．（2021•海南模拟）如图，正方形ABCD 的边长为1；将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 的位置，使得点B 落在对角线CF 上，则阴影部分的面积是（ ）A ．14B ．2―C 1D ．12思路引领：依据△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．解：正方形ABCD 的边长为1，将其绕顶点C 按逆时针方向旋转一定角度到CEFG 位置，使得点B 落在对角线CF 上，∴EF ＝CE ＝1，∴CF =∴BF =―1，∵∠BFE ＝45°，∴BH ＝BF ―1，∴阴影部分的面积=12×1×1―12×―1）2―1，故选：C ．总结提升：本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用△BFH 、△CEF 为等腰直角三角形求解线段的长．14．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE 与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为 ．思路引领：由已知得出AD ＝OA ﹣OD ＝4，由矩形的性质得出∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD ＝8，由勾股定理得出ED ＝解：∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，∵四边形CODE是矩形，∴DE∥OC，∴∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED∵OD＝2，∴点E的坐标为（2，；∴矩形CODE的面积为2＝∵将矩形CODE沿x轴向右平移，矩形CODE与△ABO重叠部分的面积为∴矩形CODE与△ABO不重叠部分的面积为如图，设ME′＝x，则FE′，依题意有x×÷2＝解得x＝±2（负值舍去）．故矩形CODE向右平移的距离为2．故答案为：2．总结提升：考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键（2022•大连模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝4，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD 边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE＝ ．思路引领：过点E作EH⊥AD于H，根据勾股定理可求DH的长度，由折叠的性质得出AG＝GE，在Rt△HGE中，由勾股定理可求出答案．解：过点E作EH⊥AD于H，∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝4，∴∠BAD＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝2，在Rt△DHE，中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH＝1，HE=∵将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，∴AG＝GE，在Rt△HGE中，GE2＝GH2+HE2，∴GE2＝（4﹣GE+1）2+3，∴GE＝2.8．故答案为：2.8．总结提升：本题考查了折叠问题，菱形的性质，勾股定理，关键是添加恰当的辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度．。

【真题模拟】【例1】已知：抛物线y＝(k－1)x2＋2kx＋k－2与x轴有两个不同的交点。

⑴求k的取值范围；⑵当k为整数，且关于x的方程3x＝kx－1的解是负数时，求抛物线的解析式；⑶在⑵的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长。

【例2】(2010昌平一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(3，1)关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处。

⑴求点C、D的坐标；⑵求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；函数图象上点的存在性问题中的三角形与四边形⑶若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q。

①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标。

【例3】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(5，0)、B(6，-6)和原点。

⑴求抛物线的解析式；⑵若过点B的直线y＝kx＋n与抛物线相交于点C(2，m)，求△OBC的面积；⑶过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E。

是否存在点P，使得以C、E、P 为顶点的三角形与△OCD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

测 试 题演练1(2010山东烟台)如图，已知抛物线23y x bx a =+-过点()10A ，，()03B -，，与x 轴交于另一点C 。

⑴求抛物线的解析式；⑵若在第三象限的抛物线上存在点P ，使PBC △为以点B 为直角顶点的直角三角形，求点P 的坐标； ⑶在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点Q ，使以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。