浙江省杭州二中2019学年高一第二学期期中考试(数学)

2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.一、选择题(每小题只有一个选项符合题意，共12小题，每小题5分，共60分)(2015・北京东城区综合练习)若a>b>0，则下列不等式不成立的是．A. B. |a|>|b| C. D.(n∈N∗)，则a1⋅a2⋅a3…a2017=()2.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=1+a n1−a nA. −6B. 6C. −2D. 23.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=0，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立，则不等式f(x)>0的解集为()A. {x|x<−1或x>1}B. {x|x<−1或0<x<1}C. {x|−1<x<0或0<x<1}D. {x|−1<x<1，且x≠0}4.海上有A，B两个小岛相距10√2km，从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°，从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°，则B岛和C岛之间的距离BC=()km．A. 10B. 10√3C. 20D. 10√25.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0，且在[3,4]上是增函数，A. B是锐角三角形的两个内角，则()A。

f(sinA)<f(cosB)B. f(sinA)>f(cosB)C. f(sinA)>f(sinB)D. f(cosA)>f(cosB)6.函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则A.B.C.D.7.已知函数f(x)=x3−3x+m的图像与x轴有三个不同的交点，则实数m的取值范围为A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪ (2,+ ∞)C. (−3,1)D. (−∞,0) ∪ (1,+∞)8. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n +S n =1，则a 4=( ) A. 18 B. 116 C. 132 D. 164 9. 等差数列中，和是方程的两根，则该数列的前项和 A. B. C. D.10. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 若2acosB =c ，则2cos 2A 2+sinB −1的取值范围是 ( )A. [−√2,√2]B. [1,√2]C. (0,√2]D. (−1,√2]二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2−2n +q(p,q ∈R)，n ∈N ∗．(Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足a n =2log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和．12. 设a >2，则a +1a−2的最小值是______ ．13. 已知奇函数f(x)的定义域为R ，且当x >0时，f(x)=x 2−3x +2，若函数y =f(x)−a 有3个零点，则实数a 的值是______ ．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）14. 已知函数f(x)={x 2−2x,x ≤2log 2x −1,x >2则f(f(4))= (1) ；函数f(x)的单调递增区间是 (2) ． 15. 记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和．若S 4=4，S 6−S 2=1，则公比q = (1) ；S 8= (2) ．16. 如图，菱形ABCD 的边长为3，对角线AC 与BD 相交于O 点，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，E 为BC 边(包含端点)上一点，则|EA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 ，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ．四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17. 设向量a ⃗ =(sinx,cosx)，b ⃗ =(cosx,cosx)，x ∈R ，函数f(x)=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间．18. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为23π，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3．(1)求△CDE 的面积S ；(2)求|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |．19. 设的定义域为，且是奇函数，当时，(1)求当时，的解析式；(2)20.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1，}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(1)证明：数列{a n+12(2)设b n=2n−1，求数列{b n}的前n项和S n2a n+1【答案与解析】1.答案：C解析：∵a >b >0，∴，且|a|>|b|，又2a >2b ，∴ ，易知，故选C ． 2.答案：D解析：本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+a n 1−a n (n ∈N ∗)，可得a 2=−3，a 3=−12，a 4=13，a 5=2，….可得a n+4=a n .即可得出．解：∵数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+an 1−a n (n ∈N ∗)， ∴a 2=−3，a 3=−12，a 4=13，a 5=2，…．可得a n+4=a n ．则a 1⋅a 2⋅a 3…a 2017=[2×(−3)×(−12)×13]504×2=2．故选：D ． 3.答案：B解析：解：设g(x)=f(x)x ，则g(x)的导数为g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2，∵当x >0时总有xf′(x)<f(x)成立，即当x >0时，g′(x)恒小于0，∴当x >0时，函数g(x)=f(x)x 为减函数， 又∵g(−x)=f(−x)−x =−f(x)−x =f(x)x=g(x) ∴函数g(x)为定义域上的偶函数又∵g(1)=f(1)1=0∴函数g(x)的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f(x)>0⇔x ⋅g(x)>0⇔{x >0g(x)>0或{x <0g(x)<0⇔0<x <1或x <−1故选B由已知当x >0时总有xf′(x)<f(x)成立，可判断函数g(x)=f(x)x 为减函数，由已知f(x)是定义在R 上的奇函数，可证明g(x)为(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，模拟g(x)的图象，而不等式f(x)>0等价于x ⋅g(x)>0，数形结合解不等式组即可本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 4.答案：B解析：解：∠A =60°，∠B =45°，∠C =180°−60°−75°=45°，AB =10√2km ．根据正弦定理BC sinA =AB sinC 得BC =ABsinA siinC =10√2⋅√32√22=10√3km ．故选B ．先根据∠A 和∠B 求出∠C ，进而根据正弦定理求得BC ．本题考查正弦定理的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题． 5.答案：A解析：试题分析：由题意知的周期为2，且在上单调递减，因A 、B 是锐角三角形的两个内角，则或，故或考点：抽象函数、函数的性质 6.答案：B解析：试题分析：从向x轴作垂线，垂足为，由，可得，，，所以，故选B.考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数求值．7.答案：A解析：设g(x)=x 3，ℎ(x)=3x−mf(x)=x 3−3x+m有三个不同零点即g(x)与ℎ(x)有三个交点g′(x)=3x²ℎ′(x)=3当g(x)与ℎ(x)相切时g′(x)=ℎ′(x)，3x²=3，得x=1，或x=−1当x=1时，g(x)=1，ℎ(x)=3−m=1，得m=2当x=−1时，g(x)=−1，ℎ(x)=−3−m=−1，得m=−2要使得g(x)与ℎ(x)有三个交点，则−28.答案：B解析：在数列递推式中分别取n=1，2，3，4即可求得a4的值．本题考查了数列递推式，考查了计算能力，是基础题．解：∵a n+S n=1，∴a1+S1=2a1=1，即a1=12；a2+S2=a2+a1+a2=1，2a2+12=1，∴a2=14；a3+S3=a3+a1+a2+a3=1，2a3=1−12−14=14，∴a3=18；a4+S4=a4+a1+a2+a3+a4=1，2a4=1−12−14−18=18，a4=116．故选：B．9.答案：B解析：主要考查了等差数列的性质和前n项和公式．解：由题意得+=16，则．故选B．10.答案：B解析：解：由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac，代入2acosB=c得：a2+c2−b2=c2，即a2=b2，可得：a=b，即A=B，2cos2A2+sinB−1=cosA+sinB=sinB+cosB=√2sin(B+π4)，∵2acosB=c，即cosB=c2a>0，∴B∈(0,π2)，∴B+π4∈(π4,3π4)，∴sin(B+π4)∈(√22,1]，∴√2sin(B+π4)∈(1,√2]，即2cos2A2+sinB−1的取值范围是(1,√2]，故选：B．利用余弦定理表示出cos B，代入已知的等式化简，可得出a=b，根据等边对等角可得A=B，然后把所求式子的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，再由B为三角形的内角，得出B的范围，进而得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，即可得到所求式子的取值范围．本题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，考查特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．11.答案：解：(Ⅰ)当n=1时，a1=S1=p−2+q，当n≥2时，a n=S n−S n−1=pn2−2n+q−p(n−1)2+2(n−1)−q=2pn−p−2，∵{a n}是等差数列，∴p−2+q=2p−p−2，∴q=0．(Ⅱ)依题意a3=a1+a52，∴a3=18．又a3=6p−p−2，∴6p−p−2=18，∴p=4，∴a n=8n−6，又a n=2log2b n，得b n=24n−3，∴b1=2，b n+1b n =24(n+1)−324n−3=24=16，即{b n}是等比数列．∴数列{b n}的前n项和T n=2(1−16n)1−16=215(16n−1)．解析：(Ⅰ)根据等差数列的前n项和Sn，建立方程关系即可求q的值；(Ⅱ)求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．本题主要考查数列通项公式的应用以及等比数列的前n项和Sn的计算，要求熟练掌握相应的公式．12.答案：4解析：解：∵a >2，∴a −2>0．∴a +1a−2=(a −2)+1a−2+2≥2√(a −2)⋅1a−2+2=4，当且仅当a =3时取等号．故答案为：4．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．13.答案：±14解析：解：∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，且f(0)=0， 做出f(x)的函数图象如图所示：由图象可知当a =±14时，方程f(x)=a 有3解，故答案为：±14．根据奇函数的性质作出f(x)的函数图象，根据函数图象判断f(x)=a 的解的个数． 本题考查了奇函数的性质，函数零点与函数图象的关系，属于中档题． 14.答案：−1(1,+∞)解析：解：∵f(x)={x 2−2x,x ≤2log 2x −1,x >2， ∴f(4)=log 24−1=1，则f(f(4))=f(1)=1−2=−1；作出函数f(x)的图象如图：由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)．故答案为：−1；(1,+∞)．直接利用分段函数解析式求得f(f(4))的值；作出分段函数的图象，数形结合可得函数f(x)的单调递增区间．本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：12174解析：解：∵S 4=4，S 6−S 2=1，q >0．∴a 1(1+q +q 2+q 3)=4，a 1q 2(1+q +q 2+q 3)=1，解得a 1=3215，q =12，则公比q =12；S 8=3215[1−(12)8]1−12=174． 故答案为：12，174．利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.答案：[2√2,2√3]234解析：本题考查平面向量数量积的运算，涉及平面向量坐标表示及运算，属于较难题．(1)当AF ⊥BC 时AE 最短，根据菱形性质及所给数据可求得最小为2√2，当E 与C 重合时，AE 最长为2√3；(2)以O 为原点，BD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，BC 所在直线方程：y =−√22x −√3，设E(m,−√22m −√3)，用坐标表示出EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(√3m +√22)2+234，其中m ∈[−√6,0]，再结合二次函数最值求解即可．解：根据菱形性质可得OC =√3，则BO =√6．(1)作AF ⊥BC ，则AF =2√3×√63=2√2，此时AE 最短，当E 与C 重合时，AE 最长，故2√2≤AE ≤2√3，即|EA⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2√2,2√3]； (2)以O 为原点，BD 所在直线为x 轴建系如图：则A(0,√3)B(−√6,0)，C(0,−√3)，D(√6,0)，所以BC ：y =−√22x −√3，设E(m,−√22m −√3)， 则EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,2√3+√22m)·(√6−m,√22m +√3) =12(√3m +√22)2+234，其中m ∈[−√6,0]，对称轴为m =−√66∈[−√6,0]，故当m =−√66时EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，最小值为234． 故答案为：[2√2,2√3]；234．17.答案：解(1)∵向量a ⃗ =(sinx,cosx)，b ⃗ =(cosx,cosx)，∴函数f(x)=a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗=sin 2x +cos 2x +sinxcosx +cos 2x=1+12sin2x +12(1+cos2x)=32+12(sin2x+cos2x)=32+√22sin(2x+π4)，∴函数f(x)的最大值是32+√22；(2)∵f(x)=32+√22sin(2x+π4)，令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z；∴函数在[0,π]上的单调增区间为[0,π8]和[5π8,π]．解析：本题考查了三角恒等变换与平面向量的数量积应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．(1)根据平面向量的数量积运算与三角恒等变换，求出函数f(x)的最大值；(2)利用正弦函数的图象与性质，求出f(x)在[0,π]上的单调增区间．18.答案：解：由题意可知：DA⊥AB，DE=1，EC=√7，EA=2，∠ADC=2π3，∠BEC=π3．设∠CED=α．(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2=CD2+DE2−2CD⋅DE⋅cos∠EDC，于是由题设知，7=CD2+1+CD，即CD2+CD−6=0，解得CD=2(CD=−3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC =CDsinα，于是，sinα=CD⋅sin∠EDCEC =2×√32√7=√217，即sin∠CED=√217．于是，S=12DE⋅EC⋅sinα=12×√7×√217=√32；(2)由题设知，0<α<π3，于是由(1)知，cosα=√1−sin2α=√1−2149=2√77．而∠AEB =2π3−α， 所以cos∠AEB =cos(2π3−α)=cos 2π3cosα+sin 2π3sinα =−12cosα+√32sinα =−12×2√77+√32×√217=√714． 在Rt △EAB 中，cos∠AEB =EA BE =2BE ，故|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=BE =2cos∠AEB =2√714=4√7．解析：(1)由题意可得DA ⊥AB ，DE =1，EC =√7，EA =2，∠ADC =2π3，∠BEC =π3.设∠CED =α.运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求S ；(2)求得cosα，以及cos∠AEB =cos(2π3−α)，再由解直角三角形，即可得到所求．本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题． 19.答案：(1)；(2) ．解析：本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式的方法，以及分类讨论解不等式的问题。

2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

杭州地区七校2018-2019学年高一第二学期期中联考数学试题一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值.【详解】由等差数列的性质有：. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题. 6.函数（）是（）A. 最小正周期是 B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称 D. 偶函数【答案】D 【解析】【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可. 【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A说法错误；在区间上是减函数，选项B说法错误；函数不存在对称点，选项C说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。

2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（ ） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（ ）A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√1778．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（ ） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（ ） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝CC 1＝4，P 为棱B 1C 1的中点，Q 为棱BB 1上的动点，平面APQ 与棱A 1C 1交于点R ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得A 1Q ⊥APB ．线段C 1R 长度的取值范围是[0，2]C ．当点Q 与点B 重合时，四棱锥C ﹣AQPR 的体积为16D ．设截面AQPR ，△APR ，△APQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 12S 2S 3∈[4，92]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于 ．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 ． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ． （1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值； （2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ． （1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．20．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，面P AC ⊥面ABC ，AP ⊥PC ，PC ＝2BC ＝2，∠ACP ＝∠ACB ＝45°． （1）求证：BC ⊥BP ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，面ABC ⊥面BCC 1B 1，且B 1C ⊥AB ，点D 为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（ ） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →解：∵PA →−PB →+AB →=BA →+AB →=0→． 故选：C ．2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β解：对于A ，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，也可以相交，故A 错误， 对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或者m ⊂α，故B 错误，对于C ，若α⊥β，α⊥γ，不能得到β∥γ，例如正方体一个顶点处的三个平面分别为α，β，γ，故C 错误，对于D ，若m ∥α，m ⊥β，则由面面垂直的判定可知，α⊥β，故D 正确， 故选：D ．3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π解：如图，作AD ∥BC ，在Rt △ADE 中， AD =√AE 2−ED 2=√52−(5−2)2=4， 即圆台的高为4，则该圆台的体积为V =13π（22+52+2×5）×4＝52π． 故选：D ．4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）解：点A （﹣2，4），B （1，a ）， BO →=（﹣1，﹣a ），BA →=（﹣3，4﹣a ），若∠ABO 为钝角，则BO →，BA →不共线，且BO →•BA →＜0， ∴3+a （a ﹣4）＜0，且a ﹣4≠3a ，∴1＜a ＜3． 故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：∵a cos B ＝c ，∴由正弦定理得：sin A cos B ＝sin C ， ∴sin A cos B ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴cos A sin B ＝0，∴A =π2．又∵△ABC 是直角三角形⇔A =π2或B =π2或C =π2．∴“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件． 故选：B ．6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确解：对于A ：当点Q 为AC 1中点时，直线D 1Q 即直线D 1B ，与BB 1共面，故A 错误；对于B ：当BP =95时，△CBP 与△C 1CB 相似，CP ⊥BC 1， 所以CP ⊥AD 1，因为CP ⊂面BCC 1B 1，C 1D 1⊥面BCC 1B 1， 所以CP ⊥C 1D 1，又因为C 1D 1∩AD 1＝D 1，C 1D 1⊂面AC 1D 1，AD 1⊂面AC 1D 1， 所以CP ⊥面AC 1D 1，D 1Q ⊂面AC 1D 1， 所CP ⊥D 1Q ，故B 正确；对于C ：长方体中C 1D 1⊥面BCC 1B 1，CP ⊂面BCC 1B 1 所以对任意点P ，CP ⊥C 1D 1， 而D 1Q 与C 1D 1不平行，所以不存在点Q 使得对任意点P ，CP ⊥D 1Q ，故C 错误； 对于D ：B 选项正确，故D 错误， 故选：B ．7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（ ） A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√177解：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4， 所以BC =√AB 2+AC 2=5，sin B =ACBC =45， 因为BD CD=AB AC=34，又BD +CD ＝5，所以解得BD =157，在△ABD 中，又∠BAD ＝45°， 由正弦定理BDsin∠BAD=ADsinB，可得157√22=AD45，解得AD =12√27， 在△ADE 中，AE ＝2，∠EAD ＝45°，由余弦定理可得DE 2＝AE 2+AD 2﹣2AE •AD •cos ∠EAD ，可得DE 2＝22+（12√27）2﹣2×2×12√27×√22=14849， 所以DE =2√377． 故选：A ．8．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]解：设正四面体棱长为a ，球半径为R ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝3π，r =√3， 设PH ⊥平面ABC 于H ，则H 是△ABC 中心，且球心在PH 上， 连接CH ，并延长与AB 交于点G ，连接OG ，OD ，DH ， PH ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PH ⊥AB ，AB ⊥GC ， ∵PH ∩GC ＝H ，∴AB ⊥平面OGC ， ∵OG ⊂平面OGC ，∴AB ⊥OG ，HC =23×√32a =√33a ，PH =√a 2−(33a)2=√63a ， 则R 2＝（√63a −R ）2+（√33a ）2，解得R =√64a ，当截面过球心时，R =√3，此时棱长最短，故R =√64a =√3，a ＝2√2， 当OD ⊥截面时，棱长最长，此时OD 2＝OG 2+GD 2＝OH 2+GH 2+GD 2＝（√612a ）2+（√36a ）2+（a 4）2， 解得OD =√34a ，∴R 2＝3+（√34a ）2＝（√64a ）2，解得a ＝4． 综上，a 的取值范围是[2√2，4]． 故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →解：对于A ，由a →⋅c →=b →⋅c →，得c →⋅(a →−b →)=0， 则a →=b →或c →⊥(a →−b →)，选项A 错误；对于B ，a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞，当a →，b →反向时，a →⋅b →=−|a →||b →|，选项B 错误； 对于C ，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2， 化简可得a →⋅b →=0，则a →⊥b →，选项C 正确；对于D ，若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →⊥c →，b →⊥c →，则a →∥b →，选项D 正确． 故选：CD ．10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（ ） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE解：对于选项A ，连接BD ，∵DD 1＝BB 1，DD 1∥BB 1，∴四边形B 1D 1DB 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥B 1D 1，故A 正确； 对于选项B ，连接A 1B ， ∵BF ⊥平面ABB 1A 1∴BF ⊥AB 1， 又∵A 1B ⊥AB 1，∴AB 1⊥平面A 1BF ， ∴AB 1⊥A 1F ，故B 正确；对于选项C ，连接BD ，AC ，AB 1，CB 1，∵DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BD 1D ， ∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1， ∵AC ∩AB 1＝A ，∴BD 1⊥平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面B 1EF 不成立，故C 错误； 对于选项D ，若D 1F ∥平面A 1DE ，又∵平面A 1DE ∩平面AD 1F ＝LG ，∴D 1F ∥LG ， ∵L 是线段AD 1的中点， ∴LG 是△AD 1F 的中位线， ∴G 是线段AF 的中点， 又∵E 是线段AB 的中点，∴EG 是△ABF 的中位线，∴EG ∥BC ， 又∵AD ∥BC ，∴EG ∥AD ， 这与EG ∩AD ＝D 相矛盾， 故假设不成立，故D 错误． 故选：AB ．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（ ） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)解：对于A ，因为B =π4，1＜b ＜√2，所以c sin B ＜b ＜c ，则△ABC 有两解，A 正确； 对于B ，因为B ∈(π2，π)，b ＞√2，所以△ABC 有且仅有一解，B 错误； 对于C ，由{0＜π−3C ＜π20＜2C ＜π20＜C ＜π2得π6＜C ＜π4，则sinC ∈(12，√22)，因为asinA =csinC，所以sinA=asinCc∈(√24a，12a)，D正确；对于D，因为A+B＝2C，所以C=π3，又因为asinA =bsinB=csinC=√2√32=2√63，所以a=2√63sinA，b=2√63sinB，则a+b=2√63sinA+2√63sinB=2√63sinA+2√63sin(2π3−A)=2√63(32sinA+√32cosA)=2√2sin(A+π6 )，由0＜A＜2π3，得π6＜A+π6＜5π6，所以当A+π6=π2，即A=π3时，a+b取得最大值2√2，C正确．故选：ACD．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝4，P为棱B1C1的中点，Q为棱BB1上的动点，平面APQ与棱A1C1交于点R，则下列说法中正确的是（）A．存在点Q，使得A1Q⊥APB．线段C1R长度的取值范围是[0，2]C．当点Q与点B重合时，四棱锥C﹣AQPR的体积为16D．设截面AQPR，△APR，△APQ的面积分别为S1，S2，S3，则S12S2S3∈[4，92]解：∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），A1（4，0，4），B1（0，4，4），P（0，2，4），设点Q （0，4，a ），R （b ，0，4），其中0≤a ≤4，0≤b ≤4，对于A ，若存在点Q ，使得A 1Q ⊥AP ，且A 1Q →=（﹣4，4，a ﹣4），AP →=（﹣4，2，4）， A 1Q →⋅AP →=16+8+4（a ﹣4）＝0，解得a ＝﹣2，不合题意，故A 错误； 对于B ，设AR →=mAP →+n AQ →，其中m ，n ∈R ，即（b ﹣4，0，4）＝m （﹣4，2，4）+n （﹣4，4，a ）， 即{−4m −4n =b −42m +4n =04m +an =4，可得b =16a−8+4，∵0≤a ≤4，则﹣8≤a ﹣8≤﹣4， ∴b =16a−8+4∈[0，2]，故B 正确；对于C ，当点P 与点B 重合时，a ＝0，b ＝1， 此时R 为A 1C 1的中点，如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，则AB ∥A 1B 1，且A 1B 1＝AB ， ∴P 、R 分别为B 1C 1、A 1C 1的中点，则PR ∥A 1B 1，且PR =12A 1B 1，∴PR ∥AB ，且PR =12AB ，同理C 1R ∥AC ，且C 1R =12AC ，C 1P ∥BC 且C 1P =12BC ， ∴PR AB=C 1P BC=C 1R AC=12，∴几何体ABC ﹣RPC 1为三棱台，S △ABC =12AC ×BC =8，S △C 1PR =12C 1P ⋅C 1R =2， V ABC−GEC 1=13(S △ABC +S △C 1PR +√S ABC S △RPC 1)•CC 1=13×14×4=563， V C−RPC 1=13S △RPC 1⋅CC 1=13×2×4=83， ∴V C−ARPQ =V ABC−RPC 1−V C−RPC 1=16，故C 正确； 对于D ，AP →=(−4，2，4)，AQ →=(−4，4，a)，则点Q 到直线AP 的距离为d 1=√|AQ →|2−(|AP →⋅AQ →||AP →|)2=√5a 2−68a−13，AR →=（b ﹣4，0，4），则R 到直线AP 的距离为d 2=√|AR →|2−(|AR →⋅AP →||AP →|)2=4√5a 2−68a−13(8−a)， ∴S 2S 3=d 2d 1=48−a， ∴S 12S 2S 3=(S 2+S 3)2S 2S 3=S 2S 3+S 3S 2+2=48−a +8−a4+2，令t ＝8﹣a ，0≤a ≤4，则t ∈[4，8]， 则y =4t +t4+2， 由双勾函数的性质知y =4t +t4+2在t ∈[4，8]上单调递增， 则当t ＝4时，y min ＝4，当t ＝8时，y max =92， ∴S 12S 2S 3∈[4，92]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= √39 ． 解：易知|a →|=√42+32=5，a →⋅b →=|a →||b →|cos60°=5×2×12=5， 则|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√25+10+4=√39． 故答案为：√39．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于710．解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 连接DF ，取BC 的中点E ，连接EF ，EA ，所以异面直线BD 和AF 所成角就是∠EF A ，设棱长为2，可得EF ＝BD =√1+4=√5，AF =√1+4=√5，AE =√4−1=√3， 所以cos ∠EF A =5+5−32×√5×√5=710．故答案为：710．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 √217． 解：由AD ＝BD ＝3得∠ABD ＝∠BAD ， 设∠ABD ＝∠BAD ＝θ，则∠BDC ＝2θ， △ABC 中，由正弦定理得BC sinθ=AC sin∠ABC，所以BC =4sinθsin π3=8√33sin θ， △BDC 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2+CD 2﹣2BD •CD •cos2θ， 即64sin 2θ3=10﹣6cos2θ＝10﹣6（1﹣2sin 2θ），故sin 2θ=37=sin 2A ， 由A 为三角形内角得sin A =√217．故答案为：√217． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 3√6−1 ．解：以A ，B ，C ，D 为顶点构造棱长为2的正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′，由对称得PB ′＝PB 1，PB 1+PQ ＝PB ′+PQ ， 因为E 是DD 1上的动点，F 是下底面上的动点，则△D 1EF 是直角三角形，Q 是EF 中点，且EF ＝2，故QD 1＝1， 所以PB ′+PQ 取最小值时，D 1，Q ，P ，B ′四点共线， 则D 1B′=3√6，此时PB 1+PQ =3√6−1， 故答案为：3√6−1，四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ． （1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值； （2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．解：（1）因为在菱形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝AB ，EC ＝2DE ， 所以DF FB=DE AB=13，由平面向量基本定理，可得AF →=AD →+DF →=AD →+14DB →=AD →+14(AB →−AD →)=14AB →+34AD →，所以λ=14，μ=34；（2）∵P 是线段BC 的中点，∴AP →=AB →+BP →=AB →+12AD →，∴AF →⋅AP →=(14AB →+34AD →)⋅(AB →+12AD →)=14AB →2+38AD →2+78AB →⋅AD →=14×4+38×4+78×2×2×12=1+32+74=174． 18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．（1）证明：方法一：连接CE 交AC 1于点G ，连接CD 交BC 1于点H ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，BB 1∥CC 1， ∴EG GC =EC 1AC =12，∴DH HC=BD CC 1=12，∴EG GC=DH HC，DE ∥HG ，又∵EF ⊄面ABC 1，HG ⊂面ABC 1， ∴直线EF ∥平面ABC 1．方法二：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 取B 1C 1中点F ，连接DF ，EF ，∵D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点， ∴DF ∥BC 1，EF ∥A 1B 1，∴EF ∥AB ，又∵DF ⊄面ABC 1，BC 1⊂面ABC 1，EF ⊄面ABC 1，AB ⊂面ABC 1， ∴DF ∥面ABC 1，EF ∥面ABC 1，又∵DF ∩EF ＝F ，∴面DEF ∥平面ABC 1． ∵DE ⊂面DEF ，∴直线DE ∥平面ABC 1． （2）解：∵直线DE ∥平面ABC 1，∴V D−ABC 1=V E−ABC 1，又点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，设为h B =√3，∴V E−ABC 1=V B−AEC 1=13S △AEC 1⋅ℎB =13×12×1×√3×√3=12．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ． （1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．解：（1）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ， 由正弦定理，可得：sin C tan A ＝2sin A sin C ， 则cosA =12，又0＜A ＜π，∴A =π3；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD •cos ∠ADC ， 在△ABD 中，AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ， ∵CD ＝BD ，∠ADC ＝π﹣cos ∠ADB ，∴AC 2+AB 2＝2AD 2+2BD 2，∴(2c)2+c 2=2⋅√72+2BD 2，∴BC 2＝10c 2﹣28， 在△ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =c 2+(2c)2−2c ⋅2c ⋅12， ∴BC 2＝3c 2＝10c 2﹣28，∴c ＝2， ∴S △ABC =12bcsinA =c 2sinA =2√3．20．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，面P AC⊥面ABC，AP⊥PC，PC＝2BC＝2，∠ACP＝∠ACB＝45°．（1）求证：BC⊥BP；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（1）证明：过P作PH⊥AC交AC于H，连接HB，∵PH⊥AC，面P AC⊥面ABC，面P AC∩面ABC＝AC，∴PH⊥面ABC，∴PH⊥BC，∵∠ACP＝45°，∴CH=PC⋅sin∠ACP=√2，在△BCH中，HB=√CH2+BC2−2CH⋅BC⋅cos45°=1，∴CH2＝BC2+BH2，∴BC⊥BH，又∵PH∩HB＝H，∴BC⊥面PHB，∴BC⊥BP．（2）解：方法一：过H作HD⊥AC交AB于D，以H点为原点，分别以HD，HC，HP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，−√2，0)，C(0，√2，0)，P(0，0，√2)，B(√22，√22，0)， ∴PC →=(0，√2，−√2)，PB →=(√22，√22，−√2)， 设面PBC的一个法向量n →1=(x 1，y 1，z 1)，则n →1⋅PB →=n →1⋅PC →=0，{√22x 1+√22y 1−√2z 1=0√2y 1−√2z 1=0，∴n →1=(1，1，1)，∵PC →=(0，√2，−√2)，PA →=(0，−√2，−√2)，设面P AC 的一个法向量n →2=(x 2，y 2，z 2)，则n →2⋅PA →=n →2⋅PC →=0，{√2y 2−√2z 2=0−√2y 2−√2z 2=0，∴n →2=(1，0，0)， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=1√3⋅1=√33． 方法二：过H 作HM ⊥PB ，HN ⊥PC ，∵BC ⊥面PHB ，∴面PBC ⊥面PBH ， 又∵HM ⊥PB ，面PBC ∩面HPB ＝PB ， ∴HM ⊥面PBC ，∴∠MNH 即为二面角A ﹣PC ﹣B 的平面角， 在△PBH 中，PH =√2，HB ＝1，PH ⊥HB ，∴HM =√63，在△PHC 中，PH =HC =√2，PH ⊥HC ，∴HN ＝1， ∴sin ∠MNH =HMHN =√63，∴cos ∠MNH =√33．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．（本题满分为14分）解：（1）在△ABD 中，由BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos θ，得BD 2＝14﹣6√5cos θ，又cos θ=−√55，∴BD ＝2√5．∵θ∈（π2，π）， ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−(−√55)2=2√5， 由BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ，得：2√52√5=3sin∠ADB ，解得：sin ∠ADB =35， ∵△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠CDB =π2，且CD =BD =2√5，∴cos ∠ADC ＝cos （∠ADB +π2）＝﹣sin ∠ADB =−35，在△ACD 中，AC 2＝AD 2+DC 2﹣2AD •DC •cos ∠ADC ＝（√5）2+（2√5）2﹣2×√5×2√5×(−35)=37， 解得：AC =√37．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣6√5cos θ，S ABCD ＝S △ABD +S △BCD =12×3×√5×sinθ+12BD 2=7+3√52×sinθ−3√5cos θ ＝7+3√52（sin θ﹣2cos θ）＝7+152sin （θ﹣φ），此时，sin φ=25，cos φ=15，且φ∈(0，π2)， 当θ﹣φ=π2时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ+π2，此时cos θ=25，sin θ=15， ∴BD 2＝14﹣6√5cos θ＝14﹣6√5×5)=26，即BD =√26． 答：（1）当cosθ=−√55时，小路AC 的长度为√37百米；（2）草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为√26百米．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，面ABC⊥面BCC1B1，且B1C⊥AB，点D为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．（1）证明：∵AB⊥AC，∴作AH⊥BC交BC于点H．∵AH⊥BC，面ABC⊥面BCC1B1，面ABC∩面BCC1B1＝BC，∴AH⊥面BCC1B1，∴AH⊥B1C，又∵B1C⊥AB，∵AH∩AB＝A，∴B1C⊥面ABC．（2）解：∵AB⊥AC，AB⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴AB⊥面AB1C，AB⊂面ABB1A1，∴面ABB1A1⊥面AB1C．过点C作CE⊥AB1，交直线AB1于点E．则CE⊥面ABB1A1．∴直线CD与面ABB1A1所成角即∠CDE，∵B1C⊥面ABC，∴B1C⊥AC，B1C⊥BC，B1C⊥面A1B1C1，∴B1C⊥A1B1．又AB＝1，AC=√3，BB1＝3，∴BC＝2，B1C=√5，AB1=2√2，CD=√212，CE=√304．∴sin∠CDE=√7014，即直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值为√7014．。

2019-2020学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2x <1}，B ={x|x 2<3}，则A ∩B =( )A. {x|−√3<x <12}B. {x|x <√3}C. {x|−3<x <12}D. {x|x <3} 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. y =1xB. y =e −xC. y =−x 2+1D.3. 已知log 12x >0，那么x 的取值范围是( )． A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,1) 4. 函数f(x)=3x +2x −7的零点所在区间为( ) A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 5. 若2x 2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是( ) A. [18,2)B. [18,2]C. (−∞,18]D. [2,+∞) 6. 函数f(x)=2x 1−x 2的图象大致是( )A. B.C. D.7. lg(−1100)2=( ) A. −4B. 4C. 10D. −10 8. 已知函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (54,+∞)B. (19,1)∪(54,+∞)C. (2,+∞)D. (12,1)∪[2，+∞) 9. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则不等式f(x)>0的解集为 A. (−32,32) B. (−∞,−32)⋃(0,32)C. (−∞,−32)⋃(32,+∞)D. (−32,0)⋃(32,+∞) 10. 二次函数f(x)=ax 2+bx +1的最小值为f(1)=0，则a −b =( )A. −2B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.集合M={y|y=x2−1,x∈R}，集合N={x|y=√3−x2}，则(∁R M)∩N=______．)=__________．12.已知幂函数的图象过点(2,√2)，则f(1413.已知函数f(x)满足f(x−1)=x2−x+1，则f(2)=__________．14.计算：log832−7log73=________．15.已知函数f(x)=1+log a(2x−3)(a>0且a≠0)恒过定点(m,n)，则m+n=______．16.已知f(x)=|x2−1|+x2+kx在(0,2)上有两个零点，则实数k的取值范围是______．17.已知f(x+7)是定义在R上的奇函数，当x<7时，f(x)=−x2，则当x>7时，f(x)=__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）<0}，U=R．18.已知集合A={x|x2−2x−8≤0}，B={x|x−6x+1(1)求A∪B；(2)求(∁U A)∩B；(3)如果非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，且A∩C=⌀，求m的取值范围．19.某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资的单位：万元)．(Ⅰ)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(Ⅱ)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品，问：怎样分配这100万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？(a>0)在(0,+∞)上的单调性，并给出证明．20.判断函数f(x)=x+ax21.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a+b的值．(2)若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．22.设函数f(x)的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)=1，则称区间D为函数f(x)的V区间．+lgx的V区间；(1)证明：区间(0,2)是函数f(x)=12)x的V区间，求实数a的取值范围；(2)若区间[0,a](a>0)是函数f(x)=(12(3)已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)在区间[0,+∞)上的图象连续不断，且在[0,+∞)上仅有2个零点，e x证明：区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．根据交集的定义求解．【解答】}，B={x|−√3<x<√3}，解：集合A={x|x<12}，则A∩B={x|−√3<x<12故选A．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减，从而得出结论．【解答】为奇函数；解：y=1xy=e−x为非奇非偶函数；y=−x2+1符合条件，y=lg|x|在定义域(0,+∞)上为增函数．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的性质，属基础题．依题意，根据对数函数的性质求解即可．【解答】解：因为，根据对数函数的性质得0<x<1，故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．由f(1)<0，f(2)>0，结合零点存在性定理可得．【解答】解：∵函数f(x)=3x+2x−7，∴f(1)=3+2−7<0，f(2)=9+4−7>0，满足f(2)×f(1)<0，又因为f(x)是递增的连续函数，∴f(x)的零点在区间(1,2)内，故选C．5.答案：B)x−2，解析：解：∵2x2+1≤(14∴2x2+1≤2−2x+4，∴x2+1≤−2x+4，解得−3≤x≤1，,2]，∴函数y=2x的值域为：[2−3,2]即[18故选B．)x−2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y=2x的值域即先由不等式2x2+1≤(14可得出答案．本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是先由指数不等式正确求出函数x的取值范围．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用，难度较易．可采用特殊值代入排除得答案．解：取x =12，f(12)=11−14=43，排除D ，x =5时，f(x)<0，排除B ，C ．故选A ．7.答案：A解析：解：lg(−1100)2=lg10−4=−4．故选：A ．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的性质，不等式的求解，属于中档题．先考虑函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，再利用复合函数的单调性得出{a >1(a +1)22−2−7>0求解即可． 【解答】解：设函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，∵a >0，∴x 0=12(a+1)<2，∴t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，∵函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，∴{a >1(a +1)22−2−7>0a >54， 故选：A 9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性．作出f(x)的图象，由图可得不等式f(x)>0的解集．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且f(0)=0，作出函数图象如图所示，从图象知不等式f(x)>0的解集为．故选B．10.答案：D解析：解：二次函数f(x)=ax2+bx+1的最小值为f(1)=0，=1，且a>0，∴b−2a∴b=−2a，∴f(1)=a+b+1=0，解得a=1，b=−2，∴a−b=3，故选：D根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．本题考查了二次函数的性质，属于基础题．11.答案：[−√3,−1)解析：解：M={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，故∁R M={y|y<−1}，集合N={x|y=√3−x2}={x|−√3≤x≤√3}，则(∁R M)∩N=[−√3,−1)，故答案为：[−√3,−1)．求出M的补集，从而求出其和N的交集即可．本题考查了集合的运算，考查补集，交集的定义，考查二次函数、二次根式的性质，是一道基础题． 12.答案：12解析：【分析】本题考查幂函数，设幂函数的解析式，根据幂函数的图象过点(2,√2)，求出解析式，然后将14代入求解即可．【解答】解：设幂函数为f(x)=x α，因为图象过点(2,√2)，所以√2=2a ，解得α=12，所以f(x)=x 12，则f(14)=(14)12=12． 故答案为12． 13.答案：7解析：∵f(x −1)=x 2−x +1，∴令x −1=2，解得x =3，∴f(2)=32−3+1=7.故答案为：7． 14.答案：−43解析：【分析】此题重点考查了对数的运算性质和对数恒等式，是一个基础题，难度不大．【解答】解：由对数的运算法则有：log 832−7log 73=log 2325−7log 73=53−3=−43，故答案为−43． 15.答案：3解析：【分析】本题主要考查函数的图象经过定点问题，对数函数的图象过定点问题，属于基础题．由条件利用log a 1+1=1为定值，求出n 的值，可得2x −3=1，求得m 的值，从而求得m +n 的值．【解答】解：令2x −3=1，解得：x =2，故f(2)=1+0=1，故m =2，n =1，故m +n =3，故答案为：3．16.答案：(−72,−1)解析：【分析】本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合性强．由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，由x 的范围化简g(x)，在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k 的取值范围即可．【解答】解：由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，则g(x)=|x 2−1|+x 2={1,0<x ≤12x 2−1,1<x <2, 在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象如图，当直线ℎ(x)处在两条虚线之间时，函数g(x)和ℎ(x)的图象由两个交点， 把点(2,7)和(1,1)代入求出k =−72、k =−1，所以f(x)=|x 2−1|+x 2+kx 在(0,2)上有两个零点时，实数k 的取值范围是(−72,−1)，故答案为：(−72,−1)． 17.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2， 故答案为−(x −14)2．18.答案：解：(1)集合A={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，<0}={x|−1<x<6}；B={x|x−6x+1∴A∪B={x|−2≤x<6}；(2)全集U=R，∴∁U A={x|x<−2或x>4}，∴(∁U A)∩B={x|4<x<6}；(3)非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，∴2m+1>m−1，解得m>−2；又A∩C=⌀，∴m−1≥4或2m+1≤−2，；解得m≥5或m≤−32∴m的取值范围是−2<m≤−3或m≥5.2解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．(1)化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；(2)根据补集与交集的定义写出(∁U A)∩B；(3)根据非空集合C与A∩C=⌀，得关于m的不等式，求出解集即可．19.答案：解：(1)设投资x万元，利润y万元，则甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，故甲x；的函数关系式为y=14乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，设方程为y=k√x，因为过点(4,6)，所以k=3，故乙的函数关系式为y=3√x；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元(100−x)+3√x(0≤x≤100)故y=14=0，∴x=36求导函数，y′=−142√x∴函数在(0,36)上，y′>0，函数单调增，(36,100)上，y′<0，函数单调减，∴x=36时，函数取得极大值，且为最大值，y max=34答：应投资36万元，最大利润34万元．解析：(1)根据甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点(4,6)，可得乙的函数关系式；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润．本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题． 20.答案：解：结论：f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(x 1+a x 1)−(x 2+a x 2)=x 1−x 2x 1x 2(x 1x 2−a )，当0<x 1<x 2≤√a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1−x 2<0，所以f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f(x)在(0,√a]上是减函数，当√a ≤x 1≤x 2时，x 1x 2>a ，又x 1−x 2<0，∴f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f(x)在[√a,+∞)上是增函数，综上可知，函数f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．解析：本题考查函数的单调性和判断，考查运用定义证明单调性的方法，考查运算能力，属于基础题．运用单调性定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．21.答案：解：(1)∵g(x)=4x −a 2x 是定义在R 上的奇函数， ∴由g(0)=0得1−a =0，得a =1， 则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，由f(−1)=f(1)得lg(10−1+1)−b =lg(10+1)+b ，即2b =lg(1110×111)=lg(110)=−1，即b =−12，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，经检验f(x)是偶函数∴a +b =12(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立即3t 2−2t >k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13∴k 的取值范围是(−∞,−13)．解析：(1)根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．(2)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件建立方程求出a ，b 的值以及利用函数单调性之间的关系是解决本题的关键．22.答案：解：(1)设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，若f(x 1)+f(x 2)=1，则12+lg x 1+12+lg x 2=1，所以lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，取x 1=45，x 2=54，满足定义，所以区间(0,2)是函数f(x)=12+lg x 的V 区间；(2)因为区间[0,a]是函数f(x)=(12)x 的V 区间， 所以，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，因为f(x)=(12)x 在[0,a]上单调递减，所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2⩾(12)a ，(12)x 1+(12)x 2>2(12)a =(12)a−1，所以(12)a−1<1，a −1>0，a >1，故所求实数a 的取值范围为a >1；(3)因为f(π2)=1−ln(1+π2)e π2>0，f(π)=−ln(1+π)e π<0，所以f(x)在(π2,π)上存在零点，又因为f(0)=0，所以函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，因为函数f(x)=sin x−ln (1+x)e x 在区间[0,+∞)上仅有2个零点，所以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，又因为f(π)<0，所以所以∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)，f(x 1)+f(x 2)<0， 即因此不存在∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)满足f(x 1)+f(x 2)=1， 所以区间[π,+∞)不是函数f(x)的V 区间．解析：本题主要考查了函数单调性以及新定义，属于较难题．(1)根据题意设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，得到lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，即可得解；(2)根据题意得到，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，得到(12)a−1<1，a −1>0，a >1，即可得解；(3)根据题意得到f(x)在(π2,π)上存在零点，函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，即可得解．。

2019-2020学年浙江省杭州二中高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1.的内角的对边分别为若成等比数列，且，则()A. B. C. D.2.设a=sin(−810°)，b=tan(33π8)，c=lg15，则它们的大小关系为()A. a<b<cB. a<c<bC. b<c<aD. c<a<b3.函数y=sin(2x+π6)图象的一个对称中心为()A. (π2,0) B. (−π12,0) C. (π12,0) D. (π6,0)4.已知等差数列{a n}中，a2+a4=16，则a3的值等于()A. 4B. 8C. ±4D. ±85.设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为()A. B. C. D.6.已知函数，，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.在R上定义运算若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.海上两个小岛A、B到海洋观察站C的距离都是a km，小岛A在观察站C北偏东20°，小岛B在观察站C南偏东40°，则A与B的距离是()A. a kmB. √3akmC. √2akmD. 2akm9.在等比数列{a n}中，a5−a1=15，a4−a2=6，则a3=()A. −4B. 4C. −4或4D. −8或810.下列说法正确的是()A. 命题“若x2>1，则x>1”否命题为“若x2>1，则x≤1”B. 命题“若x0∈R，x02>1”的否定是“∀x∈R，x02>1”C. 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆否命题为假命题D. 命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题二、单空题（本大题共7小题，共28.0分）11.函数f(x)=log2(1+x)√1−x的定义域是______ ．12.若两个相似三角形的对应高的比为2∶3，且周长的和为50cm，则这两个相似三角形的周长分别为________．13.若函数f(x)={(14)x, −1≤x<04x, 0≤x≤1则f(12)=______ ．14.已知下面各数列{a n}的前n项和S n的公式，且S n=3n−2.则数列{a n}的通项公式是______ ．15.设a，b∈R，关于x的方程(x2−ax+1)(x2−bx+1)=0的四个实根构成以q为公比的等比数列，若q∈[12,√2]，则ab的取值范围为______．16.已知a，b∈[0,1]，则S(a,b)=a1+b +b1+a+(1−a)(1−b)的最小值为______．17.已知函数f(x)={xx+2,x∈(12,1]−12x+14,x∈[0,12],g(x)=asin(π3x+3π2)−2a+2(a>0)，给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,13]；②函数g(x)在[0,1]上是增函数；③对任意a>0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围是59≤a≤45．其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(−1,0)，点C(0,5)，另抛物线经过点(1,8)，M为它的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB的面积S△MCB．19.已知数列{a n}为等差数列，a2=2，a6=6，数列{b n}为等比数列，b2=a4，公比q=2．(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求数列{a n−b n}的前n项和S n．20.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?21.已知等差数列{a n}满足：a3=9，a5+a7=30，{a n}的前n项和为S n．(1)求a n及S n；(2)已知数列{b n}的第n项为b n，若b n，12b n+1，a n(n∈N∗)成等差数列，且b1=3，设数列{1b n}的前n项和T n.求数列{1bn}的前n项和T n．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，则b=a，则由余弦定理可知有cosB=，故答案为B．考点：余弦定理点评：本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．2.答案：B解析：解：a=sin(−810°)=−sin(720°+90°)=−1，b=tan(33π8)=tanπ8=sinπ41+cosπ4=√221+√22=√2−1．c=lg15=−lg5∈(−1,0)．∴a<c<b．故选：B．利用诱导公式化简三个数值，然后比较大小．本题考查诱导公式的应用，函数值的大小比较，基本知识的考查．3.答案：B解析：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称中心为(12kπ−π12,0)是关键，考查赋值法的应用，属于基础题．利用正弦函数的对称性质可知，2x+π6=kπ，从而可得函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)，再赋值即可得答案．解：由2x+π6=kπ，得：x=12kπ−π12，k∈Z．所以函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12,0)，k∈Z．当k=0时，(−π12,0)就是函数的图象的一个对称中心，故选：B．4.答案：B解析：解：由等差数列的性质可得2a3=a2+a4，又∵a2+a4=16，∴2a3=16解得a3=8故选：B由等差数列的性质可得2a3=a2+a4，代入已知数据计算可得．本题考查等差数列的通项公式和性质，属基础题．5.答案：A解析：主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论．解：根据题意，等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则可知，故选A．6.答案：D解析：试题分析：对函数f(x)判断△=m2−16<0时一定成立，可排除D，再对特殊值m=4和−4进行讨论可得答案．解：当△=m2−16<0时，即−4<m<4，显然成立，排除C当m=4，f(0)=g(0)=0时，显然不成立，排除A；当m=−4，f(x)=2(x+2)2，g(x)=−4x显然成立，排除B；故选D考点：一元二次函数、不等式点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．7.答案：A解析：试题分析：∵运算，∴(x−a)⊗x≤a+2转化为(x−a)(1−x)≤a+2，∴−x2+x+ax−a≤a+2，a(x−2)≤x2−x+2，∵任意x>2，不等式(x−a)⊗x≤a+2都成立，∴a≤.令f(x)=，x>2，则a≤[f(x)]min，x<2，而f(x)=，当且仅当x=4时，取最小值．∴a≤7.选A．考点：1.不等式的解法及应用；2.函数恒成立问题的应用8.答案：B解析：解：根据题意画出图形，得出∠ACB=120°，AC=BC=akm，在△ABC中，利用余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC⋅BC⋅cos∠ACB=a2+a2+a2=3a2，则AB=√3akm．故选B根据题意画出图形，找出∠ACB的度数，以及AC与BC的长，在三角形ABC中，利用余弦定理即可求出AB的长．此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．9.答案：C解析：解：设等比数列的公比为q，则∵a5−a1=15，a4−a2=6，∴a1q4−a1=15，a1q3−a1q=6，∴q 2+1=52q∴q =2或q =12， ∴a 1=1或a 1=−16∴a 3=±4故选：C ．先假设公比，根据条件，列出方程，求得等比数列的首项与公比，再利用等比数列的通项求a 3的值． 本题重点考查等比数列的通项，解题的关键是构建方程组，求出等比数列的首项与公比．10.答案：D解析：解：A.命题“若x 2>1，则x >1”否命题为“若x 2≤1，则x ≤1”，∴A 错误．B .命题“若x 0∈R ，x 02>1”的否定是“∃x ∈R ，x 2≤1”，∴B 错误．C .“若x =y ，则cosx =cosy ”正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，∴C 错误．D .命题“若x =y ，则cosx =cosy ”的逆命题为命题“若cosx =cosy ，则x =y ”，为假命题，当x =−y 时，结论满足cosx =cosy ，∴D 正确． 故选：D ．根据四种命题的定义以及命题真假之间的关系即可得到结论．本题主要考查四种命题之间的关系以及命题真假之间的关系，比较基础．11.答案：(−1,1)解析：解：根据题意，得{1+x >01−x >0，解得−1<x <1， 故答案为：(−1,1)．通过分析，解{1+x >01−x >0即可．本题考查函数的定义域，注意解题方法的积累，属于基础题．12.答案：20 cm ，30 cm解析：设较大的三角形的周长为x cm ，则较小的三角形的周长为(50−x)cm.由题意得=，解得x =30，50−x =50−30=20．13.答案：2解析：解：∵f(x)={(14)x , −1≤x <04x, 0≤x ≤1，∴f(12)=412=2．故答案为：2． 由f(x)={(14)x , −1≤x <04x , 0≤x ≤1，知f(12)=412，由此能求出结果．本题考查分段函数的函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答． 14.答案：a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2解析：解：∵S n =3n −2， ∴n =1时，a 1=S 1=3−2=1，n ≥2时，a n =S n −S n−1=(3n −2)−(3n−1)+2=23⋅3n ， ∴a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2．故答案为：a n ={1,n =123⋅3n ,n ≥2．由已知条件，利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2能求出结果．本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．15.答案：[4,274]解析：解：设方程(x 2−ax +1)(x 2−bx +1)=0的4个实数根依次为m ，mq ，mq 2，mq 3， 由等比数列性质，不妨设m ，mq 3为x 2−ax +1=0的两个实数根，则mq ，mq 2为方程x 2−bx +1=0的两个根，由韦达定理得，m 2q 3=1，m +mq 3=a ，mq +mq 2=b ，则m 2=1q 3，故ab=(m+mq3)(mq+mq2)=m2(1+q3)(q+q2)，=1q3(1+q3)(q+q2)=q+1q+q2+1q2，设t=q+1q，则q2+1q2=t2−2，因为q∈[12,√2]，且t=q+1q在[12,1]上递减，在(1,√2]上递增，当q=12时，t=52，当t=√2时，t=3√22所以t∈[2,52]，则ab=t2+t−2=(t+12)2−94，所以当t=2时，ab取到最小值是4，当t=52时，ab取到最大值是274，所以ab的取值范围是：[4,274].故答案为：[4,274].利用等比数列的性质确定方程的根，由韦达定理表示出ab，再利用换元法转化为二次函数，根据q 的范围和二次函数的性质，确定ab的最值即可求出ab的取值范围．本题考查等比数列的性质，韦达定理，以及利用换元法转化为二次函数，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是解题的关键．16.答案：13−5√52解析：解：∵a，b∈[0,1]，∴S(a,b)=a1+b +b1+a+(1−a)(1−b)=1−ab(1−ab)(1+a)(1+b)，令T=ab(1−ab)(1+a)(1+b)，X=√ab，则T=ab(1−ab)(1+a)(1+b)=ab(1−ab)1+a+b+ab<1+2ab+ab=X2(1−X2)(1+X)2=x2(1−X)1+x，令f(X)=x2(1−X)1+x，X∈[0,1]，可得：f′(X)=−2X(X 2+X−1)(1+X)2，X∈[0,1]，X∈[0,√5−12)时，f′(X)>0，X ∈(√5−12,1]时，f′(X)<0， 故当X =√5−12时，f(X)取最大值5√5−112， 故S(a,b)=a 1+b +b 1+a +(1−a)(1−b)的最小值为1−5√5−112=13−5√52， 故答案为：13−5√52 S(a,b)=1−ab(1−ab)(1+a)(1+b)，令T =ab(1−ab)(1+a)(1+b)，X =√ab ，则T =f(X)=x 2(1−X)1+x ，X ∈[0,1]，利用导数法，求出函数的最值，可得答案．本题考查的知识点是导数在求函数最值中的应用，构造法，转化思想，函数的最值及其几何意义，难度较大．17.答案：①②④解析：解：①当x ∈(12,1]时，f(x)=x x+2=1−2x+2单调递增，∴f(12)<f(x)≤f(1)，即15<f(x)≤13． 当x ∈[0,12]时，由函数f(x)=−12x +14单调递减，∴f(12)≤f(x)≤f(0)，即0≤f(x)≤14． ∴函数f(x)的值域为[0,13].因此①正确．②g(x)=−acos π3x −2a +2，∵x ∈[0,1]，∴0≤πx 3≤π3，因此cos πx 3在[0,1]上单调递减， 又a >0，∴g(x)在[0,1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，∴−3a +2≤g(x)≤−52a +2．若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解，则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}．∴−3a +2≤0，−52a +2≥13，解得a =23，因此③不正确；④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)max g(x)max ≥f(x)min由③可知：g(x)max =g(1)=−52a +2，g(x)min =g(0)=−3a +2，∴−3a +2≤13，−52a +2≥0，解得59≤a ≤45， ∴实数a 的取值范围是59≤a ≤45.正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．①当x ∈(12,1]时，利用f(x)=x x+2=1−2x+2单调递增，可得f(12)<f(x)≤f(1)．当x ∈[0,12]时，函数f(x)=−12x +14，利用一次函数的单调性可得f(12)≤f(x)≤f(0)． 即可得到函数f(x)的值域．②利用诱导公式可得g(x)=−acos π3x −2a +2，利用余弦函数的单调性，进而得出g(x)在[0,1]上单调性．③由②可知：g(0)≤g(x)≤g(1)，若任意a >0，方程f(x)=g(x)在[0,1]内恒有解， 则必须满足f(x)的值域[0,13]⊆{g(x)|x ∈[0,1]}.解出判定即可．④存在x 1，x 2∈[0,1]，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则{g(x)min ≤f(x)max g(x)max ≥f(x)min解出即可． 本题综合考查了分段函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 18.答案：解：(1)∵A(−1,0)，C(0,5)，D(1,8)在二次函数y =ax 2+bx +c 的图象上，∴{a −b +c =0c =5a +b +c =8，解得：{a =−1b =4c =5，∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5，(2)过点M 作平行与y 轴的直线交BC 于N ，∵B 点的坐标为：(5,0)，∴BC 的方程为：x 5+y 5=1，当x =2，y =3，故N 点的坐标为(2,3)，函数y =−x 2+4x +5的顶点为(2,9)，则MN =6，∴△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12MN ⋅OB =15．解析：(1)由A ，C ，D 三点在抛物线上，代入函数y =ax 2+bx +c 的解析式，构造方程组，解得抛物线的解析式；(2)过点M 作平行与y 轴的直线交BC 于N ，则△MCB 的面积=△MCN 的面积+△MNB 的面积=12MN ⋅OB．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，三角形的面积，是二次函数图象与性质比较综合的应用，难度中档．19.答案：解：(1)设数列{a n}为等差数列，公差为d，由a2=2，a6=6，可得a1+d=2，a1+5d=6，解得a1=d=1，可得a n=n，n∈N∗；数列{b n}为等比数列，b2=a4，公比q=2，可得2b1=4，解得b1=2，则b n=2n，n∈N∗；(2)a n−b n=n−2n，前n项和S n=(1+2+3+⋯+n)−(2+4+⋯+2n)=12n(n+1)−2(1−2n)1−2=12n(n+1)−2n+1+2．解析：(1)设数列{a n}为等差数列，公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、首项和公比，可得所求通项公式；(2)可得a n−b n=n−2n，运用数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．20.答案：解：如图，由题意知，在三角形BCD中，所以当走私船发现巡逻艇时，两船相距海里；因为所以设追击时间为t，则所以即巡逻艇被骗东15º方向才能最快追上走私船．解析：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，(1)先在三角形ABC中根据余弦定理求出BC的长，然后在三角形BCD中利用余弦定理求出CD的长；(2)先求出，然后在三角形CDE中利用正弦定理求出，即可求解．21.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，因为a5+a7=30，又∵a5+a7=2a6，∴a6=15；∴d=a6−a36−3=2，又a3=9，∴a n=a3+(n−3)d=9+(n−3)×2=2n+3，∴a1=5，∴S n=n(a1+a n)2=n(5+2n+3)2=n2+4n．(2)由(1)知b1=3，∵b n，12b n+1，a n成等差数列，∴a n+b n=2×12b n+1(n∈N∗)，∴b n+1−b n=a n，∴b n−b n−1=a n−1(n≥2,n∈N∗)，故b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=(a n−1+a n−2+⋯+a1)+b1=(n−1)[2(n−1)+3+3]2+3=(n−1)(n+3)+3=n2+2n=n(n+2)(n≥2,n∈N∗).又因为b1=3满足上式，∴b n=n(n+2)(n∈N∗).∴1b n=1n(n+2)=12(1n−1n+2).故T n=12(1−13+12−14+⋯+1n−1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)=3n2+5n4(n+1)(n+2)．解析：(1)设等差数列{a n}的公差为d，依题意，可求得d及a1，从而可求a n及S n；(2)依题意，可求得b n=(b n−b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b2−b1)+b1=n(n+2)，利用裂项法可得1b n =12(1n−1n+2)，从而可得数列{1b n}的前n项和T n．本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，(2)中求得b n=n(n+2)是关键，考查裂项法求和，属于难题．。

杭州二中第二学期高一年级期中考试数学试卷注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈ B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈ C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈ D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58- D.79-A. D.C.B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+9.若关于x的方程2sin210x x m -++=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,1--B.(0,1-C.(-D.(0,1+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-， 若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.第15题第8题③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j + 3j + 2j -，2 i j -的坐标表示的点共圆. ④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式； （2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值； （3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）； （3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=，2||=，与的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||t +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+，于是77272||||cos ==⋅+=a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t t ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(. 18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值； （3）设)1),6((π-=x f ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅恒成立，求实数m 的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3s i n (20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x 1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是 01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立， 因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值； （2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4s i n (0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有个根，]503,0[π有个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有个根.。

一、单选题1．已知集合，，则（ ） {1}A xx =>∣{}240B x x =-<∣A B = A ． B ．C ．D ．(2,1)--(1,)+∞(2,)+∞(1,2)【答案】D【分析】解出不等式，然后根据交集的定义可得答案.240x -<【详解】因为，所以. {}22B x x =-<<∣{}12A B x x ⋂=<<∣故选：D2．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） 3log 4a =0.7log 2b =0.15c -=A ． B ． C ． D ．a b c >>a c b >>c b a >>c a b >>【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断.0,1【详解】因为，，， 33log 43log 1a ==>0.70.7log 2log 10b =<=0.105510c -<<==所以. a c b >>故选：B3．下列各式中，值为的是（ ） 12A ．B ．C ．D ．()1cos15sin152︒-︒22cos sin 1212ππ-2tan 22.51tan 22.5︒-︒sin15cos15︒︒【答案】C【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.【详解】对于A ，A 不符合； 1(cos15sin15)15)602︒-︒=︒+︒=︒=对于B ，B 不符合； 22πππcos sin cos 12126-==对于C ，，C 符合； 22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522=⨯=--︒︒︒=︒︒对于D ，，D 不符合.11sin15cos15sin 3024︒︒=︒=故选：C4．已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为ABC A 2P AB PB PC ⋅（ ）A ．B ．1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．[]0,2[]0,4【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量坐标AB O ()(),011P m m -≤≤运算可得，利用二次函数值域的求法可求得结果.21124PB PC m ⎛⎫⋅=-- ⎪⎝⎭ 【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示平面直角坐标系，AB O ,OB OC,x y则，，，()1,0A -()10B ,(C设，，，()(),011P m m -≤≤()1,0PB m ∴=-(PC m =- ，221124PB PC m m m ⎛⎫∴⋅=-=-- ⎪⎝⎭ 则当时，；当时，；12m =()min 14PB PC ⋅=- 1m =-()max2PB PC ⋅= 的取值范围为. PB PC ∴⋅ 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：A.5．衡量钻石价值的4C 标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角ABC A 形，四边形BCDE 为等腰梯形，且，，，则（ ） 2BC DE =AB AC =34CDE π∠=CE →=A ．B ．123CA CD →→+133CA CD →→+C ．D ．12CA CD →→+13CA CD →→+【分析】如图，延长CD 和BE 交于点F ，证明四边形ABFC 为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图，延长CD 和BE 交于点F ，由题得, 90A F FCA FBA ∠=∠=∠=∠= 所以四边形ABFC 为矩形，又,所以四边形ABFC 为正方形， AB AC =又，所以分别是中点，2BC DE =,D E ,CF BF 所以．122CE CF FE CA CD →→→→→=+=+故选：C6．函数的图象大致为（ ）()sin cos 2x xf x x ⋅=+A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.2x π=【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，R ()()()()sin sin cos 2cos 2x x x xf x x x f x -⋅-⋅===-++-所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B ，D ，当时，，y 2x π=sin22024cos 22f πππππ⋅⎛⎫==> ⎪⎝⎭+故排除C ，得A 为正确选项. 故选：A7．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围()()log 8a f x ax =-1a >()1f x >[]1,2a 是（ ） A ． B ．C ．D ．()4,+∞8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()81,4,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，()21f >解得即可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递()()log 8a f x ax =-1a >8y ax =-log a y x =增，所以在定义域上单调递减，()()log 8a f x ax =-因为在区间上恒成立，所以恒成立，()1f x >[]1,2()()2log 821log a a f a a =->=所以，解得，即；821a a a ->⎧⎨>⎩813a <<81,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：C8．函数在上单调递减，则的取值范()sin(2)2sin cos()(0,R)f x x x ωϕϕωϕωϕ=+-+>∈3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭ω围是（ ） A ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤⎝⎦(0,1]1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[1,2]【答案】C【分析】先根据三角恒等变换化简的解析式，再结合单调区间即可求出的取()f x ()sin f x x ω=ω值范围.【详解】由题意可得，()sin(2)2sin cos()sin f x x x x ωϕϕωϕω=+-+=T π令，由此可得， 322()22k x k k πππωπ++∈Z ……232()22k k x k ππππωωωω++∈Z ……因为在上单调递减，所以由此解得.()f x 3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭23322ππωππω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，……1,12ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C.【点睛】已知三角函数的单调区间求参数，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.二、多选题9．若向量满足 ）,a b ||||2,||a b a b ==+=A ．B ．与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C ．D ．在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b12b r 【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂2a b ×=a b直，求解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正确； 21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅ 0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故Da b -b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b b a b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅不正确. 故选：BC.10．已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下()sin()f x A x ωϕ=+R x ∈0A >0ω>||2ϕπ<列说法正确的是（ ）A ．的图像关于点对称()f x 1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．的图像关于直线对称()f x 43x =C ．在上为增函数()f x 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像 ()f x 23【答案】ABC【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即()π2sin π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可.【详解】由已知，，，， 2A =514263T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭2ππ2ω==π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，， ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z 又，，，π2ϕ<π6ϕ∴=()π2sin π6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭对于A ，，故A 正确；1ππ2sin 0666f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，令，，得，，时，，故B 正确；ππππ62x k +=+k ∈Z 13x k =+k ∈Z 1k =43x =对于C ，时，令，在上递增，故C 正确；11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππππ,632t x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦sin y t =ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为()f x 23，它是偶函数，故D 错误.()2ππ2sin π2sin π2cos π362g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：ABC.11．设，，且，则（ ） 0a >0b >22a b +=A ．的最大值为 B ．的最小值为 ab 12a b +1C ．的最小值为 D ．的最小值为 22a b +452a b ab -+92【分析】利用基本不等式可判断A 选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B b a b +选项；利用二次函数的最值可判断C 选项；求得，将与相乘，展开212a b ab a b -+=+12a b+()122a b +后利用基本不等式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由基本不等式可得， 22a b =+≥12≤ab 当且仅当时，等号成立，A 对；21a b ==对于B 选项，由可得，解得， 22a b +=022b <<01b <<所以，，B 错；()21,2a b b +=-∈对于C 选项，由可得，则22a b +=22a b =-()222222444225845555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥⎪⎝⎭，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C 对；45b =22a b +45对于D 选项，， ()22212a b a b a b a b ab ab ab a b-++-++===+因为， ()1211255922222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D 对. 23a b ==2a b ab -+92故选：ACD.12．已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，()f x (),1f x -R ()1f x +()1,1x ∈-，则下列结论正确的是（ ）()21f x x =-A ．为周期函数且最小正周期为8 ()f x B ．7324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．在上为增函数()f x ()6,8D ．方程有且仅有7个实数解 ()lg 0f x x +=【答案】ABD【分析】由条件得函数的对称性，进而得到函数的周期性，然后利用数形结合结合条件逐项分析即得.【详解】因为为奇函数，所以，即关于点对称；()1f x -()()11f x f x --=--()f x ()1,0-因为为偶函数，所以，即关于直线对称； ()1f x +()()11f x f x -+=+()f x 1x =则，()()()()()()()112314f x fx f x f x f x =-+=-+=---=--所以，故的周期为，结合条件可得函数的大致图象，进而可得A 正确；()()8f x f x =-()f x 8，B 正确； 2755111131111122222224f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=--=--=--=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦由于在上单调递减，且关于点对称，故在上单调递减，又()f x ()1,0-()f x ()1,0-()f x ()2,0-的周期为8，则在上也为减函数，C 错误；()f x ()f x ()6,8作出函数的图象和函数的大致图象，函数的图象与函数的图象恰()f x lg y x =-()y f x =lg y x =-有7个交点，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】通过函数图象具有中心对称性和轴对称性，推断函数的周期性，由上的解()f x ()1,1x ∈-析式，可得函数的大致图象进而可得其他区间上函数的性质.三、填空题13．________．223ln 2338log 27e 227-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】5【分析】根据指数运算和对数运算的性质即可求解.【详解】. 223ln 2338log 27e 227-⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223ln 232244log 3e 3253399⎛⎫⎛⎫-++=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：514．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：） lg30.4771≈【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案. 【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则，x n ()110%0.1nx x-<整理可得. 0.99910101lg1011log 0.1log log 1021.8910lg 9lg102lg 31lg 10n >==-=-=-=-≈--故答案为：. 2215．若，，则的值是________.sin 2α=()sin βα-=π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦αβ+【答案】74π【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()cos βα-cos 2α的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.βα+【详解】因为，所以，π,π4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π2,2π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，即所以sin 2α=π2,π2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos 2=α=.因为，，所以，ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5,π24βα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦因为()sin βα-=()cos βα-==所以()()cos cos 2βαβαα+=-+ ()()=cos cos 2sin sin 2βααβαα---=⎛⎛⨯ ⎝⎝因为，，所以，ππ,42α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3π,π2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,24βαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以. 7=4παβ+故答案为：. 74π16．已知的外接圆圆心为O ， 为的重心且则ABC A H ABC A 4,6AB AC ==()B O HC A H ⋅+=【答案】 263-【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.BC D O ,OE AB OF AC ⊥⊥E F 、AB AC 、∵为的重心，∴， H ABC A ()21233HB HC HD AD AB AC +===+ ,同理，21cos 2OA AB AB OA OAB AB ⋅=-⋅⋅∠=-212OA AC AC ⋅=- 故 ()()()221152263663O HB HC A O B AC AB A A C A ⋅+=⋅⋅+=-+=-=-故答案为： 263-【点睛】结论点睛：（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；()123AO AB AC OD =+=（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.222111222AO AB AB ,BO BC BC ,CO CA CA ⋅=⋅=⋅=四、解答题17．已知向量，．()2,1a =-r ()1,3b →=-(1)若，求的值； ()()2a b a b λ-⊥+ λ(2)若，向量与的夹角为钝角，求的取值范围． ()1,c μ= a c μ【答案】(1)53(2)且2μ<12μ≠-【分析】（1）首先求出，的坐标，依题意，根据向量数量积的坐标2a b -r r a b λ+ ()()20a b a b λ-⋅+= 表示得到方程，解得即可；（2）依题意可得且与不反向，根据向量共线及数量积的坐标表示得到求出的取值范0a c <⋅r r a c μ围；【详解】（1）解：因为，，()2,1a =-r ()1,3b =- 所以，，()()()22,121,34,7a b -=---=-r r ()()()2,11,321,3a b λλλλ+=-+-=-+-r r 因为，所以，解得； ()()2a b a b λ-⊥+ ()()()()2421730a b a b λλλ-⋅+=--++-= 53λ=（2）解：因为，且与的夹角为钝角，()2,1a =-r ()1,c μ= a c 所以且与不反向，0a c <⋅r r a c 由，解得，20a c μ=-⋅+<r r 2μ<当即时与反向，故， 211μ-=⨯12μ=-a c 12μ≠-综上可得且 2μ<12μ≠-18．在①；②；，这三个条2sin sin 1sin sin A B c B A ab++=(2)cos cos 0a b C c A ++=sin sin 2A B c A +=件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 .ABC A (1)求角C 的大小；(2)若，求周长的取值范围.4c =ABC A 【答案】(1) 2π3C =(2) (4⎤⎦【分析】（1）若选择①，利用正弦定理，化角为边后，结合余弦定理求角；若选择②，利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换，求角；如选择③，利用正弦定理，将边化角，利用诱导公式，和二倍角公式，即可求角；（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求三角形周长的取值范围. 【详解】（1）选择条件①：由及正弦定理，得：， 2sin sin 1sin sin A B c B A ab++=21a b c b a ab ++=即，由余弦定理，得， 222a b c ab +-=-2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-因为，所以； 0πC <<2π3C =选择条件②：由及正弦定理，(2)cos cos 0a b C c A ++=得：，(sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A ++=即.sin cos cos sin 2sin cos A C A C B C +=-即.sin()2sin cos A C B C +=-在中，，所以，ABC A πA B C ++=sin()sin(π)sin A C B B +=-=即，因为，所以，所以， sin 2cos sin B C B =-0πB <<sin 0B ≠1cos 2C =-因为，所以； 0πC <<2π3C =选择条件③及正弦定理， sinsin 2A B c A +=， sin sin sin 2A B A C A +=因为，. 0πA <<sin 0A ≠sin 2A B C +=在中，，则， ABC A πA B C ++=sin cos 22A B C +=. 2sin cos 222C C C =因为，所以，则， 0πC <<cos02C ≠sin 2C =故； 2π3C =（2）在中应用余弦定理得：，ABC A 2222cos c a b ab C =+-所以，因为，2216a b ab =++()2222a b a b ab +=+-所以. 因为， ()216a b ab +=+2()4a b ab +≤所以，解得：， ()()22164a b a b ++≤+()2192a b +≤又因为，a b c +>所以，当且仅当时取等号.84a b c <++≤a b =所以周长的取值范围是：(4⎤+⎦19．已知指数函数过点，函数. ()()01x f x a a a =>≠,()1,2()()()11f xg x x f x -=⋅+(1)求，的值；()1g ()1g -(2)判断函数在上的奇偶性，并给出证明；()g x R (3)已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并()g x [)0,+∞()y g x =x ∈R 解不等式. ()1213g x +>【答案】(1)； ()()1113g g -==(2)为偶函数，证明见解析；()g x (3)增区间为，减区间为；不等式解集为.()g x ()0,+∞(),0-∞()(),10,-∞-⋃+∞【分析】（1）由指数函数过点求参数a ，即可得的解析式，进而求，的值； ()g x ()1g ()1g -（2）利用奇偶性定义判断的奇偶性；()g x （3）由题设及（1）（2）结论即可判断的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解()y g x =集.【详解】（1）由题设，，则， ()12f a ==()2121x x g x x -=⋅+所以，. ()1121111213g ----=-⨯=+()21111213g -=⨯=+（2），，定义域关于原点对称. ()2121x x g x x -=⋅+x ∈R 又， ()()()()21122121x xx x g x x x g x -----=-=-=++故为偶函数；()g x （3）由且，在上单调，()00g =()()01g g <()g x [)0,+∞所以为单调增区间，()0,+∞()g x 而为偶函数，则单调减区间为()g x ()g x (),0-∞由可得：，即，解得. ()1213g x +>()()211g x g +>211x +>()(),10,x ∈-∞-⋃+∞20．设平面向量，，函数． 21,cos 2a x x ⎫=-⎪⎭ (cos ,1)b x =- ()f x a b =⋅ (1)求的单调增区间；()f x (2)当时，求函数的值域； π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x (3)若锐角满足，求的值． α124f α⎛⎫= ⎪⎝⎭2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(1) πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦(2) 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(3) 78-【分析】（1）化简得到，取，解得答案. ()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πππ2π22π262k x k -≤-≤+（2），则，得到值域. π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦（3）代入数据得到，化简得到，计算得到π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππcos 22sin 136αα⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案.【详解】（1） ()211cos 21cos cos 2222x x x x f x a b x +=-+=-=⋅+， 1π2cos 2sin 226x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭取，，解得，， πππ2π22π262k x k -≤-≤+Z k ∈ππππ63k x k -≤≤+Z k ∈故的单调增区间为， ()f x πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2），则，故 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（3）， π1sin 264f αα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22ππππ7cos 2cos 2πcos 22sin 136668αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21．在梯形中，分别为线段，上的ABCD ,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ BC CD 动点.(1)求；BC AB ⋅ (2)若，求； 14BP BC = AP (3)若，求的最小值； 1,6BP BC DQ DC μμ== AP BQ ⋅ 【答案】(1)2-(3) 43-【分析】（1）根据题意得，所以，求解计算即可； 60ABC ∠=cos BC AB BC AB BC AB =⨯⨯⋅⋅ （2）根据题意得，所以； 14AP AB BC =+ P A = （3）根据题意得，且，再分析单调性求解即可. 125536AP BQ μμ=⋅+- 116μ≤≤【详解】（1）因为，所以，,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥60ABC ∠= 所以， ,180120BC AB ABC =-∠= 所以. cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ （2）由（1）知，，因为，所以， 2BC AB ⋅=- 14BP BC = 14AP AB BP AB BC =+=+ 所以， ()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭. （3）因为，， BP BC μ= 16DQ DC μ= 则 ()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2611666AB BC AB CD BC CB CD μμμμ--=⋅+⋅++⋅ ， 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭因为，解得，设，，根据对勾函数的单调性可011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩116μ≤≤()125536f μμμ=+-116μ≤≤知，在单调递增， ()f μ1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以当时，取得最小值：. 16μ=()f μ5254266316f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭22．设函数.2()2(,)f x ax x b a b R =-+∈（1）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；0b =()2f x x ≤[0,2]x ∈a （2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.a ()f x [0,2]b 【答案】（1）；（2）见解析[]0,2【分析】（1）当时，不等式恒成立，当，由条件可得在，上恒成立，0x =02x <…22x a --……(02]进一步得到，求出的范围即可；（2）函数在，上存在零点，即方程222a a -⎧⎨--⎩……a ()f x [02]在，上有解，设，然后分和两种情况求出的范||2x a xb -=-[02]22,(),x ax x a h x x ax x a⎧-≥=⎨-+<⎩0a …0a >b 围．【详解】（1）当时，若不等式在，上恒成立；0b =||2x a x x -…[0x ∈2]当时，不等式恒成立，则；0x =a R ∈当，则在，上恒成立，02x <…||2a x -…(02]即在，上恒成立，22x a --……(02]因为在，上单调增，，，y x a =-(02]2max y a =-min y a >-则，解得，； 222a a -⎧⎨--⎩……02a ……则实数的取值范围为，；a [02]（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解；()f x [02]||2x a x b -=-[02]设 22,(),x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩当时，则，，，且在，上单调递增，0a …2()h x x ax =-[0x ∈2]()h x [02]所以，（2），()(0)0min h x h ==()max h x h =42a =-则当时，原方程有解，则；0242b a --……20a b -……当时，， 0a >22,(),x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩则在，上单调增，在上单调减，在，上单调增；()h x [0]2a [,]2a a [a )∞+①当，即时，（2），， 22a …4a …()max h x h =24a =-()(0)0min h x h ==则当时，原方程有解，则；0224b a --......20a b -......②当，即时，，， 22a a <...24a < (2)()()24max a a h x h ==()(0)0min h x h ==则当时，原方程有解，则； 2024a b - (208)a b -……③当时，，， 02a <<2(){(),(2)}{,42}24max a a h x max h h max a ==-()(0)0min h x h ==当，即时，， 2424a a -…42a -+<2()4max a h x =则当时，原方程有解，则； 2024a b - (208)a b -……当，即时，， 2424a a <-04a <<-+()42max h x a =-则当时，原方程有解，则；0242b a --……20a b -……综上，当的取值范围为，；4a <-+b [2a -0]当时，实数的取值范围为； 44a -+<b 2[,0]8a -当时，实数的取值范围为，．4a …b [2a -0]【点睛】本题考查了函数恒成立问题和函数零点的判定定理，考查了函数最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．。

2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{A =，{1,}B m =，若集合A B 有4个子集，则实数m =（）A ．0、1或3B ．1或3C ．1D ．0或3【答案】D【解析】集合A B 有4个子集，则3m =或m =【详解】由题集合A B 有4个子集，所以A 与B 的交集有两个元素，则3m =或m =当m =0m =或1，当1m =时，集合{1,3,1}A =，{1,1}B =，不满足集合的互异性，故0m =或3． 【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．2．下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．y x x = B ．1y x x=-C ．2xy =D ．2lg y x =-【答案】C【解析】先根据偶函数的定义进行判断,然后判断在()0,∞+时函数的单调性即可. 【详解】选项A ：函数的定义域为全体实数集.((()))f x x x f x f x x x x x ⇒-==-=--=,所以函数是奇函数,不符合题意； 选项B ：函数的定义域为全体非零实数集.111()()()()f x x f x x x f x x x x=-⇒-=--=--=--,所以函数是奇函数,不符合题意；选项C ：函数的定义域为全体实数集. 222()()()x xxy f x f x f x -=⇒-====,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()2xx f x ==,因为底数大于1,故该函数是增函数,符合题意；选项D ：函数的定义域为全体非零实数集.222()lg ()lg()lg ()f x x f x x x f x =-⇒-=--=-=,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()lg 2lg f x x x -=-=,该函数是减函数,不符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性,掌握偶函数的定义和基本函数的单调性是解题的关键.3．设3log 2a =，5log 2a =，2log πc =，则（ ）． A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C 【解析】【详解】 因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==， 而22log 3log 21c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以2211log 5log 3<， 即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选D ．4．设函数f （x ）=log 2x +2x -3，则函数f （x ）的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为函数()2log 23xf x x =+-，所以f （1）=12log 123+-=﹣1＜0，f （2）=22log 223+-=2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B ．点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.5．如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】C【解析】 根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a a b a b a <<，故选C. 6．函数()()212x f x e --=（其中常数e=……是一个无理数）的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数()()212x f x e --=的函数值符号及单调性即可作出判断.【详解】 ∵()()212x f x e --=∴()f x 关于直线x=1轴对称，y ＞0，在()1∞+，上单调递减， 故选：A 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．设函数()()log 0,1a f x x a a =>≠,若()1220194f x x x =,则()()()222122019f x f x f x +++的值等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2019【答案】B【解析】根据函数的解析式,由()1220194f x x x =,得到等式,再把()()()222122019f x f x f x +++化简,运用对数的运算公式结合上个等式,可以求出所求代数式的值. 【详解】 由()1220194f x x x =可得：122019log ()4a x x x =.()()()222222122019122019log log log a a a f x f x f x x x x +++=+++222122019log ()a x x x =⋅⋅1220192log ()8a x x x ==。