高中入学分班考试数学试题(数学)-01

2020年秋季高一开学分班考试（衔接教材部分）（一）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1、下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）﹣2＝C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 2【答案】C【解析】A 、m 3•m 2＝m 5，故A 错误； B 、（﹣m ）﹣2＝B 错误；C 、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D 、（m +n ）2＝m 2+2mn +n 2，故D 错误． 2、若代数式1x−5有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ． x =0B ． x =5C ． x ≠0D ． x ≠5 【答案】D【解析】分数要求分母不为零。

5,05≠≠-x x3、已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3 D ．6【答案】A ．【解析】设方程的另一个根为t ， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3．故选A ．4、关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A ．图像与轴的交点坐标为B ．图像的对称轴在轴的右侧C ．当时，的值随值的增大而减小D ．的最小值为-3 【答案】D【解析】∵y=2x 2+4x -1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，2241y x x =+-y ()0,1y 0x <y x y当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．5、若，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】将不等式因式分解得，即或，无解或，所以√(2x−1)2+2|x−2|=2x−1+4−2x=3.故选C.6、已知ABC∆的三边a、b、c满足bcbaca-=-22，判断ABC∆的形状( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C. 等腰三角形D.直角三角形【答案】C【解析】等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c为非零数，所以a=b，故选C.7、若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，则a的取值范围是（）A.(-1, +∞)B.(-∞,-1)C.[-1，+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞).【答案】B【解析】当{Δ=4+4a＜0a≠0时，一元二次方程无解，解得a＜-1，且a≠0，所以a的取值范围是a＜-1．8、不等式的解集是( )A．{x|1<x≤5}B．{x|1<x<5}C．{x|1≤x<5 }D．{x|1≤x≤5 }【答案】A【解析】原不等式化为−x+5x−1≥0,x−5x−1≤0，解得1<x≤5．9、不等式2560x x+->的解集是（）A．{}23x x x-或B．{}23x x-<<321xx+≥-C ．{}61x x x -或 D ．{}61x x -<<【答案】C【解析】因为2560x x +->，所以(1)(6)01x x x -+>∴>或6x <-，故选C 。

山东省菏泽市巨野县实验中学2024-2025学年高一上学期入学分班考数学试题一、单选题1．下列各数中，最小的数是（ ）A ．−2B ．()2--C ．12-D ．2．下列运算正确的是（ ） A ．5510x x x += B ．21m m n n n÷⋅= C ．624a a a ÷=D ．()325a a -=-3．2024年3月份，低空经济首次被写入《政府工作投告》．截止2023年底，全国注册通航企业690家、无人机126.7万架，运营无人机的企业达1.9万家．将126.7万用科学记数法表示为（ ） A ．51.26710⨯ B ．61.26710⨯ C ．71.26710⨯D ．4126.710⨯4．关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．98k <B ．98k ≤C ．98k ≥D ．98k <-5．已知点()()()1232,,1,,3,A y B y C y --在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y <<D ．321y y y <<6．同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离y （km ）与时间x （h ）的函数关系．下列结论正确的是（ ）A ．甲车行驶8h 3与乙车相遇B ．A ，C 两地相距220km C ．甲车的速度是70km /hD ．乙车中途休息36分钟7．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？若设绳长x 尺，井深y 尺，则符合题意的方程组是（ ） A ．3441x y x y -=⎧⎨-=⎩B ．3441x yx y +=⎧⎨+=⎩C ．4314xy x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩D ．4314xy x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩8．如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，分别以顶点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M 和点N ，作直线MN 分别与BC ，AC 交于点E 和点F ；以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点H 和点G ，再分别以点H ，点G 为圆心，大于12HG 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，若射线AP 恰好经过点E ，则下列四个结论：①30C ∠=︒；②AP 垂直平分线段BF ；③2CE BE =；④16BEF ABC S S =△△．其中，正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，分别延长圆内接四边形ABCD 的两组对边，延长线相交于点E ，F .若5441E '∠=︒，4319F '∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．4120'︒C ．41︒D ．4020'︒10．如图所示是二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，该函数图象的对称轴是直线1x =，图象与y 轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①20a b +=；②方程20ax bx c ++=一定有一个根在2-和1-之间；③方程2302ax bx c ++-=一定有两个不相等的实数根；④2b a -<．其中，正确结论的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．因式分解：()()241x x +++=． 12x 的取值范围为． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线()10y ax b a =+≠与双曲线()20ky k x=≠交于点()1,A m -，()2,1B -．则满足12y y ≤的x 的取值范围．14．将一张矩形纸片（四边形ABCD ）按如图所示的方式对折，使点C 落在AB 上的点C '处，折痕为MN ，点D 落在点D ¢处，C D ''交AD 于点E ．若3BM =，4BC '=，3AC '=，则DN =．15．如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为12的圆得到图②，挖去22个半径为212⎛⎫ ⎪⎝⎭的圆得到图③……，则第(1)n n >个图形阴影部分的面积是.16．在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为．三、解答题17．（12132-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）先化简，再求值：32111a a a a +⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭，其中2a =. 18．如图1，在ABE V 中，点C ，D 在边BE 上，AB AE =，BC DE =. (1)求证：BAC EAD ∠=∠.(2)如图2，用直尺和圆规在直线BC 上取点D ，点E （点D 在点E 的左侧），使得EAD BAC ∠=∠，且DE BC =（不写作法，保留作图痕迹）；(3)如图3，用直尺和圆规在直线AC 上取一点D ，在直线BC 上取一点E ，使得CDE BAC ∠=∠，且DE AB =（不写作法，保留作图痕迹）.19．在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A 地30千米的B 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．若乙先骑行2千米，甲才开始从A 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度； 20．直线()10y kx b k =+≠与反比例函数28y x=-的图象相交于点()2,A m -，(),1B n -，与y 轴交于点C ．(1)求直线1y 的表达式；(2)若12y y >，请直接写出满足条件的x 的取值范围；(3)过C 点作x 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，求ACD V 的面积．21．如图①是位于嘉峪关市雄关广场转盘中心的象征这座城市的雄关之光，于2001年6月建成，其形如长剑指天，寓意亲手创造了戈壁钢城的嘉峪关人坚韧不拔，奋发向上，继续创建嘉峪关更加辉煌明天的美好愿望.某校实践小组把“测量雄关之光雕塑的高度”作为一项活动课题，并设计了如下的测量方案.请根据以上测量数据，计算雄关之光雕塑AB的高度.（结果保留整数）（参考数据：︒≈，sin580.85︒≈，tan350.70︒≈，cos350.82sin350.57︒≈）︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60 22．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．【收集数据】八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述数据】八年级（1）班20名学生成绩统计表【分析数据】八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表【应用数据】根据以上信息，回答下列问题． (1)请补全条形统计图：(2)填空：m =______，n =______；(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率．23．如图，ABC V 内接于O e ，D 是BC 上一点，AD AC =．E 是O e 外一点，,BAE CAD ADE ACB ∠=∠∠=∠，连接BE ．(1)若8AB =，求AE 的长； (2)求证：EB 是O e 的切线．24．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为ABC V 和DFE △，其中90,ACB DEF A D ∠=∠=∠=∠o ．将ABC V 和DFE △按图2所示方式摆放，其中点B 与点F重合（标记为点B ）．当ABE A ∠=∠时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE V 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在ABC V 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE BAC ∠=∠时，过点A 作AM BE ⊥交BE 的延长线于点,M BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当CBE BAC ∠=∠时，过点A 作AH DE ⊥于点H ，若==，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．BC AC9,1225．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2=++的图象与x轴交于A、B两点，Ay x bx c-点，点P是直线BC下方的抛物点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,3)线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；V为等腰三角形，写出Q点坐标．(3)在直线BC找一点Q，使得QOC。

高一实验班分班考试数学试题第Ⅰ卷（90分）一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中只有一个是正确的．请将正确选项的代号填入Ⅱ卷的答题卡内.） 1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2． 如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是 （A ）17 （B ）18 （C ）19 （D ）317 3.化简22y x x8)x y x 4y x x 2(-÷--+得 3333()()()()4444x y x y x y x yA B C D ++++--4．若a ，b ，c 是非零实数，且a+b+c=O ，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （A ）0 （B ）1或-1 （C ）2或-2 （D ）0或-2 5．如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD．则CD 长度的最小值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）5(5 —1) （第5题图） 6．如果两圆的公切线只有两条，那么这两个圆的位置关系是(A) 相交 (B) 外离(C) 内切(D) 外切7．在全体实数中引进一种新的运算*，其规定如下：(1)对任意实数a 、b ，有a*b=(a+1)·(b -1)；(2)对任意实数a ，有a *2==a*a 当x=2时，[3*(x *2)]-2*x+1的值为(A) 34 (B) 16 (C) 12 (D)6 8．若不等式|x+l|+|x-3|≤a 有解，则a 的取值范围是ADBC（第2题）(A) 0<a≤4 (B) a≥4 (C) O<a≤2 (D) a≥29．关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 235332只有5个整数解．则a 的取值范围是 (A) -5<a<-92 (B) -5≤a<-92 (C) -5<a≤-92 (D) -5≤a ≤-9210．观察右图，根据规律，则从 2004到2006，箭头方向依次为(A) ↓→ (B) →↑(C) ↑→(D) →↓二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分。

2024-2025学年四川省大邑县实验中学高一新生入学分班质量检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，BE 、CF 分别是△ABC 边AC 、AB 上的高，M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是（）A ．21B ．18C ．15D ．132、（4分）直线y=x-2与x 轴的交点坐标是（）A ．（2，0）B ．（-2，0）C ．（0，-2）D ．（0，2）3、（4分）已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=-12x+2上，则y 1y 2大小关系是()A ．y 1>y 2B ．y 1=y 2C ．y 1<y 2D ．不能比较4、（4分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．三内角的度数之比为1∶2∶3B ．三内角的度数之比为3∶4∶5C ．三边长之比为3∶4∶5D ．三边长的平方之比为1∶2∶35、（4分）六边形的内角和为（）A ．360°B ．540°C ．720°D ．900°6、（4分）某校八（5）班为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调查，最终决定买哪些水果．下面的调查数据中您认为最值得关注的是（）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差7、（4分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A ．B C D ．8、（4分）如图，△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=2，D 是AB 上的动点，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接BE ，则BE 的最小值是（）A ．B ．2C D ．2二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）某市出租车白天的收费起步价为10元，即路程不超过3km 时收费10元，超过部分每千米收费2元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为()3xkm x >，乘车费为y 元，那么y 与x 之间的关系式为__________________．10、（4分）若x x 的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是_________.11、（4分）关于x 的方程()21410k x x -++=有解，则k 的范围是______．12、（4分）矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE BD ⊥于E ，若13OE DE =：：，AE =BD =____.13、（4分）如图，点A 是反比例函数y=2x (x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y=k x (k ≠0)的图象于点B ，以AB 为边作平行四边形ABCD ，点C ，点D 在x 轴上．若S ▱ABCD ＝5，则k ＝____．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，直线3y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，直线CP 与直线AB 相交于点1,3P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交x 轴于点C ，且PAC ∆的面积为25 3.(1)求m 的值和点A 的坐标；(2)求直线PC 的解析式；(3)若点E 是线段AB 上一动点，过点E 作//EQ x 轴交直线PC 于点Q ，EM x ⊥轴，QN x ⊥轴，垂足分别为点M 、N ，是否存在点E ，使得四边形EMNQ 为正方形，若存在，请求出点 E 坐标，若不存在，请说明理由.15、（8分）如图，反比例函数y=m x 的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A，B 两点，点A 的坐标为（2，6），点B 的坐标为（n，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB=10，求点E 的坐标．（3）结合图像写出不等式0m kx b x -+>的解集；16、（8分）如图，直线过点，且与，轴的正半轴分別交于点、两点，为坐标原点.(1)当时，求直线的方程；(2)当点恰好为线段的中点时，求直线的方程.17、（10分）如图，在ABCD 中，经过A ，C 两点分别作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E ，F 为垂足．（1）求证：△AED ≌△CFB ；（2）求证：四边形AFCE 是平行四边形．18、（10分）如图，在□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至G ，使EG ＝AE ，连接CG ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当AB 与AC 满足什么数量关系时，四边形EGCF 是矩形？请说明理由.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,E 、F 分别是AB 、BC 边的中点,连接EF,若,BD=4,则菱形ABCD 的边长为__________.20、（4分）如图，直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC PD +值最小时，点P 的坐标为______.21、（4分）如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，线段AC 的垂直平分线DE 交AC 于D 交BC 于E ，则△ABE 的周长为_____．22、（4分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值是________．23、（4分）如图，C 、D 点在BE 上，∠1=∠2，BD=EC ，请补充一个条件：____________，使△ABC ≌△FED ．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）为了贯彻落实市委政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列帮扶A 、B 两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A 、B 两村的运费如表：车型目的地A 村（元/辆）B 村（元/辆）大货车800900小货车400600（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 村，其余货车前往B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A 、B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．25、（10分）如图，直线1l 的解析式为2y x =-+，1l 与x 轴交于点B ，直线2l 经过点D （0，5），与直线1l 交于点C （﹣1，m ），且与x 轴交于点A .（1）求点C 的坐标及直线2l 的解析式；（2）求△ABC 的面积．26、（12分）如图，某学校有一块长为30米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．()1若设计人行通道的宽度为2米，那么修建的两块矩形绿地的面积共为多少平方米？()2若要修建的两块矩形绿地的面积共为216平方米，求人行通道的宽度．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、D【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出EM=FM=12BC，再求△EFM的周长．【详解】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC=8，∴在Rt△BCE中，EM=12BC=4，在Rt△BCF中，FM=12BC=4，又∵EF=5，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=1．故选：D．本题主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．2、A【解析】令y=0，求出x的值即可【详解】解：∵令y=0，则x=2，∴直线y=x-2与x轴的交点坐标为（2，0）．故选：A．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．3、A【解析】根据一次函数的图象和性质，即可得到答案.【详解】∵y=-12x+2，∴k=-12<0，即y随着x的增大而减小，∵点（-4，y1），（2，y2）在直线y=-12x+2上，∴y1>y2故选A.本题主要考查一次函数的性质，理解一次函数的比例系数k的意义，是解题的关键.4、B【解析】试题解析：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；B、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45度，60度，75度，所以不是直角三角形；C、因为32+42=52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；D、因为1+2=3，所以是直角三角形．故选B．5、C【解析】根据多边形内角和公式(n-2)×180º计算即可.【详解】根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°=720°．故选C．本题考查了多边形内角和的计算，熟记多边形内角和公式是解答本题的关键.6、C【解析】根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择．【详解】解：平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．既然是为筹备班级端午节纪念爱国诗人屈原联谊会做准备，那么买的水果肯定是大多数人爱吃的才行，故最值得关注的是众数．故选：C ．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的平均数、中位数、众数各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．7、D 【解析】分析:根据最简二次根式的概念逐项分析即可.详解:A.,故不是最简二次根式;B.=13,故不是最简二次根式;C.当a ≥0时，a ,故不是最简二次根式;D.,又不含能开的尽的因式,故是最简二次根式;故选D.点睛:本题考查了二次根式的识别,如果二次根式的被开放式中都不含分母,并且也都不含有能开的尽方的因式,像这样的二次根式叫做最简二次根式.8、A 【解析】过点C 作CK ⊥AB 于点K ，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE,延长HE 交AB 的延长线于点J ；通过证明△CKD ≌△CHE (ASA)，进而证明所构建的四边形CKJH 是正方形，所以当点E 与点J 重合时，BE 的值最小，再通过在Rt △CBK 中已知的边角条件，即可求出答案.【详解】如图,过点C 作CK ⊥AB 于点K ，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE,延长HE 交AB 的延长线于点J ；∵将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°,得到线段CE ∴∠DCE=∠KCH =90°∵∠ECH=∠KCH -∠KCE ，∠DCK =∠DCE-∠KCE ∴∠ECH =∠DCK 又∵CD=CE ，CK =CH ∴在△CKD 和△CHE 中 90ECH DCK CK CH DKC EHC ∠=∠=⎧∠=∠=︒⎪⎨⎪⎩∴△CKD ≌△CHE (ASA)∴∠CKD=∠H=90°，CH=CK ∴∠CKJ =∠KCH =∠H=90°∴四边形CKJH 是正方形∴CH=HJ=KJ=C'K ∴点E 在直线HJ 上运动，当点E与点J 重合时，BE 的值最小∵∠A=30°∴∠ABC=60°在Rt △CBK 中，BC=2,∴CK =BCsin60°BK=BCcos60°=1∴KJ =CK 所以BJ =KJ-BK=1-；BE 1.本题主要考查了以线段旋转为载体的求线段最短问题，正方形的构建是快速解答本题的关键.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、24y x =+【解析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的付费得出．【详解】解：依题意有：y=10+2（x-3）=2x+1．故答案为：y=2x+1．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题乘车费用=起步价+超过3千米的付费10、【解析】设另一个根为y ，利用两根之和，即可解决问题．【详解】解：设方程的另一个根为y ，则y +＝4解得y ＝即方程的另一个根为故答案为：题考查根与系数的关系、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11、k ≤5【解析】根据关于x 的方程()21410k x x -++=有解，当10k -=时是一次方程，方程必有解，10k -≠时是二元一次函数，则可知△≥0，列出关于k 的不等式，求得k 的取值范围即可．解：∵方程()21410k x x -++=有解①当10k -=时是一次方程，方程必有解，此时=1k ②当10k -≠时是二元一次函数，此时方程()21410k x x -++=有解∴△=16-4（k-1）≥0解得：k ≤5.综上所述k 的范围是k ≤5.故答案为：k ≤5.本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12、1或855【解析】试题解析：如图（一）所示，AB 是矩形较短边时，∵矩形ABCD ，∴OA=OD=12BD ；∵OE ：ED=1：3，∴可设OE=x ，ED=3x ，则OD=2x∵AE ⊥BD ，∴在Rt △OEA 中，x 2+2=（2x ）2，∴x=1∴BD=1．当AB 是矩形较长边时，如图（二）所示，∵OE ：ED=1：3，∴设OE=x ，则ED=3x ，∵OA=OD ，∴OA=1x ，在Rt △AOE 中，x 2+）2=（1x ）2，∴，∴BD=8x=8×5=5．综上，BD 的长为1或5.13、-1【解析】设点A （x ，2x ），表示点B 的坐标，然后求出AB 的长，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．【详解】设点A （x ，2x ），则B （2kx ，2x ），∴AB=x-2kx ，则（x-2kx ）•2x =5，k=-1．故答案为：-1．本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A ，B 的横坐标之差表示出AB 的长度是解题的关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）103m =，A 点为()30-，；（2）24y x =-+；（3）存在，E 点为()12-，，理由见解析【解析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m 的值及点A 的坐标；（2）过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，则PH=103，利用三角形的面积公式结合△PAC 的面积为253，可求出AC 的长，进而可得出点C 的坐标，再根据点P ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出直线PC 的解析式；（3）由题意，可知：四边形EMNQ 为矩形，设点E 的纵坐标为t ，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E 的坐标为（t-3，t ）、点Q 的坐标为（22t -，t ），利用正方形的性质可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论.【详解】解：（1）把点1,3P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入直线3y x =+，即13x =时，110333m =+=直线AB ，当0y =时，03x =+得：3x =-103m ∴=，A 点为()30-，（2）过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，由（1）得，103PH =∴12PAC AC PH S ∆⨯⋅=11025233AC ∴⨯⨯=解得：5AC = 53OC ∴=- ∴点C 为()20，设直线PC 为y kx b =+，把点110,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭、20C （，）代入，得：1103320k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得：24k b =-⎧⎨=⎩∴直线PC 的解析式为24y x =-+（3）由已知可得，四边形EMNQ 为矩形，设点E 的纵坐标为t ，则3t x =+得： 3x t =- E ∴点为()3,t t - //EQ x 轴Q ∴点的纵坐标也为tQ 点在直线PC 上，当y t =时，24t x =-+42t x -∴=()43 3522Q E t EQ x x t t -∴=-=--=-又EM t t ==当EQ EM =时，矩形EMNQ 为正方形，所以352t t -=2t ∴=故E 点为()12-，本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、待定系数法求一次函数解析式以及正方形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出m 的值及点A 的坐标；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）利用正方形的性质，找出关于t 的一元一次方程.15、（1）y=12x ,y=-12x+1;（3）点E 的坐标为（0，5）或（0，4）;（3）0＜x＜3或x＞13【解析】(1)把点A 的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B 的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n 的值,得出点B 的坐标,再把A 、B 的坐标代入直线y kx b =+，求出k 、b 的值,从而得出一次函数的解析式；(3)设点E 的坐标为(0,m)，连接AE ，BE ，先求出点P 的坐标(0,1)，得出PE =|m ﹣1|，根据S △AEB =S △BEP ﹣S △AEP =3，求出m 的值，从而得出点E 的坐标.(3)根据函数图象比较函数值的大小.【详解】解：（1）把点A （3，6）代入y=m X ，得m=13，则y=12x ．得2k b 612k b 1+=⎧⎨+=⎩，解得1k 2b 7⎧=-⎪⎨⎪=⎩把点B （n ，1）代入y=12x ，得n=13，则点B 的坐标为（13，1）．由直线y=kx+b 过点A （3，6），点B （13，1），则所求一次函数的表达式为y=﹣12x+1．（3）如图，直线AB 与y 轴的交点为P ，设点E 的坐标为（0，m ），连接AE ，BE ，则点P 的坐标为（0，1）．∴PE=|m ﹣1|．∵S △AEB =S △BEP ﹣S △AEP =3，∴12×|m ﹣1|×（13﹣3）=3．∴|m ﹣1|=3．∴m 1=5，m 3=4．∴点E 的坐标为（0，5）或（0，4）．（3）根据函数图象可得0m kx b x -+>的解集：02x <<或12x >；考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.熟记函数性质是关键.16、（1）方程为；的方程为.【解析】（1)设，可知，，用待定系数法即可求出方程，得到解析式.(2)过作轴于点，可得，可以推出PC 为的中位线，可得，可得把A（2，0）和坐标代人可得直线的方程.【详解】(1)设，则，，设方程为，把代入方程得，把代入方程得再把代入得，方程为.(2)过作轴于点，则的坐标，为中点为的中位线，为中点，，设方程为，把和坐标代人可得的方程为.本题考查了用待定系数法函数解析式，解题的关键是找到函数图像上的点,将点代入得方程组，解方程即可得函数解析式.17、（1）见解析;（2）见解析.【解析】（1）根据平行四边形的性质可得AD ＝BC ，∠CBF ＝∠ADE ，再根据垂线的性质可得∠CFB ＝∠AED ＝90°，再根据全等三角形的判定（角角边）来证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得AE ＝CF ，再由AE ⊥BD ，CF ⊥BD 可得AE ∥CF ，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠CBF ＝∠ADE ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠CFB ＝∠AED ＝90°，∴△AED ≌△CFB （AAS ）．（2）证明：∵△AED ≌△CFB ，∴AE ＝CF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴AE ∥CF ，∴四边形AFCE 是平行四边形．全等三角形的判定和性质及平行四边形的判定和性质是本题的考点，熟练掌握基础知识是解题的关键.18、（1）见解析；（2）2AC AB =时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析.【解析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，∴∠ABE=∠CDF ，∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，∴BE=12OB ，DF=12OD ，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE CDF SAS ∴≅（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下：∵AC=2OA ，AC=2AB ，∴AB=OA ，∵E 是OB 的中点，∴AG ⊥OB ，∴∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，∴AG ∥CF ，∴EG ∥CF ，∵EG=AE ，OA=OC ，∴OE 是△ACG 的中位线，∴OE ∥CG ，∴EF ∥CG ，∴四边形EGCF 是平行四边形，∵∠OEG=90°，∴四边形EGCF 是矩形．本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）【解析】先根据三角形中位线定理求AC 的长，再由菱形的性质求出OA ，OB 的长，根据勾股定理求出AB 的长即可．【详解】∵E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，∴EF 是△ABC 的中位线∵∴AC=2.∵四边形ABCD 是菱形，BD=4，∴AC ⊥BD,OA=12,OB=12BD=2，∴AB ===..此题考查菱形的性质、三角形中位线定理，解题关键在于熟练运用利用菱形的性质.20、(-32,0)【解析】根据一次函数解析式求出点A 、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点C 、D 的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C 、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y=0即可求出x 的值，从而得出点P 的坐标．【详解】作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC+PD 值最小，如图所示．令y=23x+4中x=0，则y=4，∴点B 的坐标为（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=-6，∴点A 的坐标为（-6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴点C （-3，1），点D （0，1）．∵点D′和点D 关于x 轴对称，∴点D′的坐标为（0，-1）．设直线CD′的解析式为y=kx+b ，∵直线CD′过点C （-3，1），D′（0，-1），∴有232k b b -+-⎧⎨⎩＝＝，解得：423k b --⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线CD′的解析式为y=-43x-1．令y=-43x-1中y=0，则0=-43x-1，解得：x=-32，∴点P的坐标为（-32，0）．故答案为：（-32，0）．本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点P的位置．21、1【解析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出△ABE的周长=AB+BC，代入求出即可．【详解】解：在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，由勾股定理得：BC=4，∵线段AC的垂直平分线DE，∴AE=EC，∴△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=1，故答案为1．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是本题的关键．22、12 5【解析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF=AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【详解】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点，∵当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当AP ⊥BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．∵12AP×BC=12AB×AC ，∴AP×BC=AB×AC ，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得=10，∵AB=6，AC=8，∴10AP=6×8，∴AP=245∴AM=125，故答案为：125．考点：(1)、矩形的性质的运用；(2)、勾股定理的运用；(3)、三角形的面积公式23、AC=DF（或∠A=∠F 或∠B=∠E）【解析】∵BD=CE ，∴BD-CD=CE-CD ，∴BC=DE ，①条件是AC=DF 时，在△ABC 和△FED 中，12AC DF BC DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌△FED （SAS ）；②当∠A=∠F 时，12A FBC DE∠=∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝∴△ABC ≌△FED （AAS ）；③当∠B=∠E 时，12BC DE B E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△FED （ASA ）故答案为AC=DF （或∠A=∠F 或∠B=∠E）．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）大货车用8辆，小货车用7辆；（2）y=100x+1．（3）见解析.【解析】（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据大、小两种货车共15辆，运输152箱鱼苗，列方程组求解；（2）设前往A 村的大货车为x 辆，则前往B 村的大货车为（8-x ）辆，前往A 村的小货车为（10-x ）辆，前往B 村的小货车为[7-（10-x ）]辆，根据表格所给运费，求出y 与x 的函数关系式；（3）结合已知条件，求x 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．【详解】（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得：15{128152x y x y +=+=解得：8{7x y ==．∴大货车用8辆，小货车用7辆．（2）y=800x+900（8-x ）+400（10-x ）+600[7-（10-x ）]=100x+1．（3≤x≤8，且x 为整数）．（3）由题意得：12x+8（10-x ）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数，∵y=100x+1，k=100＞0，y 随x 的增大而增大，∴当x=5时，y 最小，最小值为y=100×5+1=9900（元）．答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A 村；3辆大货车、2辆小货车前往B 村．最少运费为9900元．25、（1）25y x =+；（2）274.【解析】（1）首先利用待定系数法求出C 点坐标，然后再根据D 、C 两点坐标求出直线l 2的解析式；（2）首先根据两个函数解析式计算出A 、B 两点坐标，然后再利用三角形的面积公式计算出△ABC 的面积即可．【详解】（1）∵直线1l :2y x =-+经过点C （﹣1，m ），∴m =1+2=3，∴C （﹣1，3），设直线2l 的解析式为y kx b =+，∵经过点D （0，5），C （﹣1，3），∴53b k b =⎧⎨=-+⎩，解得：25k b =⎧⎨=⎩∴直线2l 的解析式为25y x =+；（2）当y =0时，2x +5=0，解得52x =-，则A （52-，0），当y =0时，﹣x +2=0解得x =2，则B （2，0），∴1527(2)3224ABC S ∆=⨯+⨯=．此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．26、（1）修建的两块矩形绿地的面积共为144平方米，（2）人行通道的宽度为1米．【解析】()1根据题意得：两块矩形绿地的长为302324(-⨯=米)，宽为10226(-⨯=米)，可求得面积；() 2设人行通道的宽度为x 米，则两块矩形绿地的长为()303(x -米)，宽为()102(x -米)，根据题意得：()()303102216x x --=，解方程可得.【详解】解：()1根据题意得：两块矩形绿地的长为302324(-⨯=米)，宽为10226(-⨯=米)，面积为246144(⨯=米2)，答：修建的两块矩形绿地的面积共为144平方米，()2设人行通道的宽度为x 米，则两块矩形绿地的长为()303(x -米)，宽为()102(x -米)，根据题意得：()()303102216x x --=，解得：114(x =舍去)，21x =，答：人行通道的宽度为1米．本题考核知识点：一元二次方程应用.解题关键点：根据题意列出方程.。

咼一新生入学分班考试数学模拟试题总分：150分时量：120分钟第I卷一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1 .下列运算正确的是（）OA、a2• a3=a6B、a8* a4=a2C、 3 3^6a +a =2a3 2 6D、(a ) =a2.—兀一一次方程22x -7x+k=0的一个根是X1=2,则另一-个根和k的值是( )33A X2=1k=4 B. X2= - 1, k= -4 C . X2=—,k= D . …一,k=-62223.如果关于x的一元二次方程x -kx+2=0中，k是投掷骰子所得的数字（1, 2, 3, 4, 5, 6）,则该二次方程有两个不等实数根的概率P=（）2 111A. B. C. D.3 2 3 64. 二次函数y=-x2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是（）A.（-2,6）,x=-2B.（2,6）, x=2C.（2,6）, x=-2D.（-2,6）, x=25. 已知关于x的方程5x-4 +a = 0无解，4x-3 +b = 0有两个解，3x—2 + c = 0只有一个解，则化简a_c+|c_b—a_b 的结果是（）A、2aB、2bC、2cD、06.在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N）与铁块被提起的高度x （单位cm）之间的函数关系的大致图象是（）第6题图&已知四边形S i 的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结 S i 各边中点得四边形 S 2，顺次连结S 2各边中点得四边形S 3，以此类推，贝U S 2006为（ ）第H 卷（答卷）.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）12 .在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90°, CD 丄 AB 于D , AC = 10, CD = 6,则 sinB 的值为 __________13 .如图 ，在O O 中，/ ACB =Z D = 60°, OA = 2，贝U AC 的长为14 .同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的 则4张贺年卡不同的拿法有 _____________________ 种。

2024-2025学年四川省成都市七中育才学校高一新生入学分班质量检测数学试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知菱形的两条对角线分别为6和8，则菱形的面积为（）A ．48B ．25C ．24D ．122、（4分）点P 的坐标为（﹣3，2），把点P 向右平移2个单位后再向下平移5个单位得到点P 1，则点P 1的坐标为（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣5，﹣3）C ．（﹣1，﹣3）D ．（﹣1，7）3、（4分）下列所给图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）如图，在矩形ABCD 中,有以下结论：①△AOB 是等腰三角形；②S △ABO =S △ADO ；③AC=BD ；④AC ⊥BD ；⑤当∠ABD=45°时，矩形ABCD 会变成正方形．正确结论的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．55、（4分）用反证法证明“若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b”时，应假设()A ．a 不垂直于cB ．a 垂直于bC ．a 、b 都不垂直于cD ．a 与b 相交6、（4分）若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（）A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十二边形7、（4分）如图是某件商晶四天内的进价与售价的折线统计图．那么售出每件这种商品利润最大的是（）A ．第一天B ．第二天C ．第三天D ．第四天8、（4分）点()1,3M 在反比例函数k y x =的图像上，则k 的值为（）A ．1-B ．3C ．3-D ．13二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E ，F ，AB ＝3，BC ＝4，则图中阴影部分的面积为_____．10、（4分）2名男生和2名女生抓阄分派2张电影票，恰好2名女生得到电影票的概率是．11、（4分）关于x 的方程220x mx m -+=的一个根为1，则m 的值为．12、（4分）直线23y x =-与y 轴的交点坐标___________13、（4分）如图，点D 是直线l 外一点，在l 上取两点A ，B ，连接AD ，分别以点B ，D 为圆心，AD ，AB 的长为半径画弧，两弧交于点C ，连接CD ，BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，理由是：_________________________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数k y x =（k 为常数，且0k ≠）的图象交于A （1，a ）、B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．15、（8分）如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，∠BAC =90°，AD =1．①求∠C 的度数，②求CE 的长．16、（8分）（1）因式分解：328ax ax-（2）解不等式组：()233317x x x +>-⎧⎨-<+⎩17、（10分）如图，点E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点，AC 、BD 是对角线，求证：四边形EFGH 是平行四边形.18、（10分）房山某中学改革学生的学习模式，变“老师要学生学习”为“学生自主学习”，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就“最喜欢哪种学习方式”随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：(1)这次抽样调查中，共调查了名学生；(2)补全两幅统计图；(3)根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择“小组合作学习”？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________.20、（4分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，AO ＝BO ，点M 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为______．21、（4分）如图，D 为△ABC 的AC 边上的一点，∠A ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝72°，则图中共有等腰三角形____个.22、（4分）若21x kx ++是完全平方式，则k 的值是__________.23、（4分）对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝123433-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）之间的函数关系式如图所示．（1）第20天的总用水量为多少米3？（2）当x ≥20时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？25、（10分）计算：（1）；（2）（）2﹣（3+）（3﹣）．26、（12分）某校为了改善办公条件，计划从厂家购买A 、B 两种型号电脑。

绝密★考试结束前2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（新高考地区专用）数学（答案在最后）本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

A．8⨯年2.0310A．15B点P 是ABC 的重心，点∴2ABC BDC S S = ，:BP EF AC ∥Q ，∴BEP △设DFP △的面积为m ，则 四边形CDFE 的面积为∴BCD △的面积为9，∴【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．5．从n 个不同元素中取出数，用符号m n C 表示，m n C 则4599C C +=（）A ．69CB 【答案】C【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对28个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析．图1是反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，且在2040x < 这一组分配的额度分别是：25，28，28，30，37，37，38，39，39．图2是反映20162020-年中央财政脱贫专项资金对自治区A 和自治区B 的分配额度变化折线图．则下列说法中正确的是（）A ．2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元B ．2020年，某省获得的分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名C ．2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A 的分配额度逐年增加D ．2016-2020年，中央财政脱贫专项资金对自治区A 的分配额度比对自治区B 的稳定A ．2FC =B ．12EF =C ．当AB 与O 相切时，4EA =D ．当OB 【答案】AC 【分析】如图，由题意可得：12AB CE ==，AB BO +=而可判断A ，B ，如图，当AB 与O 相切时，求解AO =可判断C ；当OB CD ⊥时，如图，可得22125AO =-=12AB CE ==，17AB BO OE +==12AB ==，5OC OB OD ===，∴12102FC FD CD =-=-=，故符合题意；12210EF CE CF =-=-=如图，当AB 与O 相切时，∴90∠︒，∴2213AO AB OB =+=，∴17134EA AO =-=，故C 符合题意；当OB CD ⊥时，如图，∴119AO ==，∴17119AE EO AO =-=-，119251197AF OF -=--=-，∴AE AF ≠，故D 不符合题意；故选【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键．11．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于②作直线MN ，且MN 恰好经过点则下列说法正确的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE S =△【答案】ABD设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4∴sin∠CBE＝3211427EH aBE a==【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质等知识．12．二次函数y=ax2+bx+c（a＞轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法中正确的是（A．m=3B．当∠APB=120°时，a=63C．当∠APB=120°时，抛物线上存在点在第一象限内作∠ABM =120°，AB =BM =4，过点M 作MH ⊥x 轴于H ，∴∠MBH =180°-∠ABM =60°∴MH =BM ·sin ∠MBH =4×3232=，BH =·cos ∠MBH =4122⨯=，∴点M （3,23），)123-=，关于抛物线的对称轴对称点M′也在抛物线上，故选项C 正确；【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线内接等腰三角形，内接直角三角形，锐角三角函数，利用辅助圆的点与圆的位置关系解题是关键．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，在ABCD Y 中，6AB =，4=AD ，以A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接DE ，【答案】4【分析】由尺规作图可知，射线得M 是DE 边中点，再由MN 的判定与性质得到(12MN =【详解】解：由题意可知AD ∴由等腰三角形“三线合一”得 ∥MN AB ，∴由平行线分线段成比例定理得到∴MN 是梯形BCDE 的中位线，在ABCD Y 中，6CD AB ==【点睛】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、梯形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握梯形中位线的判定与性质是解决问题的关键．14．若关于x 的一元一次不等式组非负整数解，则所有满足条件的整数【答案】4【分析】先解不等式组，确定由分式方程有正整数解，确定出【详解】解：+342x ⎧≤⎪⎨⎪①解不等式①得：【答案】253010h t t =-++【分析】由题意可知该二次函数过点知()()25230210L t t ⎡=-++++⎣【详解】解：如图，由题意可知()010A ，，(535B ，∴球离地面的高度h （米）与球运行时间由题意可知()2523L t ⎡=-++⎣∵03t ≤≤，∴202040t -≤-+故答案为：253010h t t =-++四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】159cm【分析】过点A作AG PF⊥于点G，与直线QE交于点H，过点B 于点N，分别解作出的直角三角形即可解答．【详解】解：如图，过点A作AG PF⊥于点G，与直线QE交于点∴四边形DHMN ，四边形∴MH ND =，EF HG =∴ABM ABD ∠=∠-∠在Rt ABM 中，AMB ∠∴sin 45AM AB =⋅︒=在Rt BDN △中，BND ∠∴sin 6080ND BD =⋅︒=∴AG AM MH GH =++答：展板最高点A 到地面信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：甲小区乙小区平均数9.09.1中位数9.2a信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：根据以上信息，回答下列问题：a__________；(1)=(2)在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为(3)若甲小区共有600户居民，乙小区共有(4)因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．b b>，理由见解析【答案】(1)9.1(2)21【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；（再计算进行比较即可；（3）用总户数乘以不低于可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有【详解】（1）解：∵随机抽取了30≤根据条形统计图可知：用水量在5x≤<x的有4户，用水量在10户，用水量在1113共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有∴抽取的两名同学都是男生的概率为63168=．（12分）【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率总情况数之比．20．（12分）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益A y（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：一年后的收益B y（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：(1)若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图，猜想EGFH的值，并证明你的猜想．【答案】(1)1；证明见解析(3)3 2【分析】（1）过点A作HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正方形ABCD AB＝AD，∠ABM＝∠BAD ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可．于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形ABCD中，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形在正方形ABCD 中，∵EG ⊥FH ，∴∠在矩形ABCD 中，BC ＝＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∵AB m =，BC AD ==，AN ＝EG ，∴HF m EG n =，∴EG n FH m =n22．（12分）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y ＝ax 2（a ＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M 到定点F （0，14a ）的距离MF ，始终等于它到定直线l ：y＝﹣14a上的距离MN （该结论不需要证明），他们称：定点F 为图象的焦点，定直线l 为图象的准线，y ＝﹣14a 叫做抛物线的准线方程．其中原点O 为FH 的中点，FH =2OF =12a ，例如，抛物线y ＝12x 2，其焦点坐标为F （0，12），准线方程为l ：y ＝﹣12．其中MF =MN ，FH =2OH =1．(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y ＝2x 2的焦点坐标和准线l 的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y ＝18x 2上一点P 到准线l 的距离为6，求点P 的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y ＝ax 2（a ＞0）的焦点F 的直线依次交抛物线及准线l 于点A 、B 、C ．若BC ＝2BF ，AF ＝4，求a 的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C 将一条线段AB 分为两段AC 和CB ，使得其中较长一段AC 是全线段AB 与另一段CB 的比例中项，即满足：AC AB＝BCAC ＝12．后人把12-这个数称为“黄金分割”把点C 称为线段AB 的黄金分割点．如图4所示，抛物线y ＝14x 2的焦点F （0，1），准线l 与y 轴交于点H （0，﹣1），E 为线段HF 的黄金分割点，点M 为y 轴左侧的抛物线上一点．当MH MF 时，请直接写出△HME 的面积值．【答案】(1)（0，18），18y =-，(2)4）或（-，4）(3)14a =1-或3【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；（2）先求出点P 的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B 作BD ⊥y 轴于D ，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，证明△FDB ∽△FHC ，推出16FD a =，则112OD OF DF a =-=，点B 的纵坐标为112a ，从而求出BD =AEF ∽△BDF ，即可求出点A的坐标为（-，124a+），再把点A 的坐标代入抛物线解析式中求解即可；（4）如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作MN ⊥l 于N ，则MN =MF ，先证明△MNH 是等腰直角三角形，得到NH =MN ，设点M 的坐标为（m ，214m ），则2114MN m m HN =+=-=，求出2m =-，然后根据黄金分割点的定义求出1HE =，则1=12HME S HE NH ⋅=△；同理可求当点E 是靠近H 的黄金分割点时△HME 的面积．(1)解：由题意得抛物线y ＝2x 2的焦点坐标和准线l 的方程分别为（0，18），18y =-，故答案为：（0，18），18y =-，（2分）(2)解：由题意得抛物线y ＝18x 2的准线方程为124y a =-=-，∵点P 到准线l 的距离为6，∴点P 的纵坐标为4，（3分）∴当4y =时，2148x =，解得x =±，∴点P 的坐标为（4）或（-4）；（4分）(3)解：如图所示，过点B 作BD ⊥y 轴于D ，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，由题意得点F 的坐标为F （0，14a ）直线l 的解析式为：y ＝﹣14a ，∴BD AE CH ∥∥，12FH a=，∴△FDB ∽△FHC ，∴BD FD FB HC FH FC ==，（5分）∵BC =2BF ，∴CF =3BF ，∴1=3BD FD FB HC FH FC ==，∴16FD a =，∴112OD OF DF a =-=，∴点B 的纵坐标为112a ，（6分）∴2112ax a =，解得x =（负值舍去），∴BD =，∵AE BD ∥，∴△AEF ∽△BDF ，∴AE BD EF DF==，∴AE =，（7分）∵222AE EF AF +=，∴22416EF AF ==，∴EF =2，∴AE =A 的坐标为（-，124a +），∴12124a a +=，∴248810a a --=，∴()()121410a a +-=，解得14a =（负值舍去）；（8分）(4)解：如图，当E 为靠近点F 的黄金分割点的时候，过点M 作MN ⊥l 于N ，则MN =MF ，∵在Rt △MNH 中，2sin =2MN MF MHN MH MH ==∠，∴∠MHN =45°，∴△MNH 是等腰直角三角形，∴NH =MN ，（9分）设点M 的坐标为（m ，214m ），∴2114MN m m HN =+=-=，∴2m =-，∴HN =2，（10分）∵点E 是靠近点F 的黄金分割点，∴112HE HF ==-，∴1=12HME S HE NH ⋅=△；（11分）同理当E 时靠近H 的黄金分割点点，1EF ==，∴213HE =+=1=32HME S HE NH ⋅=-△综上所述，2HME S △或=3HME S -△12分）【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．。

2024—2025学年湖南省长沙市长郡中学高一上学期综合能力检测（入学分班考试）数学试卷一、单选题(★) 1. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（）A．4B．8C．12D．16(★) 2. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（）A．B．C．D．(★) 3. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为（）A．2B．C．D．(★★★) 4. 若关于的不等式组恰好只有四个整数解，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 5. 在，，，，点P在内，分别以A，B，P为圆心画圆，圆A的半径为1，圆B的半径为2，圆P的半径为3，圆A 与圆P内切，圆P与圆B的关系是（）A．内含B．相交C．外切D．相离(★★★) 6. 对于正整数k定义一种运算：，例：，表示不超过x的最大整数，例：，．则下列结论错误的是（）A．B．或1C．D．(★★) 7. 如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值（）A．B．C．D．(★★) 8. 若二次函数的解析式为，且函数图象过点和点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 9. 分解因式： ______ ．(★★) 10. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转15°，得到直线，则直线对应的函数表达式是 ______ ．(★★★) 11. 若关于的分式方程的解为整数，则整数______ ．(★★) 12. 如图，已知两条平行线，，点A是上的定点，于点B，点，分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ______ ．三、解答题(★★) 13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a.教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）；c.评委打分的平均数、中位数、众数如上：根据以上信息，回答下列问题：①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则______91（填“”“”或“”）；(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k（k为整数）的值为______.(★★★★) 14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中为椅背，为坐垫，C，D为焊接点，且与平行，支架，所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O．设计方案中，要求A，B两点离地面高度均为5厘米，A，B两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，时，舒适感最佳．现用来制作椅背和坐垫的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求：（1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时（如图3），F点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（，，）任务：(1)根据素材求底座半径；(2)计算图3中点B距离地面的高度；(3)①求椅背的长度范围；（结果精确到0.1m）②设计一种符合要求的方案．(★★★★) 15. 定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为(1)函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______．(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则______．(3)已知正方形的顶点分别为：，，，，其中．①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值；②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围．(★★★) 16. 已知抛物线与轴交于点，．(1)如图1，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值；(2)如图2，点是抛物线的对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点求的最小值．。

2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用)01考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式2311x x +<-的解集是_____．2．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________.3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.4．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.5．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.6．已知{1x ∈，2，2}x x -，则实数x 为________．7．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.8．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.9．已知0a >，0b >，且21a b +=+的最大值为________.10．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.11．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集(){},|,U x y x y R =∈，集合()(){}3,|1,,|12y M x y N x y y x x -⎧⎫===≠+⎨⎬-⎩⎭，那么()()U U M N ⋂=痧____________.12．（2020·上海交大附中高一开学考试）设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49ijx x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2020·上海高一开学考试）已知0,0,1x y x y >>+=，则11x y+的最小值是（）A ．2B．C ．4D．14．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）A ．若>a b ，则11a b<B ．若>a b ，则22a b >C ．若>a b ，c d <，则>a c b d--D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd15．（2020·上海高一开学考试）不等式2560x x +->的解集是A ．{}23x x x -或B ．{}23x x -<<C ．{}61x x x -或D ．{}61x x -<<16．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e 均为正整数，且满足15.18111a b c d e=++++，则a b c d e ++++=（）A ．13B ．14C ．15D ．16三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知集合{}213A x x =-<+<，集合B 为整数集，令C A B = .（1）求集合C ；（2）若集合{}1,D a =，{2,1,0,1,2}C D =-- ，求实数a 的值.18．若()()211f x ax a x =-++，a R ∈.（Ⅰ）若()0f x <的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值；（Ⅱ）求关于x 的不等式()0f x <的解集.19．解关于x的不等式.（1）x2<2x+3；（2）4x−2x−2>0.20．（2020·上海交大附中高一开学考试）某校为美化校园，计划对面积为18002m的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独m区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.立完成面积为4002m?（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天?21．（2020·上海高一开学考试）已知函数2()4(0,,)f x ax x b a a b R =++<∈，设关于x 的方程()0f x =的两实根为12,x x ，方程f (x )=x 的两实根为,αβ.（1）若||1αβ-=，求a 与b 的关系式；（2）若,a b 均为负整数，且||1αβ-=，求f (x )的解析式；2021年秋季高一新生入学分班考试数学试卷（上海专用)01考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．不等式2311x x +<-的解集是_____．【答案】(－4，1)【分析】不等式等价于401x x +<-，即()()410x x +-<，即可解出.【详解】不等式2311x x +<-即23101x x +-<-，即401x x +<-，等价于()()410x x +-<，解得41x -<<，故不等式的解集为：(4,1)-.故答案为：(4,1)-.2．（2020·上海高一开学考试）分解因式：2441x x -+__________.【答案】()221x -【分析】利用完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+分解因式【详解】解：2441x x -+=()221x -故答案为：()221x -【点睛】此题考查公式法分解因式，属于基础题.3．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合{}2,B y y x x A ==∈，则A B = ____________.【答案】{}1【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}21,,1,44B y y x x A ⎧⎫==∈=⎨⎬⎩⎭，因此，{}1A B ⋂=.故答案为：{}1.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.4．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集为R ，集合()1,3A =，则A =R ð____________.【答案】(][),13,-∞+∞ 【分析】直接根据补集的定义即可得结果.【详解】因为()1,3A =，所以(][),13,A =-∞+∞R ð，故答案为：(][),13,-∞+∞ .【点睛】本题主要考查了补集的运算，属于基础题.5．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，则A B = ____________.【答案】[]1,4-【分析】直接根据并集的定义运算即可.【详解】因为{}{}|12,B |04A x x x x =-≤≤=≤≤，所以[]1,4A B =- ，故答案为：[]1,4-.【点睛】本题主要考查了并集的运算，属于基础题.6．已知{1x ∈，2，2}x x -，则实数x 为________．【答案】0或1【分析】分别令1x =，2x =和2x x x =-，并将x 的值代入集合检验是否符合元素的互异性，进而可得实数x 的值．【详解】当1x =时，2110x x -=-=，符合题意；当2x =时，2422x x -=-=，舍去；当2x x x =-时，解得0x =或2（舍），则0x =，符合题意；则实数x 为0或1故答案为：0或1【点睛】本题考查集合元素的性质，考查互异性的应用，属于基础题．7．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,a b 为常数，若0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，则0-<bx a 的解集是____________.【答案】(),3∞--【分析】由题意知0a <，0b >，3ab =-即可求0-<bx a 的解集；【详解】由0ax b +>的解集是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，知：0a <且13b a =-，∴0b >且3ab=-，即可知0-<bx a 的解集为3x <-，故答案为：(),3∞--【点睛】本题考查了求含参的一元一次不等式的解法，由已知不等式的解集判断参数的符号及数量关系，进而求由原参数重构后新不等式的解集；8．（2020·上海交大附中高一开学考试）设集合[][]1,3,1,24A B m m ==++，若A B ⊆，则实数m 的取值范围是____________.【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据子集的定义得出不等关系后求解．【详解】∵A B ⊆，∴11243m m +≤⎧⎨+≥⎩，解得102m -≤≤．故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】查考集合包含关系，掌握子集的定义是解题关键．9．已知0a >，0b >，且21a b +=+的最大值为________.=，由基本不等式计算可得结果，验证等号成立即可得解.【详解】因为0a >，0b >，且21a b +=，===≤==，当且仅当2a b =即11,42a b ==时，等号成立，..【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知函数()[]():3,1,:3f x p x q f x m =∈--<，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为____________.【答案】（0，3）【分析】求出[3,1]x ∈-时，()f x 的范围，再求出q 为真时，()f x 的范围，由充分条件对应的集合包含关系可得m 的范围．【详解】p 为真时，[3,1]x ∈-，29[0,9]x -∈，()[0,3]f x ∈，q 为真时，()3f x m -<，3()3m f x m -<<+，p 是q 的充分条件，则3033m m -<⎧⎨+>⎩，解得03m <<．故答案为：(0,3)，【点睛】本题考查充分条件，考查充分条件与集合包含之间的关系，解题关键是问题转化为集合包含关系．11．（2020·上海交大附中高一开学考试）设全集(){},|,U x y x y R =∈，集合()(){}3,|1,,|12y M x y N x y y x x -⎧⎫===≠+⎨⎬-⎩⎭，那么()()U U M N ⋂=痧____________.【答案】(){}2,3【分析】分析出集合M ，N 的各自意义，进而可知,U UM N 痧的各自意义，从而可求出()()U U M N 痧.【详解】解：由312y x -=-可得+1,2y x x =≠，即M 表示直线+1y x =除去()2,3的点集，N 表示平面内不在直线=1y x +上的点集，则U N ð表示平面内在直线=1y x +上的点集，U M ð表示不在直线+1y x =上的点和点()2,3的集合，所以(){}()()2,3U U M N = 痧.故答案为:(){}2,3.【点睛】本题考查补集的求法，考查交集、补集等基础知识，考查运算求解能力．12．（2020·上海交大附中高一开学考试）设1234,,,a a a a 是4个互不相同的实数，且{}{}|,1411,21,30,39,49ijx x a a i j =+≤<≤=，则集合{}1234,,,a a a a =____________.【答案】{}1,10,20,29【分析】不妨设1234a a a a <<<，集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中至多有6个数，确定i j a a +中的最小和最大的数，再确定次小与次大的数，然后还有两个相等为中间的数，由此可得解．【详解】不妨设1234a a a a <<<，则在集合{}|,14i j x x a a i j =+≤<≤中，12a a +最小，34a a +最大，即1211a a +=，3449a a +=，第二小的数是13a a +，第二大的数是24a a +，即1321a a +=，2439a a +=，从而有142330a a a a +=+=，由1211a a +=，3449a a +=，1321a a +=，2439a a +=，142330a a a a +=+=，可解得11a =，210a =，320a =，429a =，故答案为：{}1,10,20,29【点睛】本题考查求集合中的元素，解题时根据集合的定义，把i j a a +排列，再根据集合的定义得出结论后可求解．考查了逻辑推理能力，运算求解能力．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（2020·上海高一开学考试）已知0,0,1x y x y >>+=，则11x y+的最小值是（）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】先将11x y+乘以“1”，结合1x y +=，化简使用基本不等式，即求得结果.【详解】()1111224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当y x x y =，即12x y ==时取等号）11x y∴+的最小值为4.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的妙用，属于常考题.14．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）A ．若>a b ，则11a b<B ．若>a b ，则22a b >C ．若>a b ，c d <，则>a c b d --D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd【答案】C【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一判断，即可得出正确选项.【详解】若>0>a b ，则11a b>，故选项A 不正确；若0>a b >，则22a b <，故选项B 不正确；若c d <，则c d ->-，因为>a b 所以>a c b d --，故选项C 正确；当>0a b >，>0c d >时，才有>ac bd 成立，故选项D 不正确；故选：C【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.15．（2020·上海高一开学考试）不等式2560x x +->的解集是A ．{}23x x x -或B ．{}23x x -<<C ．{}61x x x -或D ．{}61x x -<<【答案】C【分析】先分解因式再解不等式.【详解】因为2560x x +->，所以(1)(6)01x x x -+>∴>或6x <-，选C.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.16．（2020·上海交大附中高一开学考试）已知,,,,a b c d e 均为正整数，且满足15.18111a b c d e=++++，则a b c d e ++++=（）A ．13B ．14C ．15D ．16【答案】D【分析】根据表达式进行转化．【详解】9111115.1850.185555555051115055559119911515144=+=+=+=+=+=+=++++++++，∴5,5,1,1,4a b c d e =====，∴16a b c d e ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查小数与分数的转化，掌握分数的变形是解题基础．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．已知集合{}213A x x =-<+<，集合B 为整数集，令C A B = .（1）求集合C ；（2）若集合{}1,D a =，{2,1,0,1,2}C D =-- ，求实数a 的值.【答案】（1）{2,1,0,1}--；（2）2a =.【分析】（1）首先得到{}32A x x =-<<，再求C A B = 即可.（2）根据{}2,1,0,1,2C D =--即可得到答案.【详解】（1）{}{}21332A x x x x =-<+<=-<<，因为集合B 为整数集，所以{}2,1,0,1C A B -=-= .（2）因为{}2,1,0,1C -=-，{}1,D a =，{}2,1,0,1,2C D =--，所以2a =.18．若()()211f x ax a x =-++，a R ∈.（Ⅰ）若()0f x <的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值；（Ⅱ）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（Ⅰ）4a =；（Ⅱ）答案见解析.【分析】（Ⅰ）14，1为方程()0f x =的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可.（Ⅱ）(1)(1)0ax x -->，分0a <、0a =、01a <<、1a =和1a >五种情况讨论即可【详解】（Ⅰ）()2110ax a x -++<的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，14，1是()2110ax a x -++=的解.1114114a aa+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.解得：4a =（Ⅱ）当0a =时，不等式的解为1x >，解集为{}1x x >当0a ≠时，分解因式()()110x ax --<()()110x ax --=的根为11x =，21x a=.当0a <时，11a >，不等式的解为1x >或1x a <；解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.当01a <<时，11a <，不等式的解为11x a <<；解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.当1a >时，11a <，不等式的解为11x a <<；等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.当1a =时，原不等式为()210x -<，不等式的解集为∅.综上：当0a =时，不等式的解集为{}1x x >；当0a <时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，不等式的解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，不等式的解集为∅.19．解关于x 的不等式.（1）x 2<2x +3；（2）4x −2x −2>0.【答案】（1）{}13x x -<<；（2）{}1x x >.【分析】（1）直接解一元二次不等式即可.（2）先换元，将不等式转化成一元二次不等式，解得22x >，再解指数不等式即得结果.【详解】解：（1）2223,230x x x x <+∴--< ；令2230,1x x x --=∴=-或3x =；∴不等式的解集为{}13x x -<<；（2）4220x x -->；令220,20x t t t =>∴-->；1t ∴<-（舍）或2t >，即22,1x x >∴>∴不等式的解集为{}1x x >.20．（2020·上海交大附中高一开学考试）某校为美化校园，计划对面积为18002m 的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为4002m 区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少2m ?（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天?【答案】（1）甲：1002m ，乙：502m ；（2）10天.【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ,根据在独立完成绿化的面积时,甲队比乙队少用4天,列出方程,求解即可;(2)设应安排甲队工作y 天,根据这次绿化的面积总费用不超过8万元,列出不等式,求解即可.【详解】解:(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积为x 2m ，根据题意得:40040042x x-=,解得:50x =,经检验50x =是原方程的解,则甲工程队每天能完成绿化的面积是2502100m ⨯=答:甲工程队每天能完成绿化的面积分别是1002m ,乙工程队每天能完成绿化的面积分别是502m (2)设应安排甲队工作y 天,根据题意得:18001000.40.25850yy -+⨯≤,解得:10y ≥答:至少应安排甲队修建10天.【点睛】本题考查不方程和不等式在实际问题中的应用，考查分析问题的能力，属于基础题.21．（2020·上海高一开学考试）已知函数2()4(0,,)f x ax x b a a b R =++<∈，设关于x 的方程()0f x =的两实根为12,x x ，方程f (x )=x 的两实根为,αβ.（1）若||1αβ-=，求a 与b 的关系式；（2）若,a b 均为负整数，且||1αβ-=，求f (x )的解析式；【答案】（1）249(0,,)a ab a a b R +=<∈；（2）2()42f x x x =-+-.【分析】（1）根据根与系数的关系，以及||1αβ-=，得到a 与b 的关系式；（2）由（1）中得到的关系，和,a b 均为负整数，求得,a b ，得到()f x 的解析式.【详解】（1）由()f x x =得23(0,,)ax x b a a b R ++<∈有两个不等实根为,αβ，∴3940,,b ab a aαβαβ∆=->+=-=由||1αβ-=得2()1αβ-=，即2294()41b a aαβαβ+-=-=，∴249(0,,)a ab a a b R +=<∈.（2）由（1）得(4)9a a b +=，而,a b 均为负整数，∴149a a b =-⎧⎨+=-⎩或941a a b =-⎧⎨+=-⎩或343a ab =-⎧⎨+=-⎩显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有149a a b =-⎧⎨+=-⎩∴12a b =-⎧⎨=-⎩故所求函数解析式为2()42f x x x =-+-.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了学生分析观察能力，推理能力，属于中档题.。

长郡中学2024级高一综合能力检测试卷数学时量：90分钟 满分100分一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符题目要求的.1.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿1=万1万，1兆1=万1×万1×亿．若1兆10m=，则m 的值为（ ） A.4 B.8C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】1万=410，所以1亿=810， 所以1兆=8816101010×=， 所以16m =. 故选：D2.二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒大寒），若从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）A.12B.112C.16D.14【答案】D 【解析】【分析】根据概率的计算公式即可求解.【详解】从二十四个节气中随机抽取一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为61244=， 故选：D3.如图，矩形ABCD 中，3AB =，1AD =，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴的正半轴于M ，则点M 所表示的数为（ ）A. 2B.1−C.D.1【答案】B 【解析】【分析】利用勾股定理和数轴的知识求得正确答案.【详解】由于AC =，所以点M所表示的数为)231+−=−.故选：B4. 若关于x 的不等式组()532223x x x x a + ≥−+<+恰好只有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）A. 53a <−B. 5433a −≤<− C. 523a −<−≤D. 523a −<<−【答案】C 【解析】【分析】化简不等式组，由条件列不等式求a 的取值范围. 【详解】解不等式532x x +≥−，得11x ≤， 解不等式()223x x a +<+，得23x a >−， 由已知可得7238a ≤−<， 所以523a −<−≤.故选：C.5. 在ABC ，3AC =，4BC =，5AB =，点P 在ABC 内，分别以A ，B ，P 为圆心画圆，圆A 的半径为1，圆B 的半径为2，圆P 的半径为3，圆A 与圆P 内切，圆P 与圆B 的关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离【答案】B 【解析】【分析】由题意条件分析两圆圆心距与两半径和差的大小关系即可得. 【详解】由圆A 与圆P 内切，则312PA =−=，5AB =， 又点P 在ABC 内，则PA PB AB +>，且PB AB <， 所以523PB AB PA >−=−=，且5PB <， 则3232PB −<<+，由圆B 的半径为2，圆P 的半径为3， 所以圆P 与圆B 相交. 故选：B.6. 对于正整数k 定义一种运算：1()[][]44k k f k +=−，例：313(3)[][]44f +=−，[]x 表示不超过x 的最大整数，例：[3.9]3=，[ 1.8]2−=−．则下列结论错误的是（ ） A. ()10f =B. ()0f k =或1C. ()()4f k f k +=D. ()()1f k f k +≥【答案】D 【解析】【分析】根据给定的定义，逐项计算判断即可.【详解】对于A ，11(1)[][]00024f =−=−=，A 正确； 对于B ，取4,1,2,3,4k n i i =+=，n 为自然数， 当4i =时，1()[1][1][1]044f k n n ++−+，当3i =时，33()[1][]1([])144f k n n n n =+−+=+−+=，当1,2i =时，11()[][][]([])04444i i i if k n n n n ++=+−+=+−+=，B 正确； 对于C ，11(4)[1][1]1[](1[])()4444k k k kf k f k +++=+−+=+−+=，C 正确； 对于D ，414313(31)[][]0,(3)[][]14444f f +++=−==−=，即(31)(3)f f +<，D 错误.故选：D7. 如图，点A 为反比例函数()10y x x=−<图象上的一点，连接AO ，过点O 作OA 的垂线与反比例函数()40yx x=>的图象交于点B ，则AO BO 的值（ ）A.12B.14C.D.13【答案】A 【解析】【分析】设121214,,,A x B x x x −，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ，由AO BO ⊥，得∽∠ AOE OBF ，由==AEEO AO OFBF BO，可得答案. 【详解】设AA �xx 1,−1xx 1�,BB �xx 2,4xx 2�(xx <0,xx 2>0)，由,A B 两点分别做x 轴的垂线，垂足分别为,E F ， 且()()12,0,,0E x F x ，因为AO BO ⊥，所以,∠=∠∠=∠AOE OBF OAE BOF ， 所以∽∠ AOE OBF ，所以AE EO OF BF =，可得112214−−=x x x x ，即22124x x =，所以122x x =−， 所以12121211==−==−=A Ex x x OA BO OFx.故选：A.8. 若二次函数的解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤，且函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，则q 的取值范围是（ ） A. 124q −≤≤ B. 50q −≤≤C. 54q −≤≤D. 123q −≤≤【答案】A 【解析】【分析】由二次函数解析式可求得对称轴为1x m =+，进而可得412p p m ++=+，由函数图象过点(),p q ，可得2(1)4q m =−−+，可求q 的取值范围.【详解】因为二次函数解析式为()()()2215y x m x m =−−≤≤， 所以二次函数的对称轴为1x m =+，函数图象过点(),p q 和点()4,p q +，故点(),p q 和点()4,p q +关于直线1x m =+对称， 所以412p p m ++=+，所以1[0,4]p m −∈， 又()()()()2222121223(1)4q p m p m m m m m m =−−=−−−−=−++=−−+， 当1m =，max 4q =，当5m =，min 12q =−，所以124q −≤≤. 故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分．9. 分解因式：432449a a a −+−=______． 【答案】2(23)(1)(3)a a a a −++− 【解析】【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解.【详解】43222222449(2)9(23)(23)(23)(1)(3)a a a a a a a a a a a a a −+−=−−=−+−−=−++−. 故答案为：2(23)(1)(3)a a a a −++−的10. 直线1:1l y x =−与x 轴交于点A ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线2l ，则直线2l 对应的函数表达式是______．【答案】y =【解析】【分析】先求得2l 的倾斜角，进而求得直线2l 对应的函数表达式. 【详解】直线1:1l y x =−与x 轴交于点 1,0A ， 直线1:1l y x =−的斜率为1，倾斜角为45°，所以2l 的倾斜角为60°所以直线2l 对应的函数表达式是)1y x =−=.故答案为：y=−11. 若关于x 的分式方程22411x a x ax x −−+−=−+的解为整数，则整数a =______． 【答案】1± 【解析】【分析】由分式方程有意义可知1x ≠且1x ≠−，再化简方程求解2x a=，由,a x 均为整数可求.【详解】则方程241x a x −−−1x ≠且1x ≠−. 方程可化为222211x a x ax x −−+−=+−+，即2211a a x x −+=−+， 解得2x a=，由1x ≠且1x ≠−，所以2a ≠且2a ≠−.由a 为整数，且x 为整数，则当1a =−，2x =−，或当1a =，2x =时满足题意. 所以1a =±. 故答案为：1±.12. 如图，已知两条平行线1l ，2l ，点A 是1l 上的定点，2AB l ⊥于点B ，点C ，D 分别是1l ，2l 上的动点，且满足AC BD =，连接CD 交线段AB 于点E ，BH CD ⊥于点H ，则当BAH ∠最大时，sin BAH ∠的值为______．【答案】13【解析】【分析】因为BH CD ⊥于点H ，所以点 H 在以BE 为直径的圆上运动, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大，据此在OHA 求解即可. 【详解】12//,//,AC BD l l∴ 四边形 ACBD 是平行四边形 12AE BE AB ∴==A 为定点, 且 2//AB l AE ∴ 为定值,BH CD ⊥ 90BHE ∠∴=, 如图，取BE 的中点O ,则点 H 在以BE 为直径的圆上运动,此时 1123OE BE OA ==, 当 AH 与圆 O 相切时, BAH ∠ 最大1sin 3OH BAH OA ∠∴==故答案为：13.三、解答题：本题共4小题，共52分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.（1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制），对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息.a .教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98b .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组8285x ≤<，第2组8588x ≤<，第3组8891x ≤<，第4组9194x ≤<，第5组9497x ≤<，第6组97100x ≤≤）；平均数中位数众数教师评委 91 91 m 学生评委90.8n93c .评委打分的平均数、中位数、众数如上： 根据以上信息，回答下列问题：①m 的值为______，n 的值位于学生评委打分数据分组的第______组；②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ，则x ______91（填“>”“=”或“<”）；（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：评1评委2评委3评委4评委5甲 93 90 92 93 92 乙9192929292丙 90 94 90 94 k若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中k （k 为整数）的值为______.【答案】（1）①91；4；②< （2）甲；92 【解析】【分析】（1）①根据众数以及中位数的定义解答即可；②根据算术平均数的定义求出8名教师评委打分的平均数，即可得出答案； （2）根据方差的定义和平均数的意义求解即可. 【小问1详解】①由题意得，教师评委打分中91出现次数最多，故众数91m =；45名学生评委打分数据的中位数是第23个数，故n 的值位于学生评委打分数据分组的第4组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x ， 则1(8890919191919292)90.758x =×+++++++=，91x ∴<.【小问2详解】甲选手的平均数为1(9390929392)925×+++=， 乙选手的平均数为1(9192929292)91.85×++++=， 因为丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，所以三位选手中排序最靠前的是甲，且丙的平均数大于或等于乙的平均数， 因为5名专业评委给乙选手的打分为91,92,92,92,92， 乙选手的方差2221[4(9291.8)(9191.8)]0.165S =××−+−=乙， 5名专业评委给丙选手的打分为90,94,90,94,k ， 所以乙选手的方差小于丙选手的方差，所以丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，∴9390929392909490949192929292k ++++≥++++>++++，9291k ∴≥>， k 为整数，的k ∴的值为92.14. 根据以下素材，探索完成任务——如何设计摇椅的椅背和坐垫长度？素材一：某公司设计制作一款摇椅，图1为效果图，图2为其侧面设计图，其中FC 为椅背，EC 为坐垫，C ，D 为焊接点，且CD 与AB 平行，支架AC ，BD 所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O ．设计方案中，要求A ，B 两点离地面高度均为5厘米，A ，B 两点之间距离为70厘米；素材二：经研究，53OCF ∠=°时，舒适感最佳．现用来制作椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米，设计时有以下要求： （1）椅背长度小于坐垫长度；（2）为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A 时（如图3），F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米．（sin530.8°≈，cos530.6°≈，tan53 1.3°≈）任务：（1）根据素材求底座半径OA ； （2）计算图3中点B 距离地面的高度；（3）①求椅背FC 的长度范围；（结果精确到0.1m ） ②设计一种符合要求的方案． 【答案】（1）125厘米；（2）19.6厘米 （3）①64.580FC ≤<；②70cm ，90cm （答案不唯一）． 【解析】【分析】（1）根据四边形AHNB 为矩形，35AG BG ==厘米，5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，由勾股定理求出r 即可得出答案；（2）由四边形ANBK 为矩形，进而得AK BN h ==，()125cm,125cm OK h OB =−=，然后在直角三角形中由勾股定理列出关于h 的方程，解方程求出h 即可得出答案；（3）①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，先求出cos cos 0.28QCD OAB ∠=∠=，设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−，即可得0.60.28(160)12x x −−≥，由此解得64.5x ≥，据此可得椅背FC 的长度范围；②在①中椅背FC 的长度范围任取一个FC 的值，再计算出EC 的值即可，例如取70FC =厘米，则1607090EC =−=（厘米）；（答案不唯一，只要在FC 的长度范围内即可）． 【小问1详解】过点A 作AH 垂直地面于H ，过点O 作OG AB ⊥于G ，OG 的延长线于地面交于点M ，如图所示：AB 平行于地面，∴四边形AHNB 为矩形，1352AG BG AB ===厘米， 5AH GM ==厘米，设底座半径OA r =厘米，则OM OA r ==厘米，(5)OG OM GM r ∴=−=−厘米，在Rt OAG ∆中，OA r =厘米，35AG =厘米，(5)OGr =−厘米， 由勾股定理得：222OA OG AG =+，即：222(5)35r r =−+， 解得：125r =，∴底座半径OA 的长度为125厘米；【小问2详解】过点B 作BN 垂直地面于N ，BK OA ⊥于K ，如图所示：设BN h =，底座与地面相切于点A ，OA ∴垂直地面于点A ，∴四边形ANBK 为矩形，AK BN h ∴==，由任务一可知：125cm,125OA OB OK OA AK h ==∴==--， 在Rt ABK △中，cm,=70cm AK h AB =， 由勾股定理得：2222270BK AB AK h =−=−，在Rt OBK 中，()125cm,125cm OK h OB =−=， 由勾股定理得：22222125(125)BK OB OK h =−=−−，222270125(125)h h ∴−=−−，解得：19.6h =，∴点B 距离地面的高度为19.6厘米；【小问3详解】①过F 作FP OA ⊥于P ，过点E 作EQ OA ⊥于Q ，如图所示：//CD AB ，QCD OAB ∴∠=∠，由任务②可知：19.6AK h ==厘米，70AB =厘米， 在Rt ABK △中，19.6cos 0.2870AK OAB AB ∠===， cos cos 0.28QCD OAB ∴∠=∠=，椅背FC 和坐垫EC 的材料总长度为160厘米， ∴设椅背FC x =厘米，则坐垫(160)EC x =−， 椅背长度小于坐垫长度，160x x ∴<−，解得：80x <，在Rt CQE △中，cos 0.28CQQCD CE∠==， 0.280.28(160)CQ CE x ∴==−厘米，在Rt CFP △中，cos CPOCF CF∠=， cos cos530.6CP CF OCF x x ∴=⋅∠=⋅°≈（厘米）， F 点比E 点在竖直方向上至少高出12厘米，12AP AN ∴−≥，即：()12AC CP AC CQ +−+≥，12CP CQ ∴−≥，0.60.28(160)12x x ∴−−≥，解得：64.5x ≥， 又80x < ，64.580x ∴≤≤，即：64.580FC ≤≤，∴椅背FC 的长度范围是：64.580FC ≤<；②由于64.580FC ≤<，故取70cm FC =，则1607090cm EC ==-．15. 定义：在平面直角坐标系中，直线x m =与某函数图象交点记为点P ，作该函数图象中点P 及点P 右侧部分关于直线x m =的轴对称图形，与原函数图象上的点P 及点P 右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线x m =的“迭代函数”．例如：图1是函数1y x =+的图象，则它关于直线0x =的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为()()10,10.x x y x x +≥ =−+<（1）函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为______．（2）若函数243y x x =−++关于直线x m =的“迭代函数”图象经过()1,0−，则m =______．（3）已知正方形ABCD 的顶点分别为：(),A a a ，(),B a a −，(),C a a −−，(),D a a −，其中0a >．①若函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，求a 的值； ②若6a =，函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）1,13,1x x y x x +≥ =−+<（2）m =m =，（3）①3；②()5,1,12−∞−∪−. 【解析】【分析】（1）取点()2,3M ，()3,4N ，求两点关于1x =的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论；（2）判断点()1,0−与函数243y x x =−++的图象的关系，再求()1,0−关于直线x m =的对称点，由条件列方程求m 即可；（3）①求函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定a 的值； ②分别在0n >，0n =，0n <时求函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”解析式，讨论n ，由条件确定n 的范围.小问1详解】在函数1y x =+的图象上位于1x =右侧的部分上取点()2,3M ，()3,4N ， 点()2,3M 关于直线1x =对称点为(0,3)， 点()3,4N 关于直线1x =的对称点为()1,4−，设函数1y x =+，1x >的图象关于1x =对称的图象的解析式为,1y kx b x =+<， 则34b k b = −+=，解得13k b =− = ，所以函数1y x =+关于直线1x =的“迭代函数”的解析式为1,13,1x x y x x +≥ =−+<；【的【小问2详解】取1x =−可得，2431432y x x =−++=−−+=−， 故函数243y x x =−++的图象不过点()1,0−， 又点()1,0−关于直线x m =的对称点为()21,0m +， 由已知可得()()20214213m m =−++++，1m >−，所以m =或m =，【小问3详解】①当0x >或20x −≤<时，函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的图象的解析式为6y x =， 当2x <−时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象上，则点()4,x y −−在函数6y x=的图象上，所以64y x=−−， 所以函数6y x =关于直线2x =−的“迭代函数”的解析式为[)()()6,2,00,6,,24x xy x x∞∞ ∈−∪+ =∈−− −− ， 作函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象如下：观察图象可得3a =时，函数6y x=关于直线2x =−的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 的边有3个公共点，②若0n >，当x n ≥时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当0x <或0x n <<时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上，则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上，所以62y n x=−， 所以函数6y x =关于直线x n =“迭代函数”的解析式为()()()6,,6,,00,2x n xy x n n x∞∞ ∈+ =∈−∪ − ， 当6n >时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，的当6n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当16n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有2个公共点，当1n =时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有3个公共点，当01n <<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当0n =时，函数6y x =关于直线xx =0的“迭代函数”的解析式为6,06,0x xy x x> =−< ， 作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，若0n <，当0n x ≤<或0x >时，函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象的解析式为6y x=， 当x n <时，设点EE (xx ,yy )在函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象上， 则点()2,n x y −在函数6y x=的图象上， 所以62y n x=−，所以函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的解析式为[)()()6,,00,6,,2x n xy x n n x ∞∞ ∈∪+ = ∈− −，当10n −<<时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当1n =−时，作函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有5个公共点，当512n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有6个公共点，当52n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有5个公共点，当7522n−<<−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当72n=−时，作函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象可得，函数6yx=关于直线x n=的“迭代函数”的图象与正方形ABCD有4个公共点，当762n −<<−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n =−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，当6n <−时，作函数6y x =关于直线x n =的“迭代函数”的图象可得， 函数6y x=关于直线x n =的“迭代函数”的图象与正方形ABCD 有4个公共点，综上，n 的取值范围为()51,12∞−−∪−，. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.16. 已知抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于点()1,0A −，()3,0B ．（1）如图1，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为线段OC 上一点（不与端点重合），直线PA ，PB 分别交抛物线于点E ，D ，设PAD △面积为1S ，PBE △面积为2S ，求12S S 的值； （2）如图2，点K 是抛物线的对称轴与x 轴的交点，过点K 的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M ，N ，过抛物线顶点G 作直线//l x 轴，点Q 是直线l 上一动点求QM QN +的最小值．【答案】（1）19（2）【解析】【分析】（1）把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程，解出抛物线的解析式，设(0,)P p ，求出直线AP 解析式为y px p =+，联立方程223y px p y x x =+ =−++， 可得2(3,4)E p p p −−+，同理可得234(,)393p p p D −−+，即可得1S ，2S ，化简可得结果； （2）作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，求出(1,0)K ，设直线MN解析式为y kx d =+，把点K 坐标代入即可知直线MN 的解析式y kx k =−，设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，求出2(,25)N n n n ′−+，可得QM QN QM QN MN ′′+=+≥，结合2(,23)F n m m −++，可得222421780MN MF N F k k =+=++′′，从而得到QM QN +的最小值. 【小问1详解】把点()1,0A −，()3,0B 代入抛物线方程2y x bx c =−++得：10930b c b c −−+= −++=， 解得：23b c = =， 所以抛物线方程为：223y x x =−++， 设(0,)P p ，直线AP 解析式为11y k x b =+， 把点()1,0A −，(0,)P p 代入得：1110k b b p −+= = ， 所以线AP 解析式为y px p =+，联立223y px p y x x =+ =−++ ，解得：10x y =−=或234x p y p p =− =−+ ， 所以2(3,4)E p p p −−+，设直线BP 解析式为22y k x b =+ 把点()3,0B ，(0,)P p 代入得：22230k b b p+= = ， 直线BP 解析式为3py x p =−+ 联立2323p y x p y x x =−+ =−++ ，解得：30x y = = 或233493p x p p y − = =−+可得234(,)393p p p D −−+， 所以221142()2(3)2939ABD ABP D P p p S S S AB y y p p p =−=⋅−=−+−=− ， ()2221()242(3)2ABE ABP E P S S S AB y y p p p p p =−=⋅−=−+−=− ， 所以2122192(3)92(3)S p p S p p −=−= 【小问2详解】作点N 关于直线l 的对称点N ′，连接MN ′，过M 点作MF NN ′⊥于F ，如图：因为2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线223y x x =−++的对称轴为1x =， 所以(1,0)K ，设直线MN 解析式为y kx d =+， 把点(1,0)K 代入得：=0k d +，所以=d k −，所以直线MN 的解析式为y kx k =− 设2(,23)M m m m −++，2(,23)N n n n −++，联立223y x x y kx k =−++ =−，可得2(2)30x k x k +−−−= 则2m n k +=−，3mn k =−−，因为N ，N ′关于直线l ：4y =对称，所以2(,25)N n n n ′−+，则QM QN QM QN MN ′′+=+≥，又2(,23)F n m m −++， 所以222()2N F m n m n +−++′，FM m n =−， 在Rt MFN ′ 中，2222222()2()2MN MF N F m n m n m n =+=−++−++ ′ ′，222()4()22()2m n mn m n mn m n =+−++−−++222(2)4(3)(2)2(3)2(2)2k k k k k =−−−−+−−−−−−+ 421780k k =++所以当0k =时，2MN ′最小为80，此时MN ′=所以QM QN +≥，即QM QN +的最小值为。