上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11ab-= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ．4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅= ．6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ⊂，则k 的最小值为 ． 7．设函数()xf x x=，则2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ．8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为252，则a = ．9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121()1x f x x -=+，对于1,2,n =，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ．二、计算与证明题（每小题10分，共50分）11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当10,4r mm h mm ==时，R 的值．12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．参考答案：1. 21x -2. 12- 3. 2 4. 945. ()1!1n +-6. 27. ()()()1102112104nn n x n x ⎧+>⎪⎪⎨+--⎪<⎪⎩8. ± 9. 4345 10. 2353x x -- 11.22R r r h=+，60R mm = 12.⎡⎣；偶函数；11,224k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；11,242k k πππ+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；周期为2π13. min 54d =；5,42M ⎛± ⎝⎭14.略；反证法 15. 2；3；232322n n --⨯+2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1一．填空题1．若21()21x x f x -=+，1()()g x f x -=，则3()_______5g =．22．函数218x y x +=+的最大值为__________．143．等差数列中，81353a a =，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为__________．204．复数||1z =,若存在负数a 使得2220z az a a -+-=，则________a =5．若1cos sin 2x x -=，则33cos sin ________x x -=．11166．数列{}n a的通项公式为n a =，则这个数列的前99项之和99_______S =．9107．2(1)(1)x x ++++……9899(1)(1)x x ++++中3x 的系数为________．4100C =39212258．数列{}n a 中，00a =，112a =-，26a =，334a =-，420a =，556a =-，642a =，778a =-，872a =，此数列的通项公式为_______n a =．(1)(1)(1)nnn n --+9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．2310．若曲线221:0C x y -= 与 222:()1C x a y -+=的图像有3个交点，则a = ．1±二．解答题1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a ；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b ． （１）a 是否有可能比b 高？ （２）a 和b 是否可能相等？ 1．解：()1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b =； ② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ≤；③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。
因为a 为a 、x 列最矮的人，所以有a x <； 又因为b 为b x 、列最高的人，所以有b x >；于是有a x b<<。
综上，不可能有a b>()2有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为1,2,330……，如图2所示：此时有26==．a b3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级．（１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（２）若不考虑()1中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：()1乙专家若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。
中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。
澳澳中中卡卡伊伊总分澳 3 0 3 0 3 3 12 中 0 31 3 0 3 10 卡 0 3 1 03 3 10 伊 0 0 3 0 0 03假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。
12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。
而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。
()2若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。
澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 澳3 0 3 0 3 3 12 中 0 30 3 3 3 12 卡 0 3 3 03 3 12 伊 0 0 0 0 0 0假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！ 故中国队至少得13分才可以确保出线。
4．通信工程中常用n 元数组123(,,,)n a a a a ……表示信息，其中0i a =或1，i n N ∈、．设123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，(,)d u v 表示u 和v 中相对应的元素不同的个数．（１）(0,0,0,0,0)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)1d u v =；（２）(1,1,1,1,1)u =问存在多少个5元数组v 使得(,)3d u v =； （３）令0(0,0,00)n w =个……，123(,,)n u a a a a =……，123(,,)n v b b b b =……，求证：(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥． 解：()15； ()23510C =；()3记u v 、中对应项同时为0的项的个数为p ，对应项同时为1的项的个数为q ，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为n p q --；()p q N p q n ∈+≤、，．(,)d u w 即是u 中1的个数，(,)d v w 即是v 中1的个数，(,)d u v 是u v、中对应项一个为1，一个为0的项的个数。
于是有(,)d u v n p q =--u v 、中1一共有2()q n p q +--个，即(,)(,)d u w d v w n p q +=-+所以有(,)(,)(,)20d u w d v w d u v q +-=≥ 于是(,)(,)(,)d u w d v w d u v +≥．5．曲线()220y px p =>与圆22(2)3x y -+=交于A B 、两点，线段AB 的中点在y x =上，求p ． 解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立22(2)3x y -+=与22y px =， 得：22(2)10x p x +-+=． 知1222x x p +=-，121x x =； 22212121212()22()y y y y y y p x x +=+-=+ 且1212y y x x +=+． 得124(2)(1)y y p p =--．又2222121244y y p x x p ==． 所以21228124y y p p p ==-+解得p =p =（舍）． 2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生 数学试题 一、选择题,1.已知向量,a b 为非零向量,(2),(2),a b a b a b -⊥-⊥则,a b 夹角为( ) A. 6π B. 3π C. 32π D. 65π2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则tan()tan()αβγαβγ++=-+( )A. 11n n -+ B.1nn + C .1n n - D.11n n +- 3.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱1AA 的中点,F 是棱11A B 上的点,且11:1:3A F FB =,则异面直线EF 与1BC 所成角的正弦值为( )4.i 为虚数单位,设复数z 满足||1z =,则2221z z z i-+-+的最大值为( )1 B. 21 D. 25.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴上,ABC ∆三个顶点都在抛物线上,且ABC ∆的重心为抛物线的焦点,若BC 边所在的直线方程为4200x y +-=,则抛物线方程为( )A.. 216y x =B. 28y x =C. 216y x =-D. 28y x =- 6.在三棱柱111ABC A B C -中,底面边长与侧棱长均不等于2,且E 为1CC 的中点,则点1C 到平面1AB E 的距离为( )BD.27.若关于x的方程2||4xkxx=+有四个不同的实数解,则k的取值范围为( )A. (0,1)B. 1(,1)4C.1(,)4+∞ D. (1,)+∞8.如图,ABC∆内接于O,过BC中点D作平行于AC的直线,l l交AB于E,交O于G F、,交O在A点处的切线于P,若3,2,3PE ED EF===,则PA 的长为( )D.9.数列{}ka共有11项,1110,4,a a==且1||1,1,2,,10k ka a k+-==满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 16010.设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转,τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射.用τσ表示变换的复合,先做τ,再做σ.用kσ表示连续k次σ的变换,则234στστστσ是( )A. 4σB. 5σC.2στD.2τσ二、解答题13.已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F-,且椭圆与直线y x=-相切.(1)求椭圆的方程;(2)过1F作两条互相垂直的直线12,l l,与椭圆分别交于,P Q及,M N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.14.一袋中有a个白球和b个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复n 次这样的操作后,记袋中白球的个数为n X . (1)求1EX ;(2)设()n k P X a k p =+=,求1(),0,1,,;n P X a k k b +=+=(3)证明:11(1) 1.n n EX EX a b+=-++ 参考答案: 一.选择题1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.9.10.B D B C A D C B B D二.解答题13.【解】设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>,因为它与直线y x =只有一个公共点,所以方程组22221,x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩只有一解,整理得2222222()30a b x x a a b +-+-=. 所以2222222(23)4((3)0,a a b a a b =--+-=得223a b +=.又因为焦点为12(1,0),(1,0)F F -,所以221,a b -=联立上式解得222,1a b ==所以椭圆方程为2212x y +=.(2)若PQ斜率不存在(或为0)时,则||||22PMQN PQ MN S ⋅===四边形.若PQ 斜率存在时,设为(0)k k ≠,则MN 为1k-.所以直线PQ 方程为y kx k =+.设PQ 与椭圆交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y联立方程221,2.x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简得2222(21)4220k x k x k +++-=.则22121222422,2121k k x x x x k k --+==++所以12|||PQ x x=-==同理可得||MN=所以222422242421||||(1)21124444()2(2)(21)2522252 PMQNkPQ MN k k kSk k k k k k⋅+++====-++++++四边形242221114()4()12410424410kk k kk=-=-++++因为22144101018kk++≥=（当且仅当21k=时取等号）所以,2211(0,],1184410kk∈++也所以2211164()[,2]1294410kk-∈++所以综上所述,PMQNS四边形的面积的最小值为169,最大值为2.14.【解】(1)1n=时,袋中的白球的个数可能为a个(即取出的是白球),概率为aa b+;也可能为1a+个(即取出的是黑球),概率为ba b+,故21(1)a b a ab bEX a aa b a b a b++=⋅++⋅=+++.(2)首先,10(0);naP X a Pa b+=+=⋅+1k≥时,第1n+次取出来有a k+个白球的可能性有两种;第n次袋中有a k+个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即a b+个白球(故此时黑球有b k-个),第1n+次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为;ka kPa b+⋅+第n次袋中有1a k+-个白球,第1n+次取出来的是黑球,由于每次球的总数为a b+个,故此时黑球的个数为1b k-+.这种情况发生的概率为11(1)kb kP ka b--+⋅≥+.故111()(1).n k k a k b k P X a k P P k a ba b+-+-+=+=⋅+⋅≥++(3)第1n +次白球的个数的数学期望分为两类:第n 次白球个数的数学期望,即n EX .由于白球和黑球的总个数为a b +,第1n +次取出来的是白球,这种情况发生的概率是nEX a b+;第1n +次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是na b EX a b+-+,此时白球的个数是 1.n EX +故21()(1)(1)(1)n n n nn n n n EX a b EX EX EX EX EX EX EX a b a b a b a b ++-=+⋅+=+-+++++22()())11(1)1n n n n n EX EX EX EX EX a b a b a b a b=+-+-=-+++++清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题（2009年12月30日）1.求()xe f x x=的单调区间及极值.2.设正三角形1T 边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内切圆面积之和.求1lim nk n k A →∞=∑. 3.已知某音响设备由五个部件组成，A 电视机，B 影碟机，C 线路，D 左声道和E 右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A 与B 中有一工作，C 工作，D 与E 中有一工作；且若D 和E 同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率；（2）听不到声音的概率.4.(1)求三直线60x y+=，12y x=，0y=所围成三角形上的整点个数；(2)求方程组21260y xy xx y<⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩的整数解个数.5.已知(1,1)A--，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线1(0)xy x=>一支上.(1)求证B、C关于直线y x=对称；(2)求△ABC的周长.复旦大学2010年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1．sin x+sin y=0，则cos2x-sin2y=___________________．2．平面π1,π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________．3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，则x+y=________________________．4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____．5．2002=83a 3+82a 2+8a 1+a 0，0≤a 0,a 1,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=______________．6．15(x的常数项为_________________． 7．n ＝__________________． 8．空间两平面α,β，是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直？___________．9．在△ABC 中，cos(2A -C )＝cos(2C -B )，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)1．求解：cos3x tan5x ＝sin7x ．2．数列3，3-lg2，…,3-(n -1)lg2．问当n 为几时，前n 项的和最大？3．求证：x ∈R 时，|x -1|≤4|x 3-1|． 4．a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？ 5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6．x 3-2y 3＝1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．1．设f (x )1，则10(2)f x dx =⎰__________． 2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是__________．3．方程316281536x x x ⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =__________．5．函数2y x =+的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．2、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) 1．若今天是星期二，则31998天之后是( ) A ．星期四B ．星期三C ．星期二D ．星期一 2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是( ) A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+--( ) A ．-2B ．2C ．-4D ．43、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=． 试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)p p pp n n p n+→∞+++>． 4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：341sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．1. 数12825N =⨯的位数是_______________。
