考研数学-云南大学《数学分析》2009——2010学年第一学期试题

云南大学经济学院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005公共管理学院政治学原理2006——2009当代中国政府与政治2006——2009政治学概论2007——2009（2007、2008年试题名称为“国际政治学概论”）社会学人类学理论与方法2007——2009社会学基础2007——2009民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004行政管理2008——2009行政学概论2006——2009经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）西方经济学二2008——2009西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2007西方经济学（含微观经济学和宏观经济学）（产业经济学专业）2008图书馆、情报与档案管理实务2006——2009图书馆学、情报学与档案学基础2006——2009法学院经济法学、民法学、刑法学2006——2009法理学、宪法学2006——2009马克思主义研究院马克思主义哲学原理2006——2009马克思主义基本原理概论2009毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论2009民族学理论与方法2009发展研究院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005社会学人类学理论与方法2007——2008社会学基础2007——2008民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004人文学院马克思主义哲学原理2006——2009专业综合理论2007——2009中国语言文学基础2007——2009理论批评2007——2009传播理论2002——2005，2007——2009新闻传播实务2002——2005，2007——2009世界近现代史2005——2006中国通史2005——2006西方哲学史2006马克思主义政治经济学原理2006外国语学院二外日语2002，2004——2009二外德语2002，2004——2009二外法语2002，2004——2009二外英语2004，2006——2007，2009基础英语（含写作、翻译、阅读）2004——2009综合考试（英语语言文学专业）1999——2000，2004——2009综合考试（法语语言文学专业）2004，2006——2007，2009基础法语2004，2006——2007，2009翻译（法汉互译）2002法国文学2002英美文化与文学2002英美文学1999——2000英语写作1999——2000英汉互译1999——2000写作与翻译（英语专业）2002民族研究院马克思主义哲学原理2006——2009综合专业理论2007——2009社会学人类学理论与方法2007——2009社会学基础2007——2009人类学基础2009民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）民族学理论与方法2009社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004马克思主义政治经济学原理2006工商管理与旅游学院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005旅游综合考试2005国际关系研究院政治学概论2006——2009近现代国际关系史2007——2009世界民族与民族问题2007——2009民族学概论2007——2009经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）艺术与设计学院中外艺术史2004，2005，2009（其中2005年的试卷内容不全）艺术理论2009文化人类学2009艺术概论2004（A卷），2005（A卷）（其中2005年的试卷内容不全）高等教育研究院院教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）教育学综合（含教育学原理、中外教育史）2006马列主义教学研究部马克思主义哲学原理2006——2009马克思主义基本原理概论2009毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论2009 马克思主义哲学基本原理2007马克思主义政治经济学原理2006邓小平理论和三个代表重要思想概论2006——2007民族学理论与方法2007数学与统计学院数学分析2004，2007——2009高等代数2004，2007——2009数学分析与高等代数2003，2005——2006概率论数数理统计2005——2009（2006年试题有两份）西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009生命科学学院普通生物学2006——2009遗传学2005——2009生物化学2000——2003微生物学2002信息学院离散数学2002——2009信号与系统2003，2005——2006，2008——2009自动控制原理2007——2009数据结构与操作系统2003，2005——2008数据结构与数据库技术2003数据结构与算法2003数据结构2003计算机程序设计2007——2008数据结构与程序设计2003，2005，2007——2008数字电路2005——2006化学科学与工程学院化学（一）2005——2009化学（二）2005——2009化学（三）2005——2009分析化学2004有机化学2004综合化学2004物理科学技术学院量子力学2003，2007——2009大学物理（物理科学技术学院使用）2007——2009高等数学2005——2009程序设计与数值算法基础2007电路理论2008——2009电磁场原理2008电路与电磁场理论2007普通化学2006——2008普通化学（一）2007——2009普通物理2006——2009量子物理基础2008——2009固体物理基础2008固体物理2003，2007——2008材料科学基础2007，2009资源环境与地球科学学院城市与区域规划（人文地理专业）2005土地利用规划与管理2009高等数学2005——2009高等数学（二）2009综合地理学2009天气学2009地震学与地质学基础2009结构力学2009软件学院计算机程序设计2007——2009高等数学一（自命题）2009数据结构与程序设计2003，2005，2007——2008 数据结构与操作系统2003，2005——2006，2008 数据结构与数据库技术2003数据结构与算法2003数据结构2003离散数学2002——2009古生物重点实验室地质学基础2006普通生物学2006——2009古生物地史学2006城市建设与管理学院城市与区域规划（人文地理专业）2005土地利用规划与管理2009高等数学2005——2009高等数学（二）2009综合地理学2009天气学2009地震学与地质学基础2009结构力学2009文化产业研究院经济人类学2009民族文化与经济2009文化产业概论2009中外艺术史2004（A卷），2005（A卷）（其中2005年的试卷内容不全）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004工程技术研究院大学物理（工程技术研究院使用）2007——2009普通化学2006——2008普通化学（一）2007——2008普通化学（二）2009教育技术学基础2006——2009多媒体技术基础2006——2008计算机网络基础2009。

数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷）一、叙述题（每题5分，共10分）1.上确界；2.区间套的定义。

二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是.2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为.3.)1ln()(2x x f +=,已知56)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]12111[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim xx x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e limx x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导；（6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导；（7）求⎩⎨⎧==;cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。

四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0→是否存在，说明原因。

2.设000)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x x e x g x f x,其中)(x g 具有二阶连续导数,且1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续.2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= .3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>⋅b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1ξξξf f b f a f b a b a '-=-.。

2010（一）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x--''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-'' 所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x --''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-''所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。

2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A 卷一、填空题(1~12小题，每题4分,共48分)(1) 已知函数xx a x a x y ++=,则='y ______________________.(2) 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(22x b ax x x x x f 在, ),(+∞-∞连续、可导,则=a ______, =b ______.(3) 定积分=-⎰dx x x π03sin sin ______________________. (4)=--⎰))()((0x dt t x f t x dx d ______________________.(5) 函数)1)(1)(1(142x x x +++展开成麦克劳林级数,则该级数的9x 的系数为______________.(6) 函数x x y ln =的拐点坐标是______________________.(7) 改变积分次序=⎰⎰104),(x x dy y x f dx ______________________.(8) 已知两点)0,2,0(),0,0,1(连成一条直线l ,求点)0,0,0(A 到直线l 的距离=d ______________.(9) 已知微分方程x y y 2sin =-''的三个特解为,2cos 10121*1x e e y x x +-+=- ,2cos 10121,2cos 10121*3*2x e y x e y x x +-=+-=-则该方程的通解为______________________.(10) 幂级数∑∞=++-112)12()1(n n nn x 的收敛域______________________.(11) 已知f 具有二阶连续偏导数,),,(xy y x f z =,则=∂∂xz _________.=∂∂∂y x z 2_____________.(12) 已知曲面∑为上半球面2222a z y x =++与xoy 平面上的圆面222a y x ≤+所围,方向为外侧,则dxdy z zdx d y dydz x 333++⎰⎰∑=______________________.二、解答题：13~21小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13）（本题满分10分）求极限x xx x 10)242(lim +→.（14）（本题满分10分）求积分dxdy y x b D ⎰⎰--222,其中}|),{(:2222b y x a y x D ≤+≤.(15) （本题满分10分）求微分方程yyxe e dx dy +=1的通解.(16) （本题满分12分）已知幂级数n n n x n n 211)12()1(∑∞=---,求其和函数，并求∑∞=---11)12()1(n n n n 的和值.(17)（本题满分13分） 在第一象限求曲线214x y =-上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围面积最小，并求此最小面积.(18) （本题满分13分）抛物面22y x z +=被平面0=++z y x 截成一椭圆,求)0,0,0(到椭圆的最长与最短距离.(19) （本题满分12分）求曲线积分⎰+--Ldy y x dx xy x )sin 2()(cos 2,其中L 是曲线x y 2sin π=上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧.(20) （本题满分12分）设)(x f 在],[b a 上连续,证明下面不等式：222)())(11())(1(a b dx x f dx x f ba b a -≥++⎰⎰（21）（本题满分10分）设()f x 在[]0,1上三阶连续可导，且'11(0)0,(1),()022f f f ===，证明在()0,1内至少存在一点ξ，使12|)(|≥'''ξf .。

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=, 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】12221212222x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-, ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()0122111x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()1230,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T Q Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。