高考数学二轮复习 解析几何 5.7 直线与圆锥曲线学案 理

第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系(1)一、复习目标1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程(组)的问题；2、会利用韦达定理等处理诸如弦中点、弦长等问题；3、能够运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、不等式的知识解决相关问题.二、基础回顾1、直线l 被圆044222=++-+y x y x 截得的线段长为２，将直线l 沿向量)4,3(-=平移后被该圆截得的线段的长仍为２，则直线l 的方程为（ ）A 0234=++y xB 0543=++y xC 0234=-+y xD 0543=-+y x2、若直线y x t =+与椭圆2214x y +=相交于A,B 两点，当t 变化时，||AB 的最大值是（ ）A 2B 5C D3、若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为，则______.a b += 4、椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 为AB 的中点，若AB O =为坐标原点，OC 斜率为2，则,a b 的值分别为_____________. 三、例题探究 例1、12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角3π的直线与椭圆交于,P Q 两点，求PQ F 2∆的面积.例2、对于椭圆2219y x +=，是否存在存直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰好被直线12x +0=平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.例3、已知Ｏ为坐标原点，)0,8(),0,4(=-=，动点P 10=+，（１）求PB PA ⋅的最小值。

（２）若)0,1(Q ，试问动点P 的轨迹上是否存在N M ,两点，满足QM NQ 34=，若存在，求出N M ,两点的坐标；若不存在，请说明理由。

〔备用题〕、已知椭圆的一个顶点是)1,0(-A ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线022=+-y x 的距离为３，试问是否存在一条斜率为)0(≠k k ，且在y 轴上的截距为２的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同的两点N M ,，设MN 的中点为P ，且有直线AP 到直线l 的角的正切为k2。

高三数学第二轮复习教案第5讲 解析几何问题的题型与方法（二）五、注意事项1．（1） 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度。

当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x =a （a ∈R ）。

因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑。

（2） 直线的截距式是两点式的特例，a 、b 分别是直线在x 轴、y 轴上的截距，因为a ≠0，b ≠0，所以当直线平行于x 轴、平行于y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解。

（3）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式。

（4）当直线1l 或2l 的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直（5）在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算。

2．（1）用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在x 轴上还是y 轴上，还是两种都存在。

（2）注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行a 、b 、c 、e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆。

（3）求双曲线的标准方程 应注意两个问题：（1） 正确判断焦点的位置；（2） 设出标准方程后，运用待定系数法求解。

（4）双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b y ±=或表示为02222=-b y a x 。

若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式： k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数。

（5）双曲线的标准方程有两个12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）。

这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c 。

要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同。

第3讲 直线与圆锥曲线自主学习导引真题感悟1．(2012·某某)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程． 解析 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)， 其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4.故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2.又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得kAB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二 A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2.由OB →＝2OA →，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2.将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得kAB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .2．(2012·某某)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解析 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°. 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12.因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明 证法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎩⎨⎧⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．证法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P (2,1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0,1)、M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0,1)、M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74. 故若满足条件的点M 存在，只能是M (0,1)． 以下证明点M (0,1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， 所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．考题分析直线与圆锥曲线的综合应用往往是高考的压轴试题，具体表现为弦长与面积问题，最值与X 围问题、定点与定值问题、存在性问题等，运算量一般较大，有一定的难度，多以解答题的形式出现．网络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线中的弦长问题【例1】(2012·荆州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右顶点与右焦点的距离为3－1，短轴长为2 2.(1)求椭圆的方程；(2)过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为324，求直线AB 的方程．[审题导引](1)利用相关的几何性质求得a 、b 、c ，可求椭圆方程；(2)设出直线的方程，利用弦长公式得到三角形OAB 面积的表达式并解出直线的斜率，可得直线方程．[规X 解答] (1)由题意，⎩⎨⎧a －c ＝3－1，b ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝3，c x 23＋y 22＝1.(2)当直线AB 与x 轴垂直时，|AB |＝43，此时S △AOB ＝3不符合题意，故舍掉； 当直线AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为：y ＝k (x ＋1)，代入消去y 得：(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋(3k 2－6)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－6k 22＋3k2x 1x 2＝3k 2－62＋3k2，所以|AB |＝43k 2＋12＋3k2. 原点到直线的AB 距离d ＝|k |1＋k2，所以三角形的面积S ＝12|AB |d ＝12|k |1＋k 2·43k 2＋12＋3k 2. 由S ＝324⇒k 2＝2⇒k ＝±2，所以直线l AB ：2x －y ＋2＝0或l AB ：2x ＋y ＋2＝0.【规律总结】弦长问题的解决方法(1)弦长问题涉及直线与二次曲线的两个交点坐标，此时一般不是求出两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后的方程根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这是解决弦长问题以及其他直线与二次曲线问题的最基本方法．(2)注意使用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．【变式训练】1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果|AB |＝154，求椭圆C 的方程．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)设直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －c ，x 2a 2＋y 2b2＝1得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0，解得y 1＝－3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2c －2a3a 2＋b 2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2c ＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 2c －2a 3a 2＋b2. 得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为|AB |＝1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b2＝154.由c a ＝23得b ＝53a .所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.考点二：圆锥曲线中的最值与X 围问题【例2】(2012·某某模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆的方程；(2)求BM →·BN →的取值X 围．[审题导引] (1)根据所给条件利用椭圆的几何性质求出a 2、b 2；(2)设出直线的斜率与椭圆方程联立，根据韦达定理利用直线的斜率表示BM →·BN →，并求其X 围．[规X 解答] (1)由离心率为22，可设c ＝2t ，a ＝2t ， 则b ＝2t .因为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (2,1)，所以44t 2＋12t 2＝1，解得t 2＝32，所以a 2＝6，b 2＝3，椭圆方程为x 26＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)， 直线l 与椭圆的交点坐标为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －3x 26＋y23＝1，消元整理得，(1＋2k 2)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0，Δ＝(12k 2)2－4(1＋2k 2)(18k 2－6)＞0，得0≤k 2＜1， x 1＋x 2＝12k 21＋2k 2，x 1x 2＝18k 2－61＋2k 2，BM →·BN →＝(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2) ＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9]＝(1＋k 2)×31＋2k 2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋2k 2.因为0≤k 2＜1，所以2＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋2k 2≤3，所以BM →·BN →的取值X 围是(2,3]．【规律总结】最值或X 围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种： (1)利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值； (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值； (4)利用判别式求最值；(5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值． 【变式训练】2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e .(1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A 、B 两点，M 、N 分别为线段AF 2，BF 2的中点．若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤32，求k 的取值X 围． 解析 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3c a ＝32，得a ＝23，所以a 2＝12，结合a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝3. 所以，椭圆的方程为x 212＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1y ＝kx得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k 2，依题意知，OM ⊥ON ， 易知，四边形OMF 2N 为矩形， 所以AF 2⊥BF 2，因为F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，所以F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0. 即－a2a 2－91＋k2a 2k 2＋a 2－9＋9＝0，将其整理为k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2. 因为22＜e ≤32，所以23≤a ＜32，12≤a 2＜18. 所以k 2≥18，即k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞.考点三：圆锥曲线中的定点、定值与探索性问题【例3】在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (p,0)作直线m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A 、B 两点．(1)设N (－p,0)，求NA →·NB →的最小值；(2)是否存在垂直于x 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．[审题导引] (1)求出NA →·NB →的表达式，并求最小值；(2)是探索性问题，假设存在，以此为条件，求出弦长的表达式．若能为定值，则存在；反之，则不存在．[规X 解答] (1)依题意，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋p .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p ，y 2＝2px⇒y 2－2pmy －2p 2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－2p 2.∴NA →·NB →＝(x 1＋p ，y 1)·(x 2＋p ，y 2)＝(x 1＋p )(x 2＋p )＋y 1y 2＝(my 1＋2p )·(my 2＋2p )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2pm (y 1＋y 2)＋4p 2＝2p 2m 2＋2p 2.当m ＝0时，NA →·NB →的最小值为2p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为x ＝a ，AC 的中点为O ′，l 与以AC 为直径的圆相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为H ，则O ′H ⊥PQ ，O ′的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2，y 12.∵|O ′P |＝12|AC |＝12x 1－p2＋y 21＝12x 21＋p 2， ∴|PH |2＝|O ′P |2－|O ′H |2＝14(x 21＋p 2)－14(2a －x 1－p )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12p x 1＋a (p －a )． ∴|PQ |2＝(2|PH |)2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12p x 1＋a p －a .令a －12p ＝0，得a ＝12p ，此时|PQ |＝p 为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为x ＝12p .【规律总结】1．化解探索性问题的方法首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2．求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题． 【变式训练】3．(2012·东城11校联考)已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，A 点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程；(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条互相垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)；(3)直线x ＋my ＋1＝0与抛物线交于E 、F 两点，在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形？解析 (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义可得p 2＋12＝1，即p ＝1，所以抛物线的方程为y 2＝2x .(2)证明 由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设PQ 所在直线方程为x ＝my ＋n ，代入y 2＝2x 中，得y 2－2my －2n ＝0.所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y ＝－2n ， 其中y 1，y 2分别是P ，Q 的纵坐标， 因为MP ⊥MQ ，所以k MP ·k MQ ＝－1. 即y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝－1，所以(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4. y 1·y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＋4＝0，(－2n )＋2my 0＋2x 0＋4＝0，即n ＝my 0＋x 0＋2. 所以直线PQ 的方程为x ＝my ＋my 0＋x 0＋2，即x ＝m (y ＋y 0)＋x 0＋2，它一定过定点(x 0＋2，－y 0)．(3)假设N (x 0，y 0)为满足条件的点，则由(2)知，点(x 0＋2，－y 0)在直线x ＋my ＋1＝0上，所以x 0＋2－my 0＋1＝0，(x 0，y 0)是方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x －my ＋3＝0的解，消去x 得y 2－2my ＋6＝0，Δ＝4m 2－24≥0，所以存在点N 满足条件． 名师押题高考【押题1】过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B .若FB →＝2FA →，则此双曲线的渐近线的斜率是________．解析 双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，设过右焦点F (c,0)的直线l 与渐近线y ＝b ax 垂直，则直线l 的方程即y ＝－ab(x －c )，两直线方程联立，解得点A 的纵坐标y 1＝ab c；把方程y ＝－a b (x －c )与方程y ＝－b a x 联立，解得点B 的纵坐标y 2＝abc b 2－a2.由于FB →＝2FA →，即(x 2－c ，y 2)＝2(x 1－c ，y 1)，由此得y 2＝2y 1，故abc b 2－a 2＝2ab c，此即2(b 2－a 2)＝c 2＝a 2＋b 2，即b ＝3a ，故其渐近线的斜率是± 3.答案 ± 3[押题依据] 本题以向量为背景，综合考查双曲线的几何性质，既考查了通性通法，又可考查考生的应变能力，新颖别致、难度适中，故押此题．【押题2】(2012·某某三模)已知直线l ：y ＝x ＋1，圆O ：x 2＋y 2＝32，直线l 被圆截得的弦长与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长相等，椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在， 求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．解析 (1)则由题设可知b ＝1，又e ＝32，a ＝2， 所以椭圆C 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)解法一 假设存在点T (u ，v )．若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx －13，将它代入椭圆方程，并整理， 得(18k 2＋9)x 2－12kx －16＝0.设点A 、B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝12k18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9.因为TA →＝(x 1－u ，y 1－v )，TB →＝(x 2－u ，y 2－v )及y 1＝kx 1－13，y 2＝kx 2－13，所以TA →·TB →＝(x 1－u )(x 2－u )＋(y 1－v )(y 2－v ) ＝(k 2＋1)x 1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋13k ＋kv (x 1＋x 2)＋u 2＋v 2＋2v 3＋19＝6u 2＋6v 2－6k 2－4ku ＋3u 2＋3v 2＋2v －56k 2＋3当且仅当TA →·TB →＝0恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧6u 2＋6v 2－6＝0，u ＝0，3u 2＋3v 2＋2v －5＝0.解得u ＝0，v ＝1.此时以AB 为直径的圆恒过定点T (0,1)．当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为x 2＋y 2＝1也过点T (0,1)． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0,1)，满足条件．解法二 若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2＋y 2＝1. 若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.由此可知所求点T 如果存在，只能是(0,1)． 事实上点T (0,1)就是所求的点．证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为x 2＋y 2＝1，过点T (0,1)；当直线l 的斜率存在，设直线方程为y ＝kx －13，代入椭圆方程，并整理，得(18k 2＋9)x2－12kx －16＝0.设点A 、B 的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝12k18k 2＋9，x 1x 2＝－1618k 2＋9.因为TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)， TA →·TB →＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝(k 2＋1)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－16k 2－16－16k 2＋32k 2＋1618k 2＋9＝0. 所以TA →⊥TB →，即以AB 为直径的圆恒过定点T (0,1)． 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0,1)满足条件．[押题依据] 直线与圆锥曲线的综合应用是高考的必考点之一，常作为压轴题出现，主要考查考生的分析问题解决问题的能力及运算能力，有很好的区分度．本题是探索性问题与定点问题的综合，难度较大，符合高考命题的趋势，故押此题．。

1．椭圆的定义：平面内与两个定点12F F ，的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程：①22221(0)x y a b a b+=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． ②22221(0)y x a b a b +=>>，焦点是1(0)F c -，，2(0)F c ，，且222c a b =-． 3．椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)x y a b a b+=>>研究）：⑴范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤；⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；⑶椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212A A B B ，，，； ⑷长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A ；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B ．⑸椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．My=-b y=b x=-ax=aB 2B 1A 2A 1c b aF 2F 1O y x4．直线l ：0Ax By C ++=与圆锥曲线C ：()0f x y =，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位直线与圆锥曲线.参考教案置关系的判定条件可归纳为：设直线l ：0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=．若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切．若0a =，得到一个一次方程：①C 为双曲线，则l 与双曲线的渐近线平行；②C 为抛物线，则l 与抛物线的对称轴平行．因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．5．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则弦长公式为2212121||11AB k x y k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．两根差公式：如果12x x ，满足一元二次方程：20ax bx c ++=，则2221212124()44b c b ac x x x x x x a a a a -∆⎛⎫-+---⋅==⎪⎝⎭（0∆>）． 6．直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：①从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础．要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质．②以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题．【例1】 直线2y kx =+2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅=u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求k 的值．【例2】 已知1m >，直线2:02m l x my --=，椭圆222:1x C y m+=，1F ，2F 分别为椭圆C的左、右焦点．⑴当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；⑵设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，12AF F △，12BF F △的重心分别为G ，H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．O xyBA【例3】 已知椭圆()222210x y a b a b +=>>短轴的一个端点()0,3D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x 轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ．⑴求椭圆的方程；⑵求OA OB ⋅u u u r u u u r的值．y xDMNB A O【例4】 直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记AOB ∆的面积为S ，⑴求在001k b =<<，的条件下，S 的最大值；⑵当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．【例5】 已知椭圆C 的焦点是()10,3F -，()20,3F ，点P 在椭圆上且满足124PF PF +=．⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 设直线:220l x y ++=与椭圆C 的交点为A ，B ． ⅰ）求使PAB ∆的面积为12的点P 的个数； ⅱ）设M 为椭圆上任一点，O 为坐标原点， (,)OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，求22λμ+的值．【例6】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为63．⑴若原点到直线0x y b +-=的距离为2，求椭圆的方程； ⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i ）当||3AB =，求b 的值；ii ）对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+u u u u r u u u r u u u r，求实数,λμ满足的关系式．【例7】 已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上．⑴求椭圆C 的方程；⑵过椭圆C 的左焦点1F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AOB ∆的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．【例8】 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ．⑴求椭圆C 的方程； ⑵是否存直线l ，满足2PA PB PM ⋅=u u u r u u u r u u u u r ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【例9】 已知椭圆22:14y C x +=，过点()03M ，的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ．⑴若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；⑵设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u r u u u r u u u r（O 为坐标原点），求当3AB <数λ的取值范围．【例10】 已知直线220x y -+=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ．椭圆C 的右顶点为B ．点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线10:3l x =分别交于M N ，两点． ⑴求椭圆C 的方程；⑵求线段MN 的长度的最小值．⑶当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为15？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由．lNMD BSyxOA【例11】 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【例12】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【例13】 在直角坐标系xOy 中，点M 到点()13,0F -，()23,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线:2l y kx =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=u u u r u u u r？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【例14】 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OA OB +u u u r u u u r与(31)a =-r ，共线． ⑴求椭圆的离心率；⑵设M 为椭圆上任意一点，且 ()OM OA OB λμλμ=+∈R u u u u r u u u r u u u r，，证明22λμ+为定值．【例15】 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，经过点P (2,1)且离心率2e 2=．过定点(10)C -，的直线与椭圆相交于A ，B 两点．⑴求椭圆的方程；⑵在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ⋅u u u r u u u r为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【例16】 若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______【例17】 过双曲线22112x y -=的右焦点直线交双曲线于A 、B 两点，若||4AB =，则这样的直线有_____条【例18】 过点(02)，与双曲线221916x y -=有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______【例19】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的两支各有一个公共点，求k 的取值范围．【例20】 若直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个相异公共点，求k 的取值范围．【例21】 已知不论b 取何实数，直线y kx b =+与双曲线2221x y -=总有公共点，求实数k 的取值范围．【例22】 已知以原点O 为中心，()50F，为右焦点的双曲线C 的离心率52e =． ⑴求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；⑵如图，已知过点()11M x y ，的直线111:44l x x y y +=与过点()22N x y ，（其中2x x ≠）的直线222:44l x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点，求OGH △的面积．EO yxH GMN l 2l 1【例23】 已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，33x =． ⑴求双曲线2的方程；⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．【例24】 已知点100()P x y ，为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．⑴求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程；⑵设轨迹E 与x 轴交于B 、D 两点，在E 上任取一点111(0)Q x y y ≠（，），直线QB ，QD 分别交y 轴于M N ，两点．求证：以MN 为直径的圆过两定点．（焦点在x 轴上的标准双曲线的准线方程为2a x c=±）F 2F 1P 2P 1P Ay xO【例25】 点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A ，B 两点，且PA AB =，则称点P 为“A 点”，那么下列结论中正确的是（ ）A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点（但不是所有的点）是“A 点”【例26】 如图抛物线1C ：22y px =和圆2C ：22224p p x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，其中0p >，直线l 经过1C 的焦点，依次交1C ，2C 于,,,A B C D 四点，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ． 24pB ． 23pC ． 22pD ．2pODC B Ayx【例27】 已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(0)M p ，作一弦PQ ，则2211MP MQ+=u u u r u u u u r _______．【例28】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差是1．⑴求曲线C 的方程；⑵是否存在正数m ，对于过点(0)M m ，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有0FA FB ⋅<u u u r u u u r?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【例29】 已知抛物线24C y x =∶的焦点为F ，过点(10)K -，的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．⑴证明：点F 在直线BD 上；⑵设89FA FB ⋅=u u u r u u u r ，求BDK △的内切圆M 的方程 ．【例30】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于不同的，A B 两点．⑴如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅u u u r u u u r的值；⑵如果4OA OB ⋅=-u u u r u u u r证明直线l 必过一定点，并求出该定点．【例31】 在平面直角坐标系xoy 中，设点(10)，F ，直线:1l x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点， RQ FP ⊥，PQ l ⊥．⑴求动点Q 的轨迹的方程；⑵记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M ，N ． 求证：直线MN 必过定点(30)，R ．-11yxOFRQP。

直线与圆锥曲线的位置关系二轮复习设计解析几何是高中数学的一个重要内容，在高考中不仅分值高，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、计算整理等方面的能力。

选择题主要以考查基本概念和性质为主,难度在中等或中等以下,一般较容易拿分.解答题一般主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，难度较大，学生不容易得分．一、精研考纲，明确方向1．直线与方程(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．(4)掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系．(5)能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．[来源:Z*xx*](6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．2．圆与方程(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．3.圆锥曲线与方程(1)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(3)了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．(4) 理解数形结合的思想．(5)了解圆锥曲线的简单应用．二、考情分析（新课标1，文科数学）小题大题2013年第4题：已知双曲线离心率求渐近线；第10题：已知抛物线焦点弦长，求三角形面积。

第20题：求与圆有关的轨迹问题。

和圆相切的直线与椭圆相交，求圆半径最长时的弦长2014年第4题：考查双曲线离心率；第10题：考查抛物线焦点弦长。

①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。

③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。

①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。

①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。

直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。

该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。

该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。

点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。

直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。

求参数的取值范围。

根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。

指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。

<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。

②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。

联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。

(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。

直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。

2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。

2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。

3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。

4. 直线与圆锥曲线的应用问题。

三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。

2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。

3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。

四、教学准备1. 教学课件和教学素材。

2. 直尺、圆规等绘图工具。

3. 练习题和答案。

五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。

3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。

4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。

6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。

2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。

七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。

2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。

八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。

九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。

2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。

十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。

2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。

3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。

第2讲直线与圆锥曲线的位置关系1.(2018·全国Ⅰ卷,理8)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·等于( D )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解析:由题意知直线MN的方程为y=(x+2),联立直线与抛物线的方程,得解得或不妨设M为(1,2),N为(4,4).又因为抛物线焦点为F(1,0),所以=(0,2),=(3,4).所以·=0×3+2×4=8.故选D.2.(2018·全国Ⅰ卷,理11)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F 为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|等于( B )(A)(B)3 (C)2(D)4解析:由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=±x.设两条渐近线夹角为2α,则有tan α==,所以α=30°.所以∠MON=2α=60°.又△OMN为直角三角形,由于双曲线具有对称性,不妨设MN⊥ON,如图所示.在Rt△ONF中,|OF|=2,则|ON|=.则在Rt△OMN中,|MN|=|ON|·tan 2α=·tan 60°=3.故选B. 3.(2017·全国Ⅰ卷,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C 交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( A )(A)16 (B)14 (C)12 (D)10解析:y2=4x的焦点F(1,0),由题意知l1,l2的斜率都存在且不为0,设直线l1方程为y=k(x-1)(k≠0),则直线l2方程为y=-(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).将y=k(x-1)代入y2=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.所以x1+x2=2+,同理可得x3+x4=2+4k2,所以|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+4=4+4++4k2≥8+2=16.(当且仅当k=±1时取等号).故选A.4.(2018·全国Ⅲ卷,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C 的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .解析:法一设点A(x1,y1),B(x2,y2),则所以-=4(x1-x2),所以k==.设AB的中点M'(x0,y0),抛物线的焦点为F,分别过点A,B作准线x=-1的垂线,垂足为A',B',则|MM'|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA'|+|BB'|).因为M'(x0,y0)为AB中点,所以M为A'B'的中点,所以MM'平行于x轴,所以y1+y2=2,所以k=2.法二由题意知,抛物线的焦点坐标为F(1,0),设直线方程为y=k(x-1),直线方程与y2=4x联立,消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=1,x1+x2=.由M(-1,1),得=(-1-x1,1-y1),=(-1-x2,1-y2).由∠AMB=90°,得·=0,所以(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=0,所以x1x2+(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0.又y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],y1+y2=k(x1+x2-2),所以1++1+k21-+1-k-2+1=0,整理得-+1=0,解得k=2.经检验k=2是分式方程的根.答案:25.(2017·全国Ⅱ卷,理16)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C 上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .解析:由y2=8x可得F(2,0),FM的斜率一定存在,设为k,则直线FM的方程为y=k(x-2),令x=0可得N(0,-2k),又M为FN中点,所以M(1,-k),代入y2=8x得k2=8,所以|FN|====6.答案:66.(2018·全国Ⅲ卷,理20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.证明:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.两式相减,并由=k得+·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.①由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1.y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P1,-,||=,于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||,即||,||,||成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=|||-|||=|x1-x2|=②将m=代入①得k=-1,所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x2-14x+=0.故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.所以该数列的公差为或-.1.考查角度主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积及轨迹问题.2.题型及难易度选择题、解答题,难度为中档、中档偏上.(对应学生用书第44~47页)直线与圆锥曲线的位置关系的判断【例1】(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得或因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.判断直线与圆锥曲线的位置关系有两种常用方法(1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.(2)几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.热点训练1:(2018·淮北一模)已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左右焦点为F1,F2,过F1的直线l:x+my+=0与椭圆C交于A,B两点,且椭圆离心率e=.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆上存在点M,使得2=+,求直线l的方程.解:(1)直线l:x+my+=0过点F1,令y=0,解得x=-,所以c=,因为e==,所以a=2,所以b2=a2-c2=4-3=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),由2=+,得x3=x1+x2,y3=y1+y2代入椭圆方程可得x1+x22+y1+y22-1=0,所以++++(x1x2+4y1y2)=1,所以x1x2+4y1y2=0,联立方程消去x可得(m2+4)y2+2my-1=0,所以y1+y2=,y1y2=,所以x1x2+4y1y2=(my1+)(my2+)+4y1y2=(m2+4)y1y2+m(y1+y2)+3=0,即m2=2,解得m=±,所求直线l的方程为x±y+=0.圆锥曲线的弦长问题【例2】(2018·合肥市二次质检)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点P-,,椭圆E的一个焦点为(,0).(1)求椭圆E的方程;(2)若直线l过点M(0,)且与椭圆E交于A,B两点,求|AB| 的最大值.解:(1)依题意,椭圆E的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),由椭圆E经过点P-,,得|PF1|+|PF2|=4=2a,所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=1.所以椭圆E的方程为+y2=1.(2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2).由得(1+4k2)x2+8kx+4=0.由Δ>0得(8k)2-4(1+4k2)×4>0,所以4k2>1.由x1+x2=-,x1x2=得|AB|=·=2.设t=,则0<t<,所以|AB|=2=2≤,当且仅当t=时等号成立,当直线l的斜率不存在时,|AB|=2<,综上,|AB|的最大值为.(1)涉及圆锥曲线的弦长问题的求解步骤:①设方程(注意斜率k是否存在)及点的坐标;②联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是否为零);③利用根与系数的关系,设而不求计算弦长,涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解;(2)弦长计算公式:设斜率为k(k≠0)的直线l与曲线C的两个交点为P(x1,y1),Q(x2,y2),则|PQ|==|x1-x2|=·= |y1-y2|=·.热点训练2:(2018·东城区二模)已知抛物线C:y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)若OA⊥OB,求△AOB面积的最小值.解:(1)由抛物线C:y2=2px经过点P(2,2)知4p=4,解得p=1.则抛物线C的方程为y2=2x,所以抛物线C的焦点坐标为,0,准线方程为x=-.(2)由题知,直线AB不与y轴垂直,设直线AB:x=ty+a,由消去x,得y2-2ty-2a=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-2a,因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即+y1y2=0,解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4,所以-2a=-4,解得a=2.所以直线AB:x=ty+2,所以直线AB过定点(2,0),S△AOB=×2×|y1-y2|==≥=4.当且仅当y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2时,等号成立.所以△AOB面积的最小值为4.中点弦问题【例3】求一个焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程.解:法一(设而不求)设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),由消y得(4b2+a2)x2-4b2x+b2-a2b2=0,①所以x1+x2=,因为c=5,所以b2=a2-c2=a2-50,所以x1+x2=,由题意知=,x1+x2=,所以=,解得a2=75,所以b2=25,方程①为175x2-100x-1 850=0,即7x2-4x-74=0,此时Δ>0,故所求椭圆的标准方程为+=1.法二(点差法)设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).由题意,可得弦AB的中点坐标为,,且=,=-.将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得两式相减并化简,得=-×=-2×=3,所以a2=3b2.又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25.所以椭圆方程为+=1,①把y=2x-1代入①,化简得7x2-4x-74=0,此时Δ>0,故所求椭圆的标准方程为+=1.(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时,要注意使用条件Δ>0,在用“点差法”时,要检验直线与圆锥曲线是否相交.(2)圆锥曲线以P(x0,y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是k=-椭圆+=1,k=双曲线-=1,k=(抛物线y2=2px).其中k=(x1≠x2),(x1,y1),(x2,y2)为弦的端点坐标.热点训练3: 过点M(1,1)的直线与椭圆+=1交于A,B两点,且点M平分弦AB,则直线AB的方程为( )(A)4x+3y-7=0 (B)3x+4y-7=0(C)3x-4y+1=0 (D)4x-3y-1=0解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).易得+=1,+=1,两式相减,整理得+=0.由M(1,1)是弦AB的中点得x1+x2=2,y1+y2=2,所以有+=0,得=-,即直线AB的斜率k=-,所以,直线AB的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.求轨迹方程考向1 直接法【例4】已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P 作y轴的垂线,垂足为Q,且·=2,求动点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y),则点Q的坐标为(0,y),所以=(-x,0),=(-x,-y),=(--x,-y),所以·=x2-2+y2.由·=2,得x2-2+y2=2x2,即y2-x2=2.故动点P的轨迹方程为y2-x2=2.考向2 定义法求轨迹方程【例5】(2018·郑州市二次质检)已知动圆E经过点F(1,0),且和直线x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程;(2)已知A(3,0),若斜率为1的直线l与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.解:(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线x=-1的距离,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.(2)由题意设直线l的方程为y=x+m,其中-3<m<0.联立,得消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0,Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=4-2m,x1x2=m2,所以|BC|=4,又点A到直线l的距离d=,所以S△ABC=×4×=2·(3+m).令=t,t∈(1,2),则m=1-t2,所以S△ABC=2t(4-t2)=8t-2t3,令f(t)=8t-2t3,则f'(t)=8-6t2,易知f(t)在1,上单调递增,在,2上单调递减,所以当t∈(1,2)时,f(t)在t=处取得最大值,最大值为.此时m=-,满足-3<m<0,所以△ABC面积的最大值为.考向3 相关点法求轨迹方程【例6】已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上两个不同的动点,求直线A1P与A2Q 交点的轨迹E的方程.解:由题设知|x1|>,A1(-,0),A2(,0),则有直线A1P的方程为y=(x+),①直线A2Q的方程为y=(x-).②联立①②,解得即③则x≠0,|x|<.而点P(x1,y1)在双曲线-y2=1上,所以-=1.将③代入上式,整理得所求轨迹E的方程为+y2=1,x≠0且x≠±.(1)若动点满足的几何条件可用等式表示,则只需把这个等式“翻译”成含x,y的等式,通过化简、整理可得到曲线的方程,这种求轨迹方程的方法叫直接法,也称坐标法.(2)若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法.利用定义法求轨迹方程时,要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.(3)若动点P(x,y)所满足的条件不易表述或求出,但随另一动点Q(x',y')的运动而有规律地运动,且动点Q的轨迹方程给定或容易求得,则可先将x',y'表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得点P的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法,也称代入法.热点训练4: (2018·西宁一模)在平面直角坐标系xOy中,点F1(-1,0),F2(1,0),动点M满足|-|+|-|=4.(1)求动点M的轨迹E的方程;(2)若直线y=kx+m与轨迹E有且仅有一个公共点Q,且与直线x=-4相交于点R,求证:以QR为直径的圆过定点F1.(1)解:因为|-|+|-|=4,所以|MF1|+|MF2|=4,由椭圆定义可知动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以2a=4,即a=2,因为c=1,所以b2=a2-c2=3,所以动点M的轨迹E的方程为+=1.(2)证明:由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,如图,设点Q的坐标为(x0,y0),依题意m≠0,由Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=0可得4k2+3=m2,此时x0=-=-,y0==,所以Q-,,由解得y=-4k+m,所以R(-4,-4k+m),由F1(-1,0),可得=-1,-,=(3,4k-m),所以·=3-1-(4k-m)=0,所以QF1⊥RF1,所以以QR为直径的圆过定点F1.热点训练5:如图,从曲线x2-y2=1上一点Q引直线l:x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.解:设点P的坐标为(x,y),曲线上点Q的坐标为(x0,y0).因为点P是线段QN的中点,所以点N的坐标为(2x-x0,2y-y0).又因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x0+2y-y0=2.①因为QN⊥l,所以k QN==1,即x0-y0=x-y.②由①②,得x0=(3x+y-2),y0=(x+3y-2).又因为点Q在曲线x2-y2=1上,所以(3x+y-2)2-(x+3y-2)2=1.化简,得x-2-y-2=.故线段QN的中点P的轨迹方程为x-2-y-2=.【例1】(2018·宜宾模拟)在直角坐标系xOy中,已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足:|-|+|-|=4.分别过点(-1,0),(1,0),作两条平行直线m,n,设m,n与轨迹C的上半部分分别交于A,B两点,求四边形ABF2F1面积的最大值.解:设点P(x,y),由点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|-|+|-|=4,知||+||=4,由椭圆定义可知动点P的轨迹是以点(1,0),(-1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,所以a=2,c=1,b=,其方程为+=1.设直线m:x=ty-1,它与轨迹C的另一个交点为D,设两条平行线间的距离为d,由椭圆的对称性知=(|AF1|+|BF2|)·d=(|AF1|+|DF1|)·d=|AD|d=,x=ty-1与C联立,消去x,得(3t2+4)y2-6ty-9=0,Δ>0,|AD|==·,又点F2(1,0)到直线m:x=ty-1的距离为d=,所以=,令m=≥1,则=,因为y=3m+在[1,+∞)上单调递增,所以当m=1即t=0时,取得最大值3,所以四边形ABF2F1面积的最大值为3.【例2】(2018·福建省质检)在平面直角坐标系xOy中,点F的坐标为0,,以MF为直径的圆与x轴相切.(1)求点M的轨迹E的方程;(2)设T是轨迹E上横坐标为2的点,OT的平行线l交E于A,B两点,交E在T处的切线于点N,求证:|NT|2=|NA|·|NB|.(1)解:法一设点M的坐标为(x,y),因为F0,,所以MF的中点坐标为,.因为以MF为直径的圆与x轴相切,所以=.即|MF|=,所以=,化简得x2=2y,所以点M的轨迹E的方程为x2=2y.法二设以MF为直径的圆的圆心为点C,与x轴的切点为D,连接CD,则CD⊥x轴,且|MF|=2|CD|.作直线l':y=-,过点M作MN⊥l'于点H,交x轴于点I,则|CD|=,所以|MF|=|MI|+|OF|,又|IH|=|OF|=,所以|MF|=|MH|,所以点M的轨迹是以F为焦点,l'为准线的抛物线,所以M的轨迹E的方程为x2=2y.(2)证明:因为T是轨迹E上横坐标为2的点,由(1)得T(2,2),所以直线OT的斜率为1.因为l∥OT,所以设直线l的方程为y=x+m,m≠0.由y=x2,得y'=x,则E在点T处的切线斜率为2,所以E在点T处的切线方程为y=2x-2.由得所以N(m+2,2m+2),所以|NT|2=[(m+2)-2]2+[(2m+2)-2]2=5m2.由消去y得x2-2x-2m=0,由Δ=4+8m>0,得m>-且m≠0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,x1x2=-2m.因为点N,A,B在直线l上,所以|NA|=|x1-(m+2)|,|NB|=|x2-(m+2)|,所以|NA|·|NB|=2|x1-(m+2)|·|x2-(m+2)|=2|x1x2-(m+2)(x1+x2)+(m+2)2|=2|-2m-2(m+2)+(m+2)2|=2m2,所以|NT|2=|NA|·|NB|.【例3】(2018·唐山五校联考)在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在x轴,y轴上滑动,=.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E上时,求直线l的方程.解:(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),所以得由||=+1,得m2+n2=(+1)2,所以(+1)2x2+y2=(+1)2,整理,得曲线E的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M的坐标为(x1+x2,y1+y2).易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则x1+x2=-,所以y1+y2=k(x1+x2)+2=.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,即+=1,解得k2=2.此时直线l的方程为y=±x+1.【例4】(2018·长沙、南昌部分学校联合模拟)已知抛物线y2=4x,如图,过x轴上的点P作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,已知直线l1与抛物线在第一象限切于点A(x0,y0),直线l2与抛物线在第四象限分别交于两点B,C,记△PAB,△PAC的面积分别为S1,S2,且S1∶S2=1∶3.(1)求点P的横坐标关于x0的表达式;(2)求的值.解:(1)当y>0时,y=2,所以A(x0,2).因为直线l1与抛物线切于点A,y'=,所以k1=,所以直线l1的方程为y-2=(x-x0),令y=0,得点P的横坐标x P=-x0.(2)由(1)知P(-x0,0),易得k2<0,所以直线l2的方程为x=y-x0.设B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线l2与抛物线的方程,消去x得y2-y+4x0=0,所以y1+y2=,y1y2=4x0.①因为S1∶S2=1∶3,所以|PB|∶|PC|=1∶3,所以y2=3y1,代入①式得=,所以k2=-,又k1=,所以=-.。