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Chapter 4 Internal forces in beams2§4-1 基本概念及工程实例(Basic concepts and example problems)第四章 弯曲内力第四章 弯曲内力(Internal forces in beams)§4-3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图(Shear-force& bending-moment equations ; shear-force & bending- moment diagrams)§4-2 梁的剪力和弯矩(Shear- force and bending- moment in beams)3§4-6 平面刚架和曲杆的内力图(Internal diagrams for frame members & curved bars)§4-5 叠加原理作弯矩图(Drawing bending-moment diagram by superposition method)§4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间 的关系(Relationships between load,shear force,and bending moment)§4-1 基本概念及工程(Basic concepts and example problems)一、工程实例(Example problem)4工程实例(Example problem)567 二、基本概念(Basic concepts)2.梁 (Beam)以弯曲变形为主的杆件外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.（1） 受力特征（2） 变形特征变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.1.弯曲变形(Deflection)3.平面弯曲(Plane bending)作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.A B 对称轴纵向对称面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线F R AF1F2F R B89（3） 支座的类型4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model)（1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
（2）载荷类型集中力(concentrated force)集中力偶(concentrated moment)分布载荷(distributed load)可动铰支座(roller support) FR AAAAA10固定铰支座 (pin support)固定端(clamped support or fixed end)AAA F R AyAF R Ax F R yF R x M5.静定梁的基本形式(Basic types of statically determinate beams)简支梁(simply supported beam)外伸梁(overhanging beam)悬臂梁(cantilever beam)11起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38.105kg/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图.F =100kNq=38.105kN/m1213一、内力计算(Calculating internal force)[举例] 已知 如图，F ，a ，l . 求距A 端x 处截面上内力.解: 求支座反力§4-2 梁的剪力和弯矩(Shear- force and bending- moment in beams)BAal FF R AyF R Ax F R BA BF, , (), ====-==∑∑∑R R R 0000xAx A B y Ay FF FaM F lF l a F F l14求内力——截面法弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩(Bending moment ) M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.MF R AyF R Ax F R BA BFmmxF R AyF SCFF R BF SCM (), , -=====⋅∑∑S R R 00y Ay C Ay F l a F F F l M M F x2. 剪力(Shear force) F S构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.15F Sd x mmF S+1.剪力符号(Sign convention for shear force)使d x 微段有左端向上而右端向下的相对错动时,横截面m -m 上的剪力为正.或使d x 微段有顺时针转动趋势的剪力为正.二、内力的符号规定(Sign convention for internal force)使d x 微段有左端向下而右端向上的相对错动时,横截面m -m 上的剪力为负.或使d x 微段有逆时针转动趋势的剪力为负.d xmmF SF S-16 当d x 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ）时,横截面m -m 上的弯矩为正上的弯矩为正；2.弯矩符号(“笑正哭负”！) (Sign convention for bending moment)mm +（受拉）M M当d x 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受压）时,横截面m -m 上的弯矩为负.m m（受压）MM -17解：（1）求梁的支反力 F R A 和 F R B例题 图示梁的计算简图.已知 F 1、F 2,且 F 2 > F 1 ,尺寸a 、b 、c 和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处的剪力和弯矩.=∑0AMF R BB dEDAabclCFF 1F 2F R A21R =--b F a F l F B =∑0BM0)()(21R =-+-+-b l F a l F l F A lb l F a l F F A)()(21R -+-=lb F a F F B21R +=18记 E 截面处的剪力为F S E 和弯矩 M E ，且假设F S E 和弯矩M E 的指向和转向均为正值.BdE DAabclCFF 1F 2F R AAEcF S EF R AM E00S R =-=∑E A y F F ,F 0,0R =⋅-=∑c F M M A E E 解得 AE F F R S =cF M A E ⋅=R19取右段为研究对象AEcF S EF R AM Ea -cb -cC Dl -cBEF S EF 1F 2M EF R B∑=0y F 021R S =--+F F F F B E 0=∑M E 0)()()(21R =------M c b F c a F c l F E B 解得++c F M A E ⋅=R AE F F R S =20计算F 点横截面处的剪力F S F 和弯矩M F .BdE DAabclCFF 1F 2F R AF dBF S FM FF R B,,=+==-+=∑∑S R R 0000y F B FF B F F F MM F d 解得：-+BFF FR S -=d F M B F R =21解:例题 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.（1）求支座反力F R A =4kNF R B =-4kNC12M（2）求1-1截面的内力（3）求2-2截面的内力kN 4R S S 1===A C F F F 左mkN 41R 1⋅=⨯==A C F M M 左kN4)4(R S 2S =--=-==B C F F F 右mkN 651)4()152(R 2⋅-=⨯-=-⨯==..F M M B C 右B1m2.5m 10kN ·mAC12F R AF R B22§4-3 剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图(Shear- force & bending-moment equations;shear-force&bending-moment diagrams)F S = F S (x )M = M (x )一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bending-moment equations)用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1.剪力方程(Shear- force equation)2.弯矩方程(Bending-moment equation)23弯矩图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧二、剪力图和弯矩图(Shear-force&bending -moment diagrams)剪力图为正值画在 x 轴上侧,负值画在x 轴下侧 以平行于梁轴的横坐标x 表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xF S (x )F S 图的坐标系OM 图的坐标系x OM (x )24例题 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解: 列出梁的剪力方程 和弯矩方程)0()()0()(S l x Fx x M l x F x F <≤-=<<-=0S =F A 左FF A -=右S F SxFF lxM25例题 图示的简支梁,在全梁上受集度为q 的均布荷载.试作此梁的剪力图和弯矩图.解：（1） 求支反力2R R ql F F BA ==lqF R AF R BABx（2）列剪力方程和弯矩方程.)0(222)()0(2)(2R R S l x qxqlx x qx x F x M l x qx qlqx F x F A A ≤≤-=⋅-=<<-=-=26剪力图为一倾斜直线绘出剪力图)0(2)(S l x qxqlx F <<-=x =0 处 ，x = l 处 ,2S qlF =2Sql F -=+ql /2ql /2BlqF R AAxF R B27弯矩图为一条二次抛物线)0(222)(2R l x qxqlx x qx x F x M A ≤≤-=⋅-=lqF R AABxF R B0==M x ，0,==M l x 令()=-=d 0d 2M x qlqx x 得驻点2lx =弯矩的极值822max ql M M l x ===绘出弯矩图+82ql l /228由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上 F S = 0 两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqF R AABxF R B+ql /2ql /2+82ql l /282max qlM =2maxS ql F =29解: （1）求梁的支反力例题 图示的简支梁在C 点处受集中荷载 F 作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCab F R AF R BlFb F A=R lFa F B=R 因为AC 段和CB 段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程.将坐标原点取在梁的左端30将坐标原点取在梁的左端 AC 段CB 段xxlFABC a b F R AF R B)2()0()()1()0()(S a x x lFbx M a x l Fbx F ≤≤=<<=)4()()()()()3()()()(S l x a x l l Faa x F x l Fb x M l x a l Fal b l F F l Fb x F ≤≤-=--=<<-=--=-=31由（1）,（3）两式可知，AC 、CB 两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线.)1()0()(S a x lFb x F <<=)3()()(S l x a lFax F <<-=xx lFA BC a b F R AF R B+lFb lFa )4()()()(l x a x l lFax M ≤≤-=)2()0()(a x x l Fbx M ≤≤=+l Fba 由（2），（4）式可知，AC 、CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线.在集中荷载作用处的左,右两侧截面上剪力值(图)有突变,突变值等于集中荷载F. 弯矩图形成尖角,该处弯矩值最大.xxlFA BCa bF R A F R B+lFbalFblFa+3233解：求梁的支反力例题8 图示的简支梁在 C 点处受矩为M 的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.=R A M F l =-R B M F l将坐标原点取在梁的左端.因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程()()()=<<S 01MF x x l llABCab F R AF R BM由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于 x 轴的直线.+M l34AC 段CB 段AC 段和 BC 段的弯矩方程不同xx l ABCa b F R AF R BM()=MM x x l)0(a x <≤()()=-=--M MM x x M l x l l)(l x a ≤<AC ,CB 两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线. x = a ,=C MaM l左 x = 0 ,=M AC 段CB 段x = a,=-C MbM l右x = l , M = 0+Ma lMb l35梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.此处剪力图没有变化.l ABCabF R AF R BM+/M l+Ma lMb l361.以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处,及支座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程,然后绘出剪力图和弯矩图.4.梁上的F Smax 发生在全梁或各梁段的边界截面处;梁上的M max 发生在全梁或各梁段的边界截面,或F S = 0 的截面处.小 结2.梁上集中力作用处左、右两侧横截面上,剪力（图）有突变,突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.3.梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩（图）有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图没有变化.37设梁上作用有任意分布荷载其集度§4-4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系(Relationships between load,shear force,and bending moment)一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differential relationships between load,shear force,and bending moment)q = q (x )规定 q (x )向上为正.将 x 轴的坐标原点取在梁的左端.xyq (x )F M38xyq (x )F MF S (x )M (x )F S (x)+d F S (x )M (x )+d M (x )假想地用坐标为 x 和 x +d x 的两横截面m -m 和n -n 从梁中取出d x 微段.mmnnq (x )Cx +d x 截面处 则分别为 F S (x )+d F S (x ) ， M (x)+d M (x ) .由于d x 很小，略去q (x ) 沿d x 的变化.m -m 截面上内力为 F S (x ) ,M (x )nxm mn d x392d )d (d )()(] )(d )([S =---+=∑xx x q x x F x M x M x M M C F S (x )M (x )F S (x )+d F S (x )M (x )+d M (x )mmnnq (x )C写出微段梁的平衡方程d )()](d )([)( 0S S S =++-=∑x x q x F x F x F F x 得到)(d )(d S x q xx F =略去二阶无穷小量即得)(d )(d S x F xx M =40公式的几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;)(d )(d S x q xx F =)(d )(d S x F xx M =)(d )(d 22x q xx M =（3）根据q (x )＞0或q (x ) ＜0来判断弯矩图的凹凸性.41M (x )图为一向上凸的二次抛物线.F S (x )图为一向右下方倾斜的直线.xF S (x )O二、q (x )、F S (x )图、M （x ）图三者间的关系(Relationships between load,shear force,and bending moment diagrams)1.梁上有向下的均布荷载,即 q (x ) < 0xOM (x ))(d )(d S x q xx F =)(d )(d S x F xx M =)(d )(d 22x q xx M =422.梁上无荷载区段，q (x ) = 0剪力图为一条水平直线.弯矩图为一斜直线.xF S (x )O 当 F S (x ) > 0 时,向右上方倾斜.当 F S (x ) < 0 时,向右下方倾斜.xOM (x ))(d )(d S x q xx F =)(d )(d S x F xx M =)(d )(d 22x q xx M =OM (x )x435. 最大剪力可能发生在集中力所在截面的一侧;或分布载荷发生变化的区段上. 梁上最大弯矩 M max 可能发生在F S (x ) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用处的一侧. 3. 在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.4. 在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.)(d )(d S x q xx F =)(d )(d S x F xx M =)(d )(d 22x q xx M =44无荷载集中力F C集中力偶MC向下倾斜的直线上凸的二次抛物线在F S =0的截面水平直线一般斜直线或在C 处有转折在剪力突变的截面在紧靠C 的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征M max 所在截面的可能位置在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q <0向下的均布荷载在C 处有突变F在C 处有突变M在C 处无变化C45例题 作梁的内力图.解： （1）支座反力为3m4mAB CD E4m4mFR AF R BF 1=2kN q =1kN/mM =10kN·mF 2=2kNkN7R =A F kN5R =B F 将梁分为AC 、CD 、DB 、BE 四段.（2）剪力图AC 段 向下斜的直线(↘)kN 7R S ==A A F F 右kN34R S =-=q F F A C 左CD 段 向下斜的直线 ( ↘ )kN 141R S =--=F q F F A C 右kN 3R 2S -=-=B D F F F46DB 段 水平直线 (-)EB 段 水平直线 (-)3m4mA B CD E4m4mF R AF R BF 1=2kN q =1kN/mM =10kN·mF 2=2kNkN3R 2S -=-=B F F F kN22S ==F F B 右AC 段 向下斜的直线(↘)kN 7S =右A F kN3S =左C F CD 段 向下斜的直线 ( ↘ )kN 1S =右C F kN3S -=D F F 点剪力为零,令其距 A 截面的距离为x 01R S =--=F qx F F A x 7kN1kN ++3kN3kN2kNx =5mx = 5m47（3）弯矩图CD 段AC 段0=M A =-++=2R 7164D B M F M F 左5.20max ==M M F DB 段647R 2=+-=B D F F M 右632-=-=F M B BE 段0=M E 201666+20.53m4mAB CD E4m 4mF R AF R BF 1=2kN q =1kN/mM =10kN·mF 2=2kN204242R =-=q F M A C483m4mAB CDE4m4mF R AF R BF 1=2kN q =1kN/mM =10kN·mF 2=2kN7kN1kN ++3kN3kN2kNx =5m201666+20.5（4）校核49解： 支座反力为F R A = 81 kN F R B = 29 kN M A = 96.5 kN ·m例题 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图.10.5113F =50kNM =5kN·mAE CDKBF R AF R BM Aq=20kN/m 将梁分为 AE ，EC ， CD ，DK ，KB 五段。
