人教A版高中数学必修4第一章 三角函数1.2 任意角的三角函数教案

课 题：1.2.1 任意角的三角函数（二）教学目标：（1）掌握三角函数的符号；（2）根据定义理解与运用公式一，把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值.（3）初步应用定义分析与解决与三角函数值有关的一些简单问题. 教学重点：三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.教学难点: 理解转化，灵活运用诱导公式（一）. 教学设想： 一、复习回顾：任意角的三角函数定义是什么？ 二、探究新知：1.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例1．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.练习：书P15练习42.提问：角的终边落在坐标轴上三个三角函数值是多少？ 完成书上P15练习33.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+= (其中k Z ∈)利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值.例2.确定下列三角函数值的符号:(1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan 3π练习： tan(－666°36’)、tan113π例3.求下列三角函数值:(1)9cos4π; (2)11tan()6π-三、学习小结(1)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?(2)请写出各三角函数的定义域；(3)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?。

r= x + y , a | MP | y sina = = , o M x | OP | r | OM | x cosa = = , | OP | r | MP | y tana = = . 于是得 | OM | x
【终边上一点的坐标定义三角函数】 点P(x, y)是角 a 终边上任一点(除原点), r 是点P y 到原点的距离, 即 r = |OP| = x 2 + y 2 , 1 P(x, y) y 正弦: sina = , r 余弦: cosa = x , -1 o x r y 正切: tana = , x 当点P(x, y)取角 a 终边与单位圆的交点时, r =1, 则a 的三角函数为: y 正弦: sina = = y, 余弦: cosa = x = x. r r
【终边在坐标轴上的角的三角函数】 终边在 x 轴非负半轴上时, (如图)
y 0 =0, sina = = r r cosa = x = r =1, r r y 0 =0. tana = = x x
终边与其它半轴重合时同理.
y
a的终边
o
P

x
练习: (课本15页) 3. 填表: 角a 角 a 的弧度数 sin a cos a 0º 0 90º 180º 270º 360º 3 2 2 2 -1 0 0 1 0
问题1. 在直角三角形中, 锐角的三角函数是怎 样定义的? 在直角坐标系中, 如果知道锐角 a 终边 上一点的坐标, 你能求出 a 的三角函数吗?
对边 sina = 斜边 邻边 cosa = 斜边
对边 tana = 邻边
作PM⊥x 轴于M, 设 |OP| = r, 则
2 2
y (x, y) P ·
本章内容

课题：任意角的三角函数（第二课时）一、教材分析●教学内容《任意角的三角函数》是普通高中课程标准实验教科书（必修4）第一章《三角函数》第二节的内容，课程标准安排本节内容授课时间为三课时，本节课作为第二课时.三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数的相关公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具.●地位与作用本小节给出了任意角的三角函数的代数定义和几何定义，这里用一个课时学习其几何定义-----三角函数线.三角函数线是三角函数定义的又一种表现形式，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，又为继续学习三角函数的各种性质，如定义域、值域、单调性、最值等提供了另一种工具，具有承上启下的作用.由于本节内容是概念性的基础内容，所以其重要性不言而喻.二、学情分析就学生而言，已经学习了三角函数的定义，三角函数在各象限的符号、诱导公式一和单位圆的相关知识，对有向线段的相关知识也有所认知，已经具备了对三角函数线探究的能力.三、目标分析依据课程标准的要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：●知识目标①理解三角函数线的定义, 理解“有向线段”的定义；②掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值；③能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.●能力目标借助多媒体演示让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和探索的能力；并逐步形成自觉运用几何方法解决代数问题的能力，提高学生抽象概括、形象表述等数学核心素养.●情感、态度与价值观激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长.通过数形结合思想的应用，体会到由数转化为形所带来的美感.四、教学重点、难点●重点：三角函数线的作法及其简单应用.●难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数分别用它们的几何形式表示出来.五、教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”—问题串导引教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：引导学生学会用三角函数的几何定义解决三角代数问题的方法，学会运用数形结合思想解决三角问题.六、教学过程教学环节教学内容学生活动设计意图复习引入复习引入：1.三角函数的定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么:（1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=y；（2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x；（3)叫做α的正切，记作tanα，即学生回答巩固上节课的学习成果；为本节课的学习做好铺垫.tanα=（x≠0）2.三角函数在各象限的符号：yx oαsin yxoαcosyxoαtan+--+--++-+-+设置疑问点明主题以前我们学习指数函数和对数函数时，都是先学习函数的定义，然后画出图象，利用图象来研究函数的性质.三角函数是特殊的函数，当然也是一样的探讨顺序，当我们了解了三角函数的定义后，如何才能精确地画出三角函数的图象呢？那就必须知道三角函数定义的几何表示----三角函数线.学生思考用问题情境引出课题，可以增强学生的好奇心,激发学生的求知欲.思考1：若角α为第一象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？学生回实验探索辨析研讨利用定义y=αsin.取角α的终边与单位圆的交点为P,过点P作x轴的垂线，设垂足为M，则sin y MPα==.思考2：若角α为第二、三、四象限角，能否借助单位圆用几何图形表示角α的正弦值？(动画演示)由图可知sin y MPα==±，那么能否几何图形表示，这条线段既能表示角α的正弦值的数值，又能体现其在各象限的符号？于是,有向线段MP叫做角α的正弦线.即αsin=MP.角α的终边与x轴重合时，正弦线答动画演示学生观察概念引入，指导学生学会用三角函数的几何定义解决三角函数的代数问题的方法，引导学生建立有向线段（的数量）与三角函数值之间的对应.实验探索辨析研讨变成一个点，此时正弦值为0.思考3:哪条有向线段能表示角α的余弦值？cos x OMα==.有向线段OM叫做角α的余弦线.角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，此时余弦值为0 ．思考4：若角α为第一象限角，用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.学生思考学生回答学生回答通过类比正弦线、快速的寻找出余弦函数值的几何形式--余弦线.实验探索辨析研讨思考5：若角α为第四象限角，此时用哪条有向线段表示角α的正切值？ATxy==αtan.有向线段AT叫做角α的正切线.思考6：当角α的终边在坐标轴上，正切线又如何？当角α的终边与x轴重合时，正切线变成一个点，tanα=0；当角α的终边与y轴重合时，正切线不存在，tanα不存在.教师引导学生回答学生回答七、教学反思关于三角函数线的教学，曾有过两个设想：一是先交待三种三角函数线，再讲应用；另一个设想是，先指出正弦线、余弦线及它们的应用，然后再引入正切线及三线综合运用.本教案选择了前者，原因是利于学生类比思维的培养．我希望把三角函数线的发现过程展现给学生，让学生去猜、去找三角函数的几何形式，而不是教师包办代替．数形结合思想是中学数学中的重要数学思想，在教学中应不失时机地加以渗透．数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面.将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.通过三角函数线的学习，使学生了解数形结合的“形”不单有函数图象，还有其他的表现形式．可以说有了三角函数线，有关三角函数的问题都能解决，至于在解决有关三角函数的问题时用函数图象还是用三角函数线，则要具体情况具体分析，如证明等式sin2α+cos2α=1，研究同一个角的正余弦值的大小关系，都以三角函数线为好,而函数的周期性等，用图像更为直观.本节课还是有许多的不足之处，比如：没能大胆放开手让学生进行自主活动，学生的探究活动还是过少，如果三角函数线的寻找过程能让学生分组讨论得到，本节课将会更加充实.。

1.2.1 任意角的三角函数(一)自主探究1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；③y x 叫做α的正切，记作y x ，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .解 以α＝2π为例，其余略．设P (x ，y )为α＝32π上一点，易知点P (x ，y )在y 轴负半轴上．∴x ＝0，y <0，r ＝x 2＋y 2＝－y >0.∴sin 32π＝y r ＝－1；cos 32π＝x r ＝0；tan 32π＝yx ，无意义．名师点拨1．对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．(4)符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．2．诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值． 解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a .∴r ＝－15a 2＋a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.点拨 已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号．二、判断三角函数值的符号例2 若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0. 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0， 从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．点拨 根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．三、诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值．(1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π3 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 点拨 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．变式训练1．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得：y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，cos α＝－34，tan α＝73. 2．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案 C解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 3．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.一、选择题1．sin 210°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 答案 D2．若cos θ>0且sin 2θ<0，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D3．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33答案 B4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．5 答案 A解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.二、填空题5．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________． 答案 负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0， ∵π<4<32π，∴tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.6．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.7．设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是________．答案 ±15解析 当t >0时，r ＝10|t |＝10t .sin α＝－45，cos α＝－35，sin α－cos α＝－15.当t <0时，r ＝10|t |＝－10t .sin α＝45，cos α＝35，sin α－cos α＝15.8．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题9．已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x r，∴1010x ＝xx 2＋9. ∵x ≠0，∴x ＝±1.∵y ＝3>0，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.10．已知α是第三象限角，试判定sin(cos α)·cos(sin α)的符号． 解 α是第三象限角，则有：cos α<0且－1<cos α<0，sin α<0且－1<sin α<0，进而有cos α是第四象限角，所以sin(cos α)<0，sin α是第四象限角，所以cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.。