转动惯量的测量

转 动 惯 量 的 量 测一、复摆原理简介转动惯量是反映物体质量分布的一个特征参数，是描述物体动力特性的重要物理量。

对于均质规则物体，其对于点或轴的转动惯量可以用数学工具直接计算得到。

而对于非均质或非规则的物体，要计算其转动惯量就不那么简单了，一般应借助于实验的手段。

下面介绍一个利用复摆运动测量物体转动惯量，并确定其惯性主轴的实验。

1 复摆对转轴的转动惯量图1为一复摆的示意图，首先测定复摆（架子）对于转轴OO ’的转动惯量J o 。

设复摆架子重量为F w ，重心到转轴的距离为a （这两个参数的确定方法参见“重量与重心的量测”实验）。

复摆绕轴微幅摆动的运动微分方程为：图1 复摆示意图0=+ϕϕow J aF && OO’C图2 板与复摆示意图I运动周期为： aF J T w oπ2= 测量n 个运动周期，设时间为t 1，则复摆架子的转动惯量为： a F nt J w o 21)2(π= （1） 2 任意形状非均质板的转动惯量下面我们用此装置来量测任意形状非均质板的转动惯量。

首先，测定板的重量F p 和重心的位置c 。

然后把板铅直地置于复摆上，并用螺丝固定，放置时板的重心与架子的重心尽可能在同一铅直线上，这可通过水平仪来校正。

如图2所示，质心到转轴的距离为b ，过质心建立固定于板上的直角坐标系cxy 。

先测定板对过质心且垂直于板的轴的转动惯量J c 。

让摆作微幅运动，测得n 次振动的时间t 2，则整个系统对转轴的转动惯量为)()2(221b F a F nt J p w +=π （2） 由平行轴定理，得： 21b gF J J J p o c −−= （3）3 主惯性轴位置的测定现在来确定板在xy 平面内的主惯性轴的位置。

首先测定板对x 、y 轴的转动惯量J x ，J y 。

把板水平放置如图3示（重心与架子的重心尽可能在同一铅直线上），x 、y 轴先后平行于转轴，作n 次微幅振动，测得的时间分别为t 3和t 4。

实验三 转动惯量的测量 实验目的：本实验要求学生学会用三线摆测定物体的转动惯量的方法，检验转动惯量的平行轴定理，掌握电子秒表的使用方法。

实验仪器：三线摆，米尺，水准气泡，电子秒表，转动惯量测试仪（型号：DH4601），游标卡尺（最小刻度：0.02mm 量程：0~300mm ）实验原理：1. 刚体的转动定律当刚体绕固定轴转动时，刚体在外力矩M 的作用下，将获得角加速度β，β与合外力矩M 的大小成正比，并与转动惯量J 成反比，着一关系叫做刚体的转动定律，其数学表达式为：M = J β 2.转动惯量转动惯量J 等于刚体中每个质点的质量m i 与这一质点到轴距离的平方 r 2i 的乘积的总和。

转动惯量的定义式的积分形式为：∑=++=2222211i i r m r m r m JJ = ∫r 2d m3. 三线摆法原理三线摆是由上下两个圆盘用三条金属线连结而成，盘的系绳点构成等边三角形，上盘称小圆盘，可使小圆盘绕转轴转过一小角度，用以启动下盘固定轴线OO ’ 转动。

下盘称大圆盘，也叫做悬盘。

三条金属丝所受张力相同，长度相同。

相关公式： 02ωπ=T h J mgRr 020=ωmgRr h J T 02202244πωπ==22220164T h mgDd T h mgRr J ππ==21021016)(T h gDd m M J π+=010J J J -=实验步骤： 1. 调节三线摆，先调节三根摆线等长，再调大圆盘水平 2. 测量高度h ，用米尺测量5次，取平均值 3. 测大圆盘转动惯量J o 4. 测金属圆环的转动惯量J 15. 验证转动惯量的平行轴原理 实验数据处理:表一:三线摆参数表二:实验数据数据处理：222102101044)(T h mgRr T h gRr m m J J J ππ-+=-==1.78×10-3（kg 。

m ）m U d 4104.5-⨯= m U D 5102.1-⨯=s U T 007.00=s U T 006.010= m U U m M 6101-⨯== 24104.1m kg U J ⋅⨯=-故结果表达式为：J = 1.78×10-3 ± 1.4 × 10-4 (kg ·m)分析与讨论:1. 实验过程中，一定要事先将光电门的位置调好，并尽量在静止情况下启动圆盘（或圆盘和圆环）。

转动惯量的测定一、实验目的：1、测定圆台的转动惯量。

2、测定圆盘的转动惯量。

3、验证平行轴定理。

二、实验原理：1.转动系统所受合外力矩合M 与角加速度β的关系根据刚体转动定律，刚体绕某一定轴转动得角加速度β与所受的合外力矩合M 成正比， 与刚体的定轴转动惯量I 成反比，即M I β=合 (16-1)其中I 为该系统对回转轴的转动惯量。

合外力矩M 合主要由引线的张力矩M 和轴承的摩擦力力矩M 阻构成，则M M I β-=阻摩擦力矩是未知的，但是它主要来源于接触磨擦，可 以认为是恒定的，因而将上式改为M I M β=+阻 (16-2)在此实验中要研究引线的张力矩M 与角加速度β之间是否满足式(16-2)的关系，即测量在不同力矩M 作用下的β值。

(1)关于引线张力矩M设引线的张力为T ，绕线轴半径为R ，则 M TR =又设滑轮半径为r ，质量为m '，其转动惯量为I '，塔轮转动时砝码下落的加速度为a ，参照图16-2可以得出mg T maa T r Tr I r '-=⎧⎪⎨''-=⎪⎩从上述二式中消去T '，同时取212I m r ''=，得出在此实验中保持0.3%2m a a g m'+≤，则mg T ≈，此时： mgR M ≈ (16-3)可见在实验中是由塔轮R 来改变M 的值。

(2)角加速度β的测量测出砝码从静止位置开始下落到地面上的时间为t ，路程为s ，则平均速度/υS t =，落到地板前瞬间的速度2υυ=，下落加速度/aυt =，角加速度R a /=β，即 22sR tβ=(16-4) 此方法一般是使用停表来测量砝码落地时间t ，由于t 较小，故测量误差比较大。

我们采用另外的方法：3131(6/2/)/(/2/2)t t t t βππ=+-三、实验内容：1.考察张力矩与角加速度的关系(1)用水准器将回转台调成水平，即调节轴铅直。

物体转动惯量的测量原理物体的转动惯量是指物体在绕某一轴旋转时，对抗改变其角动量的能力。

转动惯量是描述物体旋转特性的物理量，它与物体的质量分布、形状以及绕轴旋转的轴线位置有关。

测量物体转动惯量的原理主要有两种方法：静态方法和动态方法。

静态方法是指根据物体的几何形状和质量分布来计算转动惯量。

在这种方法中，物体被视为由一系列小质量元组成，每个小质量元都有一定的质量和距离轴线的距离。

根据转动惯量的定义，可以将转动惯量表示为每个小质量元对转动惯量的贡献之和。

例如，对于一个直线形状的物体，可以将其转动惯量表示为质量元与轴线之间距离的平方的加权和。

通过测量物体的尺寸和质量，可以使用公式计算出物体的转动惯量。

动态方法是指通过物体在绕轴旋转时的动态响应来测量其转动惯量。

在这种方法中，物体被置于绕轴旋转的装置中，可以测量其旋转的角度和角速度。

通过测量旋转时施加的扭矩和物体的角加速度，可以根据转动惯量的定义计算得到物体的转动惯量。

例如，可以通过施加一个已知的扭矩，并测量物体的角加速度来计算转动惯量。

另外，还可以利用物体在不同轴上的转动惯量之间的关系来计算转动惯量。

例如，可以测量物体绕一个轴旋转的时间，然后再测量其绕另一个轴旋转的时间，通过这两个时间的比值可以得到各自轴的转动惯量之比。

在实际测量物体转动惯量时，需要注意一些实验技巧和误差来源。

首先，要保证物体的转动轴与测量装置的轴线对齐，以减小系统误差。

其次，要注意测量时的摩擦和空气阻力对实验结果的影响，可以通过减小转动摩擦和采用真空环境来减小这些误差。

另外，还要注意测量时物体的质量分布是否均匀，如果质量分布不均匀，需要进行修正计算。

综上所述，物体转动惯量的测量可以通过静态方法和动态方法来实现。

静态方法通过计算物体的几何形状和质量分布来计算转动惯量。

而动态方法则通过测量物体在绕轴旋转时的动态响应来计算转动惯量。

在实际测量中，需要注意一些实验技巧和误差来源，以提高测量的准确性。

转动惯量测量实验总结一、实验介绍转动惯量测量实验是物理学中的一个重要实验，通过测量刚体在不同转动轴上的转动惯量，探究刚体转动惯量与刚体形状、质量、密度等因素之间的关系，为深入理解刚体旋转运动提供了基础。

二、实验原理1. 转动惯量的定义：物体绕某一轴旋转时所表现出来的抵抗改变自身旋转状态的特性。

2. 转动惯量与质心距离和质量有关：$I=mr^2$3. 平行轴定理：若已知物体绕过其质心的转动惯量$I_0$和物体质心到新轴距离$d$，则该物体绕过新轴的转动惯量$I=I_0+md^2$三、实验步骤1. 测定铜圆盘和铜环在水平面上绕其自身对称轴的转动惯量。

2. 测定铜圆盘和铜环在水平面上绕垂直于其对称轴且经过重心位置的轴线上的转动惯量。

3. 利用平行轴定理测定铜圆盘和铜环在水平面上绕过任意一点的轴线上的转动惯量。

四、实验结果分析1. 利用直径法测量铜圆盘和铜环的半径。

2. 计算出铜圆盘和铜环在不同转动轴上的转动惯量，并绘制出转动惯量与质心距离平方的图像。

3. 根据图像拟合出直线，求出回归系数$R^2$，并分析其物理意义。

五、实验注意事项1. 实验前应认真阅读实验原理和步骤，熟悉仪器使用方法。

2. 实验中应仔细测量各项数据，避免误差。

3. 实验结束后应及时清洗仪器，保持实验室卫生。

六、实验结论1. 转动惯量与质心距离平方成正比关系，即$I=k\times r^2$。

2. 铜圆盘和铜环在不同转动轴上的转动惯量满足平行轴定理，即$I=I_0+md^2$。

3. 通过实验得到的回归系数$R^2$接近于1，表明拟合直线与数据点之间具有很高的相关性。

转动惯量的测定转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。

它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。

对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。

转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。

测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。

一、实验目的1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。

2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。

3、学会使用智能计时计数器测量时间。

二、实验原理1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律：βJ M = （1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。

设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M µ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即：11βµJ M =− （2） 将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。

若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。

若此时实验台的角加速度为β2，则有a= R β2。

细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －R β2) R ，此时有：212)(ββµJ M R R g m =−− （3） 将（2）、（3）两式联立消去M µ后，可得：1221)(βββ−−=R g mR J （4） 同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有：3442)(βββ−−=R g mR J （5） 由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为：123J J J −= （6） 测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。