第三章 函数复习
一、知识点梳理
定义：设在某个变化过程中有两个变量x 和y ，变量x 的取值范围是数集D ，如果对于数集D 内的每一 个x 值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定 的值与它对应，那么，就把y 称为x 的函数。 记作：y=f(x)
x 叫做自变量，y 叫做因变量
函数值：当0x x =时，函数y=f(x)对应的值0y 叫做
1.函数的概念 函数在0x 处的函数值。
定义域：x 取值范围数集D
值域：函数值y 的集合{}D x x f ∈=),(y y
函数三要素：定义域、值域、对应法则
题型：
①考察两个函数是否为同一个函数
（若函数定义域、对应法则均相同，则它们是相同函数）
②考察“某一点”处的函数值,尤其是分段函数在“某一点”处的函数值 ③考察函数的定义域
一些常见函数的定义域：
（1）一次函数)0≠(+=k b kx y 的定义域为R
（2）二次函数)0≠
(++=2a c bx ax y 的定义域为R （3）函数x
y 1=的定义域为}0≠{x x （4）函数为正偶数）n x y n (=的定义域为}0≥{x x
（5）指数函数)1≠
0>=a a a y x
且（的定义域为R （6）对数函数)1≠
0>log =a a x y a 且（的定义域为}0>{x x （7）x y sin =的定义域为R
（8）x y cos =的定义域为R （9）x y tan =的定义域为}2
+≠{π
πk x x
解析式法：用等式表示两个变量间的函数关系的方法 2.函数的表示方法 列表法：用列表表示两个变量间的函数关系的方法 图像法：用图像表示两个变量间的函数关系的方法 在区间[a,b]上，若b x x a ≤<≤21 如果有)()(21x f x f <，则f(x)在[a,b]单调递增，
[a,b]是递增区间
单调性 如果有)()(21x f x f >，则f(x)在[a,b]单调递减，
[a,b]是递减区间
3.函数的性质 题型举例:判断函数的单调性
奇函数：若)(-)(x f x f =-,D x ∈,则函数f(x) 叫做奇函数，其图像关于原点对称
奇偶性 偶函数：若)()(x f x f =-，D x ∈，则函数f(x) 叫做偶函数，其图像关于y 轴对称
【注】奇、偶函数的定义域关于原点对称
周期性（略）
题型：判断函数单调性、奇偶性及比较函数值的大小
3-1函数单调性的判断方法
（1）由定义判断
①设21x x ，是定义域区间D 上的任意两个值，且21x x －－）； ②作差)()(21x f x f －，并将差的形式化简，目标是有利于判断结果的正负号；
③判断)()(21x f x f －的正负；
④结论
（2）由图像特征进行判断：从左向右看图像
图像上升
⇔单调增函数
图像下降⇔单调减函数
（3）复合函数的单调性判断（表3-1）
3-2函数的奇偶性
1.【知识口诀】
由函数奇偶性的定义可知:如果f(-x)与f(x)各项互为相反数时，函数为奇函数;如果f(一x)与f(x)各项都相等时，函数为偶函数.所以，我们常用“奇变偶不变”这五个字来概括函数奇偶性的特点。
2.函数奇偶性的判断方法
定义法:由定义判断函数的奇偶性，一般按下列步骤进行:
①确定函数的定义域是否是关于原点对称的区间，若是，再按下列步骤继续进行，若不是，
可判断函数为非奇非偶函数
②在定义域内任取x，以一x代换f(x)中的x，得f(-x)
③若
奇函数
－
偶函数
－)(
)
(
{
=
)
(x f
x
f
x
f
若
)
(
±
≠
)
(x
f
x
f－，则函数为非奇非偶函数
4.一次函数
（1）
（2）一次函数的单调性
5.反比例函数
（1）)0
≠
(
=k
x
k
y
（2）图像
（3）反比例函数的性质
6.二次函数
（1）
顶点式： 其中a
b h 2=－，a b a
c k 44=2－，),k h （为二次函数对应的抛物线顶点坐标 （2）
二、典型题目
1、下列四组函数中表示同一个函数的是（ ） ①2)1(,1-=-=x y x y ②x x y x y 2
,== ③11,1--=-=x x y x y ④）（x y x y 100lg ,2lg =+=
2、若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-=0
,20,1)(x x x x x f ，则)]1([-f f = 3、
4、求下列函数的定义域
①⎩⎨⎧<≤+<<-=40,105,3)(2x x x x x f ②41)(2-=x x f ③1)2lg(-+-=x x y
5、下列函数即是奇函数又是增函数的是
①x y 3= ②1-=x y ③322+=x y ④1-=x y
6、若函数y=f(x)在区间（-2,3）内是增函数，则f(-1) f(2)
