基本初等函数的导数公式的推导过程

求导数公式24个基本求导公式可以分成三类。

第一类是导数的定义公式，即差商的极限. 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。

最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。

1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]. 即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。

其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。

包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，一共有如下求导公式：2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数. 即常数的导数等于0；这个导数其实是一个特殊的幂函数的导数。

就是当幂函数的指数等于1的时候的导数。

可以根据幂函数的求导公式求得。

3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数. 即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数. 这是幂函数的指数为正整数的求导公式。

4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数. 即幂函数的导数，以指数为系数，指数减1为指数.5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于1. 即指数函数的导数等于原函数与底数的自然对数的积.6、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x. 即以e为底数的指数函数的导数等于原函数.7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a 不等于1. 即对数函数的导数等于1/x与底数的自然对数的倒数的积.8、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x. 即自然对数函数的导数等于1/x.9、(sinx)'=cosx. 即正弦的导数是余弦.10、(cosx)'=-sinx. 即余弦的导数是正弦的相反数.11、(tanx)'=(secx)^2. 即正切的导数是正割的平方.12、(cotx)'=-(cscx)^2. 即余切的导数是余割平方的相反数.13、(secx)'=secxtanx. 即正割的导数是正割和正切的积.14、(cscx)'=-cscxcotx. 即余割的导数是余割和余切的积的相反数.15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2).16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2).17、(arctanx)'=1/(1+x^2).18、(arccotx)'=-1/(1+x^2).最后是利用四则运算法则、复合函数求导法则以及反函数的求导法则，就可以实现求所有初等函数的导数。

个基本初等函数的导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数的变化率。

在微积分中，有多种基本初等函数，每种函数都有其特定的导数公式。

下面我将介绍一些常见的基本初等函数及其导数公式。

一、幂函数：幂函数是一个形如f(x)=x^n的函数，其中n是一个常数。

幂函数的导数公式为：f'(x)=n*x^(n-1)。

例如：当n=1时，f(x)=x，导数为f'(x)=1当n=2时，f(x)=x^2，导数为f'(x)=2*x。

当n=3时，f(x)=x^3，导数为f'(x)=3*x^2二、指数函数：指数函数是一个形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个大于0且不等于1的常数。

指数函数的导数公式为：f'(x) = a^x * ln(a)。

例如：当a=e(自然对数的底数)时，f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。

当 a = 2 时，f(x) = 2^x，导数为 f'(x) = 2^x * ln(2)。

三、对数函数：对数函数是指以一些特定的底数为底的函数，形如 y = log_a(x)，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常数。

对数函数的导数公式为：f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

例如：当 a = e 时，f(x) = ln(x)，导数为 f'(x) = 1 / x。

当 a = 10 时，f(x) = log_10(x)，导数为 f'(x) = 1 / (x *ln(10))。

四、三角函数：常见的三角函数有正弦函数 (sin(x))、余弦函数 (cos(x))、正切函数 (tan(x))。

三角函数的导数公式如下：sin(x) 的导数为 cos(x)。

cos(x) 的导数为 -sin(x)。

tan(x) 的导数为 sec^2(x)，其中 sec(x) 为 secant 函数。

五、反三角函数：反三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数的反函数。

3.2.1/1.2.1常见函数的导数（1）班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】1．知识目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，体会算法的思想。

2．能力目标：进一步发展学生的思维能力.3．情感目标：体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法.【教学重点】基本初等函数的导数公式．【教学难点】基本初等函数的导数公式的推导．【教学过程】一、引入：利用导数的定义求函数的导数的流程是：你能根据如此流程计算下列函数的导数吗？（1）bkxxf+=)(；（2）2)(xxf=；（3）xxf=)(．1．以上求导公式可以归纳如下：（1）()kx b'+=（,k b为常数）；（2）='C（C为常数）；（3）()x'= ；（4）2()x'= ；（5）3()x'= ；（6）1()x'=；（7）'=．2．对于基本初等函数，有下面的求导公式：（8）)('ax=___________（a为常数）；（9）()x a'=（0>a，且1≠a）；（10）(log)ax'==（0>a，且1≠a）；（11）()x e'=；（12）=')(ln x；（13）=')(sin x；（14）=')(cos x．三、课堂反馈：1．下列结论：（1）'(cos )sin x x =；（2）'(sin )cos33ππ=；（3）若21()f x x =，则'2(3)27f =-； （4）'=正确的有__________________．2．函数1y x =的图象在点1(2,)2处的切线方程为____________________．3．若直线y x b =-+是函数1y x=图象的切线，则b = ，切点坐标为 ．4．若直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则b 的值为 ．5．求下列函数的导数：（1）100y x=； （2）4x y =； （3）y =； （4）41y x=； （5）5log y x =．四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．过曲线3y x -=上的点1(2,)8的切线方程为 ．2．曲线()()n f x x n N *=∈在2=x 处的导数为12，则n =______________．3．（1）曲线3x y =在点P 处的切线斜率为k ，当k =3时，P 点坐标为________________．（2）曲线()f x =(16,8)Q 处的切线方程为 ．4．函数()ln f x x =在点p 处的切线方程为1y x =-，则点p 的坐标为____________．5．函数()y f x =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= ．6．求过曲线x y cos =上点)21,3(πP 且与过这点的切线垂直的直线方程为 ．7．求下列函数的导数：（1）23y x =-； （2）3y x =； （3）()3xf x =； （4）()ln f x x =．8．求下列函数的导数：（1）()cos f x x =； （2）()f x = （3）()2sincos 22x xf x =； （4）12()log f x x =．9．在曲线21x y =上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135．10．（1）求曲线()x f x e =在0x =处的切线方程；（2）求曲线()ln f x x =在（2,2e ）处的切线方程．小结反思：。

基本导数四则运算法则与求导公式。

由于导数实质上就是一个求极限的过程，因此完全来源于极限的四则运算法则，同样存在导数的四则运算法则，列出如下，不过还是希望同学们自己进行推导从而更好地掌握极限法则和导数法则。

（1）')'('x c x c y ⋅=⋅=，其中c 为任意常数。

（2）)(')(')]'()(['x bv x au x bv x au y +=+=，其中a 和b 是任意常数。

（3）)(')()()(')]'()(['x v x u x v x u x v x u y +==。

（4）)()(')()()(']')()(['2x v x v x u x v x u x v x u y -==，（)0)(≠x v 。

直接从导数的定义出发，也就是运用求极限的方式，我们就可以计算得到三种基本初等函数的导数的表达式，即常数函数，正弦函数，对数函数，因为这无非就是一个求极限的过程。

从这三种基本初等函数的导数表达式，加上基本导数四则运算法则和函数之间本身的恒等变换关系，就可以得到所有初等函数的导数公式。

我们列出基本的求导公式如下，但是希望同学们能够自己动手，推导出这些基本求导公式来，而不是死记硬背，因为只有自己亲手推导出来的公式，才能真正熟练地，深刻地加以复合函数的求导法则。

由基本初等函数通过复合而得到复合函数，那么在这种复合过程当中，函数的导函数如何变化呢？这里有一个一般的对于复合函数的求导法则，就是所谓链式法则：两个函数y=f （u ），u=g （x ）可以通过复合构成一个复合函数，其中g 在x 点处可导，f 在相应的u=g （x ）点处可导，那么复合得到的函数y=f[g （x ）]在同样的x 点处也可导，并且导数等于：dx du du dy dx dy ⋅= 这个定理直接应用导数的定义，通过求极限就可以得到。

求导公式∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙①几个基本初等函数求导公式(C)'=0，(x^a)'=ax^(a-1)，(a^x)'=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)'=e^x[log<a>x]'=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)'=1/x (sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(cotx)'=-(cscx)^2(arcsinx)'=1/√(1-x^2)(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)②四则运算公式(u+v)'=u'+v'(u-v)'=u'-v'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/v^2③复合函数求导法则公式y=f(t),t=g(x)，dy/dx=f'(t)*g'(x)④参数方程确定函数求导公式x=f(t),y=g(t)，dy/dx=g'(t)/f'(t)⑤反函数求导公式y=f(x)与x=g(y)互为反函数，则f'(x)*g'(y)=1⑥高阶导数公式f^<n+1>(x)=[f^<n>(x)]'⑦变上限积分函数求导公式[∫<a,x>f(t)dt]'=f(x)还有一元隐函数求导问题，其求导有公式，但牵涉到多元函数问题，偏导，或者偏导数雅可比。

★★★愚见没有越详细越好了的提法★★★双曲函数sinhx,coshx,tanhx（早年曾经不规范地写成shx,chx,thx现在早就纠正了）反双曲函数arsinhx,arcoshx,artanhx…………初等函数是无穷无尽的。

基本初等函数求导公式(1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x(3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan =' (6)x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='(8) x x x cot csc )(csc -='(9)a a a xx ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log ='(12)x x 1)(ln =',(13)211)(arcsin x x -=' (14)211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+函数的与、差、积、商的求导法则 设)(x u u =,)(x v v =都可导,则(1) v u v u '±'='±)( (2) u C Cu '=')((C 就是常数)(3) v u v u uv '+'=')((4) 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ,则它的反函数)(x f y =在对应区间xI 内也可导,且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则设)(u f y =,而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导,则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =g或()()y f u x ϕ'''=g２、 双曲函数与反双曲函数的导数、双曲函数与反双曲函数都就是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式与求导法则求出.可以推出下表列出的公式:在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。

§1.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.利用导数的定义推导常用的五个函数的导数公式，并归纳得出一般幂函数的导数公式.2.掌握基本初等函数的导数公式．知识点一 几个常用函数的导数原函数 导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x思考 “若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0”，从几何意义怎样说明？ 答案 函数f (x )＝c 的图象上每一点处切线的斜率都是0. 知识点二 基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x思考 求f ′(x 0)有哪些方法？ 答案 方法一 f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .方法二 先求导函数f ′(x )，然后代入求f ′(x 0)．1．若y ＝2，则y ′＝12×2＝1.( × )2．f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3x 4.( √ )3．若f (x )＝5x ，则f ′(x )＝5x log 5e.( × ) 4．若f (x )＝3x ，则f ′(x )＝x ·3x －1.( × )一、利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12x； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝x 2x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ln 12＝－⎝⎛⎭⎫12x ln 2. (2)y ′＝1x ln 10.(3)∵y ＝x 2x＝32x ，∴y ′＝(32x )′＝3212x ＝32x .(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .反思感悟 利用公式求函数的导数：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后再求导．跟踪训练1 (多选)下列运算不正确的是( ) A ．(x 5)′＝x 5ln 5 B ．(lg x )′＝1xC ．(π5)′＝5π4D ．(log 2x )′＝1x ln 2答案 ABC解析 对于A ，因为(x 5)′＝5x 4，所以A 错误；对于B ，因为(lg x )′＝1x ln 10，所以B 错误；对于C ，因为(π5)′＝0，所以C 错误；对于D ，因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以D 正确．二、导数公式的应用例2 已知曲线y ＝ln x ，点P (e,1)是曲线上一点，求曲线在点P 处的切线方程． 解 ∵y ′＝1x ，∴k ＝y ′|x ＝e ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0. 延伸探究求曲线y ＝ln x 过点O (0,0)的切线方程． 解 ∵O (0,0)不在曲线y ＝ln x 上． ∴设切点Q (x 0，y 0)， 则切线的斜率k ＝1x 0.又切线的斜率k ＝y 0－0x 0－0＝ln x 0x 0，∴ln x 0x 0＝1x 0，即x 0＝e ， ∴Q (e,1)， ∴k ＝1e，∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0.反思感悟 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．跟踪训练2 (1)函数y ＝－1x 在⎝⎛⎭⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4 C ．y ＝4x ＋4 D ．y ＝2x －4答案 B解析 ∵y ′＝⎝⎛⎭⎫－1x ′＝x －2， ∴k ＝y ′|12x =＝⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴切线方程为y ＋2＝4⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝4x －4.(2)点P 是曲线y ＝－x 2上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( ) A ．1 B.728 C.528 D. 3答案 B解析 依题意知，点P 就是曲线y ＝－x 2上与直线y ＝x ＋2平行的切线的切点． 设点P 的坐标为(x 0，－x 20)， 因为y ′＝－2x ，所以曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝－2x 0. 因为该切线与直线y ＝x ＋2平行， 所以有－2x 0＝1，得x 0＝－12.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－14，这时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12＋14＋22＝728.(3)以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点得切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 A解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]． ∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.1．(多选)下列结论正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3 答案 ACD解析 若y ＝1x＝12x -，则y ′＝－12112x --＝－1232x -＝－12x 3 .2．已知f (x )＝x ，则f ′(8)等于( ) A ．0 B ．2 2 C.28D ．－1 答案 C解析 f (x )＝x ，得f ′(x )＝1212x -，∴f ′(8)＝12×(8)12-＝28.3．已知函数f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.4．y ＝3x 4的导数为 ． 答案 y ′＝4313x解析 ∵y ＝3x 4＝43x ，∴y ′＝(43x )′＝4313x .5．已知y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的一条切线，则k ＝ . 答案 1e解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， 由题意得y ′|0x x ＝＝1x 0＝k ，①又y 0＝kx 0，② 而且y 0＝ln x 0，③由①②③可得x 0＝e ，y 0＝1，则k ＝1e.1．知识清单：(1)几个常用函数的导数． (2)基本初等函数的导数公式． 2．方法归纳：公式法，待定系数法． 3．常见误区：公式记混用错．1．(多选)下列各式不正确的是( ) A ．(2x )′＝2x log 2e B.⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2 C ．(cos x )′＝sin x D ．(x －5)′＝－5x －4答案 ACD解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，(2x )′＝2x ln 2，A 错误；对于B ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，B 正确； 对于C ，(cos x )′＝－sin x ，C 错误；对于D ，(x －5)′＝－5x －6，D 错误． 2．若函数f (x )＝cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 A解析 f ′(x )＝－sin x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＋f ⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＋cos π4＝0. 3．已知函数f (x )＝ax 2，且f ′(1)＝4，则a 的值为( ) A ．2 019 B ．2 015 C ．2 D. 2答案 C解析 f ′(x )＝2ax ，若f ′(1)＝4，即2a ＝4，解得a ＝2.4．(多选)已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－1，－1) B ．(1,1) C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18 答案 AB解析 y ′＝3x 2，因为k ＝3，所以3x 2＝3，所以x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.12523 B.110523 C.25523 D.110523 答案 B解析 ∵s ′＝1545t -.∴当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523. 6．下列各式中正确的是 ．①(x 7)′＝7x 6；②(x －1)′＝x －2；③(5x 2)′＝2535x ；④(cos x )′＝－sin x ；⑤(cos 2)′＝－sin 2. 答案 ①③④解析 根据导数公式①③④正确． ∵(x －1)′＝－x －2，(cos 2)′＝0. ∴②⑤错误．7．曲线y ＝9x 在点M (3,3)处的切线方程是 ．答案 x ＋y －6＝0 解析 y ′＝－9x －2， 所以k ＝y ′|x ＝3＝－1，所以在点M (3,3)处的切线方程为y －3＝－(x －3)， 即x ＋y －6＝0.8．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 ． 答案 (1,1)解析 y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x 2 (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率为k 2＝－1m 2 (m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．9．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， 所以0e x＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 10．若曲线y ＝12x -在x ＝a 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求实数a 的值．解 ∵y ＝12x-，y ′＝－1232x -，∴曲线在点(a ，12a-)处的切线的斜率k ＝－1232a -，∴切线方程为y －12a-＝－1232a -(x －a )．令x ＝0，得y ＝3212a -；令y ＝0，得x ＝3a .故该切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×3a ·3212a -＝9412a ＝18，∴a ＝64.11．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为( )A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2 答案 C解析 ∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)．代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.12．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2 020(x )＝ . 答案 sin x解析由已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…依次类推可得，f2 020(x)＝f4(x)＝sin x.13．已知在曲线y＝1x2上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为．答案32解析设P(x0，y0)．∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，∴－2x－30＝－1，∴x0＝32.14．函数f(x)的导数为f′(x)，若对于定义域内任意x1，x2(x1≠x2)有f(x1)－f(x2)x1－x2＝f′⎝⎛⎭⎫x1＋x22恒成立，则称f(x)为恒均变函数，给出下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝e x；④f(x)＝cos x.其中为恒均变函数的是．(填序号)答案①②解析对于①，f(x1)－f(x2)x1－x2＝1，f′(x)＝1，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝1，故①满足；对于②，f(x1)－f(x2)x1－x2＝x21－x22x1－x2＝x1＋x2，f′(x)＝2x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝2×x1＋x22＝x1＋x2，故②满足；对于③，令x1＝0，x2＝1，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－e0－1＝e－1，f′(x)＝e x，∴f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫12＝12e，故③不满足；对于④，令x1＝0，x2＝π2，∴f(x1)－f(x2)x1－x2＝1－00－π2＝－2π，f′(x)＝－sin x，f′⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22＝f′⎝⎛⎭⎫π4＝－sin π4＝－22，故④不满足．15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(a k，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k＋1，其中k∈N*，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是 ．答案 21解析 ∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y＝0，得x ＝a k 2， 又该切线与x 轴的交点坐标为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项为a 1＝16，公比为q ＝12的等比数列， ∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.16．已知抛物线y ＝x 2，求过点⎝⎛⎭⎫－12，－2且与抛物线相切的直线方程． 解 设直线的斜率为k ，直线与抛物线相切的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线方程为y ＋2＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 因为y ′＝2x ，所以k ＝2x 0，又点(x 0，x 20)在切线上． 所以x 20＋2＝2x 0⎝⎛⎭⎫x 0＋12， 所以x 0＝1或x 0＝－2，当x 0＝1时，则y 0＝x 20＝1，k ＝2x 0＝2，直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0；当x 0＝－2时，则y 0＝x 20＝4，k ＝2x 0＝－4，直线方程为y －4＝－4(x ＋2)，即4x ＋y ＋4＝0.综上所述，直线方程为2x －y －1＝0或4x ＋y ＋4＝0.。