第6章 逻辑斯蒂回归模型

多项逻辑斯蒂回归模型多项逻辑斯蒂回归模型（Multinomial Logistic Regression Model）是一种分类模型，用于将多个类别分别分配给一组预测变量。

它是逻辑斯蒂回归模型的进化，适用于分类问题中有多个可能的输出类别的情况。

在这个模型中，每个类别的概率是根据预测变量的线性组合计算的。

多项逻辑斯蒂回归采用类似于二项逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）的思路来实现对于多个类别的分类，主要通过多个决策边界来实现类别的划分。

假设多项逻辑斯蒂回归模型有k个类别，对于第j个类别，其概率为：P(Y = j|X) = e^(β_j*X)/（∑_i=1^k e^(β_i*X)）其中，β_j是与第j个类别关联的系数，X是特征矩阵，Y是响应变量。

通过这个公式可以得出每个类别的概率，然后根据概率大小判断属于哪一个类别。

多项逻辑斯蒂回归模型经常用于文本分类、医疗诊断、人脸识别等领域。

文本分类是多项逻辑斯蒂回归模型的一个应用场景。

在文本分类中，每个文本可以被分配到多个类别中的一个或多个，因此需要使用多项逻辑斯蒂回归模型对文本进行分类。

在医疗诊断中，多项逻辑斯蒂回归模型可以用于根据多项指标来预测一种疾病的可能性。

模型可以用于心脏病、癌症和糖尿病等疾病的诊断。

在人脸识别中，多项逻辑斯蒂回归模型可以用于将人脸分配到不同的类别中，例如年龄、性别、种族等。

需要注意的是，多项逻辑斯蒂回归模型的特征矩阵中一般需要进行独热编码（One-Hot Encoding），目的是为了将离散型变量映射成一个向量，从而在模型中进行计算。

同时，在多项逻辑斯蒂回归模型中，也需要进行特征选择和模型评估。

总之，多项逻辑斯蒂回归模型是一种用于多分类问题的回归模型，具有很好的解释性和灵活性，在许多领域都有广泛的应用。

逻辑斯蒂（logistic）回归深⼊理解、阐述与实现第⼀节中说了，logistic 回归和线性回归的区别是：线性回归是根据样本X各个维度的Xi的线性叠加（线性叠加的权重系数wi就是模型的参数）来得到预测值的Y，然后最⼩化所有的样本预测值Y与真实值y'的误差来求得模型参数。

我们看到这⾥的模型的值Y是样本X各个维度的Xi的线性叠加，是线性的。

Y=WX (假设W>0),Y的⼤⼩是随着X各个维度的叠加和的⼤⼩线性增加的，如图（x为了⽅便取1维）：然后再来看看我们这⾥的logistic 回归模型，模型公式是：，这⾥假设W>0,Y与X各维度叠加和（这⾥都是线性叠加W）的图形关系，如图（x为了⽅便取1维）：我们看到Y的值⼤⼩不是随X叠加和的⼤⼩线性的变化了，⽽是⼀种平滑的变化，这种变化在x的叠加和为0附近的时候变化的很快，⽽在很⼤很⼤或很⼩很⼩的时候，X叠加和再⼤或再⼩，Y值的变化⼏乎就已经很⼩了。

当X各维度叠加和取⽆穷⼤的时候，Y趋近于1，当X各维度叠加和取⽆穷⼩的时候，Y趋近于0.这种变量与因变量的变化形式就叫做logistic变化。

（注意不是说X各个维度和为⽆穷⼤的时候，Y值就趋近1，这是在基于W>0的基础上，（如果W<0,n那么Y趋近于0）⽽W是根据样本训练出来，可能是⼤于0，也可能是⼩0，还可能W1>0，W2<0…所以这个w值是样本⾃动训练出来的，也因此不是说你只要x1，x2，x3…各个维度都很⼤，那么Y值就趋近于1，这是错误的。

凭直觉想⼀下也不对，因为你连样本都还没训练，你的模型就有⼀个特点：X很⼤的时候Y就很⼤。

这种强假设肯定是不对的。

因为可能样本的特点是X很⼤的时候Y就很⼩。

）所以我们看到，在logistic回归中，X各维度叠加和（或X各维度）与Y不是线性关系，⽽是logistic关系。

⽽在线性回归中，X各维度叠加和就是Y，也就是Y与X就是线性的了。

混合效应逻辑斯蒂回归模型的原理及其应用
混合效应逻辑斯蒂回归模型是一种广义线性模型，它可以用于建立二分类或多分类的
预测模型。

与传统的逻辑斯蒂回归模型不同，混合效应逻辑斯蒂回归模型考虑了被观察单
位之间的相关性，采用了混合效应的方法来消除这种相关性的影响，从而提高了模型的准
确性和稳定性。

混合效应逻辑斯蒂回归模型的原理是将线性预测函数扩展到包含固定效应和随机效应。

固定效应是指在样本中所有观测量之间共享的影响因素，如环境、训练、学历等；而随机
效应是指在样本中不同个体之间的特定影响因素，如体重、年龄、性别等。

这种方法可以
将不同个体之间的差异归因于随机效应，从而提高模型的准确性。

混合效应逻辑斯蒂回归模型的应用非常广泛，尤其是在医学、社会科学、教育和生态
学领域。

例如，在医学领域，混合效应逻辑斯蒂回归模型可以用于评估不同药物的疗效，
发现与健康相关的因素，或预测病人的死亡率。

在社会科学领域，混合效应逻辑斯蒂回归
模型可以用于预测贫困、失业或犯罪率等社会问题。

在教育领域，混合效应逻辑斯蒂回归
模型可以用于评估教学质量、课程难度和学生表现等方面。

总之，混合效应逻辑斯蒂回归模型是一种有效的建模方法，它可以用于处理具有相关
性的数据，并且可以应用于许多领域。

随着数据科学的快速发展，混合效应逻辑斯蒂回归
模型将在未来继续发挥重要作用。

逻辑斯蒂回归参数估计
逻辑斯蒂回归（Logistic Regression）是一种常见的分类模型，它使用一个逻辑函数对输入特征进行建模并预测输出类别。

在给定训练数据和标签的情况下，我们可以通过最大似然估计方法来估计逻辑斯蒂回归模型的参数。

假设我们有一个二分类问题，输入特征为 x，标签为 y，逻辑斯蒂回归模型可以表示为：
h(x) = P(y=1|x) = 1 / (1 + exp(-wx))
h(x) 是通过逻辑函数（sigmoid函数）将输入特征与权重参数 w 结合后的预测结果。

我们的目标是通过最大似然估计方法来估计参数 w。

为了方便计算，我们引入对数似然函数：
L(w) = sum(y*log(h(x)) + (1-y)*(1-log(h(x))))
接下来，我们可以使用梯度下降算法来最大化对数似然函数，从而估计出参数 w。

梯度下降算法的更新规则如下：
w := w + alpha * sum((y - h(x)) * x)
alpha 是学习率，用于控制更新的步长。

通过重复执行上述更新规则，直到满足终止条件（如达到最大迭代次数或参数收敛），我们就可以得到逻辑斯蒂回归模型的参数估计值 w。

需要注意的是，在进行参数估计时，我们需要对输入特征进行适当的预处理（如标准化、归一化等），以确保模型的准确性和稳定性。

以上便是逻辑斯蒂回归参数估计的基本原理和方法，希望对您有所帮助。

Logistic 回归模型1 Logistic 回归模型的基本知识 1.1 Logistic 模型简介主要应用在研究某些现象发生的概率p ，比如股票涨还是跌，公司成功或失败的概率，以及讨论概率p 与那些因素有关。

显然作为概率值，一定有10≤≤p ，因此很难用线性模型描述概率p 与自变量的关系，另外如果p 接近两个极端值，此时一般方法难以较好地反映p 的微小变化。

为此在构建p 与自变量关系的模型时，变换一下思路，不直接研究p ，而是研究p 的一个严格单调函数)(p G ，并要求)(p G 在p 接近两端值时对其微小变化很敏感。

于是Logit 变换被提出来：ppp Logit -=1ln)( （1）其中当p 从10→时，)(p Logit 从+∞→∞-，这个变化范围在模型数据处理上带来很大的方便，解决了上述面临的难题。

另外从函数的变形可得如下等价的公式：XT XT T ee p Xppp Logit βββ+=⇒=-=11ln )( （2）模型(2)的基本要求是，因变量（y ）是个二元变量，仅取0或1两个值，而因变量取1的概率)|1(X y P =就是模型要研究的对象。

而Tk x x x X ),,,,1(21 =，其中i x 表示影响y 的第i 个因素，它可以是定性变量也可以是定量变量，Tk ),,,(10ββββ =。

为此模型(2)可以表述成：kx k x k x k x kk eep x x pp βββββββββ+++++++=⇒+++=- 11011011011ln （3）显然p y E =)(，故上述模型表明)(1)(lny E y E -是k x x x ,,,21 的线性函数。

此时我们称满足上面条件的回归方程为Logistic 线性回归。

Logistic 线性回归的主要问题是不能用普通的回归方式来分析模型，一方面离散变量的误差形式服从伯努利分布而非正态分布，即没有正态性假设前提；二是二值变量方差不是常数，有异方差性。