2020年辽宁省鞍山市铁西区中考数学二模试卷

中考数学二模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如图所示几何体的左视图是（）A.B.C.D.2.下列说法正确的是（）A. 为了解全国中学生视力的情况，应采用普查的方式B. 某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票一定会中奖C. 从2000名学生中随机抽取200名学生进行调查，样本容量为200名学生D. 从只装有白球和绿球的袋中任意摸出一个球，摸出黑球是确定事件3.如图，在⊙O中，∠BAC=15°，∠ADC=20°，则∠ABO的度数为（）A. 70°B. 55°C. 45°D. 35°4.《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是（）A. 8x+3=7x-4B.C.D.5.如图，某公园入口有三级台阶，每级台阶高18cm，深30cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是（）A. 270cmB. 210cmC. 180cmD. 96cm6.若一组数据4，9，5，m，3的平均数是5．则这组数据的中位数和众数分别是（）A. 9，3B. 4，5C. 4，4D. 5，37.如图，过点C（-2，5）的直线AB分别交坐标轴于A（0，2），B两点，则tan∠OAB=（）A.B.C.D.8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，矩形CDEF的顶点E在边AB上，D，F两点分别在边AC，BC上，且，将矩形CDEF以每秒1个单位长度的速度沿射线CB方向匀速运动，当点C与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，矩形CDEF与△ABC重叠部分的面积为S，则反映S与t的函数关系的图象为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.一般冠状病毒衣原体的直径约为0.000011cm，把0.000011用科学记数法可以表示为______．10.因式分解：9x2-81=______．11.在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若，则△ABC的顶角的度数为．12.如图，A、C在双曲线y=-上，B、D在双曲线y=上，AB∥x轴，BC∥y轴，AD∥y轴，则四边形ABCD的面积是______．13.以A为圆心，半径为9的四分之一圆，与以C为圆心，半径为4的四分之一圆如图所示放置，且∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积为______．14.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（-1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2-bm（m为任意实数）．其中正确的结论有______．（填序号）15.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n-1BA n，则A2020的横坐标______．16.如图，正方形ABCD的边长为，E在正方形外，DE=DC，过D作DH⊥AE于H，直线DH，EC交于点M，直线CE交直线AD于点P，则下列结论正确的是______①∠DAE=∠DEA；②∠DMC=45°；③=；④若MH=2，则S△CMD=．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．四、解答题（本大题共9小题，共92.0分）18.先化简，再求值：÷（a-1+），其中a是方程x2-x=6的根．19.如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转90°，试解决下列问题：（1）画出四边形ABCD旋转后的图形；（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；（3）设点B旋转后的对应点为B′，求tan∠DAB′的值．20.某校组织学生参加“新冠肺炎”防疫知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成A，B，C，D，E五个小组，绘制统计图如表（未完成），解答下列问题：（1）样本容量为______，频数分布直方图中a=______；（2）扇形统计图中E小组所对应的扇形圆心角为n°，求n的值并补全频数分布直方图；（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，全校共有3000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？21.五张正面分别写有数字：-3，-2，0，1，2的卡片，它们的背面完全相同，现将这五张卡片背面朝上洗匀．（1）从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不小于1的概率是______；（2）先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为m的值，然后再从剩余的卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为n的值，请用列表法或画树状图法，求点Q（m，n）在第四象限的概率．22.如图，一次函数y=-x+6的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，m）和B两点，与x轴交于点C，连接OA、OB．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且S△APC=S△OAB，求点P的坐标．23.如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD=PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE=2OD•PD；（3）若AB=8，CD•DE=15，求PA的长．24.随着时代的不断发展，新颖的网络购进逐渐融入到人们的生活中，“拼一拼”电商平台上提供了一种拼团购买方式，当拼团（单数不超过15单）成功后商家将会让利一定的额度给予顾客实惠．现在某商家准备出手一种每件成本25元/件的新产品，经市场调研发现，单价y（单位：元）、日销售量m（单位：件）与拼单数x（单拼单数x（单位：单）24812单价y（单位：元）34.5034.0033.0032.00日销售量m（单位：件）687692108请根据以上提供的信息解决下列问题：（1）请直接写出单价y和日销售量m分别与拼单数x之间的一次函数关系式；（2）拼单数设置为多少单时的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售过程中，厂家希望能有更多的商品出售，因此对电商每销售一件商品厂家就给予电商补助a元（a≤2），那么电商在获得补助之日后日销售利润能够随单数x的增大而增大，那么a的取值范围是什么？25.（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，连接CD，BE交于点F．=______；∠BFD=______；（2）如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AB=AD，∠EDF=90°，∠DEF=60°，连接AF交CE的延长线于点G．求的值及∠AGC的度数，并说明理由．（3）在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋转，AF，CE所在直线交于点P，若DE=1，AD=，求出当点P与点E重合时AF的长．26.如图，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当AD=2PD时，求点P的坐标；（3）求线段PE+CE的最大值；（4）当线段PE+CE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP=2∠ACO，直接写出点F的坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】解：图中几何体的左视图如图所示：故选：C．从左面观察几何体，能够看到的线用实线，看不到的线用虚线．本题主要考查的是几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：A．为了解全国中学生视力的情况，应采用抽样调查的方式，此选项错误；B．某种彩票中奖的概率是，买1000张这种彩票也不一定会中奖，此选项错误；C．从2000名学生中随机抽取200名学生进行调查，样本容量为200，此选项错误；D．从只装有白球和绿球的袋中任意摸出一个球，摸出黑球是不可能事件，属于确定事件，此选项正确．故选：D．根据抽样调查和普查的区别、概率的意义、样本容量的概念及确定事件的概念逐一判断可得．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．3.【答案】B【解析】解：连接OA、OC，∵∠BAC=15°，∠ADC=20°，∴∠AOB=2（∠ADC+∠BAC）=70°，∵OA=OB（都是半径），∴∠ABO=∠OAB=（180°-∠AOB）=55°．故选：B．根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．4.【答案】C【解析】解：设现有x人，这个物品的价格是y元，则x、y满足的方程（组）是，故选：C．根据两人购买时的单价相同列方程即可得．本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．5.【答案】C【解析】解：过点B作BD⊥AC于D，根据题意得：AD=2×30=60（cm），BD=18×3=54（cm），∵斜坡BC的坡度i=1：5，∴BD：CD=1：5，∴CD=5BD=5×54=270（cm），∴AC=CD-AD=270-60=210（cm）．∴AC的长度是210cm．故选：C．首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i=1：5，求得CD的长，继而求得答案．此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题．此题难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．6.【答案】C【解析】解：∵数据4，9，5，m，3的平均数是5，∴4+9+5+m+3=5×5，解得m=4，则这组数据为3、4、4、5、9，∴这组数据的众数为4，中位数为4，故选：C．先根据算术平均数的概念求出m的值，再将数据重新排列，继而利用众数和中位数的概念求解可得．本题主要考查众数和中位数及平均数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．7.【答案】B【解析】解：方法1、设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：，解得，则直线AB的解析式是y=-x+2．在y=-x+2中令y=0，解得x=．则B的坐标是（，0），即OB=．则tan∠OAB===．故选B．方法2、过点C作CD⊥y轴，∵C（-2，5），∴CD=2，OD=5，∵A（0，2），∴OA=2，∴AD=OD-OA=3，在Rt△ACD中，tan∠OAB=tan∠CAD=，故选：B．方法1、利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后求得B的坐标，进而利用正切函数定义求解．方法2、先求出AD，即可得出结论．本题考查了三角函数的定义以及待定系数法求函数解析式，正确求得B的坐标是关键．8.【答案】D【解析】解：如图1，连接DF，∵，即tan B=tan∠EDF，∴∠B=∠EDF，而∠DEF=∠EFB=90°，EF=EF，∴△DEF≌△BFE（AAS），∴DE=FB=CF=BC=4，即点F是BC的中点，EF=FB tanB=4×=3，故矩形DCFE的面积为3×4=12；当0≤t≤4时，如图2，设直线AB交D′C′F′E′于点H，则EE′=t，HE′=EE′tan∠E′EH=EE′tan B=t，S=S矩形D′C′F′E′-S△E′EH=12-t×t=12-t2，该函数为开口向下的抛物线，当t=4时，S=6；当4＜t≤8时，同理可得：S=（8-t）2，该函数为开口向上的抛物线；故选：D．证明△DEF≌△BFE（AAS），则DE=FB=CF=BC=4；分0≤t≤4、4＜t≤8两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、三角形全等、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．9.【答案】1.1×10-5【解析】解：0.000011=1.1×10-5．故答案为：1.1×10-5．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．10.【答案】9（x+3）（x-3）【解析】解：9x2-81=9（x2-9）=9（x+3）（x-3），故答案为：9（x+3）（x-3）．先提公因式，然后根据平方差公式可以对原式进行因式分解．本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是明确因式分解的方法．11.【答案】30°或150°或90°【解析】解：①BC为腰，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°-30°=150°，②BC为底，如图3，∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，∴顶角∠BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．故答案为：30°或150°或90°．分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．12.【答案】【解析】解：设B（x，），则A（-，），C（x，-），D（-，-），∴BC=-（-）=，AD=-（-）=，AB=x-（-）=，∴梯形ABCD的面积=（BC+AD）•AB=×（+）•=，故答案为．设B（x，），根据反比例函数图象上点的坐标特征分别表示出A、C、D三点的坐标，再根据梯形的面积公式计算即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、梯形的面积公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．13.【答案】π-36【解析】解：π×92+π×42-9×4=π+π-36=π-36．答：图中阴影部分的面积为π-36．故答案为：π-36．观察图形可知，图中阴影部分的面积=半径为9的四分之一圆的面积+半径为4的四分之一圆的面积-长9宽4的长方形面积，根据扇形的面积公式和长方形的面积公式代入数据计算即可求解．考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．14.【答案】①③⑤【解析】解：抛物线过点（-1，0），对称轴为直线x=2，因此可得，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），a-b+c=0，x=-=2，即4a+b=0，因此①正确；当x=-3时，y=9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b，因此②不正确；当x=5时，y=25a+5b+c=0，又b=-4a，所以5a+c=0，而a＜0，因此有3a+c＞0，故③正确；在对称轴的左侧，即当x＜2时，y随x的增大而增大，因此④不正确；当x=2时，y最大=4a+2b+c，当x=m时，y=am2+bm+c，因此有4a+2b≥am2+bm，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①③⑤，故答案为：①③⑤．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可．本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是解决问题的关键．15.【答案】-【解析】解：∵边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，OB⊥AC，∴∠BAC=∠ABC=60°，∠ABO=∠ABC=30°，∴AO=AB=2，OB=AO=2；∵以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，∴∠BA1O=∠A1OB=∠A2O1B=60°，∠A1BO1=∠OBO1=∠A1BO=30°，∴∠AOO1=∠A1O1O2=90°-60°=30°，在△OO1A与△O1O2A1中，，∴△OO1A∽△O1O2A1，同理，可得△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2∽…∽△O n-1O n A n-1，相似比：==sin60°=，∵∠OBA=∠O1BA1=∠O2BA2=∠O3BA3=…=∠O1BA1=O n-1BA n-1=30°，360°÷30°=12，∴这些点所在的位置以360°÷30°=12个为一个周期依次循环，∵2020÷12=168……4，∴A2020的横坐标为-4÷2×=-．故答案为：-．由题意：△OO1A∽△O1O2A1∽△O2O3A2∽…∽△O n-1O n A n-1，相似比：==sin60°=，探究规律，利用规律即可解决问题．本题考查等边三角形的性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题．16.【答案】①②③【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ADC=90°，∵DC=DE，∴DA=DE，∴∠DAE=∠DEA，故①正确，∵DA=DC=DE，∴点A，点C，点E在以点D为半径，DA为半径的圆上，∴∠AEC=∠ADC=45°（圆周角定理），∵DM⊥AE，∴∠EHM=90°，∴∠DMC=45°，故②正确，如图，作DF⊥DM交PM于F，∵∠ADC=∠MDF=90°，∴∠ADM=∠CDF，∵∠DMF=45°，∴∠DMF=∠DFM=45°，∴DM=DF，又∵DA=DC，∴△ADM≌△CDF（SAS），∴AM=CF，∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，∴=，故③正确，若MH=2，∵DA=DE，DM⊥AE，∴AH=HE，∴AM=ME，∴∠AEM=∠MAE=45°，∴∠AME=90°，又∵AM=ME，AH=HE，∴AH=MH=HE=2，AM=EM=2，在Rt△ADH中，DH===1，∴DM=3，AM+CM=3，∴CM=CE=，∴S△DCM=S△DCE，故④错误，故答案为：①②③．①利用等腰三角形的性质即可证明．②根据DA=DC=DE，利用圆周角定理可知∠AEC=∠ADC=45°，即可解决问题．③如图，作DF⊥DM交PM于F，证明△ADM≌△CDF（SAS）即可解决问题．④解直角三角形求出CE=EF=可得结论．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17.【答案】解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=AB cos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1-1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．【解析】（1）根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形的性质解答即可．（2）根据甲乙两轮船从港口A至港口C所用的时间相同，可以求出甲轮船从B到C所用的时间，又知BC间的距离，继而求出甲轮船后来的速度．本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过B作BD⊥AC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答．18.【答案】解：解方程x2-x=6得到：x1=3，x2=-2，因为a是方程x2-x=6的根，所以a=3或a=-2．÷（a-1+），=÷，=×，=．当a=3时，原式==．当a=-2时，原式==-．【解析】先解方程求得x的值，根据分式有意义的条件得到a的值，然后将a的值代入化简或所求代数式的值即可．本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解答一元二次方程时可以采用因式分解法．19.【答案】解：（1）如图所示，四边形A′B′C′D′即为所求作的图形；（2）根据勾股定理，OC==，点C旋转过程中所经过的路径长==π；（3）由图可知，tan∠DAB′===2．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C、D的对应点A′、B′、C′、D′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据勾股定理求出OC的长度，再利用弧长公式进行计算即可得解；（3）利用网格结构，根据正切等于对边比邻边列式计算即可得解．本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．20.【答案】200 16【解析】解：（1）学生总数是40÷20%=200（人），则a=200×8%=16；故答案为：200；16；（2）n=360°×=43.2°．C组的人数是：200×25%=50．如图所示：（3）根据题意得：3000×=1410（名）答：成绩优秀的学生有1410名．（1）根据B组的频数以及百分比，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得a的值；（2）利用360°乘以E小组所占的百分比，求出n的值，用总人数乘以C组的人数所占的百分比，从而补全统计图；（3）利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21.【答案】【解析】解：（1）从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字的绝对值不小于1的概率为，故答案为：；（2）列表如下：-3-2012-3（-2，-3）（0，-3）（1，-3）（2，-3）-2（-3，-2）（0，-2）（1，-2）（2，-2）0（-3，0）（-2，0）（1，0）（2，0）1（-3，1）（-2，1）（0，1）（2，1）2（-3，2）（-2，2）（0，2）（1，2）共有种等可能情况，其中在第四象限的点有个，所以点Q（m，n）在第四象限的概率为=．（1）直接利用概率公式计算可得；（2）通过列表展示所有20种等可能情况，利用第四象限的点的坐标特点得到点Q（m，n）在第四象限的结果数，然后根据概率公式求解．此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：（1）把A（1，m）代入y=-x+6得m=-1+6=5，则A（1，5），把A（1，5）代入y=得k=1×5=5，∴反比例函数解析式为y=；（2）解方程组得或，∴B（5，1），当y=0时，-x+6=0，解得x=6，∴C（6，0），∵S△OAB=S△OAC-S△OBC=×6×5-×6×1=12，∴S△APC=S△OAB=6，设P（t，0），∵×|t-6|×5=6，解得t=或t=，∴P点坐标为（，0）或（，0）．【解析】（1）先把A（1，m）代入y=-x+6中求出m得到A点坐标，然后把A点坐标代入y=中求出k，从而得到反比例函数解析式；（2）通过解方程组得B（5，1），再确定C（6，0），利用三角形面积公式计算出S△OAB=12，则S△APC=6，设P（t，0），列方程×|t-6|×5=6，然后解方程求出t得到P点坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点；反过来，两函数图象的交点坐标满足两函数解析式．23.【答案】（1）证明：连接OC，OE，∵OC=OE，∴∠E=∠OCE，∵E是的中点，∴=，∴∠AOE=∠BOE=90°，∴∠E+∠ODE=90°，∵PC=PD，∴∠PCD=∠PDC，∵∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠ODE，∴∠PCD+∠OCD=∠ODE+∠E=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD=∠DBE，∠CAD=∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴=，∴CD•DE=AD•BD=（AO-OD）（AO+OD）=AO2-OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠PCO=90°，∴∠ACP+∠ACO=∠ACO+∠BCO=90°，∴∠ACP=∠BCO，∵∠BCO=∠CBO，∴∠ACP=∠PBC，∵∠P=∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2=PB•PA=（PD+DB）（PD-AD）=（PD+OD+OA）（PD+OD-OA）=（PD+OD）2-OA2=PD2+2PD•OD+OD2-OA2，∵PC=PD，∴PD2=PD2+2PD•OD+OD2-OA2，∴OA2-OD2=2OD•PD，∴CD•DE=2OD•PD；（3）解：∵AB=8，∴OA=4，由（2）知，CD•DE=AO2-OD2；∵CD•DE=15，∴15=42-OD2，∴OD=1（负值舍去），∴AD=3，由（2）知，CD•DE=2OD•PD，∴PD==，∴PA=PD-AD=．【解析】（1）连接OC，OE，根据等腰三角形的性质得到∠E=∠OCE，求得∠E+∠ODE=90°，得到∠PCD=∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到结论；（2）连接AC，BE，BC，根据相似三角形的性质得到=，推出CD•DE=AO2-OD2；由△ACP∽△CBP，得到，得到PD2=PD2+2PD•OD+OD2-OA2，于是得到结论；（3）由（2）知，CD•DE=AO2-OD2；把已知条件代入得到OD=1（负值舍去），求得AD=3，由（2）知，CD•DE=2OD•PD，于是得到结论．本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．24.【答案】解：（1）设单价y与拼单数x之间的一次函数关系式为y=kx+b，∴，解得：，∴单价y与拼单数x之间的一次函数关系式为y=-x+35；设日销售量m与拼单数x之间的一次函数关系式为m=ax+n，∴，解得：，∴日销售量m与拼单数x之间的一次函数关系式为m=4x+60；（2）根据题意得，w=（-x+35-25）（4x+60）=-x2+25x+600=-（x-）2+；∵x取整数且1≤x≤15；∴当x=12或13时，w最大=756.5元；（3）设电商获得补助之日后日销售利润为w′，根据题意得，w′=-x2+25x+600+（4x+60）×a=-x2+（25+4a）x+600+60a；销售利润随单数x的增大而增大；所以对称轴x=≥15；解得：a≥；所以：a的取值范围是≤a≤2．【解析】（1）设单价y与拼单数x之间的一次函数关系式为y=kx+b，根据题意解方程组得到单价y与拼单数x之间的一次函数关系式为y=-x+35；设日销售量m与拼单数x之间的一次函数关系式为m=ax+n，根据题意解方程组得到日销售量m与拼单数x之间的一次函数关系式为m=4x+60；（2）根据题意得到w=（-x+35-25）（4x+60）=-x2+25x+600=-（x-）2+；由于x取整数且1≤x≤15；于是得到结论；（3）设电商获得补助之日后日销售利润为w′，根据题意得二次函数解析式；根据销售利润随单数x的增大而增大得到结论．本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，利用二次函数的增减性求二次函数的最值问题，理清题目数量关系列出利润表达式是解题的关键．25.【答案】1 150°【解析】解：（1）∵∠BAC=∠DAE=30°，∴∠BAC+∠BAD=∠DAE+∠BAD，∴∠CAD=∠BAE，∵AC=AB，AD=AE，∴△CAD≌△BAE（SAS），∴CD=BE，∴=1，∵△CAD≌△BAE（SAS），∴∠ACD=∠ABE，∴∠BFD=∠DCB+∠CBE=∠DCB+∠ABE+∠ABC=∠DCB+∠ACD+∠ABC=∠ACB+∠ABC=180°-∠BAC=150°，故答案为1，150°；（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD，∵AB=AD，∴=，在Rt△DEF中，∠DEF=60°，∴tan∠DEF=，∴=，∴，∵∠EDF=90°=∠ADC，∴∠ADF=∠CDE，∴△ADF∽△CDE，∴=，∠DAF=∠DCE，AD与CD的交点记作点O，∵∠DCE+∠COD=90°，∴∠DAF+∠AOG=90°，∴∠AGC=90°；（3）如备用图，连接AC，在Rt△ADC中，AD=，∴AB=AD=，根据勾股定理得，AC=2，由（2）知，，∴AF=CE，设CE=x．则AF=x，在Rt△DEF中，∠DEF=60°，DE=1，∴EF=2，∴AE=AF-EF=x-2，由（2）知，∠AEC=90°，在Rt△ACE中，AE2+CE2=AC2，∴（x-2）2+x2=28，∴x=-（舍）或x=2，∴AF=x=6．（1）利用SAS判断出△CAD≌△BAE，得出CD=BE，再用数据线的外角和三角形的内角和定理，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出△ADF∽△CDE，即可得出结论；（3）先求出EF=2，设出CE，进而表示出AE，最后用勾股定理求出CE，即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，判断出△ADF∽△CDE是解本题的关键．26.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）（a≠0），则3=a×1×（-3），∴a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3；（2）过A作EF⊥x轴，与BC相交于点F，如图1，设P（t，-t2+2t+3），则AF∥PE，设BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为：y=-x+3，∴E（t，-t+3），F（-1，4），∴AF=4，PE=-t2+3t，∵AF∥PE，∴△AFD∽△PED，∴，∵AD=2PD，解得，t=1或2，∴P（1，4）或（2，3）；（3）设P（t，-t2+2t+3），由点A、C的坐标得，直线CA的表达式为：y=-x+3，直线CA与x轴的负半轴的夹角为45°，则x P=CE=t，PE+CE=-t2+2t+3+t-3+t=-t2+4t，∵-1＜0，故PE+CE有最大值，当t=2时，其最大值为4，此时点P（2，3）；（4）①当F点在PE的左边时，过点P作PM⊥BC于点M，过E作EN⊥x轴于点N，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点O 作OG⊥AC于点G，取AC的中点H，连接OH，由（3）知，当PE取最大值时，P（2，3），PE=2，E（2，1），∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，∴BE=BN=（3-2）=，∠PEM=45°，∴PM=EM=，∵AC==，∴OH=CH=AC=，OG==，∴HG==，∠OHG=2∠ACO，∵∠EFP=2∠ACO，∴∠EFP=∠OHG，∵∠OGH=∠PMF，∴△OGH∽△PMF，∴，即=，∴BF=BE+EM+MF=，∴FQ=BQ=BF=，∴OQ=3-=-，∴F（-，），②当F点在PE的右边时，此时的F点恰好与（-，）关于PM对称，易求此时F（）．故F的坐标为（，），（）．【解析】（1）由于抛物线与x轴的两个交点坐标已知，可把抛物线的解析式设成交点式，再代入另一已知点坐标便可求出解析式；（2）过A作EF⊥x轴，与BC相交于点F，用待定系数法求出BC的解析式，设P点的横坐标为t，进而求得AF与PE，由相似三角形的比例线段求得t便可；（3）根据PE+CE关于t的函数解析式，由函数的性质求出其最大值便可；（4）分两种情况：①当F点在PE的左边时，过点P作PM⊥BC于点M，过E作EN⊥x 轴于点N，过点F作FQ⊥x轴于点Q，过点O作OG⊥AC于点G，取AC的中点H，连接OH，通过三角形相似求出MF的值便可；②将求得的F点坐标，关于PM对称点便是另一F点．本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理的应用，求二次函数的最值，难度较大，是中考的压轴题，第（2）题关键是构造相似三角形；第（3）题的突破口是把线段的最大值转化为二次函数，利用二次函数求最值的方法解决；第（3）题难度很大，作的辅助线较多，关键要把∠EFP=2∠ACO利用起来，需要作多条辅助线，构造直角三角形，相似三角形．。