6第六章 圆【教案】

第六章圆第二十三讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义及性质：1.圆的定义：⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心线段OA叫做半径⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合2.弦与弧：弦：连接圆上任意两点的距离叫做弦弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，弧可分为优弧、劣狐、半圆三类3.圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，经过圆心的直线都是它的对称轴⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的位置半径决定圆的大小2、直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转对称性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合二、垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2、推论：平分弦（不是直径）的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。

名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的垂线（即弦心距）。

3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。

三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角2、定理：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等它们所对应的其余各组量也分别相等名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角相等都等于这条弧所对的圆心角的一半推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等那么它们所对的弧相等推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是90 ，900的圆周角所对的弦是直径名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有无数个，是同类，它们的关系是相等，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线五.圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做内接多边形，1这个圆叫做外接圆。

性质：圆内接四边形的对角互补。

名师提醒：圆内接平行四边形是矩形圆内接梯形是等腰梯形重点考点例析考点一：垂径定理例1（2013•舟山）如图1，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（D）A．B．8 C．D．思路分析：先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，由勾股定理即可得出r 的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=12AB=4，设⊙O的半径为r，则OC=r-2，在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r-2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r-2）2，解得r=5，∴AE=2r=10，如图1-1，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴，在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴=对应训练1．（2013•南宁）如图2，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=12∠BOD，则⊙O的半径为（B）A．．5 C．4 D．3考点二：圆周角定理例2 （2013•自贡）如图3，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（C）A．3 B．4 C．5 D．8思路分析：连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径．解：如图3-1，连接BC，∵∠BOC=90°，∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，根据勾股定理得：BC=10，则圆A的半径为5．故选C点评：此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．对应训练2．（2013•珠海）如图4，▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（A）A．36°B．46°C．27°D．63°练习21．（2013•泰安）如图5，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC等于（D）A．60°B．70°C．120°D．140°2．（2013•滨州）如图6，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（C）A．156°B．78°C．39°D．12°3．（2013•潍坊）如图7，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1：5，则CD的长为（D）A．4B．C．D．4.（2013•临沂）如图8，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是（B）A．75°B．60°C．45°D．30°5.(2013•日照）如图9，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（D）A．BD⊥AC B．AC2=2AB•AE C．△ADE是等腰三角形D．BC=2AD6.（2013•威海）如图10，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．解：（1）∵CD是圆O的直径，CD⊥AB，∴»»AD BD=，∴∠C=12∠AOD，∵∠AOD=∠COE，∴∠C=12∠COE，∵AO⊥BC，∴∠C=30°．（2）如图10-1，连接OB，由（1）知，∠C=30°，∴∠AOD=60°，∴∠AOB=120°，在Rt△AOF中，AO=1，∠AOF=60°，∴，OF=12，∴∴S阴影=S扇形OAB-S△OAB=21201111360223ππ⨯-⨯=．备考真题过关一、选择题1．（2013•厦门）如图11所示，在⊙O中，»»AB AC=，∠A=30°，则∠B=（B）A．150°B．75°C．60°D．15°2．（2013•昭通）如图12，已知AB、CD是⊙O的两条直径，∠ABC=28°，那么∠BAD=（A）3A．28°B．42°C．56°D．84°3．（2013•湛江）如图13，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D=（B ）A．25°B．35°C．55°D．70°4．（2013•宜昌）如图14，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（C）A．»»AD BD=B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°5．（2013•温州）如图15，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（B）ABCD6．（2013•兰州）如图16是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（C）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 7．（2013•徐州）如图17，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（C）A．10 B．8 C．5 D．38．（2013•温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作¼BAC，如图18所示．若AB=4，AC=2，S1-S2=4π，则S3-S4的值是（D）A．294πB．234πC．114πD．54π9．（2013•南通）如图19．Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是»AB的中点，CD与AB的交点为E，则CEDE等于（C）A．4 B．3.5 C．3 D．2.8 10．（2013•乐山）如图20，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，-7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2013•安徽）如图21，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（C）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题12．（2013•张家界）如图22，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 800 13．（2013•盐城）如图23，将⊙O沿弦AB折叠，使»AB经过圆心O，则∠OAB= 300414．（2013•绥化）如图24，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为15．（2013•株洲）如图25AB是⊙O的直径，∠BAC=42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是 4 8 度．16．（2013•扬州）如图26，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为»AB上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则．17.（2013•广州）如图27，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P，则点P的坐标为(3,2) 18．（2013•娄底）如图28，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O 相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=300三、解答题19．（2013•深圳）如图29所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN 的长）为2米，求小桥所在圆的半径．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH=12-3-1=8（m），∴GM=MH=4m，∵MN=2m，∴GO2=MO2+42，∴r2=(r-2)2+36，解得：r=5，答：小桥所在圆的半径为5m．20．（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图30，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图31，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．解：(1).如图30-1，过点O作OE⊥AC于E，则AE=12AC=12×2=1，∵翻折后点D与圆心O重合，5∴OE=12r，在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+（12r）2，解得r=3；（2）如图31-1，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°，根据翻折的性质，»AC所对的圆周角等于¼ADC所对的圆周角，∴∠DCA=∠B-∠A=65°-25°=40°．21．（2013•贵阳）已知：如图32，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF是等边三角形；（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）（1）证明：作OC⊥AB于点C，∵OC⊥AB，∴AC=BC，∵AE=BF，∴EC=FC，∵OC⊥EF，∴OE=OF，∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形；（2）解：∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°，∴∠AOF=90°，∵AO=10，∴，∴S△AOF=12×，S扇形AOD=90360π×102=25π，∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π．22．（2013•黔西南州）如图33，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．（1）证明：∵∠C=∠P 又∵∠1=∠C ∴∠1=∠P∴CB∥PD；（2）解：如图33-1，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB，∴»»BC BD=，∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=35，即BCAB=35，又知，BC=3，∴AB=5，∴直径为5．第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1.点与圆的位置关系有 3 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> d<r 点P在圆上<＝> d=r 点P在圆外<＝> d>r2.过三点的圆：⑴过同一直线上三点没办法作圆，过不在同一直线三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心叫做三角形的外心这个三角形叫做这个圆的内接三角形。