22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质学案设计

课题： 22.1.2 二次函数y=ax2图像和性质教学目标：1．使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念．2．使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯．教学重点：使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y = ax2的图象．教学难点：用描点法画出二次函数y = ax2的图象，同时探索二次函数性质．教学方法：讲解法，练习法，指导法学习方式：合作学习导入新课：一、提出问题1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？二、范例我们先来画最简单的二次函数y = x2的图象例1、画二次函数y = x2的图象．解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示．提问：观察这个函数的图象，它有什么特点？让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．它的形状类似投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上．抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线．实际上二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下．顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y =x2与y = 2x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？它们与y = x2的图象相比，有什么共同点与不同点？2．在同一直角坐标系中，画出函数y = −x2，y = −x2，y = −2x2的图象，观察并比较这些抛物线，你能发现什么？3．将所画的几个函数的图象作比较，你又能发现什么？对于1，在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点．两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论．交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，开口都向上；区别在于函数y = 2x2的图象开口小，函数y =x2的图象开口大．对于2，教师要继续巡视，指导学生画函数图象，几个函数的图象的特点，教师可引导学生类比1得出．对于3，教师可引导学生从1的共同点和2的发现中得到结论：这几个函数的图象都是抛物线，都关于y 轴对称，它的顶点坐标都是(0，0)． 四、归纳、概括x 2、y = 2x 2、y= −x 2、y=−12 x 2 和y = −2x 2函数y = x 2、y= 都是函数y=ax 2的特例，由这些函数的图象的共同特点，可猜想：函数y = ax 2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______．[抛物线，y 轴，(0，0)]如果要更细致地研究函数y = ax 2图象的特点和性质，应如何分类？为什么？让学生观察y = x 2、y =x 2、y = 2x 2的图象，填空：当a>0时，抛物线y = ax 2开口______，______是抛物线上位置最低的点，a 越大，抛物线的开口越______． [向上，顶点，小] 类似地，由y= −x 2、y= −x 2和y = −2x 2的图象，也可以总结出类似的特点．作业： 练习册（17~ 18）板书设计：22.2 二次函数2g ax 图像和性质图像画法 性质课后反思：。

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。

通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。

但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。

2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。

2.二次函数的增减性和对称性。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.二次函数图象和性质的相关教学素材。

3.学生分组合作学习的材料。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。

同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。

呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。

学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。

操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。

学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。

《22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质》教案【教学目标】1．会用描点法画出y＝ax2的图象，理解抛物线的概念．2．掌握形如y＝ax2的二次函数图象和性质，并会应用．【教学过程】一、情境导入自由落体公式h＝12gt2(g为常量)，h与t之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2的图象【类型一】图象的识别已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax 与y＝ax2的图象有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当a＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax图象经过一、三象限，故排除选项B；(2)当a＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax图象经过二、四象限，故排除选项D；又因为在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C.方法总结：分a＞0与a＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．【类型二】实际问题中图象的识别已知h关于t的函数关系式为h＝12gt2(g为正常数，t为时间)，则函数图象为( )解析：根据h关于t的函数关系式为h＝12gt2，其中g为正常数，t为时间，因此函数h＝12gt2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．探究点二：二次函数y＝ax2的性质【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数y＝－x2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y轴左侧图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使x2<x1<0，试比较y1与y2的大小；(2)在y轴右侧图象上任取两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，使x3＞x4＞0，试比较y3与y4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y1＞y2，(2)由图象可知y3<y4；(3)在y 轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得⎩⎨⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值．(2)图象的开口向下，则m ＋3＜0； (3)函数有最小值，则m ＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得⎩⎨⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩⎨⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式 【类型一】利用图象确定y ＝ax 2的解析式一个二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax 2的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图象经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2.方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求： (1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．解析：直线与函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎨⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1.(2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m，宽2m且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O点为坐标原点，平行于线段AB的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y＝ax2.由题意可得B点坐标为(3，－3)，∴－3＝a×32，解得a＝－13，∴抛物线的函数关系式为y＝－13x2.(2)当x＝1时，y＝－13×12＝－13.∵OM＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83(米)．方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.《22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质》教案【教学目标】：1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质；2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝2x 2的图象； 点拨精讲：根据y≥0，可得出y 有最小值，此时x ＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y 轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：__________．(5)在同一坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象，找出图象的异同． 点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律． 总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P 41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式． 解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝12x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2. 点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误，抛物线y ＝ax 2中，a>0时，开口向上，a<0时，开口向下，|a|越大，开口越小． 探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数． (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2； ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2∴只能取m ＝－3，∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴m ＝－3时，函数有最大值为0.∴x>0时，y 随x 的增大而减小．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．函数y ＝ax 2与y ＝－ax 2的图象之间有何关系？2．已知函数y ＝ax 2经过点(－1，3)．①求a 的值；②当x<0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．3．二次函数y ＝－2x 2，当x 1>x 2>0，则y 1与y 2的关系是y 1＜y 2．4．二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(B )点拨精讲：1.二次函数y ＝ax 2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2．抛物线y ＝ax 2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．(学生总结本堂课的收获与困惑)．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)。