高考数学复习专题10不等式选讲考点剖析

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

高考中有关不等式的考点分析及解题策略不等式是高中数学的重要内容，是分析、解决有关数学问题的根底与工具．在近年来的高考中,有关不等式的试题都占有较大的比重(涉及不等式的试题一般占总分的12%左右), 考查内容中不仅有不等式的根底知识、根本技能、根本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的综合数学能力.有关不等式的题目多数是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际问题相互交叉和渗透，而且充分表达出不等式的知识网络所具有的极强的辐射作用。

不等式试题高考中形式活泼且多种多样，既有选择题、填空题，又有解答题。

考试大纲要求： 1、 理解不等式的性质及其证明； 2、 掌握两个〔不扩展到三个〕正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；3、 掌握分析法、综合法、比拟法证明简单的不等式；4、 掌握简单不等式的解法。

下面结合08年典型考题谈谈有关不等式问题的考点分析及解题策略。

一. 选择及填空题中考点分析及解题策略 【典型考题】1.〔天津〕函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，那么不等式2()f x x ≥的解集是〔A 〕A ． [1,1]- B. [2,2]- C. [2,1]- D. [1,2]-2.〔江西〕假设121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，那么以下代数式中值最大的是〔A 〕A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．123.〔陕西〕“18a =〞是“对任意的正数x ，21ax x+≥〞的〔 A 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.〔浙江〕a ，b 都是实数，那么“22b a >〞是“a >b 〞的〔D 〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.〔海南〕1230a a a >>>，那么使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是〔 B 〕A.〔0，11a 〕 B. 〔0，12a 〕 C. 〔0，31a 〕 D. 〔0，32a 〕 6.〔上海〕不等式11x -＜的解集是 ．〔0，2〕7.〔山东〕假设不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，那么b 的取值范围 。

【最新】高考数学《不等式选讲》专题解析一、141．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（ ） A．4B．4C ．不存在D ．52【答案】D 【解析】 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x ==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.2．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.3．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.4．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-， C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若存在x ,∈R ,使2x a 23x 1-+-≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]75--，B ．()57，C ．[]57，D ．][()57∞∞-⋃+，， 【答案】C 【解析】 【分析】先利用绝对值三角不等式求223x a x -+-的最小值，即得实数a 的取值范围. 【详解】由题得223=262|6|x a x x a x a -+--+-≥-，所以|6|1,161,57a a a -≤∴-≤-≤∴≤≤. 故选C 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈„，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。

高中数学《不等式选讲》期末考知识点一、141．已知不等式1x m -<成立的一个充分非必要条件是1132x ≤≤，则实数m 的取值范围是（ ） A ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎛⎫-⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求得不等式1x m -<解集，结合题意，列出不等式组113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，即可求解．【详解】由题意，不等式1x m -<，解得11m x m -<<+， 因为不等式1x m -<成立的一个充分非必要条件是1132x ≤≤， 则113112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得1423m -<<，即实数m 的取值范围是14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中正确求解不等式的解集，集合充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C 【解析】因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．3．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。

高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：假如 a,b 是实数，则 |a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当ab≥ 0 时，等号成立。

r r r r r 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a ， b 不共线时，| a +b |≤| a r|+| b | ，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。

（ 2）不等式 |a|-|b|≤ |a±b|≤ |a|+|b|中“ =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b| ≤ |a|+|b|，在侧“ =”成立的条件是ab≥ 0，左边“ =”成立的条件是ab≤ 0 且|a| ≥|b|;不等式|a|-|b|≤ |a-b|≤ |a|+|b|，右边“ =”成立的条件是ab≤ 0，左边“ =”成立的条件是 ab≥ 0 且 |a| ≥ |b| 。

定理 2：假如 a,b,c是实数，那么|a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥ 0时，等号成立。

2．绝对值不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式|x| ＜ a 与|x| ＞ a 的解集不等式a＞ 0a=0a＜ 0|x| ＜ a{x|-a＜x＜a}|x| ＞ a{x|x ＞ a 或 x＜ -a }{x|x ∈ R 且 x≠ 0}R注： |x| 以及 |x-a|± |x-b|表示的几何意义（|x| 表示数轴上的点x 到原点O的距离； | x-a |± |x-b|）表示数轴上的点x 到点 a,b 的距离之和（差）（2） |ax+b| ≤ c(c ＞ 0) 和|ax+b| ≥c(c ＞ 0) 型不等式的解法① |ax+b| ≤ c-c ≤ ax+b≤c;② | ax+b|≥ c ax+b ≥ c 或 ax+b≤-c.（ 3） |x-a|+|x-b|≥ c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤ c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想；方法三：经过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想。

考点24 不等关系与一元二次不等式1．不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2．一元二次不等式（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.一、不等关系 1．不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系．（2）用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．两个实数大小的比较（1）作差法：设a ，b ∈R ，则0a b a b >⇔->，a <b ⇔a −b <0. （2）作商法：设a >0，b >0，则a >b ⇔1a b >，a <b ⇔1ab<. 3．不等式的性质（1）实数的大小顺序与运算性质的关系 ①a >b ⇔0a b ->； ②0a b a b =⇔-=； ③a <b ⇔0a b -<. （2）不等式的性质①对称性：a b b a >⇔<；(双向性) ②传递性：a >b ，b >c ⇒a c >；(单向性)③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) ④a >b ，c >d ⇒a c b d +>+；(单向性)⑤可乘性：,0a b c ac bc >>⇒>；(单向性) a >b ，c <0⇒ac <bc ；(单向性) ⑥a >b >0，c >d >0⇒ac bd >；(单向性)⑦乘方法则：()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈≥N ；(单向性)⑧开方法则：a >b >0>n ∈N ，n ≥2)．(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c ”的符号. 4．必记结论 （1）a >b ，ab >0⇒11a b<. （2）a <0<b ⇒11a b<. （3）a >b >0,0<c <d ⇒a b c d>. （4）0<a <x <b 或a <x <b <0⇒111b x a<<. （5）若a >b >0，m >0，则b b m a a m +<+；b b m a a m->-(b −m >0)； a a m b b m +>+；a a m b b m-<-(b −m >0)． 二、一元二次不等式及其解法 1．一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：2(0)y ax bx c a =++≠；（2）顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠； （3）两根式：12()()(0)y a x x x x a =--≠.2．三个“二次”之间的关系2(,)x +∞12,)x3．一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>；（2）计算：求出相应的一元二次方程（20(0)ax bx c a ++=>）的根，有三种情况：0,0∆,∆∆=0<>；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集．可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4．一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ．（2）20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -≤∈R ．（3）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ． （4）20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -≤∈R ．（5）20ax bx c ++>恒成立的充要条件是：0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R ．（6）20ax bx c ++<恒成立的充要条件是：0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R ．考向一 比较大小比较大小的常用方法：（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值. （4）利用单调性比较大小.（5）函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若a =2x 2+1，b =x 2+2x ，c =−x −3，试比较a ，b ，c 的大小. 【解析】∵a =2x 2+1，b =x 2+2x ，c =−x −3，∴a −b =(2x 2+1)−(x 2+2x)=x 2−2x +1=(x −1)2≥0，即a ≥b ， b −c =(x 2+2x)−(−x −3) =x 2+3x +3=(x +32)2+34>0，即b >c ，综上可得：a ≥b >c .典例2 已知0<a <b <1，则ba ，logb a ，1log ab 的大小关系是A ．1log ab <b a <log b a B ．1log ab <log b a <baC ．log b a <1log ab <ba D ．ba <1log ab <log b a【答案】A【解析】因为0<a <b <1,所以001b a a <<=,log log 1b b a b >=,又1a >1,所以1log ab <1log 1a=0. 综上，得1log ab <ba <logb a .故选A.【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式（或数），其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.1．已知,,a b c ∈R ，给出下列条件：①22a b >；②11a b<；③22ac bc >，则使得a b >成立的充分而不必要条件的是 A ．① B ．② C ．③D ．①②③考向二 求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关键.在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时，一定要注意其成立的前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误. 求范围的一般思路是：（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是______.【答案】[]2,27【解析】因为()324272x y x y xy⎛⎫⎪⎝⎭=，()322282714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，,所以47827[,][2,27]41x y ∈=.典例4 若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，求f (－2)的取值范围.【解析】方法一：∵二次函数y ＝f (x )的图象过原点，∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a b f a b =+⎧⎪⎨-=-⎪⎩，∴()()()()11121112a f f b f f ⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.则()2423)()11(f a b f f =---=+.∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤.方法二：由题意设2(0())f x ax bx a =+≠，则f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b . 令m (a ＋b )＋n (a －b )＝f (－2)＝4a －2b ， ∴42m n m n +=⎧⎨-=-⎩，∴13m n =⎧⎨=⎩.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1).∵)12(1f -≤≤，()314f ≤≤，∴62()10f -≤≤. 【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.2．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦考向三 一元二次不等式的解法1．解不含参数的一元二次不等式的方法：（1）若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.（2）若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得.（3）若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法. 2．在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(∆>0),一根(∆=0),无根(∆<0)； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：121212,,x x x x x x >=<.典例5 解下列不等式： （1）2230x x --+≥. （2）24410x x +≤+.【解析】（1）不等式两边同乘以－1,原不等式可化为2230x x -≤+，即(1)(3)0x x -+≤，则31x -≤≤.故不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是1{|}3x x ≤≤-.（2）24410x x +≤+，即2(21)0x +≤，则12x =-. 故不等式24410x x +≤+的解集为1{|}2x x =-.典例6 已知函数f(x)=ax 2−(2a +1)x +2. （1）当a =2时，解关于x 的不等式f(x)≤0； （2）若a >0，解关于x 的不等式f(x)≤0.【解析】（1）当a =2时，f (x )≤0⇒2x 2−5x +2≤0,可得(2x −1)(x −2)≤0， ∴12≤x ≤2,∴f (x )≤0的解集为[12,2].（2）不等式f (x )≤0可化为ax 2−(2a +1)x +2≤0,a >0， 即a (x −1a )(x −2)≤0,a >0， ①当0<a <12时，1a >2， 解得12x a≤≤， ②当a =12时，1a =2， 解得x =2.③当a >12时，1a<2，解得12x a≤≤. 综上，当0<a <12时，不等式的解集为1{|2}x x a≤≤； 当a =12时，不等式的解集为{x |x =2 }；当a >12时，不等式的解集为1{|2}x x a≤≤.3．已知关于x 的不等式20x ax b -++>.（1）若该不等式的解集为(4,2)-，求a ，b 的值； （2）若1b a =+，求此不等式的解集.考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.（1）若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.（2）若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范围.典例7 已知函数f (x )=−3x 2+a(6−a)x +c . （1）当c =19时,解关于a 的不等式f (1)>0；（2）若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(−1,4)，求实数a ,c 的值. 【解析】（1）当c =19时,f(x)=−3x 2+a(6−a)x +19, 所以f(1)=−3+a(6−a)+19=−a 2+6a +16, f(1)>0,即a 2−6a −16<0, 解得−2<a <8.(2)依题意:−1,4是方程−3x 2+a(6−a)x +c =0的解,由根与系数的关系可得()63343a a c -⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得{a =3c =12. 典例8 已知关于x 的不等式2230kx x k -+<.（1）若不等式的解集为{x|x <−3或x >−1}，求k 的值； （2）若不等式的解集为∅，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由不等式2230kx x k -+<的解集为{x|x <−3或x >−1}，可知k <0,−3和−1是一元二次方程2230kx x k -+=的两根，所以()()()()313231k⎧-⨯-=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得12k =-. （2）由题意知不等式2230kx x k -+<的解集为∅，若k =0，则不等式为−2x <0，此时x >0，不合题意；若k ≠0，则04430k k k ∆>⎧⎨=-⨯≤⎩，解得3k ≥.综上，实数k 的取值范围为[)3+∞.4．已知二次函数()()21f x kx k x k =--+．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为R ，求实数k 的取值范围； （2）若关于x 的方程()f x x =有两个不等正实根，求实数k 的取值范围．考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.1．分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或;()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或. 对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 2．高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集． （2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．典例9 不等式()()23310x x x --+>的解集为_________. 【答案】()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】不等式()()23310x x x --+>可转化为x (x −3)(3x +1)<0, 且方程()()3310x x x -+=的根为12310,3,3x x x ===-， 则由穿针引线法可得原不等式的解集为()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.典例10 解关于x 的不等式:2x ax a -- <0(a ∈R ). 【解析】原不等式等价于：(x －a )(x －a 2)<0，其对应方程的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2.2211()x x a a a a -=-=-，分情况讨论如下：①若a <0或a >1，即a 2>a ，则所求不等式的解集为{}2|x a x a <<．②若a ＝0或a ＝1，原不等式可化为x 2<0或(x －1)2<0. 此时，所求不等式的解集为x ∈∅.③若0<a <1，即a 2<a ，则所求不等式的解集为{}2|x a x a <<． 综上所述：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{}2|x a x a <<；当a ＝0或a ＝1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为{}2|x a x a <<．5．已知函数()()2,1ax bf x a b x -=∈-R . （1）若关于x 的不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，求()0f x <的解集； （2）若12a =，解不等式()0f x >的解集. 考向六 含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：（1）变换主元，转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果. （2）联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.（3）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥);②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到.（4）转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中，若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷．典例11 已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c ，且不等式f(x)<2x 的解集为(1,3)，对任意的x ∈R 都有f(x)≥2恒成立. （1）求f(x)的解析式；（2）若不等式k f (2x )−2x +1≤0在x ∈[1,2]上有解，求实数k 的取值范围. 【解析】（1）∵f(x)=ax 2+bx +c <2x 的解集为(1,3)， ∴方程ax 2−(2−b)x +c =0的两个根是1和3.则243ba c a-==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得{b =2−4a c =3a.又∵f(x)≥2在x ∈R 上恒成立，∴ax 2+(2−4a)x +3a −2≥0在x ∈R 上恒成立， 则Δ=(2−4a)2−4a(3a −2)≤0，即(a −1)2≤0， 又∵(a −1)2≥0，∴(a −1)2=0， 得a =1，故f(x)=x 2−2x +3.（2）由题意知kf(2x )−2x +1≤0，即k(22x −2⋅2x +3)≤2x −1，∵22x−2⋅2x+3=(2x−1)2+2>0，∴2212223x x x k -≤-⋅+，设t =2x −1∈[1,3]，则22tk t ≤+，又∵2122t t t t=≤++t =2t 即t =√2时取得最大值√24， ∴k ≤√24，即实数k的取值范围为⎛-∞ ⎝⎦. 典例12 已知函数()21f x mx mx =--.（1）若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于x ∈[1,3]，f (x )<5−m 恒成立,求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为()210f x mx mx =--<对x ∈R 恒成立,则①m =0时,()10f x =-<恒成立;②240m m m <⎧⎨+<⎩,解得40m -<<. 故实数m 的取值范围为(]4,0-.（2）f (x )<5−m ,即()216m x x -+<.因为210x x -+>,所以m <261x x -+对于x ∈[1,3]恒成立.记g (x )=261x x -+=2613()24x -+,x ∈[1,3],易知()()min 637g x g ==,所以67m <.即实数m 的取值范围为(6,)7-∞.6．若函数2()6(8)f x kx kx k =-++的定义域为R ，求实数k 的取值范围.1．已知集合()(){|140}A x x x =--≤，5{|0}2x B x x -=≤-，则A B = A ．{|12}x x ≤≤ B ．{|12}x x ≤< C ．{|24}x x ≤≤ D ．{|24}x x <≤2．下列命题正确的是 A ．若>a b ，则11a b< B ．若>a b ，则22a b > C ．若>a b ，c d <，则>a c b d -- D ．若>a b ，>c d ，则>ac bd3．2x >是220x x ->的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则 A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+5．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是 A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15]D ．[1,15]6．三个正整数x ，y ，z 满足条件:x y >，y z >，3xz >，若5z =，则y 的最大值是 A ．12 B ．13 C ．14D ．157．若不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则不等式220cx x a ++≤的解集是 A ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[−2，3]D ．[−3，2]8．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则a 的取值范围为 A ．315a -<<B ．315a -≤≤ C ．315a -<≤或1a =- D ．315a -<≤ 9．设,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，则22(1)(1)a b -+-的最小值是 A ．494- B ．18 C ．8D ．−610．设正数a ，b 满足2b a -<，若关于x 的不等式()222440a x bx b -+-<的解集中的整数解恰有4个，则a 的取值范围是A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(2,4)D ．(4,5)11．不等式2260x x --+≥的解集是_____．12．设P Q R ===,,P Q R 的大小顺序是______．13．不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是__________． 14．若集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是________. 15．已知函数21()1()f x x a x x a ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭R . （1）当12a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若关于x 的不等式()0f x <有且仅有一个整数解，求正实数．．．a 的取值范围.16．已知函数21()(2)()2f x x m x m =+-∈R . （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为()2,4-，求m 的值； （2）若对任意[0,4],()20x f x ∈+恒成立，求m 的取值范围.1．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．3．（2019年高考天津卷文数）设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2019年高考浙江卷）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件5．（2018年高考天津卷文数）设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2017年高考天津卷文数）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2017年高考山东卷文数）已知命题p ：,x ∃∈R 210x x -+≥;命题q ：若22a b <,则a <b .下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝8．（2017年高考上海卷）不等式11x x->的解集为________. 9．（2018年高考北京文数）能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.10．（2019年高考江苏）函数y =的定义域是 ▲ .1．【答案】C【解析】对于①，由22a b >，得||||a b >，不一定有a b >成立，不符合题意； 对于②，当1,1a b =-=时，有11a b<，但a b >不成立，所以不符合题意； 对于③，由22ac bc >，知c ≠0，所以有a b >成立，当a b >成立时，不一定有22ac bc >，因为c 可以为0，符合题意. 本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．【答案】C【解析】令()()()()3x y s x y t x y s t x s t y -=++-=++-，则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩，∴12s t =⎧⎨=⎩， ∵13x y ≤-≤，∴()226x y ≤-≤，①又11x y -≤+≤，② ∴①+②得137x y ≤-≤．则371822,22yxx y -⎛⎫⎡⎤⋅=∈ ⎪⎣⎦⎝⎭．故选C ．【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.求解时，利用待定系数法求得()()32x y x y x y -=++-，由11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，结合38212yx yx -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=，从而可得结果.3．【解析】（1）根据题意得()2424ab-=⎧⎨⨯-=-⎩，解得2a =-，8b =.（2）当1b a =+时，()22010x ax b x ax a -++>⇔--+<，即()()110x a x ⎡⎤-++<⎣⎦.当11a +=-，即2a =-时，原不等式的解集为∅； 当11a +<-，即2a <-时，原不等式的解集为()1,1a +-； 当11a +>-，即2a >-时，原不等式的解集为()1,1a -+.【名师点睛】本题考查一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系以及解一元二次不等式，考查基本应用求解能力.属基本题.（1）根据不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程，解得a ，b 的值； （2）先代入化简不等式，再根据对应一元二次方程根的大小分类讨论不等式解集. 4．【解析】（1）()0f x <，即()210kx k x k --+<，由二次函数知识得00k <⎧⎨∆<⎩，即220(1)40k k k <⎧⎨--<⎩， 解得1k <-.（2）()f x x =，即()21kx k x k x --+=，即()220kx k x k --+=，由二次方程有两个不等正实根知，112212000000x x x x x x ∆>∆>⎧⎧⎪⎪>⇔+>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩，由根与系数间关系得，22(2)402010k k k k⎧-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩，解得203k <<．5．【解析】（1）∵不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， ∴0a >，0a b =>， ∴()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，∴()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. （2）12a =时，不等式()()()()00101x bf x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-， 1当1b >时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞；2当1b =时，不等式的解集为{}1x x ≠； 3当1b <时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞.【名师点睛】本题考查不等式的求解应用，属于基础题. （1）()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，然后求解即可.（2）12a =时，不等式()()()()00101x bf x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-，然后分类讨论即可.6．【解析】∵f （x ）的定义域为R ， ∴不等式kx 2﹣6kx +k +8≥0的解集为R. ①k ＝0时，8＞0恒成立，满足题意；②k ≠0时，则()236480＞k k k k ⎧⎨∆=-+≤⎩，解得0＜k ≤1. 综上得，实数k 的取值范围为[0，1]．1．【答案】D【解析】依题意[](]1,4,2,5A B ==，故(]2,4A B =.故选D.2．【答案】C【解析】A.若>a b ，则11a b<，取1,1a b ==-不成立； B.若>a b ，则22a b >，取0,1a b ==-不成立； C.若>a b ，c d <，则>a c b d --，正确；D.若>a b ，>c d ，则>ac bd ，取1,1,1,2a b c d ==-==-不成立. 故选C.【名师点睛】本题考查了不等式的性质，找出反例是解题的关键. 3．【答案】A【解析】由220x x ->解得：0x <或2x >，{}2x x ⊂>≠{}02或x x x <>，因此，2x >是220x x ->的充分不必要条件，故选A.【名师点睛】本题考查充分必要条件的判断，先解不等式220x x ->得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性.一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1）A ⊂≠B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）AB ，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件. 4．【答案】A【解析】0.30.3log 0.6log 10,m =>=2211log 0.6log 10,22n =<=0mn <， 0.60.611log 0.3log 4m n +=+0.60.6log 1.2log 0.61=<=，即1m n mn+<，故m n m n +>. 又()()20m n m n n --+=->，所以m n m n ->+. 故m n m n mn ->+>，所以选A.【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分析计算，化简求值的能力，属中档题.求解时，先判断m ，n 的正负，即可得0mn <；计算11m n+0.6log 1.21=<，化简可得m n m n +>，再通过作差法比较m n -，m n +的大小，即可得结果. 5．【答案】B【解析】令m x y =-，4n x y =-,343n m x n my -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩,则859,33z x y n m =-=- 552041,,333m m -≤≤-∴≤-≤又884015,333n n -≤≤∴-≤≤，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故本题选B.【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.令m x y =-，4n x y =-，得到关于,x y 的二元一次方程组，解这个方程组，求出9x y -关于,m n 的式子，利用不等式的性质，结合,m n 的取值范围，最后求出9x y -的取值范围. 6．【答案】B【解析】由不等式的性质结合题意有：,5,53xx y y >>>，即,5,15.15x y y x y x >><∴<<，由于,,x y z 都是正整数，故y 的最大值是13. 故选B.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，不等式的传递性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合不等式的性质和不等式的传递性即可确定y 的最大值. 7．【答案】D【解析】因为不等式220ax x c ++<的解集是11,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以0211321132a ac a⎧⎪<⎪⎪-=-+⎨⎪⎪=-⨯⎪⎩，解得122a c =-⎧⎨=⎩，所以不等式220cx x a ++≤可化为222120x x +-≤，即260x x +-≤，解得32x -≤≤. 故选D.【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属于基础题型.先由题意求出,a c ，再代入不等式220cx x a ++≤求解，即可得出结果. 8．【答案】D【解析】当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，则原不等式可化为210x -<不恒成立，所以1a =-舍去；当210a -≠时，因为()()221110a x a x ----<的解集为R ，所以只需()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩，解得315a -<<； 综上，a 的取值范围为：315a -<≤.故选D.【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处理，属于常考题型.分情况讨论，当210a -=时，求出满足条件的a 的值；当210a -≠时，求出满足条件的a 的取值范围，即可得出结果. 9．【答案】C【解析】因为,a b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根， 所以由根与系数的关系得26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩ ，且()2460m m ∆=--≥，所以()()22222224(1)(1)610a b ab b y m a b a m =+-=-+--++=--2349444m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，且3m ≥或2m ≤-，由二次函数的性质知，当3m =时，函数2349444y m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭取得最小值8， 即22(1)(1)a b -+-的最小值为8. 故选C.【名师点睛】本题考查二次函数的最小值问题，属于一般题.求解时，由根与系数的关系得26a b m ab m +=⎧⎨=+⎩ ，且()2460m m ∆=--≥，则22(1)(1)y a b =-+-可变成2349444y m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再求最小值. 10．【答案】C【解析】()222440a x bx b -+-<，即()2222440a x x bx b --+<， ∴()22220a x x b --<，即()()220ax x b ax x b +--+<，∴()()220a x b a x b ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦， 由于解集中整数解恰有4个，则a ＞2，∴122b bx a a -<<<-+，则四个整数解分别为−3，﹣2，﹣1，0． ∴432b a -≤-<--，即342ba <≤-，即3648ab a -<≤-， 又2b a <+，∴362a a -<+，∴4a <， 又a ＞2，∴a 的取值范围是()2,4. 故选C.【名师点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的整数解的求法，考查不等式的性质的运用，考查运算能力，属于易错题．求解时，将不等式因式分解可得()()220a x b a x b ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦，由于解集中整数解恰有4个，则a ＞2，则有122b b x a a -<<<-+，且四个整数解分别为−3，﹣2，﹣1，0，则有432b a -≤-<--，结合条件2b a <+，可得a ＜4，进而得到a 的范围． 11．【答案】32,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦【解析】不等式2260x x --+≥可化为2260x x +-≤，解得322x -≤≤； ∴该不等式的解集是32,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为32,2⎡-⎤⎢⎥⎣⎦．【名师点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，解题时先把不等式化简，再求解集，是基础题．直接利用一元二次不等式的解法求解. 12．【答案】P R Q >>【解析】∵0P R -==>，∴P R >，R Q -=-，而29=+29=+>R Q >，∴P R Q >>，故答案为：P R Q >>．【名师点睛】本小题主要考查作差比较法比较数的大小，属于基础题.求解时，利用作差比较法先比较,P R 的大小，然后比较,R Q 的大小，由此判断出三者的大小关系. 13．【答案】()2,2-【解析】∵不等式210x kx -+>对任意实数x 都成立， ∴240＜k ∆=-，∴2-＜k ＜2， 故答案为：()2,2-.【名师点睛】（1）二次函数图象与x 轴交点的横坐标、二次不等式解集的端点值、一元二次方程的解是同一个量的不同表现形式.（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．有关二次函数的问题，利用数形结合的方法求解，密切联系图象是探求解题思路的有效方法． 14．【答案】12(,]23【解析】x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，即x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，分别令y ＝x 2﹣2x +1，y ＝a （x +1）﹣1，易知y ＝a （x +1）﹣1的图象过定点（﹣1，﹣1）， 分别画出两函数的图象，如图所示：∵集合2{|(2)20,A x x a x a =-++-<x ∈Z }中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得10120311＜a a a -≤⎧⎪-⎨⎪-≤⎩，解得12＜a 23≤. 故答案为：（12，23].【名师点睛】本题考查了二次函数的性质以及参数的取值范围，考查了转化思想和数形结合的思想，属于中档题.求解时，由x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0可得x 2﹣2x +1＜a （x +1）﹣1，即直线在二次函数图象的上方的点只有一个整数1，结合图象即可求出． 15．【答案】（1）1,22⎛⎫⎪⎝⎭；（2）12a <≤或112a ≤<.【解析】（1）当12a =时，不等式为25102x x -+<，即22520x x -+<，即(2)(21)0x x --<，所以122x <<， 所以不等式()0f x <的解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）原不等式可化为1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭， ①当1a a=，即1a =时，原不等式的解集为∅，不满足题意； ②当1a a >，即1a >时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时101a <<，所以12a <≤； ③当1a a <，即01<a <时，1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以只需112a <≤，解得112a ≤<；综上所述，12a <≤，或112a ≤<. 【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法和解集，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，（1）直接解不等式25102x x -+<得解集；（2）对a 分类讨论解不等式分析找到a 满足的不等式，解不等式即得解. 16．【答案】（1）1m =；（2）[0,)+∞.【解析】（1）法一：不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，其解集为()2,4-， 由根与系数的关系可知2442m -+=-，解得1m =， 经检验1m =时满足题意.法二：由题意知，原不等式所对应的方程()4f x =的两个实数根为2-和4， 将2-（或4）代入方程计算可得1m =， 经检验1m =时满足题意.（2）法一：由题意可知21(2)22m x x -≤+恒成立， ①若0x =，则02≤恒成立，符合题意. ②若(0,4]x ∈，则12(2)2m x x-≤+恒成立，而1222x x +≥=，当且仅当2x =时取等号， 所以min 12222m x x ⎛⎫-≤+=⎪⎝⎭，即0m ≥.故实数m 的取值范围为[0,)+∞.法二：二次函数21()(2)2f x x m x =+-的对称轴为2x m =-. ①若20m -≤，即2m ≥，函数()f x 在[]0,4上单调递增，()2(0)220f x f +≥+=≥恒成立，故2m ≥；②若024m <-<，即22m -<<，此时()f x 在[]0,2m -上单调递减，在[]2,4m -上单调递增，由22(2)()2(2)2(2)202m f x f m m -+≥-+=--+≥，得04m ≤≤.故02m ≤<；③若24m -≥，即2m ≤-，此时函数()f x 在[]0,4上单调递减， 由1()2(4)216(2)424202f x f m m +≥+=⨯+-⨯+=+≥，得12m ≥-，与2m ≤-矛盾，故m 不存在.综上所述，实数m 的取值范围为[0,)+∞.【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式的性质，不等式恒成立中含参问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及转化能力，难度较大.（1）不等式()4f x <可化为2(42)80x m x ---<，而解集为()2,4-，可利用根与系数的关系或直接代入即可得到答案；（2）法一：讨论0x =和(0,4]x ∈时，分离参数利用均值不等式即可得到取值范围； 法二：利用二次函数在[0,4]x ∈上大于等于0恒成立，即可得到取值范围.1．【答案】A【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤， 又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =-.故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.。

数学《不等式选讲》高考知识点一、141．不等式222log 2log x x x x -<+的解集为（ ） A ．()1,2 B ．()0,1C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出0x >，分2log 0x >和2log 0x ≤两种情况讨论，结合222log 2log x x x x -<+可得出2log 0x >，解出该不等式即可.【详解】由题意得出0x >，当2log 0x ≤时，则222log 2log x x x x -=+. 当2log 0x >时，222log 2log x x x x -<+，解不等式2log 0x >得1x >. 因此，不等式222log 2log x x x x -<+的解集为()1,+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查绝对值三角不等式的应用，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.2．已知点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，点(,)M a b 为平面上一点，O 为坐标原点，则当OM 取最小值时，椭圆的离心率为（ ）A ．3B ．13C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =a ，b 关系，代入即可．【详解】解：点(3,1)P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，可得22911a b +=，(,)M a b 为平面上一点，||OM =所以||4OM ==，当且仅当223a b =时，取等号，222213b e a =-=，e =． 故选D ． 【点睛】考查椭圆的性质，柯西不等式的应用，求椭圆的离心率，中档题．3．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】 【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩ ，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B.【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.4．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6．则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6r C •（﹣1）r •x 6﹣2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．5．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.6．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.7．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． ∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A ．平行或垂直 B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】C 【解析】 【分析】利用反证法证明得解. 【详解】不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，， 由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面， 设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。