第十四章 幂级数 （ 1 0 时 ）§1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念.型如∑∞=-00)(n nnx x a和∑∞=0n n nx a的幂级数.幂级数由系数数列}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞=0n n n x a 的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel 定理）若幂级数∑nnxa 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|| ||x x <的任何x ,幂级数∑n n x a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散.证∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n nnn n n Mr xx x a x a ≤⋅=|||||,其中 1 ||<=xxr .∑+∞<n Mr ⇒∑∞+< ||n n x a . 定理的第二部分系第一部分的逆否命题. 幂级数∑nnxa 和∑-n nx x a)(0的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R. 收敛半径 R 的求法. Th 2 对于幂级数∑nnxa , 若∞→n limρ=nn a ||, 则ⅰ> +∞<<ρ0时, R ρ1=; ⅱ> ρ=0时+∞=R ; ⅲ> ρ=∞+时0=R .证 ∞→n lim=nn n x a ||∞→n lim||||||x x a nn ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的).⇒ ……由于∞→n lim⇒=+ ||||1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数∑n nx a 的收敛区间: ) , (R R - .幂级数∑nnxa 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数∑nnxa 的收敛域是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一.例1 求幂级数∑2n x n的收敛域 . ( ] 1 , 1 [- )例2 求幂级数 ++++nx x x n22的收敛域 . ( ) 1 , 1 [- ) 例3 求下列幂级数的收敛域:⑴ ∑∞=0!n n n x ; ⑵ ∑∞=0!n nx n .例4 求级数∑∞=-02)1(n nnn x 的收敛域 .Ex[1]P 50—51 1.二． 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数∑nnxa 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收敛.证 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有|| ||n n nn x a x a ≤, 级数∑nn x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在], [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑nnxa 在区间) , (R R -内闭一致收敛.Th 4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛,则幂级数∑nnxa 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 .证 nnn nn R x R a x a ⎪⎭⎫⎝⎛=.∑nn R a 收敛, 函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在区间] , 0 [R 上递减且一致有界,由Abel 判别法,幂级数∑nn xa 在区间] , 0 [R 上一致收敛.易见,当幂级数∑nnxa 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间] , [R R -上一致收敛 .三. 幂级数的性质:1. 逐项求导和积分后的级数:设∑∞=='1)(n nn x a ∑∞=-11n n n xna , *)∑⎰∞==1n xnn dt t a *)*11,1∑∞=++n n n x n a*) 和 **)仍为幂级数. 我们有 Th 5 *) 和 **)与∑nn xa 有相同的收敛半径 . ( 简证 )注: *) 和 **)与∑n nxa 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数∑∞=1n nn x .2. 幂级数的运算性质: 定义 两个幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数. Th 6∑∞=0n nnx a=∑∞=0n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n .Th 7 设幂级数∑∞=0n nnx a和∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则ⅰ>∑∑=nn n n x a x a λλ, λ , ||a R x <— 常数， 0≠λ.ⅱ>∑∞=0n nnx a+∑∞=0n nn x b =n n n n x b a )(0+∑∞=, R x ||<.ⅲ> (∑∞=0n nnx a)(∑∞=0n nn x b )=nn n x c ∑∞=0, ∑=-=nk k n k n b a c 0, R x ||<.3. 和函数的性质: Th 8 设在) , (R R -(R ) 0>内∑∞=0n n nx a=)(x f . 则ⅰ> )(x f 在) , (R R -内连续; ⅱ> 若级数∑n nR a (或∑-nnR a ) ()收敛, 则)(x f 在点R x =( 或 R x -=)是左( 或右 )连续的;ⅲ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在点x 可微且有 )(x f '=∑∞=-11n n nx na;ⅳ> 对x ∀∈) , (R R -, )(x f 在区间 ] , 0 [x 上可积,且⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a . 注:当级数∑∞=++011n n n R n a 收敛时,无论级数∑∞=0n n nx a在点R x =收敛与否,均有⎰=Rdt t f 0)(∑∞=++011n n n R n a.这是因为:由级数∑∞=++011n n nR n a 收敛,得函数⎰=xdt t f 0)(∑∞=++011n n n x n a 在点R x =左连续, 因此有⎰=R dt t f 0)(∑∞=++011n n nR n a . 推论1 和函数)(x f 在区间) , (R R -内任意次可导, 且有)(x f '= ++++-1212n n x na x a a , ……+++=+x a n a n x fn n n 1)()!1(!)(.注: 由系1可见, )(x f 是幂级数的和函数的必要条件是)(x f 任意次可导.推论2 若∑∞=0n n nx a=)(x f , 则有,!)0( , ,!2)0( ,1)0( ),0()(210n f a f a f a f a n n =''='== 例5 验证函数∑∞==0!2)(n nn n x x f 满足微分方程 R ∈=-'-''x y y y ,02.验证 所给幂级数的收敛域为) , (∞+∞-.=')(x f ∑∞=-=-11)!1(2n n n n x ∑∞=+=01!2n n n n x ∑∞==0)(2!22n nn x f n x . ⇒ )(4)(2)(x f x f x f ='='', 代入, ⇒ 02=-'-''y y y .例6 由于x-11+++++=n x x x 21, )1,1(-∈x . 所以+++++=--122321)1(1n nx x x x , )1,1(-∈x . ,)1(232)1(!223+-++⋅+=--n x n n x x )1,1(-∈x .⎰∑⎰∑∞=∞=+++++++=+==-=-x n xn n n n n x x x n x dt t dt t x 00001211211111ln ,)1,1(-∈x Ex [1]P 50—51 4 , 5， 6 .§2 函数的幂级数展开（ 4 时 ）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor 级数: 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式和Maclaurin 公式.Taylor 公式：∑=+-=nk n k k x R x x k x fx f 000)()()(!)()( n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000-++-''+-'+= +)(x R n .余项)(x R n 的形式:Peano 型余项: )(x R n ()nx x )(0-= ,（只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)(x fn 存在）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x fθ1<<θ.积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有 )(x R n ⎰-=+x x nn dt t x t f n 0))((!1)1(. Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项 )(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n .特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为 )(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间. Taylor 级数: Taylor 公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 ∑∞=-=00)()(!)(n n n x x n x f, 称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数. 只要函数)(x f 在点0x 无限次可导, 就可写出其Taylor 级数. 称0x =0时的Taylor 级数为Maclaurin 级数, 即级数∑∞=0)(!)0(n nn x n f. 自然会有以下问题: 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 在)(x f 的定义域内或在点0x 的某邻域内, 函数)(x f 和其Taylor 级数是否相等呢 ?2． 函数与其Taylor 级数的关系： 例1 函数)(x f x-=11在点0=x 无限次可微. 求得,)1(!)(1)(+-=n n x n x f )1(≠x , !)0( )(n fn =. 其Taylor 级数为 =+++++ nx x x 21∑∞=0n n x .该幂级数的收敛域为) 1 , 1 (-.仅在区间) 1 , 1 (-内有)(x f =∑∞=0n n x .而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor 级数的收敛点,是否必有)(x f 和其Taylor 级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-. 0, 0, 0 , )(21x x e x f x在点0=x 无限次可导且有.0)0()(=n f因此Taylor 级数0≡，在) , (∞+∞-内处处收敛.但除了点0=x 外,函数)(x f 和其Taylor 级数并不相等.另一方面,由本章§1 Th 8推论2（和函数的性质）知:在点0x 的某邻域内倘有)(x f =∑∞=-00)(n nnx x a, 则)(x f 在点0x 无限次可导且级数∑∞=-00)(n n n x x a 必为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.综上, 我们有如下结论:⑴ 对于在点0x 无限次可导的函数)(x f , 其Taylor 级数可能除点=x 0x 外均发散, 即便在点0x 的某邻域内其Taylor 级数收敛, 和函数也未必就是)(x f .由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor 级数. ⑵ 若幂级数∑∞=-0)(n nn x x a在点0x 的某邻域内收敛于函数)(x f , 则该幂级数就是函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.于是, 为把函数)(x f 在点0x 的某邻域内表示为关于)(0x x -的幂级数，我们只能考虑其Taylor 级数.3． 函数的Taylor 展开式：若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数收敛且和恰为)(x f ，则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式.简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数.当0x = 0 时, 称Taylor 展开式为Maclaurin 展开式.通常多考虑的是Maclaurin 展开式.4. 可展条件: Th 1 (必要条件) 函数)(x f 在点0x 可展⇒)(x f 在点0x 有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.则)(x f 在区间) , (00r x r x +-内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是:对) , (0r x x ∈∀, 有0)(lim =∞→x R n n .其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项.证 把函数)(x f 展开为n 阶Taylor 公式, 有)(|)()(|x R x S x f n n =- ⇒ )(x f )(lim ⇔=∞→x S n n 0)(lim =∞→x R n n .Th 3 (充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 且导函数所成函数列)}({)(x f n 一致有界, 则函数)(x f 可展. 证 利用Lagrange 型余项, 设 M x fn ≤|)(|)(, 则有) ( , 0)!1(||)()!1()(|)(|1010)1(∞→→+-⋅≤-+=+++n n x x M x x n f x R n n n n ξ.例3 展开函数)(x f ,3223++-=x x x ⅰ> 按x 幂; ⅱ> 按) 1 (+x 幂. 解 ; 1) 1 ( , 3) 0 ( , 32)0()0(23)0(-=-=++-=f f x x x f, 1432+-='x x f ; 8) 1 ( , 1) 0 (=-'='f f46-=''x f , ; 10) 1 ( , 4) 0 (-=-''-=''f f 6='''f , ; 6) 1 ( , 6) 0 (=-'''='''f f 0)()4(==== n ff.所以,ⅰ> 323223!3)0(!2)0()0()0()(x x x x f x f x f f x f +-+='''+''+'+=. 可见,x 的多项式)(x P n 的Maclaurin 展开式就是其本身. ⅱ> 32)1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(+-'''++-''++-'+-=x f x f x f f x f 32)1()1(5)1(81+++-++-=x x x . Ex [1]P 58 1， 3⑴.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开. 1. =xe ∑∞=0,!n nn x ) , (∞+∞-∈x . ( 验证对∈∀x R ，x n e x f =)()(在区间] , 0 [x ( 或] 0 , [x )上有界, 得一致有界. 因此可展 ).=xa ∑∞==0ln ,!ln n n n ax n a x a) , (∞+∞-∈x .2. =x sin ∑∞=++-012)!12() 1 (n n nn x , ) , (∞+∞-∈x .=x cos ∑∞=-02)!2() 1 (n nnn x , ) , (∞+∞-∈x .可展是因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a n x x fn πsin )()(在) , (∞+∞-内一致有界.3. 二项式 mx )1(+的展开式:m 为正整数时, mx )1(+为多项式, 展开式为其自身;m 为不是正整数时, 可在区间) 1 , 1 (-内展开为m x )1(+ ++---++-++=n x n n m m m m x m m mx !)1()2)(1(!2)1(12 对余项的讨论可利用Cauchy 余项. 具体讨论参阅[1]P 56.进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《 微积分学教程》第二卷第二分册.): 当1-≤m 时, 收敛域为) 1 , 1 (-; 当01<<-m 时, 收敛域为] 1 , 1 (-; 当0>m 时, 收敛域为] 1 , 1 [-.利用二项式mx )1(+的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如 取1-=m , 得 +-+-+-=+1n n x x x x) 1 (112， ) 1 , 1 (-∈x . 取21-=m 时, 得 +⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+-=+32642531423121111x x x x, ] 1 , 1 (-∈x . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4. +-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x .] 1 , 1 (-∈x .事实上, 利用上述x+11的展开式, 两端积分, 就有 ⎰=+=+xt dt x 01)1ln( ∑⎰∞==-00) 1 (n x n n dt t ∑∞=++-011) 1 (n n n n x ∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ) 1 , 1 (-∈x . 验证知展开式在点1=x 收敛, 因此, 在区间] 1 , 1 (-上该展开式成立.5. =+-+-= 753753x x x x arctgx ∑∞=++-012,12) 1 (n n nn x ] 1 , 1 [-∈x . 由=+211x ∑∞=∈-02 ,) 1 (n n n x x ) 1 , 1 (-. 两端积分,有 ⎰⎰∑⎰∑∞=∞=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=xx n x n n n n n dt t dt t t dt arctgx 00002022)1()1(1 =∑∞=++-012,12) 1 (n n n n x 验证知上述展开式在点1±=x 收敛, 因此该展开式在区间] 1 , 1 [-上成立.例4 展开函数1431)(2+-=x x x f . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=∑∑∞=∞=+0013211131321)(n n n n n x x x x x f ∑∞=+<-=0131 || , ) 13 (21n n n x x . 例5 展开函数xe x xf )1()(+=. 解 =+=x x xe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n n n n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n n n x n n n x ∑∞==++=1!11n n x n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n n x x n n .Ex[1]P58 2 ⑴―⑼, 3⑵(提示) .友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
