2017高考数学一轮复习第八章立体几何8.4垂直的判定与性质课时练理

第5讲直线、平面垂直的判定及性质配套课时作业1．若α，β是两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若α⊥β，m⊂α，则m与β平行、相交或m⊂β都有可能，所以充分性不成立；若m⊥β，m⊂α，则α⊥β，必要性成立，故选B.2．(2019·某某模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，故A错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；对于D，由m⊥α，m∥n，得n⊥α，又知n∥β，故α⊥β，所以D正确．故选D.3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析若α∥β，由题中条件可知m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故A错误；若l⊥β，则有l∥n，与题设条件l⊥n矛盾，故B错误；由于m⊥α，n⊥β，则m，n都垂直于α，β的交线，而m和n是两条异面直线，可将m平移至与n相交，此时确定一个平面γ，则α，β的交线垂直于平面γ，同理也有l⊥γ，故l平行于α，β的交线，C错误，D 正确．4．(2019·襄阳模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行答案 D解析如图所示，连接C1D，BD，则MN∥BD，而C1C⊥BD，故C1C⊥MN，故A，C正确，D 错误，又因为AC⊥BD，所以MN⊥AC，B正确．5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直答案 C解析因为在图1中，AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的中线，所以AD⊥BC.在图2的四面体ABCD中，AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.又AD 与BC是异面直线，所以AD与BC的位置关系是异面且垂直．6．(2018·某某模拟)已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是( )A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD答案 D解析A中，因为CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，所以CD∥平面PAF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因为PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF与AD 不垂直．故选D.7．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )答案 A解析A中，CD⊥AB；B中，AB与CD成60°角；C中，AB与CD成45°角；D中，AB 与CD夹角的正切值为 2.故选A.8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 答案 D解析 因为在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，所以BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，所以AB ⊥平面ADC ，即平面ABC ⊥平面ADC ，故选D.9．(2019·某某二诊)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，AB ＝4，若在棱AB 上存在点P ，使得D 1P ⊥PC ，则AD 的取值X 围是( )A ．(0,1]B ．(0,2]C ．(1，3]D ．[1,4)答案 B解析 连接DP ，由D 1P ⊥PC ，DD 1⊥PC ，且D 1P ，DD 1是平面DD 1P 上两条相交直线，得PC ⊥平面DD 1P ，PC ⊥DP ，即点P 在以CD 为直径的圆上，又点P 在AB 上，则AB 与圆有公共点，即0<AD ≤12CD ＝2，故选B.10．如图，在三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别是线段PB ，PC 上的动点，则下列说法错误的是( )A ．当AE ⊥PB 时，△AEF 一定是直角三角形 B ．当AF ⊥PC 时，△AEF 一定是直角三角形 C ．当EF ∥平面ABC 时，△AEF 一定是直角三角形D ．当PC ⊥平面AEF 时，△AEF 一定是直角三角形 答案 B解析 由PA ⊥底面ABC ，得PA ⊥BC ，又AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，BC ⊥AE .又AE ⊥PB ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故A 正确；当EF ∥平面ABC 时，因为EF ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，所以EF ∥BC ，故EF ⊥平面PAB ，AE ⊥EF ，故C 正确；当PC ⊥平面AEF 时，PC ⊥AE ，又BC ⊥AE ，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥EF ，故D 正确．故选B.11．(2019·某某一诊)已知平面α，β，γ是空间中三个不同的平面，直线l ，m 是空间中两条不同的直线，若α⊥γ，γ∩α＝m ，γ∩β＝l ，l ⊥m ，则①m ⊥β；②l ⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)． 答案 ②④解析 因为γ∩β＝l ，所以l ⊂γ，又α⊥γ，γ∩α＝m ，l ⊥m ，所以l ⊥α；因为γ∩β＝l ，所以l ⊂β，又l ⊥α，所以α⊥β.由于β可以绕l 转动，位置不定，所以m⊥β和β⊥γ不一定成立，即②④正确，①③错误．12．(2019·某某模拟)在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .答案 BM ⊥PC (或DM ⊥PC )解析 ∵△PAB ≌△PAD ，∴PB ＝PD ，∴△PDC ≌△PBC ，当BM ⊥PC 时，有DM ⊥PC ，此时PC ⊥平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .故填BM ⊥PC (或DM ⊥PC )．13．(2019·某某模拟)点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变； ②A 1P ∥平面ACD 1； ③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④解析 对于①，V A －D 1PC ＝V P －AD 1C ，点P 到平面AD 1C 的距离即为线BC 1与平面AD 1C 的距离，为定值，故①正确；对于②，因为平面A 1C 1B ∥平面ACD 1，所以线A 1P ∥平面ACD 1；对于③，由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直于BC 1，故③错误；对于④，由于B1D⊥平面ACD1，所以平面PDB1⊥平面ACD1.14．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴DE∥A1C1.∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A 1A ⊥平面A 1B 1C 1.∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴A 1A ⊥A 1C 1. ∵A 1C 1⊥A 1B 1，A 1A ⊂平面ABB 1A 1，A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，A 1A ∩A 1B 1＝A 1，∴A 1C 1⊥平面ABB 1A 1.∵B 1D ⊂平面ABB 1A 1，∴A 1C 1⊥B 1D ， 又∵B 1D ⊥A 1F ，A 1C 1⊂平面A 1C 1F ，A 1F ⊂平面A 1C 1F ，A 1C 1∩A 1F ＝A 1，∴B 1D ⊥平面A 1C 1F . ∵直线B 1D ⊂平面B 1DE ， ∴平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .15．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PC ＝2，求三棱锥C －PAB 的高． 解 (1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC .因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2， 所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . (2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2＝1.由(1)知，AC 为三棱锥A －PBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2， 于是S △PAB ＝12×22×sin60°＝ 3.设三棱锥C －PAB 的高为h ，则1 3S△PAB·h＝13S△PBC·AC，13×3h＝13×1×2，解得h＝63，故三棱锥C－PAB的高等于63.16．(2019·某某某某中学模拟)如图，在底面为梯形的四棱锥S－ABCD中，已知AD∥BC，∠ASC＝60°，AD＝DC＝2，SA＝SC＝SD＝2.(1)求证：AC⊥SD；(2)求三棱锥B－SAD的体积．解(1)证明：设O为AC的中点，连接OS，OD.∵SA＝SC，∴OS⊥AC.∵DA＝DC，∴DO⊥AC.又∵OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO＝O，∴AC⊥平面SOD，且SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD.(2)连接BD，在△ASC中，∵SA＝SC，∠ASC＝60°，点O为AC的中点．∴△ASC为正三角形，且AC＝2，OS＝ 3.∵在△ADC中，DA2＋DC2＝4＝AC2，O为AC的中点，∴∠ADC＝90°，且OD＝1.∵在△SOD中，OS2＋OD2＝SD2，∴∠SOD＝90°.∴SO⊥OD.又∵OS ⊥AC ，且AC ∩DO ＝O ，∴SO ⊥平面ABCD .∴V B －SAD ＝V S －BAD ＝13S △BAD ·SO ＝13×12AD ·CD ·SO ＝13×12×2×2×3＝33.17．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，且EC ＝2FB .(1)证明：平面AEF ⊥平面ACC 1A 1；(2)若AB ＝EC ＝2，求三棱锥C －AEF 的体积．解 (1)证明：取AE 的中点G ，AC 的中点M ，连接MG ，GF ，BM ，则MG ＝12EC ＝BF ，MG ∥EC ，又MG ∥EC ∥BF ，∴四边形MBFG 是平行四边形， ∴MB ∥FG .∵MB ⊥AC ，平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC ＝AC ， ∴MB ⊥平面ACC 1A 1， ∴FG ⊥平面ACC 1A 1. ∵FG ⊂平面AEF ， ∴平面AEF ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)得FG ⊥平面AEC ，FG ＝BM ＝3，所以V C －AEF ＝V F －ACE ＝13×S △ACE ×FG ＝13×12×2×2×3＝233.。

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何8.4 直线、平面垂直的判定与性质理1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b 2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面错误!⇒l⊥α【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ×)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( ×)(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.( √)(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ×)1．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是________．①l与平面α内的两条直线垂直；②l与平面α内无数条直线垂直；③l与平面α内的某一条直线垂直；④l与平面α内任意一条直线垂直．答案④解析由直线与平面垂直的定义，可知④正确．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件．答案充分不必要解析若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．答案 5解析如图，∵PO⊂平面PAB，∴l⊥PO.∴PO就是P到直线l的距离，∵α⊥β，∴四边形PAOB为矩形，PO＝12＋22＝ 5.4． PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________________对．答案7解析由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO、BO、CO分别交对边于H、D、G点，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心.题型一直线与平面垂直的判定与性质例1 (2014·某某)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．(1)证明由已知得△ABC ≌△DBC ， 因此AC ＝DC .又G 为AD 的中点，所以CG ⊥AD .同理BG ⊥AD ，又BG ∩CG ＝G ，因此AD ⊥平面BGC . 又因E ，F 分别为AC ，DC 的中点， 所以EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解 在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半． 在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3， 所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12. 思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB .求证：PA ⊥CD .证明 因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ， 在Rt△ABC 中，由3AC ＝BC 得， ∠ABC ＝30°，设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝23，由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 30°＝3， 所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AO . 因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ∩AO ＝D 得，CD ⊥平面PAB ， 又PA ⊂平面PAB ，所以PA ⊥CD . 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°.将△ABD 沿对角线BD 折起，记折起后A 的位置为点P ，且使平面PBD ⊥平面BCD .求证：(1)CD ⊥平面PBD . (2)平面PBC ⊥平面PDC .证明 (1)∵AD ＝AB ，∠BAD ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°， 又∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝45°， 又∠DCB ＝45°，∴∠BDC ＝90°， 即BD ⊥DC .∵平面PBD ⊥平面BCD ，平面PBD ∩平面BCD ＝BD ， ∴CD ⊥平面PBD .(2)由CD ⊥平面PBD 得CD ⊥BP . 又BP ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴BP ⊥平面PDC . 又BP ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PDC .思维升华 面面垂直的性质应用技巧(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明．(2015·某某)如图，三棱锥PABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥PDFBC 的体积为7，求线段BC 的长．(1)证明 由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ， 所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .又PE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面PFE . (2)解 设BC ＝x ，则在Rt△ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49， 即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC＝29S △ABC ＝19x 36－x 2. 从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x 36－x 2. 由(1)知，PE ⊥平面ABC ， 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高．在Rt△PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3. 体积V PDFBC ＝13·S DFBC ·PE＝13·718x 36－x 2·23＝7， 故得x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27， 由于x ＞0，可得x ＝3或x ＝3 3. 所以，BC ＝3或BC ＝3 3. 题型三 线面角、二面角的求法例3 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A —PD —C 的正弦值．(1)解 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 故PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 从而AB ⊥平面PAD ，故PB 在平面PAD 内的射影为PA ， 从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt△PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P —ABCD 中， 因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ，所以AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .(3)解 过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连结AM ，如图所示． 由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可证得AM ⊥PD .因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，AE ＝22a . 在Rt△ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA ·AD PD＝a ·233a 213a ＝277a .在Rt△AEM 中，sin∠AME ＝AE AM ＝144. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为144. 思维升华 求线面角、二面角的常用方法：(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．(2015·某某)如图，在三棱台DEFABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE, ∠BAC ＝45° ，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小．(1)证明 方法一 如图，连结DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连结OH ，在三棱台DEFABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形． 则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点， 所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .方法二 如图，在三棱台DEFABC 中，由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ，所以四边形BHFE 为平行四边形，可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB . 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH .(2)解 如图，作HM ⊥AC 于点M ，作MN ⊥GF 于点N ，连结NH . 设AB ＝2，则CF ＝1.由FC ⊥平面ABC ，得HM ⊥FC ， 又FC ∩AC ＝C ， 所以HM ⊥平面ACFD .因此GF ⊥NH ，所以∠MNH 即为所求的角． 在△BGC 中，HM ∥BG ，HM ＝12BG ＝22，由△GNM ∽△GCF ，可得MN FC ＝GMGF，从而MN ＝66. 由HM ⊥平面ACFD ，MN ⊂平面ACFD ，得HM⊥MN，因此tan∠MNH＝HMMN＝3，所以∠MNH＝60°，所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.16．立体几何证明问题中的转化思想典例(14分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思维点拨(1)要证线面平行，需证线线平行．(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，需证线线垂直．规X解答证明(1)如图所示，连结NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形．[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN.∴四边形AA1KN为平行四边形．∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1. ∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K.∴四边形BC1KM为平行四边形．∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.[12分]∵A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，B 1C ⊂平面A 1B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，∴MK ⊥平面A 1B 1C . 又∵MK ⊂平面A 1MK ，∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .[14分]温馨提醒 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等； (3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规X ．[方法与技巧] 1．三类论证(1)证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°； ②平面几何中证明线线垂直的方法； ③线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ④线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； ②判定定理1：⎭⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n⇒l ⊥α；③判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α； ④面面平行的性质：α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； ②判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 2．转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[失误与防X]1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.A组专项基础训练(时间：40分钟)1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，AD/∈l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是________．①AB∥m; ②AC⊥m；③AB∥β；④AC⊥β.答案④解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有④不一定成立．2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________．①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.答案③解析①中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；②中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；③中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误．3．(2015·某某滨海新区模拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面ABC .其中正确的是________．答案 ①②③解析 由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．4．(2015·某某改编)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的____________条件．答案 必要而不充分解析 m 垂直于平面α，当l ⊂α时，也满足l ⊥m ，但直线l 与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l ∥α，一定有l ⊥m ，必要性成立．5．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)解析 由定理可知，BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )，即有PC ⊥平面MBD .而PC ⊂平面PCD ，∴平面MBD ⊥平面PCD .6.如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．答案 12解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 由面积相等得2×2＝h 22＋22，所以h ＝233，DE ＝33. 在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝ 222－332＝66. 由面积相等得66× x 2＋222＝22x ， 得x ＝12. 7．如图，PA ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 由题意知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，且PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，且BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ，∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF .故①②③正确．8．点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．答案 ①②④解析 由题意可得直线BC 1平行于直线AD 1，并且直线AD 1⊂平面AD 1C ，直线BC 1⊄平面AD 1C ， 所以直线BC 1∥平面AD 1C .所以点P 到平面AD 1C 的距离不变，11A D PC P AD C V V －－＝，所以体积不变．故①正确；如图，连结A1C1，A1B，可得平面AD1C∥平面A1C1B.又因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；当点P运动到B点时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1.故③不正确；连结DB1，因为直线AC⊥平面DB1，DB1⊂平面DB1.所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1⊂平面PDB1.所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.故④正确．综上，正确的序号为①②④.9．(2014·某某)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)如图，连结AD1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1，从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连结AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1，所以BD⊥AC1.因为M，N分别是A1B1，A1D1的中点，所以MN∥BD，从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .10.(2014·某某)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，∠DAB ＝60°，AB ＝2CD ＝2，M 是线段AB 的中点．(1)求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1；(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1＝3，求平面C 1D 1M 和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值．(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB ＝2CD ，所以AB ∥DC .又由M 是AB 的中点，因此CD ∥MA 且CD ＝MA .连结AD 1，如图(1)．在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为CD ∥C 1D 1，CD ＝C 1D 1，可得C 1D 1∥MA ，C 1D 1＝MA ，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，因此C 1M ∥D 1A .又C 1M ⊄平面A 1ADD 1，D 1A ⊂平面A 1ADD 1，所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.(2)解 由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD ＝AB ，过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ，连结D 1N ，如图(2)．由CD 1⊥平面ABCD ，可得D 1N ⊥AB ，因此∠D 1NC 为二面角C 1－AB －C 的平面角．在Rt△BNC 中，BC ＝1，∠NBC ＝60°，可得＝32.所以ND 1＝CD 21＋2＝152.在Rt△D 1中，cos∠D 1NC ＝D 1N ＝32152＝55，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为55.B组专项能力提升(时间：30分钟)11．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在__________________________________________．①直线AB上②直线BC上③直线AC上④△ABC内部答案①解析由AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．12．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析逐一判断．若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．13．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．答案 2解析若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．14．(2015·某某)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连结DE 、BD 、BE . (1)证明：DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD 的体积为V 1，四面体EBCD 的体积为V 2，求V 1V 2的值．(1)证明 因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ，由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC .而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD ，∠BCE ，∠DEC ，∠DEB .(2)解 由已知得，PD 是阳马PABCD 的高，所以V 1＝13S ABCD ·PD ＝13BC ·CD ·PD . 由(1)知，DE 是鳖臑DBCE 的高，BC ⊥CE ，所以V 2＝13S △BCE ·DE ＝16BC ·CE ·DE . 在Rt△PDC 中，因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ＝CE ＝22CD ， 于是V 1V 2＝13BC ·CD ·PD 16BC ·CE ·DE ＝2CD ·PD CE ·DE ＝4. 15．(2015·某某)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB .(1)证明：PE ⊥FG ；(2)求二面角PADC 的正切值；(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值．(1)证明 在△PDC 中，PD ＝PC 且E 为CD 的中点，∴PE ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ，∴PE ⊥平面ABCD ，又FG ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥FG .(2)解 由(1)知PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥AD ，又AD ⊥CD ，PE ∩CD ＝E ，∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PD ，∴∠PDC 为二面角PADC 的平面角，在Rt△PDE 中，PD ＝4，DE ＝3，∴PE ＝16－9＝7，∴tan∠PDC ＝PE DE ＝73.即二面角PADC 的正切值为73.(3)解 如图，连结AC ，∵AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，∴AC ∥FG . ∴直线PA 与FG 所成角即直线PA 与AC 所成角∠PAC ， 在Rt△PDA 中，PA 2＝AD 2＋PD 2＝16＋9＝25，∴PA ＝5.又PC ＝4.AC 2＝CD 2＋AD 2＝36＋9＝45，∴AC ＝35，cos∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝25＋45－162×5×35＝925 5.即直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为9525.。

第四节垂直关系[最新考纲] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．(对应学生用书第131页)1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒ a∥b(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎬⎫α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥α[常用结论]1．假设两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么这条直线与另一个平面也垂直．3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．4．过一点有且只有一条直线与平面垂直．5．过一点有且只有一个平面与直线垂直．一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，那么l⊥α.( )(2)假设平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，那么α⊥β.( )(3)假设两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行．( )[答案](1)×(2)×(3)×二、教材改编1．以下命题中错误的选项是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γA[两个平面垂直，一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故A错误．选A.]2．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么在四面体S­EFG中必有( )A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面A[四面体S­EFG如下图：由SG⊥GE，SG⊥GF.且GE∩GF＝G得SG⊥△EFG所在的平面．应选A.]3．如图，三棱锥V­ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，那么二面角V­AB­C 的度数为________．60°[如图，取AB的中点D，连接VD，CD.由VA＝VB＝AC＝BC知，VD⊥AB，CD⊥AB，从而∠VDC就是二面角V­AB­C的平面角．在△VAB和△ABC中分别求得VD＝CD＝1，因此△VDC是等边三角形，故∠VDC＝60°.]4．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)假设PA＝PB＝PC，那么点O是△ABC的________心；(2)假设PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，那么点O是△ABC的________心．(1)外(2)垂[(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图1 图2(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．](对应学生用书第132页)⊙考点1 直线与平面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直〞．(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么与另一个也垂直〞．(4)利用面面垂直的性质定理．证明直线与平面垂直如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M为棱BC的中点，BB1＝3，AB1＝10，∠CBB1＝60°.(1)求证：AM⊥平面BCC1B1；(2)求斜三棱柱ABC­A1B1C1的体积．[解](1)证明：如图，连接B 1M ，因为底面ABC 是边长为2的正三角形，且M 为棱BC 的中点，所以AM ⊥BC ，且AM ＝3，因为BB 1＝3，∠CBB 1＝60°，BM ＝1， 所以B 1M 2＝12＋32－2×1×3×cos 60°＝7， 所以B 1M ＝7.又因为AB 1＝10，所以AM 2＋B 1M 2＝10＝AB 21， 所以AM ⊥B 1M . 又因为B 1M ∩BC ＝M ， 所以AM ⊥平面BCC 1B 1.(2)设斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积为V ，那么V ＝3VB 1­ABC ＝3VA ­B 1BC＝3×13S △B 1BC ·|AM |＝12×2×3×sin 60°× 3 ＝92. 所以斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积为92.(1)线段的长度，一般情况下用勾股定理的逆定理证明线线垂直，如本例第(1)问．(2)解答本例第(2)问时，易误认为B 1M 是斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高，从而得到错误答案．证明空间两条直线垂直(2019·某某模拟)如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且AB ∥EF ，AF ＝2，EF ＝2AB ＝4AD ＝42，平面ABCD ⊥平面ABEF .(1)求证：BE ⊥DF ；(2)求三棱锥C ­AEF 的体积V .[解](1)证明：取EF 的中点G ，连接AG .∵EF ＝2AB ，∴AB ＝EG .又AB ∥EG ，∴四边形ABEG 为平行四边形， ∴AG ∥BE ，且AG ＝BE ＝AF ＝2.在△AGF 中，GF ＝12EF ＝22，AG ＝AF ＝2，∴AG 2＋AF 2＝GF 2，∴AG ⊥AF . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ⊥AB .又平面ABCD ⊥平面ABEF ，且平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ， ∴AD ⊥平面ABEF . 又AG平面ABEF ，∴AD ⊥AG .∵AD ∩AF ＝A ，∴AG ⊥平面ADF . 又∵AG ∥BE ，∴BE ⊥平面ADF . 又DF平面ADF ，∴BE ⊥DF .(2)连接DE .∵CD ∥AB ，且CD 平面ABEF ，AB平面ABEF ，∴CD ∥平面ABEF ，∴V C ­AEF ＝V D ­AEF .由(1)得，AD ⊥平面ABEF ，S △AEF ＝12×42×2＝4，∴V C ­AEF ＝V D ­AEF ＝13×4×2＝423.证明线线垂直一般是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到线线垂直．[教师备选例题](2017·某某高考)如图，在三棱锥A ­BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .[证明](1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF∥AB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC平面ABC，所以AD⊥AC.如下图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD，∴AB⊥PD.又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.⊙考点2 面面垂直的判定与性质证明面面垂直的两种方法(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化(1)(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，那么( )A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B[取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE.∵点N为正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且为BD的中点．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∴EF⊥FN.不妨设AB＝2，那么FN＝1，EF＝3，∴EN＝FN2＋EF2＝2.∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF ， ∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG . ∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG 2＋BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52，∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7. ∴BM ≠EN .∵BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交． 应选B.](2)(2019·某某模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 中，△PCD 为等边三角形，CD ＝AD ＝2AB ，E ，S ，T ，Q 为CD ，PA ，PB ，AD 的中点，∠ABC ＝∠BCD ＝∠PEA ＝90°，平面STRQ ∩平面ABCD ＝RQ .①证明：平面PAE ⊥平面STRQ ； ②假设AB ＝1，求三棱锥Q ­BCT 的体积．[解] ①证明：因为E 为CD 的中点，CD ＝2AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，所以四边形ABCE 为矩形，所以AE ⊥CD .由易得RQ ∥CD ，所以RQ ⊥AE . 因为∠PEA ＝90°，PE ∩CD ＝E ， 故AE ⊥平面PCD ， 又因为AE平面ABCD .故平面PCD ⊥平面ABCD .因为PE ⊥CD ，所以PE ⊥平面ABCD . 因为RQ平面ABCD ，所以RQ ⊥PE .又PE ∩AE ＝E ，所以RQ ⊥平面PAE . 所以平面PAE ⊥平面STRQ .②由①可知，PE ⊥平面ABCD ，又T 是PB 的中点， ∴点T 到平面BCQ 的距离为12PE ＝32，易知S △BCQ ＝12S 梯形ABCD ＝12×12×(1＋2)×3＝334.故三棱锥Q ­BCT 的体积V ＝13×334×32＝38.解答本例T (2)第(2)问时，借助的点面距求高，这是常用的方法，求S △BCQ 时，可先求底边和高，再求面积．(2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ­ABP 的体积．[解](1)证明：由可得，∠BAC ＝90°，BA ⊥AC . 又BA ⊥AD ，且AC平面ACD ，AD平面ACD ，AC ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ACD .又AB平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)由可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝3 2.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝2 2.作QE ⊥AC ，垂足为E ，那么QE13DC . 由及(1)可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q ­ABP 的体积为V Q ­ABP ＝13×QE ×S △ABP ＝13×1×12×3×22sin 45°＝1.⊙考点3 点到平面的距离求点到平面的距离(高)的两种方法(1)定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离．其步骤为：一作、二证、三求．如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面，一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离．(2)等体积法：求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置，其体积相等的方法求解．定义法求距离(高)(1)(2019·全国卷Ⅰ)∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．2 [如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，那么PO 为P 到平面ABC的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ， 连接PC ，PE ，PF ，那么PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°.在Rt△PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝32－12＝ 2.](2)(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．①证明：PO ⊥平面ABC ；②假设点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] ①证明：因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB 平面ABC ，AC平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC .②作CH ⊥OM ，垂足为H . 又由①可得OP ⊥CH ，OP平面POM ，OM平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM .故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB＝45°，所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.解答本例T (2)第②问时也可以使用等体积法求解．[教师备选例题]如图，在四棱锥P ­ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)假设PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ­ABCD 的体积为83，求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积．[解](1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，因为AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD ，所以PE 为四棱锥的高．由AB ⊥平面PAD ，得AB ⊥AD ，又AB ∥CD ，AB ＝CD ，那么四边形ABCD 为矩形．设AB ＝x ，那么由可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P ­ABCD 的体积V P ­ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，解得x ＝2.故四棱锥的高PE ＝2，从而PA ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ­ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.等体积法求距离(高)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝1，AA 1＝2，D 是AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，且CO ⊥平面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)假设OC ＝2OA ，求三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高．[解](1)证明：在矩形ABB 1A 1中，由平面几何知识可知AB 1⊥BD ， 又CO ⊥平面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO ，CO ∩BD ＝O ，BD ，CO 平面BCD ，∴AB 1⊥平面BCD .因为BC平面BCD ，∴BC ⊥AB 1.(2)在矩形ABB 1A 1中，由平面几何知识可知OA ＝33，OB ＝63，∵OC ＝2OA ，∴OC ＝63， ∴AC ＝1，BC ＝233，S △ABC ＝23，设三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的高为h ，即三棱锥A 1­ABC 的高为h . 又S △ABA 1＝22，由VC ­ABA 1＝VA 1­ABC 得 S △ABC ·h ＝S △ABA 1·OC ，∴h ＝62. 解答本例第(2)问的关键是把三棱柱的高转化为求三棱锥的高，再利用等体积法求解．[教师备选例题]如下图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝4，EF ∥AB ，M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)假设平面ADE ⊥平面ABCD ，求点F 到平面BDE 的距离． [解](1)证明：取BD 中点O ，连接OM ，OE ， 因为O ，M 分别为BD ，BC 中点， 所以OM ∥CD 且OM ＝12CD ，由EF ∥AB 且EF ＝12AB ，又在菱形ABCD 中，AB ∥CD 且AB ＝CD ，所以EF ∥CD 且EF ＝12CD .所以OM ∥EF 且OM ＝EF ， 所以四边形OMFE 为平行四边形，所以MF ∥OE. 又OE平面BDE ，MF平面BDE ，所以MF ∥平面BDE. (2)由(1)得FM ∥平面BDE ，所以F 到平面BDE 的距离等于M 到平面BDE 的距离． 取AD 的中点H ，连接EH ，BH ， 因为EA ＝ED ，所以EH ⊥AD ，因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EH 平面ADE ，所以EH ⊥平面ABCD .由得EH ＝23，BE ＝EH 2＋HB 2＝26，所以等腰三角形BDE 的面积为S △BDE ＝12×26×42－62＝215.又S △BDM ＝12S △BCD ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×4×32＝23，设F 到平面BDE 的距离为h ，由V E ­BDM ＝V M ­BDE 得13·S △BDM ·EH ＝13·S △BDE ·h ，即13×23×23＝13×h ×215， 解得h ＝2155，所以点F 到平面BDE 的距离为2155.(2019·某某模拟)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠DAB ＝π3，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ＝PD ＝102.(1)证明：PB ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．[解](1)如图，取AD 的中点H ，连接PH ，HB ，BD .∵底面ABCD 是边长为1的菱形，∴AD ＝AB ＝1，∴AH ＝12AD ＝12，由BH 2＝AB 2＋AH 2－2AB ·AH ·cos∠DAB ，得BH 2＝1＋14－2×1×12×12＝34，∴BH ＝32，∴AH 2＋BH 2＝AB 2， ∴BH ⊥AD .∵PA ＝PD ，H 为AD 的中点， ∴PH ⊥AD ，又PH ∩BH ＝H ， ∴AD ⊥平面PHB ，又PB 平面PHB ，∴AD ⊥PB ，又AD ∥BC, ∴PB ⊥BC .(2)法一(定义法)：∵AD ∥BC ，BC平面PBC ，AD平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ，∴点A 与点H 到平面PBC 的距离相等． 由(1)知AD ⊥平面PHB ， ∴BC ⊥平面PHB ，又BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PHB . 过点H 作HM ⊥PB 于M . 由平面PHB ∩平面PBC ＝PB ， 知HM 即点H 到平面PBC 的距离．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PH平面PAD ，PH ⊥AD ，∴PH ⊥平面ABCD ， 又BH平面ABCD ，∴PH ⊥BH .PH ＝PA 2－AH 2＝32，BH ＝32， ∴PB ＝PH 2＋BH 2＝3，∴HM ＝PH ·BH PB ＝32×323＝34.法二(等体积法)：由(1)知，在△PAD 中，PH ＝PA 2－AH 2＝32，在△ABD 中，BH ＝32，在△PHB 中，PB ＝PH 2＋BH 2＝ 3. 又PB ⊥BC ，∴S △PBC ＝32， 设点A 到平面PBC 的距离为h ，那么有S △PBC ·h ＝S △ABC ·PH ，即32h ＝12×1×1×sin 2π3×32， 解得h ＝34.⊙考点4 直线与平面所成的角求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(1)(2018·全国卷Ⅰ)在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，那么该长方体的体积为( )A ．8B ．6 2C ．8 2D ．8 3C [如图，连接AC 1，BC 1，AC . ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴∠AC 1B 为直线AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角，∴∠AC 1B ＝30°.又AB ＝BC ＝2，在Rt△ABC 1中，AC 1＝2sin 30°＝4.在Rt△ACC 1中，CC 1＝AC 21－AC 2＝42－22＋22＝22，∴V 长方体＝AB ×BC ×CC 1＝2×2×22＝8 2.](2)(2018·某某高考)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.①求证：AD ⊥BC ；②求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； ③求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．[解] ①证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .②如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND . 又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt△DAM 中，AM ＝1， 故DM ＝AD 2＋AM 2＝13. 因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC . 在Rt△DAN 中，AN ＝1， 故DN ＝AD 2＋AN 2＝13. 在等腰三角形DMN 中，MN ＝1， 可得cos∠DMN ＝12MN DM ＝1326.所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326. ③如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3. 又因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，而CM 平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt△CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4. 在Rt△CMD 中，sin∠CDM ＝CM CD ＝34. 所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34. 在相互垂直的平面内作交线的垂线，是得到线面垂直的常用方法．1.正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段CC 1的中点，那么直线D 1E 与平面ADE 所成角的余弦值为( )A.35B.45C.55D.255A [如下图，过点D 1作D 1F ⊥DE ，垂足为F ，而AD ⊥D 1F ，AD ∩DE ＝D ，故D 1F ⊥平面ADE ，那么∠D 1EF 为D 1E 与平面ADE 所成的角，不妨设AB ＝2，那么D 1E ＝5，DF ＝DD 1·cos∠D 1DF ＝DD 1·sin∠CDE ＝255，EF ＝355，故cos∠D 1EF ＝EF D 1E ＝35.应选A.]2．(2019·某某高考)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． [解](1)证明：连接BD ，易知AC ∩BD ＝H ，BH ＝DH . 又由BG ＝PG ，故GH ∥PD .又因为GH 平面PAD ，PD 平面PAD ，所以GH ∥平面PAD . (2)证明：取棱PC 的中点N ，连接DN . 依题意，得DN ⊥PC .又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ∩平面PCD ＝PC ， 所以DN ⊥平面PAC .又PA 平面PAC ，所以DN ⊥PA . 又PA ⊥CD ，CD ∩DN ＝D ， 所以PA ⊥平面PCD .(3)连接AN ，由(2)中DN ⊥平面PAC ，可知∠DAN 为直线AD 与平面PAC 所成的角． 因为△PCD 为等边三角形，CD ＝2且N 为PC 的中点， 所以DN ＝ 3.又DN ⊥AN ，在Rt△AND 中，sin∠DAN ＝DNAD ＝33.3 3.所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为。

§8.4 直线、平面垂直的判定与性质A级基础达标1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．已知如图，六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABCDEF.则下列结论不正确的是()A．CD∥平面P AFB．DF⊥平面P AFC．CF∥平面P ABD．CF⊥平面P AD5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则() A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l6．已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，则下列命题：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．7．设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，b∥β，且α∥β，则a∥b；②若a⊥α，且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.上面命题中，所有真命题的序号是________．8．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(写出全部正确命题的序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.9．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.10．如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求四棱锥S－ABCD的高．B级知能提升1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF3．如图，P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．4．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF ＝2BE ＝2，EF ＝3.(1)证明：平面ACF ⊥平面BEFD .(2)若cos ∠BAD ＝15，求几何体ABCDEF 的体积．5．如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .(1)证明：AC ⊥BD ；(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．——★ 参 考 答 案 ★——A级基础达标1．『答案』C『解析』∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.故选C.2．『答案』B『解析』由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l ⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.3．『答案』B『解析』对于A，若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；易知B正确；对于C，若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系不确定，故D错误．故选B.4．『答案』D『解析』A中，因为CD∥AF，AF⊂平面P AF，CD⊄平面P AF，所以CD∥平面P AF成立；B中，因为ABCDEF为正六边形，所以DF⊥AF，又因为P A⊥平面ABCDEF，所以P A⊥DF，又因为P A∩AF＝A，所以DF⊥平面P AF成立；C中，因为CF∥AB，AB⊂平面P AB，CF⊄平面P AB，所以CF∥平面P AB；而D中CF与AD不垂直．故选D.5．『答案』D『解析』若α∥β，则m∥n，这与m、n为异面直线矛盾，所以A不正确，α与β相交．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l，从而排除B，C.故选D.6．『答案』3『解析』如图所示．∵P A⊥PC，P A⊥PB，PC∩PB＝P，∴P A⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴P A⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.7．『答案』②③④『解析』①中a与b可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以．8．『答案』③『解析』 由AB ＝CB ，AD ＝CD 知AC ⊥DE ，AC ⊥BE ，从而AC ⊥平面BDE ，故③正确．9．证明：(1)∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又CD ⊥AC ，P A ∩AC ＝A ， 故CD ⊥平面P AC ，AE ⊂平面P AC . 故CD ⊥AE .(2)∵P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，故P A ＝AC . ∵E 是PC 的中点，故AE ⊥PC . 由(1)知CD ⊥AE ，由于PC ∩CD ＝C ， 从而AE ⊥平面PCD ，故AE ⊥PD . 易知BA ⊥PD ，故PD ⊥平面ABE .10．(1)证明：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，DB ， 则四边形BCDE 为矩形，∴DE ＝CB ＝2， ∴AD ＝BD ＝ 5.∵侧面SAB 为等边三角形，AB ＝2， ∴SA ＝SB ＝AB ＝2. 又SD ＝1，∴SA 2＋SD 2＝AD 2，SB 2＋SD 2＝BD 2，∴∠DSA ＝∠DSB ＝90°，即SD ⊥SA ，SD ⊥SB ，SA ∩SB ＝S ， ∴SD ⊥平面SAB .(2)解：设四棱锥S －ABCD 的高为h ，则h 也是三棱锥S －ABD 的高． 由(1)，知SD ⊥平面SAB .由V S －ABD ＝V D －SAB ，得13S △ABD ·h ＝13S △SAB ·SD ，∴h ＝S △SAB ·SDS △ABD.又S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×2×2＝2，S △SAB ＝34AB 2＝34×22＝3，SD ＝1，∴h ＝S △SAB ·SD S △ABD ＝3×12＝32.故四棱锥S －ABCD 的高为32. B 级 知能提升1．『答案』 C『解析』 对于C 项，由α∥β，a ⊂α可得a ∥β，又b ⊥β，得a ⊥b .故选C.2．『答案』 B『解析』 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确；∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确；∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确；由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确．故选B. 3．『答案』 ①②④『解析』 ①AE ⊂平面P AC ，BC ⊥AC ，BC ⊥P A ⇒AE ⊥BC ，故①正确；②AE ⊥PC ，AE ⊥BC ⇒AE ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ⇒AE ⊥PB ，AF ⊥PB ，EF ⊂平面AEF ⇒EF ⊥PB ，故②正确；③若AF ⊥BC ⇒AF ⊥平面PBC ，则AF ∥AE 与已知矛盾，故③错误；由②可知④正确． 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∵BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥AC .∴AC ⊥平面BEFD ，AC ⊂平面ACF . ∴平面ACF ⊥平面BEFD .(2)解：设AC 与BD 的交点为O ，AB ＝a (a >0)， 由(1)得AC ⊥平面BEFD ， ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BD ， ∵DF ∥BE ，∴DF ⊥BD ，∴BD 2＝EF 2－(DF －BE )2＝8，∴BD ＝22， ∴S 四边形BEFD ＝12(BE ＋DF )·BD ＝32，∵cos ∠BAD ＝15，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝85a 2＝8，∴a ＝5，∴OA 2＝AB 2－OB 2＝3，∴OA ＝3， ∴V ABCDEF ＝2V A －BEFD ＝23S 四边形BEFD ·OA ＝2 6.5．(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO .因为AD ＝CD ， 所以AC ⊥DO .又由于△ABC 是正三角形， 所以AC ⊥BO .从而AC ⊥平面DOB ，又BD ⊂平面DOB ， 故AC ⊥BD . (2)解：连接EO .由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.又AB ＝BD ，所以BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2，故∠DOB ＝90°. 由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO ＝12AC .又△ABC 是正三角形，且AB ＝BD ，所以EO ＝12BD .故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，四面体ABCE的体积为四面体ABCD 的体积的12，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1.。