数列

2012年高考试题分类汇编：数列一、选择题1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = （A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8 【答案】A2.【2012高考全国文6】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S = （A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n【答案】B3.【2012高考新课标文12】数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 【答案】D4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】B【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。

5.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x ²；②f （x ）=2x ；③；④f （x ）=ln|x |。

则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 7. 【答案】C6.【2012高考四川文12】设函数3()(3)1f x x x =-+-，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A 、0B 、7C 、14D 、21 【答案】D.7.【2102高考福建文11】数列{a n }的通项公式2cosπn a n =，其前n 项和为S n ，则S 2012等于A.1006B.2012C.503D.0 【答案】A ．8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是（A ）a 1+a 3≥2a 2 （B ）2223212a a a ≥+ （C ）若a 1=a 3，则a 1=a 2（D ）若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 【答案】B9.【2102高考北京文8】某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（A ）5（B ）7（C ）9（D ）11 【答案】C二、填空题10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S = 【答案】1511.【2012高考新课标文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 【答案】2-12.【2012高考江西文13】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。

若a 1=1，且对任意的都有a n ＋2＋a n ＋1-2a n =0，则S 5=_________________。

【答案】1113.【2012高考上海文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞+++=【答案】78。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列，∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴78。

14.【2012高考上海文14】已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是【答案】265133+。

15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛a n ｝为递增数列.若a 1>0,且2（a n +a n+2）=5a n+1 ,则数列｛a n ｝的公比q = _____________________. 【答案】216.【2102高考北京文10】已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则a 2=______，S n =_______。

【答案】12=a ，n n S n 41412+=17.【2012高考广东文12】若等比数列{}n a 满足2412a a =，则2135a a a = .【答案】14三、解答题18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解析】（1） 由S n =22n n +，得当n=1时，113a S ==；当n ≥2时，1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦，n ∈N ﹡.由a n =4log 2b n ＋3，得21n b n =-，n ∈N ﹡.（2）由（1）知1(41)2n n n a b n -=-⋅，n ∈N ﹡所以()21372112 (412)n n T n -=+⨯+⨯++-⋅，()2323272112...412n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅， ()212412[34(22...2)]n n n n T T n --=-⋅-++++ (45)25n n =-+(45)25n n T n =-+，n ∈N ﹡.19.【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：221nn n n n b a b a a ++=+，*N n ∈，（1）设n nn a b b +=+11，*N n ∈，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设nn n a b b ∙=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【答案】解：（1）∵nn n a b b +=+11，∴122n n n n na ab +=+∴2111n n n n b b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

∴ ()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 。

∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴11n <a +=≤（﹡）设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q若1,q >则212=a a <a q≤1log qn >a时，11n n a a q +=若01,<q <则212=1a a >a >q，∴当11log qn >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，=1q 。

∴()1*n a a n N =∈，∴11<a ≤。

又∵11n n n nb b b a +=()*n N ∈，∴{}n b1a 的等比数列。

若1a ≠11a ，于是123b <b <b 。

又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =，得11n b a -∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b <b矛盾。

∴1a 。

∴21n b -∴ 12=a b【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设221nn n n n b a b a a ++=+和nn n a b b +=+11，求出11n n b a ++=，从而证明22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而得证。

（2）根据基本不等式得到11n <a +=≤{}n a的公比=1q 。

从而得到()1*n a a n N =∈的结论，再由11=n nn nb b b a a +=∙知{}n b 是公比是1a 的等比数列。

最后用反证法求出12=a b 20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg }na 的前n 项和最大？【解析】21.【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. （Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）. 【答案】【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-，2113(150%)2a a d a d =+-=-， 13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132n n a a d -=-2233()22n a d d -=-- 233()22n a d d -=-- =12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+. 由题意，134000,()(30003)24000,2n n a d d -=∴-+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+--时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为４０００元.【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 的关系式132n n a a d +=-，第二问，只要把第一问中的132n n a a d +=-迭代，即可以解决.22.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）） 已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值。