9数列与数学文化

专题九数学文化数学文化至今并没有一个得到学术界广泛认同的定义，但不少学者理解如下：指数学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展；除此之外，还包含数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分、数学与社会的联系、数学与各种文化的关系.考点1：数列1.《算法统综》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则塔从上至下的第三层有（）盏灯.A.14B.12C.10D.82.中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到的目的地，那么第二天走了（）A.192里B.96里C.48里D.24里3.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，莞草第1天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同．(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：l g3≈0.4771，l g2≈0.3010)．34.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A．五寸B．二尺五寸C．三尺五寸D．四尺五寸5.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿()A.斗粟B.斗粟C.斗粟D.斗粟6.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为()A.钱B.钱C.钱D.1钱7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为()A.B.C.D.8.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角”．现将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1＝1，S2＝2，S3＝2，S4＝4，…，则S126＝________．64考点2：立体几何1.古代著名的数学书籍《九章算术》中，将底面为矩形，同时有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.已知阳马中，平面为底面，，若阳马的五个顶点都在某一球面上，该球的体积为_______.2.《九章算术》中，将底面为矩形，同时有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑，平面，,三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为________.3.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.B.C.D.4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在登高处的截面积恒相等，则体积相等.设为两个同高的几何体，的体积不相等，在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一。

（）*化融123思考——以斐波那契数列为例陈银辉葛文明（江苏省扬州市新华中学225009）《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出数学要课程内容•高三以复习课为主，课时紧容量大，数学的受限制，一些优秀的以、加工，再有机嵌入课堂内容中，教学复习内容的挖掘，又着'数学的落根•本文以斐波那契数列融数列单元复习为例，浅谈数学高轮复习课堂的思.1前期教学分析斐波那契数列是《普通高中课程标准实验教科书数学（必修5）・苏教版》1+第62-64页的阅读材，咼一时学生作为链接阅读读,初步了解了斐波那契数列的应用，高一高二多以斐波那契数列做为课和拓展课,涉及斐波那契数列的性质在、绘画、建筑中的应，侧数学的美学赏析•斐波那契数列是数学的完美结合，是数列中的一颗璀璨明星,如果说该数列的外在美是由内而发的，那么斐波那契数列的、求和题就不可不笔者在高轮复习数列概念时提及斐波那契数列，学这个有现的数列很感，但此了解课本读&高高二拓教运用的数学的，其功能远远不只是点缀，只有在更高水平上，才能发挥其更大的价值•数列是特殊的离散函数，斐波那契数列与差数列，都是从现概括出的要函数，它们是一脉相承的，，斐波那契数列的建立学数列单成的理解和把握•在不影响，不的约束下，以学生的和为出发点，如何将斐波那契数列课堂，以期达升能力，落：心的目标最大化呢？高学个 相应单了基本的知识和方法框架，数学易渗透，从单的，斐波那契数列不着丰富的实际问题情境和完美的外在呈现，而且可围绕由递、求和题展开，这为后续的体教学供了性.2教学片段过程2.1数列概念复习课融入数学文化数列概念课复，回归课本，重提斐波那契数列1，1，2,3,5,8,13,….800多年前，意大利数学家斐波那契在它的传世之作《算盘书》里提出了有名的兔子繁殖问题•:一对兔子一年可繁殖多少对兔子呢？记第n个月的兔数为a”，你能该数列的规律和通项吗？:第13项是233,我发现数列的每一项等于前面两项之和，但 很难写出来.:如图1观察蜜丿蜂爬过~蜂房取的不同路线，假定该・蜜蜂是向相邻的蜂房图1移动并且总是向右移动,那么蜜蜂移动到蜂房11有路线呢？发现了什么？生:到蜂房0有1条路线，到蜂房1有1条路线,到蜂房2的路线数是到蜂房0和蜂房1的路线数之和，照此，路线数符合斐波那契数列的规蜂房11的路线数是a】#=144回归课本丰富的，编制问题供学生探究,引导学表达为数列的递a532= a n313a n,提出题为后面埋下伏笔.由兔题出来的斐波那契数暗藏在树丫、花瓣,松果、中.以上学生感知数学是解密自然规律的一种语言，激发学生学习数列的兴趣,理解数列是刻画现实世界中具有递物的数学模型,培养了学生数学直观和数学抽象的核心素养.2.2数列递推关系求通项课融入数学文化通过表1回顾等差等比数列的有关问题,通过类比去研究斐波那契数列.表1数列定义通项性质求和等差数列等比数列斐波那契数列求斐波那契数列的通项前，学生已复习常用求通项方法，学生已掌握由连续两项递推关系的求通项问题，形如a”3i=pa n3q(F—1,q—0),a…31= pa”3q/P”！—1,q—0)，通过配常数或者同除幕构造等差或等比数列.斐波那契数列是连续三项的递推关系，有以上基础去求通项也是困难的，复习该节时学生恰遇到这样一个问题：引例已知数列｛a…｝中，a i=1，a2=1,且a”3i=(13q)”—qa n—(n$2，q—0).⑴设1”=a”+1—a”！#N*)，证明｛”｝是等比数列；(2)求数列｛”｝的通项公式.解(1)由已知条件得a”+1—a”=qa”—qa”—1= q!”—a n—)，又a：—a i=1—0,贝［J一^=q，即a”a”—117”=q，故5”｝是以1为首项贝为公比的等比1”—数列.(2)1”=a”3i一a”=q”—，由累加法可求得”，q=1，问题1已知数列5”｝中,1=1,a z=1,且*”32=*”313*”•(1)若5”+13#a”｝为等比数列，求实数#的值；(2)求数列5”｝的通项公式.问题1是引例的变式，课堂内容的生成和生长让探究有章可循.若课堂时间紧张，可适当降低难度，改编为问题1',让不同的人在数学上得到不同的发展.令人赞叹的是，每项都是正整数的数列竟然可以用无理数表示，而且这个式子有很完美的对称性,还与黄金分割数有关系.其实，斐波那契数列又称为黄金分割数列，因其相邻两数的比值无限地趋向黄金分割数而得名.2.3数列求和课融入数学文化师:我们已经掌握了等差等比数列的求和及分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法等常用求和方法，对于斐波那契数列的和你能提出什么问题？用什么方法求和？问题2已知数列5”｝中,1=1,a z=1,且*”32=*”313a”，求前”项和S”.生1：我们已求得斐波那契数列的通项a”=师：以上过程中，你是怎么把三项递推关系化归为两项关系的？生：主要是把中间项a”拆开，与a”+1，a”—重组，构造新数列1”为等比数列.师：你能类比处理斐波那契数列的递推关系吗？问题1已知数列5”｝中,a i=1，a z=1,且a”+2=a”+13a”，求数列｛”｝的通项公式.生：设a”+23a”+1=!31)(a”+13#a”)，则#23#=1,得#=H J.因为a23#a1=#31—0,贝!j”+2丄a”+1=#31,,a”313#a”}是以#31为a”+13A a n首项贝31为公比的等比数列，故a”+13#a”=(3 1)”.当#=二1时，a”+13—1+5a…= (T5)”①.当#=一—5时'“”+13—1—J5a…=(—5)n②.①—②，得J5a”=，根据通项的特点直接分组成两个等比数列求和，故S”13J5一22生2:因为数列的每一项等于前面两项之和,我用并组求和，则2S”=(13a23a”)3(13a2 3a”)=a1+(a1+a2)+(a2+a3)+(a”—?+ a”一1)3(a”一1+a”)+a”=a1+a3+a43a”3 a”+13a n=S n—13a”+2，故S n=a…+2—1=问题2是贴合本节求和问题设计的，引导学生从递和个 考虑求和，培养了学析问题、解题的能力•当的还有斐波那契数列的平方和.问题3已知数列5n8为1,1,2,3,5,8, 13,…,则观察下列式子）2+12=2,12312+22=6, 12+12+22+32=15,根据以上规律猜想a#+ a#+…3a”的结果，并证明你的结生：12+12=1X2,1#+1#+2#=2X3,1#+1#+ 3#=3X5,猜想a|+a#+…3a”=a n a n31.证明：当n=1时，1#=1X1符合，假设n=k时,a f+a#3-----+a：=a k a k31，贝I］当n=k+1时,a#+a#+…3a k+ a#31=a：a k31+a：31=a：31（a k+a：31"=a k+1a k32.综上，a f+a#+…+a#=a n a n+1,即证.问题4数列5n｝：1,1,2,3,5,8,13, 21,…，称为斐波那契数列，则3a#十…十a#0】92019是斐波那契数列中的第______项.a2019a2020如果把每个斐波那契数的平方以该数为边的正方形面积，依据斐波那契的递推公式,它渐个更大的矩形，这小正方形的面积之和 大矩形的面积.这是问题3结论的几何验接着在每个正方形里面画一个90度的：，连起来的就是斐波那契以动手（图图22）,这是一个很神奇的螺线.自然界中存在很多斐波那契的图案，贝（图3）,松果、凤梨、很艺的构图中也发现斐波那契，如达芬奇画作《蒙娜丽莎的微笑》（图4）,葛饰北斋的《巨浪》,约翰内斯・尔的《戴珍珠耳环的少女》,苹果logo的设计等.图3图42.4赏析以斐波那契数列为文化背景的高考、模考题题5在我国数学家杨辉所著的《详解九章》一中,用图5所示的（杨辉三角）解释了二项和的乘方规(Q+b)°(a+莎(a+b)2(a+»(a+b)4(a+b)5(a+by”5Q务壬41[Vio1051eg cj-a-er1a图5律•右边的数字三角形可以看作当n依次取0,1,2, 3，…时（a+b）n展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数的和组成数列5n｝•例如,Q1=1,a#=1+1, a3=132…d）写出数列5n｝的通项公式（结果用组合数表zk）,无需证明；⑵猜想a1+a23-------a n a n32的大小关系,并用数学明.斐波那契数列与杨辉三角密切联系,第（1）题中数列5n｝的合数表即）C+C—33C,n为奇数贝（n该数列恰好是第C0+C n—13-------C-#,n为偶数.二项起的斐波那契数列,故斐波那契数列通项也可合数表示,第（2）题题2可得a1+a#+…+ a n=a n32—2V a n32•优题渗透数学也是高三教学的方式,以斐波那契数列为的高考题和模考题见不鲜,如2009福建高考,第15题同学报数拍手问题;2009陕西高考第22题数列压轴题-011湖北高考第15题正方题;2012江西高考第12题；2012上海高考第14题数列和函数综合•前几年高考里斐波那契数列多以压轴题形式出现，近几年模拟题里斐波那契数列呈现形式多样化,如合（2020内江考"，贝合（2020省），与二项式定理的综合3教学反思3.1数学文化融入高三复习要自然流畅识的非强学生，而要凸显其必要性,从而激发学生的学习动机.②斐波那契数列由著名的兔题而来，丰富的实际问题和应:的数列灵动起来,学生的，也产了困惑，规律易得难求•斐波那契数列是要的数列，它和等差数列的是一脉相承的，斐波那契数列内容、方法的选取和问题的编“探索三角形全等的条件（1）$课堂实录与反思袁芹芹（西安市第一中学710082）宋旋（陕西省西咸新区二初级中学710091）2020年5月，根据学情，笔上一节完全开放式的课一北师大版七年级下册$三角全等的”•摒弃了的教学，采用从一个开始，逐渐的数量，一次个条、两个、三个能否个 全等，在定方法的过程中，体会作图、观察、分析、猜几何问题的方法•本节课：让学生自己画一个&板,直尺&，圆规等数学用具，再画一个与前面全等的，做正放手，感受全的过程•不仅锻炼了学生的动手能力，也为学生几何直观的发展,数学活动经验的积累，个性的发挥，特别是发散思维的供了机会.1复习回顾导入新课:同学们,前面我们已经学习了全等三角形的性质，大家能用符号语言下吗？生：因为"ABC7"DEF，所以3"=3D，3#=3E，3C=3FAB=DE，BC=EF，AC=DF.制都是以课堂为生长出的，与当节复习内容有机结合、相辅相成，在问题解决中，学生不应用了所学知识方法，如，等比数列求和，&和，不完全数学，也提高了、归纳，迁移的能力.3.2斐波那契数列的教学价值不止于此从兔子繁殖问题到高考试题，它的教学价值不仅于此，如斐波那契数列的公式问题，除了上述特征值法，母函数，法国学西、数学家从不过，后来美国刊《斐波那契季刊1该数列•斐波那契数列是大的暗语，也应绘画、建筑、文学作中，随着机的发展，&析图和编程中它的之地,它的应美学价值也不可小觑•从学上看，道德经中$，一生二，二生三物”，如果用0表示“道”，斐波那契数列正是这句话的表达.师:怎样判断两个全等？1：形状和大小能完全重合的两个三角形是全2：对应边相等，对应角相等的两个三角形全等•:两种表述全等三角形定义的方法都可以，那么大家能用符号语言吗？:因为3A=3D，3B=3E，3C=3F，AB=DE BC=EF AC=DF以"ABC7"DEF.:如果定义，我们判定两个三角形全等，需要六个，那么简捷的方定两个 全等呢？如果分别只给一个、两个条个 呢？这就是我们本节课需要的问3.3落实核心素养，实现育人价值数学 以让学生从更广阔的思考分析问题，提升学科思维水平•一系列问题解决过程中，导学建立起斐波那契数列的、化归的思想方法•课堂上让学主和合：解决历史名题，激发了学生学习数列的性和主动性，&落观，数学，数学运算，数学建•最后，从斐波那契数列的不难获得一个生活，明天的成就）今天的努力+的积累，上!参考文献*+普通高中课程标验教科书-数学（必修5）［M+.南京:江苏教育出版社,2007.*+周湖平，李阳华.赏析几道以斐波那契数列为背景的高考题和竞赛题［J+.中学教研（数学）2013（1）:48-50. *+汪晓勤.HPM：数学数学教育［M+.北京:科学出版20173。

专题03 数列与数学文化纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。

同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。

本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。

【例1】 (2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这 个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A 32B 322C ．1252D ．1272【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{}n a ，则第八个单音频率为128171282)2a f -=⋅=，故选D ．【试题赏析】本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景，考查等比数列的应用，既考查了等比数列的相关知识，又展示了我国古代在音乐、数学、天文等方面的成就．【例2】（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 【试题赏析】《算法统宗》是由明代数学家程大位写的数学巨著，它是一部应用数学书， 反映了中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出的贡献。

论《九章算术》学号：200971030124 姓名：马海霞班级：2009级数学2班摘要:《九章算术》是我国古代流传下来的一部数学巨著,不仅指导着我国数学的发展达两千余年之久,而且对世界数学的发展也有不可估量的巨大影响.他总结了我国先秦至西汉的数学成果,初步形成了以问题为中心的算法体系,有着丰富的知识内容和思想内涵,是一部问题集形式的算书.关键字九章算术；问题；算法我国古代数学有它自己的体系与形式,与西方以欧几里得几何为代表的所谓公理化体系既异,途经亦殊.《九章》与《几何》原本东西辉映,无疑是数学史上两大传世巨著,也是现代数学的两大源泉!《九章算术》是一部问题集形式的算书,共有246个问题.按不同算法类型分为九章,每章中问题数目不等,大致由简到繁排列,就问题而言,它包括了当时社会的生产,分配,交换,行政管理等方面;就数学知识和方法而言,它不仅包括了现代算术的大部分内容,而且还包括了初等几何中的体积,面积计算方法以及代数中一些理论,方法和公式.一《九章算术》的作者吴文俊先生对《九章算术》的作者是这样评价的:“从数学的角度衡量,<<九章算术>>的作者刘徽应该与欧几里得,阿基米德等相提并论.他不仅提出丰富多彩的创建与发明,并以严密的数学用语描述了有关数学概念,对<<九章>>的许多的结论给出了证明.它所采用的证明方法,不仅有综合法,分析法,而且有时还兼用反证法.他沿袭了我国古代的几何传统,使之趋于完备,形成独特风格的几何体系.”因此,刘徽的发明,创造对后世人有所启发,即便对于现今数学也有不少借鉴之义.二《九章算术》的内容在《九章算术》中的九部分内容,具体如下:“方田”章.来自于田亩丈量与分配的需要.它提出了完整的分数运算法则,以及多边形,圆,弓形等的面积公式.“粟米”章.来自以易物与交换的需要.以谷物交换为例.提供了各类比例的算法.“衰分”章.来自于不同等级的分配需要.它提供了的比例分配的法则和等差数列问题的处理方法.“少广”章.来自于田,地的计算需要.它提出了分数以完整地开平方,开立方的程序.“商功”章.来自于土木工程与水利建设的需要.它讨论了多种立体体积公式与工程分配问题.“均输”章.来自于官方摊派劳役和税收的需要。