2019届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三12月月考数学(理)试题(解析版)

2019届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三12月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合， ，则A∩B=（ ）A ．B ．C ．（0，1]D ．（0，3]【答案】D【解析】由解得，所以，由解得，所以，故，选D.2．设i 是虚数单位，复数1a ii -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2-【答案】A 【解析】()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ---+---==++-， 10a ∴-=， 1a =，故选A 。

3．若命题：“，”为假命题，则的取值范围是 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即 ax 2﹣ax ﹣2≤0恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案． 【详解】 ∵命题”为假命题，命题“∀x ∈R ，ax 2﹣ax ﹣2≤0”为真命题，当a ＝0时，﹣2≤0成立，当a ≠0时，a ＜0，故方程ax 2﹣ax ﹣2＝0的△＝a 2+8a ≤0解得：﹣8≤a ＜0， 故a 的取值范围是：[﹣8，0] 故选：D ．【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用，其中将问题转化为恒成立问题，是解答本题的关键． 4．已知： ()sin cos f x a x b x =+， ()2sin 13g x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若函数()f x 和()g x 有完全相同的对称轴，则不等式()2g x >的解集是 A ．(),62k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()2,262k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．()2,26k k k z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭D ．(),6k k k z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()sin cos f x a x b x =+ ()x ϕ=+ ，所以212πωπ== 因此2s3x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭()152sin 2232636x k x k k Z ππππππ⎛⎫>⇒+>⇒+≤+≤+∈ ⎪⎝⎭()2262k x k k Z ππππ⇒-+≤≤+∈ ，选B.5．执行程序框图，假如输入两个数是、，那么输出的=( )A ．B ．C ．4D ．【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，的值，用裂项法即可得解．详解：模拟执行程序框图，可得是、，，满足条件，满足条件满足条件不满足条件，退出循环，输出的值为4．故选C．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基础题．6．某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为的直角梯形，则该多面体的体积为（）A．1 B．C．D．2【答案】C【解析】由题可知，，所以，故选C。

7．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为A．B．C．D．【答案】C【解析】设检测的机器的台数为x,则x的所有可能取值为2,3,4.所以，所以所需的检测费用的均值为1000×3.5=3500.故选C.8．已知实数，满足，若的最小值为，则实数的值为（）A．B．或C．或D．【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案【详解】由作出可行域如图：联立，解得联立，解得化为由图可知，当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即综上所述，实数的值为故选【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不能正确的对进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题9．函数，则使得成立的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：先判断出偶函数在上单调递减，然后根据对称性将函数不等式化为绝对值不等式求解． 详解：由题意知函数的定义域为，当时，，∴在上单调递减，∵是偶函数， ∴在上单调递增． ∵， ∴，两边平方后化简得且，解得或，故使不等式成立的取值范围是．故选B ．点睛：①解题时要注意函数性质的综合运用，对于图象具有对称性的函数，在解不等式时，可将不等式转化为变量到对称轴的距离的大小关系求解．②解绝对值不等式时，要根据绝对值不等式的特点进行求解，解题时要注意绝对值的几何意义的利用．10．(2016·太原五中模拟)已知DEF ∆的外接圆的圆心为O ，半径4R =，如果0OD DE DF ++=，且OD DF =，则向量EF 在FD 方向上的投影为( )A ．6B ．－6C ．D ．- 【答案】B【解析】由OD DE DF ++＝0得， DO ＝DE DF +∴DO 经过边EF 的中点， ∴DO ⊥EF .连接OF ，∵|OF |＝|OD |＝|DF |＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°.∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝ ∴向量EF 在FD 方向上的投影为|EF |cos 〈EF ,FD 〉＝＝－6，故选B. 点睛：平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.11．直线与圆交于、两点，为坐标原点，若直线、的倾斜角分别为、，则A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由三角函数的定义得：cosα+cosβ＝x 1+x 2，由此利用韦达定理能求出cosα+cosβ的值． 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由三角函数的定义得：cosα+cosβ＝x 1+x 2，由，消去y 得：17x 2﹣4x ﹣12＝0则，即．故选：D．【点睛】本题考查两个角的余弦值之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理和三角函数定义的合理运用．12．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．【详解】可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等二、填空题13．设，则______．【答案】-1【解析】由题意，得；故填.14．已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点.【答案】2【解析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，与所给的区间进行比较，得到n的值．【详解】设函数y＝log a x，y＝﹣x+b根据2＜a＜3＜b＜4，对于函数y＝log a x，当x＝2时，函数值y＜1，当x＝3时，函数值y＞1，在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n＝2，故答案为2．【点睛】本题考查函数零点的判定定理，是一个基本初等函数的图象的应用，这种问题一般应用数形结合思想来解决．15．、分别为双曲线左、右支上的点，设是平行于轴的单位向量，则的最小值为__________． 【答案】4【解析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可 【详解】由向量数量积的定义可知即向量在向量上的投影模长的乘积，故求的最小值，即求在轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知的最小值为故答案为 【点睛】本题有两个易错点：一是不理解向量投影的概念，导致无法求解；二是不能结合双曲线图象求解，突破方法是强化数形结合在解题中的应用。

16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥，若()()()53222220172201822018a a a -+-+-=，()()()53201720172017220172201822018a a a -+-+-=，给定四个命题①20174034S =；②20184036S =；③20172S S <；④201720a a -<. 则上述四个命题中真命题的序号为____. 【答案】②④【解析】构造函数()()5320172018,f x x x x f x =++为奇函数，且单调递增，依题意有()()()()2222f a -=又()*112,2m m m a a a m N m -+=+∈≥，故数列{}n a 为等差数列，且公差0,d ≠故()120172017201820172017,4034,2a a a a S +≠=≠ 故①错误；()()12018220172018201820184036,22a a a a S ++===故②正确；由题意知()22017201720182018112122,2,0,403644032,,a a d S S a a a S a a ><∴<=-=--=+=+ 若20172S S <，则24032,a >而此时，()()()53222220172201822018a a a -+-+-=不成立，故③错误；220172,2,a a ><∴ 201720a a -<.，故④成立.即答案为②④三、解答题17．已知向量，，.（1）求的最大值，并求此时的值；（2）在中，内角，，的对边分别是，，，满足，，，求的值.【答案】(1) ，时，的最大值为 (2)【解析】⑴利用向量数量积的坐标结合降幂公式及辅助角公式化简求得，进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的的值⑵由⑴中的解析式结合求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得答案 【详解】（1） ，当，，即，时，的最大值为.（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由余弦定理得，，∴，在中，由正弦定理得，，∴.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算以及正弦定理和余弦定理，在化简过程中注意辅助角公式的运用和求最值时的方法18．如图，在四棱椎P ABCD -中， E 是棱PC 上一点，且2AE AC AP =+，底面ABCD 是边长为2的正方形， PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F .(1)求证：平面ABE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A BE C --的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 7-【解析】试题分析：(1)在正方形ABCD 中， CD AD ⊥，由面面垂直的性质定理可得D ，∴CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，∴CD AF ⊥，进而证得AF PD ⊥，又,PD CD ⊂平面PCD ， PD CD D ⋂=，∴AF ⊥平面PCD ，∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD .(2)取AD 中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出相关点的坐标，进而得到平面ABE 的一个法向量(1,0,3m =，平面BEC 的一个法向量()0,3,2n =.由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角，又由题意可得二面角A BE C --为钝角，即可得到二面角A BE C --的余弦值.试题解析：(1)在正方形ABCD 中， CD AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，∴CD AF ⊥，∵底面ABCD 是正方形，∴AB CD ，又AB ⊄平面PCD ， CD ⊂平面PCD ，∴AB 平面PCD .又,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF ⋂平面PCD EF =，∴AB EF ，∴CD EF ， 又2AE AC AP =+，∴E 为棱PC 的中点， F 是棱PD 中点，∵PAD 是正三角形，∴AF PD ⊥，又,PD CD ⊂平面PCD ， PD CD D ⋂=， ∴AF ⊥平面PCD ，∵AF ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面PCD .(2)取AD 中点O ，以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()1,0,0A ， ()1,2,0B ， ()1,2,0C -，(P ，12E ⎛-⎝⎭，32AE ⎛=- ⎝⎭，3,2BE ⎛=-- ⎝⎭， ()2,0,0CB =. 设平面ABE 的法向量为()111,,m x y z =，则m BE ⊥，∴11322m AE x y ⋅=-++， 10z =，111302m BE x y z ⋅=--=，解得10y =，11z ，令11x =，则(1,0,3m =为平面ABE 的一个法向量，设平面BEC 的法向量为()222,,n x y z =，则n BE ⊥， n CB ⊥，∴2222032n BE x y z ⋅=--+=， 220n CB x ⋅==，得20x =，222y z =，令22z =，则()0,3,2n =为平面BEC 的一个法向量.∴21cos ,m n m n m n ⋅==，由图知二面角A BE C --为钝角， ∴二面角A BE C --的余弦值为7-. 19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： （颗）该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：）【答案】（1）；（2）；（3）可靠的，理由见解析．【解析】试题分析：（1）求出抽到相邻两组数据的事件概率，利用对立事件的概率计算抽到不相邻两组数据的概率值；（2）由表中数据，利用公式计算回归直线方程的系数，写出回归直线方程，利用方程计算并判断所得的线性回归方程是否可靠.试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从第5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是，（2）由数据，求得，由公式得，，所以关于的线性回归方程这（3）当时，同样地，当时，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠20．已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与曲线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的值.【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）【解析】：（1）设，则，根据向量表达式，表示出的坐标关系式，得出动点的轨迹。