2020年九年级数学中考专题复习 ：二次函数压轴大题练习题 ( 无答案)

二次函数压轴题1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0<m <4)．过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点M . (1)求a 的值；(2)若PN ∶MN ＝1∶3，求m 的值；(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P 对应的位置是P 1，将线段OP 1绕点O 逆时针旋转得到OP 2，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AP 2、BP 2，求AP 2＋32BP 2的最小值．图① 图②第1题图解：(1)∵A (4，0)在抛物线上， ∴0＝16a ＋4(a ＋2)＋2，解得a ＝－12；(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2，令x ＝0可得y ＝2， ∴OB ＝2， ∵OP ＝m ，∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△P AN ， ∴OB OA ＝PN P A ，即24＝PN 4－m ，∴PN ＝12(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋32m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4，∴－12m 2＋32m ＋2＝4×12(4－m )， 解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3；(3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2＝32，第1题解图由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2，∴OP 2OB ＝32，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2＝OP 2OB ＝32，∴当Q (0，92)时，QP 2＝32BP 2， ∴AP 2＋32BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ，∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，92)，∴AQ ＝42＋（92）2＝1452，即AP 2＋32BP 2的最小值为1452.2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M . (1)求二次函数表达式及顶点D 的坐标； (2)当PM ＝MN 时，求点P 的坐标；(3)设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE ＋HF 的值为定值，并求出这个定值．第2题图解：(1)∵A (－2，0)，B (4，0)在二次函数的图象上，将A ，B 点代入二次函数表达式中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋（－2）b ＋4＝016a ＋4b ＋4＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝1， ∴二次函数的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4， 将其化为顶点式为y ＝－12(x －1)2＋92， ∴顶点D 的坐标为(1，92)；(2)由抛物线表达式得点C 的坐标为(0，4)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋c (k ≠0)，将点B (4，0)，点C (0，4)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋c ＝0c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1c ＝4， ∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4，(5分) ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，∴设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)(－2＜t ＜4)，∵PN ⊥x 轴于N ， ∴点N 的坐标为(t ，0)， ∵PN 交BC 于M ，∴点M 的坐标为(t ，－t ＋4)，(7分)∵PM ＝MN ，点P 在点M 的上方，∴PN ＝2MN ， 即－12t 2＋t ＋4＝2(－t ＋4)， 解得t 1＝2，t 2＝4(与B 重合舍去)，∴当PM ＝MN 时，点P 的坐标为(2，4)；(8分)第2题解图(3)如解图，过点P 作PG ⊥x 轴于点G ，设点P 的坐标为(t ，－12t 2＋t ＋4)， ∵DH ⊥x 轴于点H ， ∴PG ∥DH ， ∴△AHE ∽△AGP ， △BGP ∽△BHF ， ∴EH PG ＝AH AG ，PG FH ＝BG BH ，∴EH＝AH·PGAG，FH＝BH·PGBG，(10分)当点G在BH上时，∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－12t2＋t＋4，∴EH＋FH＝3(PGt＋2＋PG4－t)＝3·(－12)(t＋2)(t－4)·4－t＋t＋2（t＋2）（4－t）＝9，同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同．综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为9.(14分)3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝12x＋1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.(1)求a、b及sin∠ACP的值；(2)设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9 ∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．第3题图解：(1)由12x ＋1＝0，得x ＝－2， ∴A (－2，0)，由12x ＋1＝3，得x ＝4，∴B (4，3)． ∵y ＝ax 2＋bx －3经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－2）2·a －2b －3＝042·a ＋4b －3＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－12，如解图，设直线AB 与y 轴交于点E ，则E (0，1)． ∵PC ∥y 轴，∴∠ACP ＝∠AEO .∴sin ∠ACP ＝sin ∠AEO ＝OA AE ＝222＋12＝255；(2)①由(1)知，抛物线的解析式为 y ＝12x 2－12x －3， ∴P (m ，12m 2－12m －3)， C (m ，12m ＋1)，∴PC ＝12m ＋1－(12m 2－12m －3)＝－12m 2＋m ＋4.在Rt △PCD 中，PD ＝PC ·sin ∠ACP ＝(－12m 2＋m ＋4)×255＝－55(m －1)2＋955.∵－55<0，∴当m ＝1时，PD 有最大值955； ②存在，m ＝52或329.【解法提示】如解图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为点F 、G .第3题解图由图中几何关系可知 ∠FDP ＝∠DCP ＝∠AEO ，∴cos ∠FDP ＝cos ∠AEO ＝OE AE ＝122＋12＝55，在Rt △PDF 中，DF ＝cos ∠FDP ·PD ＝55PD ＝－15(m 2－2m －8)． 又∵BG ＝4－m ，∴PBCPCD S S △△＝DFBG ＝－15（m 2－2m －8）4－m＝m ＋25.当PBC PCDS S △△＝m ＋25＝910时，解得m ＝52； 当PBCPCDS S △△＝m ＋25＝109时，解得m ＝329.∴m ＝52或329.4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，OA ＝3，AB ＝4，在OC 上取一点E ，使OA ＝OE ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过A ，E ，B 三点． (1)求B ，E 点的坐标及抛物线表达式；(2)若M 为抛物线对称轴上一动点，则当|MA －ME |最大时，求M 点的坐标； (3)若点D 为OA 中点，过D 作DN ⊥BC 于点N ，连接AC ，若点P 为线段OC 上一动点且不与C 重合，PF ⊥DN 于F ，PG ⊥AC 于G ，连接GF ，是否存在点P ，使△PGF 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)∵OA ＝3，AB ＝4, OA ＝OE ，∴A (0，3)，B (－4，3), E (－3，0)． 将A ，B ，E 三点坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中， 得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝316a －4b ＋c ＝39a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4c ＝3， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋4x ＋3；(3分)(2)∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋3的对称轴为直线x ＝－2，点A 关于对称轴的对称点为点B ，∴当|MA －ME |最大时，M 在直线BE 与直线x ＝－2的交点处，即连接BE并延长交直线x ＝－2于点M ，M 点即为所求，如解图①，(5分)第4题解图①设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过B (－4，3)，E (－3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝3－3k ＋b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝－9， ∴直线BE 的解析式为y ＝－3x －9. 当x ＝－2时， y ＝－3， ∴M (－2，－3)；(7分)(3)设P (x ，0)(x ＜0)，如解图②，过点P 分别作PF ⊥DN 于点F ，PG ⊥AC 于点G ，过点G 作GH ⊥OC 于点H ，交DN 于点Q ，连接GF ，第4题解图②∵OA ＝3，AB ＝4，∠AOC ＝90°， ∴AC ＝5，∵D 为OA 的中点，DN ⊥BC ， ∴PF ＝32，sin ∠1＝PG PC ＝OAAC ， ∴PG x ＋4＝35， ∴PG ＝3（x ＋4）5， ∵cos ∠1＝CG PC ＝OC AC ， ∴CG x ＋4＝45， ∴CG ＝4（x ＋4）5. ∵△CGH ∽△CAO ， ∴GH AO ＝CG CA ＝CH CO ， ∴GH 3＝CG 5＝CH 4，∴GH ＝35CG ＝35×4（x ＋4）5＝12（x ＋4）25， CH ＝45CG ＝45×4（x ＋4）5＝16（x ＋4）25，(9分) ∴PH ＝QF ＝OC －CH －OP ＝4－16（x ＋4）25＋x ＝9（x ＋4）25， GQ ＝GH －QH ＝12（x ＋4）25－32，∴在Rt △GQF 中，GF 2＝[12（x ＋4）25－32]2＋81（4＋x ）2625＝9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94. 要使△PGF 为等腰三角形，可分三种情况讨论： (ⅰ)当GF ＝GP 时， GF 2＝GP 2，∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝9（x ＋4）225， ∴x ＝－3916，∴P 1(－3916，0)；(11分) (ⅱ)当FG ＝FP 时，FG 2＝FP 2， ∴9（x ＋4）225－36（x ＋4）25＋94＝94， ∴x 1＝－4，x 2＝0. ∵点P 不与C 重合， ∴x ＝－4(舍去)，∴P 2(0，0)； (12分)(ⅲ)当PG ＝PF 时，3（x ＋4）5＝32， ∴x ＝－32，∴P 3(－32，0)．(13分)综上所述，存在P 1(－3916，0)，P 2(0，0)，P 3(－32，0)使△PFG 为等腰三角形．(14分)5. 已知：直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，且交x 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，且点P 在AB 的下方，设点P 的横坐标为m . ①试求当m 为何值时，△P AB 的面积最大；②当△P AB 的面积最大时，过点P 作x 轴的垂线PD ，垂足为点D ，问在直线PD 上是否存在点Q ，使△QBC 为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的Q 点的坐标，若不存在，请说明理由．第5题图 备用图解：(1)∵直线y ＝12x －3与x 轴、y 轴分别交于A 、B ， 则A (6，0)，B (0，－3)，又∵抛物线y ＝13x 2＋bx ＋c 经过点A 、B ，则⎩⎨⎧0＝13×62＋6b ＋c －3＝c ， 解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－32x －3；(2)①∵点P 的横坐标为m ，∴P (m ，13m 2－32m －3)，∵点P 在直线AB 下方，∴0＜m ＜6，第5题解图①如解图①，过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点E ，交x 轴于点D ， 则E (m ，12m －3)，∴PE ＝12m －3－(13m 2－32m －3)＝－13m 2＋2m ， ∴S △P AB ＝S △BPE ＋S △PEA ＝12PE ·OA ＝12(－13m 2＋2m )×6 ＝－(m －3)2＋9，∴当m ＝3时，△P AB 的面积最大；②在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形；点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．【解法提示】直线PD 的解析式为：x ＝3，易得C (－32，0)，D (3，0)， 当∠BCQ ＝90°时，如解图②，易证△COB ∽△QDC ，则CO OB ＝QDDC ，可得Q (3，94)；第5题解图②当∠CBQ ＝90°时，如解图③，易知Q 在AB 上，将x ＝3代入直线y ＝12x －3，得y ＝－32，∴Q (3，－32)；第5题解图③当∠BQC ＝90°时，如解图④，易证△CDQ ∽△QRB ，则CD QR ＝DQBR ，即923－DQ ＝DQ3，无解．第5题解图④综上所述，在直线PD 上存在点Q ，使△QBC 为直角三角形，点Q 的坐标为(3，94)或(3，－32)．6. 如图，抛物线y ＝x 2－4x －5与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；(2)如图①，点E(m，n)为抛物线上一点，且2<m<5，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴于点H，求四边形EHDF周长的最大值；(3)如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，B，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图①图②第6题图解：(1)把y＝0代入y＝x2－4x－5，得x2－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∵点B在点A的右侧，∴A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)，把x＝0代入y＝x2－4x－5，得y＝－5，∴点C的坐标为(0，－5)，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线x＝2；(4分)(2)由题意可知，四边形EHDF 是矩形，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，点E 坐标为(m ，m 2－4m －5)， ∴EH ＝－m 2＋4m ＋5，EF ＝m －2，∴矩形EHDF 的周长为2(EH ＋EF )＝2(－m 2＋4m ＋5＋m －2)＝－2(m 2－5m －3)＝－2(m －52)2＋372， ∵－2<0，2<m <5，∴当m ＝52时，矩形EHDF 的周长最大，最大值为372；(8分)第6题解图(3)存在点P ，使以点P ，B ，C 为顶点的三角形是直角三角形． 如解图，设点P 的坐标为(2，k )，∵B 和C 两点的坐标分别为(5，0)，(0，－5)， ∴BC ＝52＋52＝52， ①当∠CBP ＝90°时， ∵BC 2＋BP 2＝CP 2，∴(52)2＋(5－2)2＋(－k )2＝22＋(k ＋5)2，解得k ＝3， ∴P 1(2，3)；(10分) ②当∠PCB ＝90°， ∵BC 2＋PC 2＝BP 2，∴(52)2＋22＋(k ＋5)2＝(5－2)2＋(－k )2， 解得k ＝－7， ∴P 2(2，－7)；(12分) ③当∠CPB ＝90°时， ∵PC 2＋PB 2＝BC 2，∴22＋(k ＋5)2＋(5－2)2＋k 2＝(52)2， 解得k ＝1或k ＝－6， ∴P 3(2，1)，P 4(2，－6)，综上所述，满足条件的点P 的坐标为(2，3)，(2，－7)，(2，1)或(2，－6)．(14分)7. 如图，抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 经过A (2，0)，B (－4，0)两点，直线y ＝2x －2交y 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴交直线CD 于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)求点B 关于直线y ＝2x －2对称的点E 的坐标，判断点E 是否在抛物线上，并说明理由；(3)点P 是抛物线上一动点，过点P 作x 轴的垂线，交直线CE 于点F ，是否存在这样的点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)∵抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (2，0)，B (－4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－14×4＋2b ＋c ＝0－14×16－4b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－12c ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2－12x ＋2； (2)点E 在抛物线上，理由如下：如解图①，设直线CD ：y ＝2x －2与x 轴交于点N ，过点E 作EM ⊥x 轴，垂足为点M ，令y ＝2x －2＝0，解得x ＝1，∴点N 的坐标为(1，0)，点D 的坐标为(0，－2)， ∵BN 2＝25，BD 2＝20，DN 2＝5，BN 2＝BD 2＋DN 2， ∴BD ⊥CD ，∵点B 和点E 关于点D 对称， ∴BE ＝2BD ，∴BE ＝45，∵当x ＝－4时，y ＝2x －2＝－10， ∴点C 的坐标为(－4，－10)， ∵BN ＝5，BC ＝10， ∴CN ＝55，又∵∠MBE ＝∠BCN ，∠CBN ＝∠BME ， ∴△CBN ∽△BME ， ∴BE CN ＝ME BN ，即4555＝ME 5，∴ME ＝4，根据勾股定理得BM ＝BE 2－ME 2＝80－16＝8， ∴BM ＝8，∴OM ＝4， ∴点E 的坐标为(4，－4)， 当x ＝4时，y ＝－14x 2－12x ＋2＝－14×16－12×4＋2＝－4， ∴点E 在抛物线上；第7题解图①(3)存在，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)． 【解法提示】如解图②，设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋b ′，由(2)得点C (－4，－10)，E (4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ′＝－104k ＋b ′＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝34b ′＝－7，第7题解图②∴直线CE 的解析式为y ＝34x －7.∵PF ⊥x 轴，设点P 的坐标为(a ，－14a 2－12a ＋2)，则点F 的坐标为(a ，34a －7)，∴PF ＝|－14a 2－12a ＋2－(34a －7)|＝|－14a 2－54a ＋9|， 要使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形， ∵PF ∥BC ， ∴PF ＝BC ＝10.当－14a 2－54a ＋9＝10时， 解得a 1＝－4(舍去)，a 2＝－1， ∴点P 的坐标为(－1，94)，当－14a 2－54a ＋9＝－10时， 解得a 1＝－5＋3292， a 2＝－5－3292， ∴点P 的坐标为(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292， －3329＋1518)， 综上所述，存在点P ，使以点P 、B 、C 、F 为顶点的四边形为平行四边形，点P 的坐标为(－1，94)或(－5＋3292，3329－1518)或(－5－3292，－3329＋1518)． 8. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)过点A (3，－3)和点B (33，0)，过点A 作直线AC ∥x 轴，交y 轴于点C . (1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上取一点P ，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为D .连接OA ，使得以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOC 相似，求出相应点P 的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q ，使得S △AOC ＝13S △AOQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)将点A (3，－3)，B (33，0)分别代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝3a ＋3b 0＝27a ＋33b， 解得⎩⎨⎧a ＝12b ＝－332，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－332x ；(2)设P 点的坐标为P (m ，12m 2－332m )，则D (m ，－3)， ∴PD ＝|12m 2－332m ＋3|，AD ＝|m －3|， ∵∠ACO ＝∠ADP ＝90°，∴①当△ACO ∽△ADP 时，有AC OC ＝ADPD ， 即33＝|m －3||12m 2－332m ＋3|，∴3|m －3|＝|12m 2－332m ＋3|，∴3(m －3)＝12m 2－332m ＋3或－3(m －3)＝12m 2－332m ＋3，整理得m 2－53m ＋12＝0或m 2－3m ＝0，解方程m 2－53m ＋12＝0得：m 1＝43，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程m 2－3m ＝0得：m 3＝0，m 4＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (0，0)或P (43，6)； ②当△ACO ∽△PDA 时，有AC OC ＝PDAD ， 即33＝|12m 2－332m ＋3||m －3|，∴3|12m 2－332m ＋3|＝|m －3|，∴3(12m 2－332m ＋3)＝m －3或－3(12m 2－332m ＋3)＝m －3， 整理得3m 2－11m ＋83＝0或3m 2－7m ＋43＝0，解方程3m 2－11m ＋83＝0，得：m 1＝833，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；解方程3m 2－7m ＋43＝0，得：m 1＝433，m 2＝3(点P 与A 点重合，△APD 不存在，舍去)；此时P 点的坐标为P (833，－43)或P (433，－103)，综上可知：以点A 、D 、P 为顶点的三角形与△AOC 相似时，点P 的坐标为：P (0，0)或P (43，6)或P (833，－43)或P (433，－103)；(3)存在．在Rt △AOC 中，OC ＝3，AC ＝3，根据勾股定理得OA ＝23， ∵S △AOC ＝12OC ·AC ＝332，S △AOC ＝13S △AOQ ， ∴S △AOQ ＝932，∵OA ＝23，∴△AOQ 边OA 上的高为92，如解图，过点O作OM⊥OA，截取OM＝92，第8题解图过点M作MN∥OA交y轴于点N，∵AC＝3，OA＝23，∴∠AOC＝30°，又∵MN∥OA∴∠MNO＝∠AOC＝30°，∴在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N(0，9)，过点M作MH⊥x轴交x 轴于点H，∵∠MNO＝30°，∴∠MOH＝30°，∴MH＝12OM＝94，OH＝934，即M(934，94)，设直线MN的解析式为y＝kx＋9(k≠0)，把点M的坐标代入得94＝934k＋9，即k＝－3，∴y＝－3x＋9，联立得⎩⎨⎧y ＝－3x ＋9y ＝12x 2－332x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23y ＝15，即Q (33，0)或(－23，15)．9. 如图，抛物线经过原点O (0，0)，与x 轴交于点A (3，0)，与直线l 交于点B (2，－2)． (1)求抛物线的解析式；(2)点C 是x 轴正半轴上一动点，过点C 作y 轴的平行线交直线l 于点E ，交抛物线于点F ，当EF ＝OE 时，请求出点C 的坐标；(3)点D 为抛物线的顶点，连接OD ，在抛物线上是否存在点P ，使得∠BOD ＝∠AOP ？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．第9题图 备用图解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ， 将A (3，0)，B (2，－2)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＝04a ＋2b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ； (2)设直线l 的解析式为y ＝kx ，将B (2，－2)代入y ＝kx 中，得－2＝2k ， 解得k ＝－1，∴直线l 的解析式为y ＝－x ，设点C 的坐标为(n ，0)，则点E 的坐标为(n ，－n )，点F 的坐标为(n ，n 2－3n )．①当点C 在点A 的左侧时，如解图①所示，EF ＝－n －(n 2－3n )＝－n 2＋2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ， ∵EF ＝OE ， ∴－n 2＋2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 三点均与原点重合，舍去)，n 2＝2－2， ∴点C 的坐标为(2－2，0)；②当点C 在点A 的右侧时，如解图②所示，EF ＝n 2－3n －(－n )＝n 2－2n ，OE ＝n 2＋（－n ）2＝2n ， ∵EF ＝OE ， ∴n 2－2n ＝2n ，解得n 1＝0(C ，E ，F 均与原点重合，舍去)，n 2＝2＋2， ∴点C 的坐标为(2＋2，0)；综上所述，当EF ＝OE 时，点C 的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)； (3)存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)． 【解法提示】抛物线的解析式为y ＝x 2－3x ＝(x －32)2－94，∴顶点D 的坐标为(32，－94)，设抛物线的对称轴交直线l 于点M ，交x 轴正半轴于点N ，过点D 作DG ⊥OB 于点G ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，如解图③所示，∵直线l 的解析式为y ＝－x ， ∴∠MON ＝45°，∴△ONM 为等腰直角三角形，ON ＝MN ＝32，OM ＝2ON ＝322， ∴DM ＝94－32＝34， 在Rt △DGM 中，∵∠DMG ＝∠NMO ＝45°， ∴Rt △DGM 为等腰直角三角形， ∴MG ＝DG ＝34×22＝328， ∴OG ＝OM ＋MG ＝322＋328＝1528.设点P 的坐标为(c ，c 2－3c )，当点P 在x 轴下方时，如解图③所示，OH ＝c ，HP ＝3c －c 2，第9题解图③∵∠HOP ＝∠BOD ，∴tan ∠HOP ＝tan ∠BOD ， ∴HP OH ＝DGOG ，即3c －c 2c ＝3281528，解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝145， ∴点P 的坐标为(145，－1425)；当点P 在x 轴上方时，如解图④所示，OH ＝c ，HP ＝c 2－3c ，第9题解图④同理可得c 2－3cc ＝3281528，解得c 1＝0(P 点与O 点重合，舍去)，c 2＝165， ∴P 点的坐标为(165，1625)．综上所述，存在点P 使得∠BOD ＝∠AOP ，点P 的坐标为(145，－1425)或(165，1625)．10. 在平面直角坐标系中，直线y ＝12x －2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数y ＝12x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的表达式；(2)如图①，连接DC ，DB ，设△BCD 的面积为S ，求S 的最大值； (3)如图②，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标．．．；若不存在，请说明理由．图① 图②第10题图解：(1)直线y ＝12x －2中，令y ＝0，解得x ＝4， 令x ＝0，解得y ＝－2， ∴点B (4，0)，C (0，－2)，将点B (4，0)，C (0，－2)代入y ＝12x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧8＋4b ＋c ＝0c ＝－2，解得⎩⎨⎧b ＝－32c ＝－2， ∴二次函数的表达式为y ＝12x 2－32x －2；第10题解图①(2)如解图①，过点D 作DE ∥y 轴，交BC 于点E ，设点D 的坐标为(x ，12x 2－32x －2)(－1<x <4)，则点E (x ，12x －2)，∴DE ＝12x －2－(12x 2－32x －2)＝－12x 2＋2x ，∴S ＝S △CDE ＋S △BDE ＝12(－12x 2＋2x )×4＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，S 有最大值，S 的最大值为4；(3)存在，满足条件的点D 的横坐标为2或2911.【解法提示】令y ＝0，则12x 2－32x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4，∴A (－1，0)，∵B (4，0)，C (0，－2)，∴AB 2＝52＝25，AC 2＝12＋(－2)2＝5，BC 2＝42＋22＝20，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，如解图②，取AB 的中点P ，第10题解图②∴P (32，0)，∴P A ＝PC ＝PB ＝52，∴∠CPO ＝2∠ABC ，∴tan ∠CPO ＝OC OP ＝tan2∠ABC ＝43，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点R ，交BC 的延长线于点G ，连接CR ， ①当∠DCM ＝2∠ABC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∵DG ∥x 轴，∴∠DGC ＝∠ABC ，∴∠CDG ＝∠ABC ，∴tan ∠CDG ＝tan ∠ABC ＝OC OB ＝12，即CR DR ＝12，设点D (x ，12x 2－32x －2)，∴DR ＝x ，RC ＝－12x 2＋32x ，∴－12x 2＋32x x ＝12，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴点D 的横坐标为2；②当∠MDC ＝2∠ABC ，∴tan ∠MDC ＝43，设MC ＝4k ，∴DM ＝3k ，DC ＝5k ，∵tan ∠DGC ＝3k MG ＝12，∴MG ＝6k ，∴CG ＝2k ，∴DG ＝35k ，∵∠MGD ＝∠RGC ，∠DMG ＝∠CRG ＝90°， ∴△DMG ∽△CRG ，∴DM CR ＝DG CG ，∴CR ＝255k ，RG ＝2CR ＝455k ，即3k CR ＝35k 2k ，∴DR ＝35k －455k ＝1155k ，∴DR CR ＝1155k 255k ＝x －12x 2＋32x ， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2911， ∴点D 的横坐标为2911，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为2或2911.。

二次函数图像与系数1．（2020福建）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（）A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2D．若y1＝y2，则x1＝x22．（2020广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．（2020贵州黔西南）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x=52，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝AD C．a=−16D．OC•OD＝164．（2020贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（）①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2020黑龙江大兴安岭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2020黑龙江牡丹江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（）①abc＞0；②4a+b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．A．5B．4C．3D．27．（2020黑龙江齐齐哈尔）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x ＝1，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2020湖北荆门）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x ＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2；④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为．9.（2020湖北随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；④当△BCD是直角三角形时，a=−√22．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2020湖南湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．正确的是（）A．①③B．②⑤C．③④D．④⑤11．（2020江苏南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是．12．（2020山东青岛）已知在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y=cx的图象如图所示，则一次函数y=ca x﹣b的图象可能是（）A．B．C．D．13．（2020四川南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜−54或a≥1．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③14．（2020•宜宾）函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（﹣1，n），其中n ＞0．以下结论正确的是（）①abc＞0；②函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在x＝1和x＝﹣2处的函数值相等；③函数y＝kx+1的图象与y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点；④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在﹣3≤x≤3内既有最大值又有最小值．A．①③B．①②③C．①④D．②③④。

2020年中考数学模拟压轴题：二次函数1． 如图1，抛物线c bx x 31y 2++=经过A （，0）、B （0，﹣2）两点，点C 在y 轴上，△ABC 为等边三角形，点D 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0），过点D 作DE ⊥AC 于点E ，以DE 为边作矩形DEGF ，使点F 在x 轴上，点G 在AC 或AC 的延长线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将矩形DEGF 沿GF 所在直线翻折，得矩形D 'E 'GF ，当点D 的对称点D '落在抛物线上时，求此时点D '的坐标；（3）如图2，在x 轴上有一点M （，0），连接BM 、CM ，在点D 的运动过程中，设矩形DEGF 与四边形ABMC 重叠部分的面积为S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．2． 已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．3． 自主学习，请阅读下列解题过程．解一元二次不等式：x 2﹣5x ＞0．解：设x 2﹣5x=0，解得：x 1=0，x 2=5，则抛物线y=x 2﹣5x 与x 轴的交点坐标为（0，0）和（5，0）．画出二次函数y=x 2﹣5x 的大致图象（如图所示），由图象可知：当x ＜0，或x ＞5时函数图象位于x 轴上方，此时y ＞0，即x 2﹣5x ＞0，所以，一元二次不等式x 2﹣5x ＞0的解集为：x ＜0，或x ＞5． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的 和 ．（只填序号）①转化思想 ②分类讨论思想 ③数形结合思想（2）一元二次不等式x 2﹣5x ＜0的解集为 ．（3）用类似的方法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．4．如图，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-12x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，直接写出满足12x+2≥-12x2+bx+c的x的取值范围；（3）设点D为该抛物线上的一点、连接AD，若∠DAC=∠CBO，求点D 的坐标．5．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y2x x与x 轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y 轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？7．如图已知抛物线y=-x2+（1-m）x-m2+12交x轴于点A，交y轴于点B （0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使得△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出点P的坐标．（3）将△ABC沿x轴向右移动t个单位长度（0<t<1）时，平移后△ABC 和△ABO重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系．8．已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．9．已知抛物线234 2y ax x=++的对称轴是直线3x=，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBDC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBDC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当3MN=时，求点M的坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）把A（，0）、B（0，﹣2）代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为．（2）A（，0）、B（0，﹣2），∴OA=，OB=2．∵AD=2t，∠DEA=90°，∠BAC=60°，∴AE=t，DE=t．∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°．∵AO⊥BC，∴∠CAO=∠BAO=30°．∵四边形DEGF为矩形，∴DF∥AC，GF=DE=t，∴∠DFA=∠CAO=30°，∴AF=2GF=t，∴∠DFA=∠BAO=30°，∴DF=AD=2t．过点D′作D′H⊥x轴与点H．∵∠D′FH=∠AFD=30°，∴D′H=D′F=t，FH=D′H=t，∴AH=AF+FH=t，∴OH=AH﹣AO=，∴D′（，t）．把点D′（，t）代入得：．整理得：9t2﹣10t=0，解得t=或t=0（舍去），∴D′（，）．（3）由（2）可知：DE =t ，DF =2t ，AE =t ．如图2所示：当AE +EG ≤AC 时，即t +2t ≤4，解得：t ≤．∴当0＜t ≤时，S =ED •DF =．当＜t ≤2时，如图3所示：∵CG =AG ﹣AC ，∴CG =3t ﹣4，∴GN =，∴S =ED •DF ﹣CG •GN =﹣（3t ﹣4）×（3t ﹣4）=．综上所述，S 与t 的函数关系式为．2． （1）二次函数表达式为：()219y a x =-+，将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-，故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①，则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -， ∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5），故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ，即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4，故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，解得：1s =±，故点()12P +或()12；综上，点()6,16P -或()4,16--或()12+或()12． 3．【答案】（1）①，③（2）0＜x ＜5（3）x ＜﹣1，或x ＞3． 4． （1）由y =12x +2可得： 当x =0时，y =2；当y =0时，x =-4， ∴A （-4，0），B （0，2），把A 、B 的坐标代入y =-12x 2+bx +c 得：322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：213222y x x =--+． （2）当x ≥0或x ≤-4时，12x +2≥-12x 2+bx +c ， （3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，由213222y x x =-+，令y =0， 解得：x 1=1，x 2=-4， ∴CO =1，AO =4， 设点D 的坐标为（m ，213222m m --+）， ∵∠DAC =∠CBO ， ∴tan ∠DAC =tan ∠CBO ，∴在Rt △ADE 和Rt △BOC 中有DE COAE BO =， 当D 在x 轴上方时，213212242--+=+m m m ， 解得：m 1=0，m 2=-4（不合题意，舍去）， ∴点D 的坐标为（0，2）．当D 在x 轴下方时，213(2)12242---+=+m m m ， 解得：m 1=2，m 2=-4（不合题意，舍去）， ∴点D 的坐标为（2，-3），故满足条件的D 点坐标为（0，2）或（2，-3）． 5． （1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ∴在Rt △COE 中，OE===3，设AD=m，则DE=BD=4﹣m，∵OE=3，∴AE=5﹣3=2，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m=，∴D（﹣，﹣5），∵C（﹣4，0），O（0，0），∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），∴﹣5=﹣a（﹣+4），解得a=，∴抛物线解析式为y=x（x+4）=x2+x；（2）∵CP=2t，∴BP=5﹣2t，∵BD=，DE==，∴BD=DE，在Rt△DBP和Rt△DEQ中，，∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），∴BP=EQ，∴5﹣2t=t，∴t=；①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，则线段EN的中点横坐标为=﹣1，线段CM中点横坐标为，∵EN，CM互相平分，∴=﹣1，解得m=2，又M点在抛物线上，∴y=×22+×2=16，∴M（2，16）；②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为=﹣3，∵EM，CN互相平分，∴=﹣3，解得m=﹣6，又∵M点在抛物线上，∴y=×（﹣6）2+×（﹣6）=16，∴M（﹣6，16）；③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．6．（12x x+=0，解得x1=1，x2=–7．∴A（1，0），B（–7，0）．由y2x x-23)x+-得，D（–3，–）；（2）∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF=∠DD1F=90°，∵∠D1FD=∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴11D D COFD OF=，∵D（–3，–），∴D1D OD=3，∵AC=CF，CO⊥AF，∴OF=OA=1，∴D 1F =D 1O –OF =3–1=21OC=， ∴OCCA =CF =FA =2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC =∠ACF ， ∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ， ∴∠ECF =∠AFC =60°，∴EC ∥BF ， ∵EC =DC=6， ∵BF =6，∴EC =BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形； （3）∵点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点（x2x x +-）， ①当点P 在B 点的左侧时， ∵△PAM 与△DD 1A 相似， ∴11DD D A PM MA =或11DD D AAM PM=，41x =-=，解得：x 1=1（不合题意舍去），x 2=–11或x 1=1（不合题意舍去）x 2=–373； 当点P 在A 点的右侧时，∵△PAM 与△DD 1A 相似，∴11DD PM AM D A =或11D APM MA DD =，==，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=11DDD A或PMMA=11D ADD，==，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53；综上所述，点P的横坐标为–11或–373或–53；②由①得，这样的点P共有3个．7．（1）∵抛物线y=-x2+（1-m）x-m2+12交y轴于点B（0，3），∴-m2+12=3，∴m=±3．又∵抛物线的顶点C位于第二象限，∴-11m-<-，∴m>1，∴m=3，∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．（2）过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，如图1所示．当y=0时，-x2-2x+3=0，解得：x1=-3，x2=1，∴点A的坐标为（-3，0）．∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴点C的坐标为（-1，4），点D的坐标为（-1，0），∴S△ABC=S△ACD+S梯形CDOB-S△AOB=12AD·CD+12（OB+CD）·OD-12OA·OB=1 2×2×4+12×（3+4）×1-12×3×3=3．∵S△PAB=S△ABC，∴12AP·OB=3，∴AP=2，∴点P的坐标为（-1，0）或（-5，0）．（3）设△ABC平移后得到△A′B′C′，A′B′与y轴交于点M，A′C′交AB于点N，如图2所示．设线段AB 所在直线的解析式为y =kx +b （k ≠0）， 将A （-3，0），B （0，3）代入y =kx +b ，得：303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得13k b =⎧⎨=⎩， ∴线段AB 所在直线的解析式为y =x +3．同理，可得出线段AC 所在直线的解析式为y =2x +6．∵将△ABC 沿x 轴向右移动t 个单位长度（0<t <1）得到△A ′B ′C ′， ∴点A ′的坐标为（t -3，0），线段A ′B ′所在直线的解析式为y =x +3-t （0<t <1），线段A ′C ′所在直线的解析式为y =2x +6-2t （0<t <1）． 当x =0时，y =x +3-t =3-t ，∴点M 的坐标为（0，3-t ）． 将y =x +3代入y =2x +6-2t ，整理，得：x +3-2t =0， 解得：x =2t -3，∴点N 的坐标为（2t -3，2t ）， ∴S =S △AOB -S △AA ′N -S △AA ′M =12OA ·OB -12AA ′·y A ′-12OA ′·OM =12×3×3-12t ·2t -12（3-t ）·（3-t ）= -32t 2+3t ． ∴S 与t 之间的函数关系式为S =-32t 2+3t （0<t <1）． 8． （1）∵y =mx 2-2mx -3=m （x -1）2-m -3，抛物线有最低点，∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3．（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），∴x=m+1，y=-m-3，∴x+y=m+1-m-3=-2，即x+y=-2，变形得y=-x-2，∵m>0，m=x-1，∴x-1>0，∴x>1，∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x>1）．（3）法一：如图，函数H：y=-x-2（x>1）图象为射线，x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，∴函数H的图象恒过点B（2，-4），∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3，∴抛物线G恒过点A（2，-3），由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B<y P<y A，∴点P纵坐标的取值范围为-4<y P<-3．法二：2223y x y mx mx =--⎧⎨=--⎩， 整理的：m （x 2-2x ）=1-x ，∵x >1，且x =2时，方程为0=-1不成立， ∴x ≠2，即x 2-2x =x （x -2）≠0， ∴m 1(2)xx x -=>-0，∵x >1， ∴1-x <0， ∴x （x -2）<0， ∴x -2<0， ∴x <2，即1<x <2， ∵y P =-x -2， ∴-4<y P <-3，9.（1）Q 抛物线的对称轴是直线3x =，3232a∴-=，解得14a =-， ∴∴抛物线的解析式为：213442y x x =-++．当0y =时，2134042x x -++=，解得12x =-，28x =，∴点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0．答：抛物线的解析式为：213442y x x =-++；点A 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()8,0． （2）当0x =时，2134442y x x =-++=，∴点C 的坐标为()0,4． 设直线BC 的解析式为(0)y kx b k =+≠，将()8,0B ，()0,4C 代入y kx b =+得804k b b +==⎧⎨⎩，解得124k b =-=⎧⎪⎨⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为142y x =-+．假设存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大， 设点P 的坐标为213,442x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，如图所示，过点P 作PD y ∥轴，交直线BC 于点D ，则点D 的坐标为1,42x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 则2213114424224PD x x x x x ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， BOC PBC PBOC S S S ∆∆∴=+四边形1184?22PD OB =⨯⨯+ 211168224x x ⎛⎫=+⨯-+ ⎪⎝⎭2816x x =-++2(4)32x =--+∴当4x =时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是3208x <<Q ，∴存在点()4,6P ，使得四边形PBOC 的面积最大．答：存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大；点P 的坐标为()4,6，四边形PBOC 面积的最大值为32．（3）设点M 的坐标为213,442m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为1,42m m ⎛⎫-+⎪⎝⎭， 2213114424224MN m m m m m ⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，又3MN =Q ，21234m m ∴-+=，当08m <<时，212304m m -+-=，解得12m =，26m =， ∴点M 的坐标为()2,6或()6,4；当0m <或8m >时，212304m m -++=，解得34m =-44m =+∴点M 的坐标为()41--或()41+-．答：点M 的坐标为()2,6、()6,4、()41--或()41+-．10.（1）设直线AB 的函数解析式为y=kx+b ，把A （﹣8，0），B （0，﹣6）代入得，解得，所以直线AB 的解析式为y=﹣x ﹣6；（2）在Rt △AOB 中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB 为⊙M 的直径，∴点M 为AB 的中点，M （﹣4，﹣3），∵MC ∥y 轴，MC=5，∴C （﹣4，2）， 设抛物线的解析式为y=a （x+4）2+2， 把B （0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）2+2，即y=﹣x 2﹣4x ﹣6；（3）存在． 当y=0时，﹣（x+4）2+2=0，解得x 1=﹣2，x 2=﹣4，∴D （﹣6，0），E （﹣2，0）， S △ABC =S △ACM +S △BCM =8CM=20，设P（t，﹣t2﹣4t﹣6），∵S△PDE=S△ABC，∴（﹣2+6）|﹣t2﹣4t﹣6|=20，综上所述，P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，0）或（﹣4+，﹣1）或（﹣4﹣，0）时，使得S△PDE=S△ABC．。

（二次函数）二次函数30道中考动点压轴题和函数压轴题1如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是，请说明理由；（2）如图2，已知D（12-，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A ﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？2如图，在平面直角坐标系中，直线1y=x+12与抛物线2y=ax+bx3-交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。

点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D（1）求a，b及sin ACP∠的值（2）设点P的横坐标为m①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.3．已知直线y＝kx＋3（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．（1）当k＝－1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）．①直接写出t＝1秒时C、Q两点的坐标；②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值．（2）当k ＝－34时，设以C 为顶点的抛物线y ＝(x ＋m)2＋n 与直线AB 的另一交点为D （如图2）．① 求CD 的长；② 设△COD 的OC 边上的高为h ，当t 为何值时，h 的值最大？4．已知二次函数的图象经过A （2，0）、C （0，12）两点，与x 轴的另一交点为点B ，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点D ．（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，在直线y ＝2x 上是否存在点E ，使四边形ODBE 为等腰梯形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点P 是线段OD 上的一个动点（不与O 、D 重合），以每秒 2 个单位长度的速度由点D 向点O 运动，过点P 作直线PQ ∥x 轴，交BD 于点Q ，将△DPQ 沿直线PQ 对折，得到△D 1PQ ．在点P 运动的过程中，设△D 1PQ 与梯形OPQB 的重叠部分的面积为S ，运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．5．A 、C 上，抛物线y ＝－2 3）． （1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 由点A 出发，沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发，沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S ＝PQ2（cm 2）．①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行图1图2图2 图1四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．6．在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，以O 点为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图1），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存在这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．7．已知二次函数y ＝ax2＋bx －2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等． （1）求实数a 、b 的值；（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒 5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．①当t 为何值时，线段DF 平分△ABC 的面积？②是否存在某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．③设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）如图2，点P 在二次函数图象上运动，点Q 在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC 能否成为以PQ 为底的等腰梯形？如果能，直接写出P 、Q 两点的坐标；如果不能，请说明理由．8．如图，直线y＝－43x＋4与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A（－1，0）、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）设二次函数图象的顶点为D，求四边形OCDB的面积；（3）若动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒32个单位长度的速度沿折线OBC按O→B→C的路线运动，点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动，当E、F两点相遇时，整个运动随之结束．设运动时间为t（秒），△OEF的面积为S（平方单位）．①在E、F两点运动过程中，是否存在EF∥OC？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．9．已知抛物线y＝4，0）点B作BC∥x轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．（1）求抛物线的解析式；（2）记△EF A的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EF A的形状；（3）是否存在这样的t值，使△EF A、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C 点．（1）求抛物线的解析式；（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M 到达原点时，点Q 立刻掉头并以每秒32个单位长度的速度向点B 方向移动，当点M 到达抛物线的对称轴时，两点停止运动．过点M 的直线l ⊥x 轴交AC 或BC 于点P ．求点M 的运动时间t 与△APQ 面积S 的函数关系式，并求出S 的最大值．11．如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线经过点A （－3，0）和点C （0，3），与x 轴的另一交点为B ．点P 、Q 同时从B 点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA 、BC 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）． （1）求抛物线的解析式；（2）连接PQ ，将△BPQ 沿PQ 翻折，所得的△B ′PQ 与△ABC 重叠部分的面积记为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求S 的最大值； （3）若点D 的坐标为（－4，3），当点B ′ 恰好落在抛物线上时，在抛物线的对称轴时是否存在点M ，使四边形MADB ′的周长最小，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋152（a ≠0）经过A （－3，0）、C （5，0）两点，点B 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求此抛物线的解析式；（2）动点P 从点B 出发，沿线段BD 向终点D 作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t s ，过点P 作PM ⊥BD 交BC 于点M ，过点M 作MN ∥BD ，交抛物线于点N ． ①当t 为何值时，线段MN 最长；②在点P 运动的过程中，是否有某一时刻，使得以O 、P 、形？若存在，求出此刻的t 值；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y ＝－x2－2x ＋3与x 轴相交于点A 、B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求线段AC 所在直线的解析式；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一点，且S △MAC＝12S △MAB，求点M 的坐标； （3）点P 以每秒1个单位长度的速度，沿线段BA 由B 向A 运动，同时，点Q 以每秒2个单位长度的速度，从A 开始沿射线AC 运动，当P 到达A 时，整个运动随即结束．设运动的时间为t 秒．①求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式，并求当t 为何值时，△APQ 的面积最大，最大面积是多少？②在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线BC 相切？若能，请直接写出相应的t 值；若不能，请说明理由；③直接写出线段PQ 的中点在整个运动过程中所经过路径的长．14．如图，二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3，与x 轴交于A 、B 两点． ⑴求c 的值；⑵如图①，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段BD 被直线AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式； ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P 、Q ，使△AQP ≌△ABP ？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由．（图②供选用）15．（2010福建福州）如图，在△ABC 中，∠C ＝45°，BC ＝10，高AD ＝8，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H ． （1）求证：AH AD ＝EFBC；（2）设EF ＝x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动)，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．16．（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y ＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝16x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由17．（2010江苏无锡）如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=设直线AC 与直线x =4交于点E ．（1）求以直线x =4为对称轴，且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E ；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ，M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值．(第2题)(图1) (图2)18．（2010湖南邵阳）如图，抛物线y ＝2134x x -++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴交于点F 。

2020年中考二次函数（图像）压轴题1．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为C（3，6），并与y轴交于点B（0，3），点A是对称轴与x轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求△ABP 的面积的最大值；（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作∠ACD＝30°交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使∠CQD＝60°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S△PBD＝3，请求出点P的坐标．（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．3．如图1，抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）与x轴交于C，D两点（点C在点D的左边），与y轴负半轴交于点A．（1）若△ACD的面积为16．①求抛物线解析式；②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P，将线段SC，SP绕点S顺时针旋转任意相同的角到SC1，SP1的位置，使点C，P的对应点C1，P1都在x轴上方，C1C与P1S交于点M，P1P与x轴交于点N．求的最大值；（2）如图2，直线y＝x﹣12a与x轴交于点B，点M在抛物线上，且满足∠MAB＝75°的点M有且只有两个，求a的取值范围．4.已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3，顶点为M．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴的垂线PQ，垂足为Q，若OQ＝m，四边形ACPQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N 的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C 三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A 出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O 出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．（1）填空：b＝，c＝；（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标．7．已知，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）与x轴交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1，D为抛物线的顶点，点E在y轴C点的上方，且CE＝．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△ACP＝S△ACD，求点P的坐标；（4）在坐标轴上找一点M，使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数a≠0）与x轴，y轴分别交于A，B，C三点，已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），动点E从抛物线的顶点D出发沿线段DB向终点B运动．（1）直接写出抛物线解析式和顶点D的坐标；（2）过点E作EF⊥y轴于点F，交抛物线对称轴左侧的部分于点G，交直线BC于点H，过点H作HP⊥x轴于点P，连接PF，求当线段PF最短时G点的坐标；（3）在点E运动的同时，另一个动点Q从点B出发沿直线x＝3向上运动，点E的速度为每秒个单位长度，点Q速度均为每秒1个单位长度，当点E到达终点B时点Q也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒，试问存在几个t值能使△BEQ为等腰三角形？并直接写出相应t值．9.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点M的坐标为（﹣1，﹣4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）填空：b＝，c＝，直线AC的解析式为；（2）直线x＝t与x轴相交于点H．①当t＝﹣3时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD＝∠MAN，求出此时点D的坐标；②当﹣3＜t＜﹣1时（如图2），直线x＝t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为，求此时t的值．10.如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．①求证：△AOC∽△DCB；②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接P A，PC．求△P AC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．（1）求b、c的值；（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．14．如图，直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．15．已知抛物线y＝x2+bx+6经过A（2，0），设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y＝x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．16．如图1，抛物线y＝﹣x2+与直线l1：y＝﹣x﹣3交于点A，点A的横坐标为﹣1，直线l1与x轴的交点为D，将直线l1向上平移后得到直线l2，直线l2刚好经过抛物线与x 轴正半轴的交点B和与y轴的交点C．（1）直接写出点A和点D的坐标，并求出点B的坐标；（2）若点M是抛物线第一象限内的一个动点，连接DM，交直线l2于点N，连接AM和AN．设△AMN的面积为S，当S取得最大值时，求出此时点M的坐标及S的最大值；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿射线OB运动；同时，动点Q以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿射线CB运动，设运动时间为t（t ＞0）．过P点作PH⊥x轴，交抛物线于点H，当点P、Q、H所组成的三角形是直角三角形时，直接写出t的值．17.已知二次函数y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k＝时，求这个二次函数的顶点坐标；（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0有两个不相等的实数根；（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且OP＝1，直线AP交BC于点Q，求证：．18．如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx ﹣3与x轴的另一个交点为点B（2，0），点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；（3）连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．19．已知直线y＝2x﹣5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c的顶点M 在直线AB上，且抛物线与直线AB的另一个交点为N．（1）如图，当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；（3）抛物线y＝﹣x2+bx+c在直线AB上平移，是否存在点M，使得△OMN与△AOB相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，△OP A是直角三角形？（3）若同时有一动点M从点A出发，以2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M 其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．21．如图，已知抛物线y＝ax2+x+c的图象经过点A（0，﹣2），B（﹣4，0）两点，并与x轴正半轴交于点C，（1）求抛物线的解析式，（2）如图1，E（0，4），直线BD：y＝﹣x﹣2经过点B，与y轴负半轴交于点D，点Q从点E开始向y轴负半轴运动，当点Q运动到某一个位置时满足∠OBQ+∠OBD＝30°，求此时点Q坐标；（3）如图2，点P为x轴上线段BC上的一个动点，连接AP，K为AP上的一点（不与A，P重合），过点K作MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，点G为MN中点，四边形PMAN的面积为8，求AG的最大值．22.已知：如图，二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点D，点C是二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象的顶点，CD＝．（1）求a的值．（2）点M在二次函数y＝a（x+1）2﹣4图象的对称轴上，且∠AMC＝∠BDO，求点M 的坐标．（3）将二次函数y＝a（x+1）2﹣4的图象向下平移k（k＞0）个单位，平移后的图象与直线CD分别交于E、F两点（点F在点E左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C1，与y轴的交点为D1，是否存在实数k，使得CF⊥FC1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．24.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．25．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D 的坐标为（4，0），连接AD，BC，点F从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC方向运动，到达点C后停止运动：点M同时从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当点F停止时点M也停止运动．设点F的运动时间为t秒，过点F作AB 的垂线EF交直线AB于点E，交AD于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）以线段EH为斜边向右作等腰直角△EHG，当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；（3）设△EFM与四边形ADCB重合时的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围．26．已知抛物线，顶点为A，且经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM＝∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）∠AOB的大小是；（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．28．抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于B，与x轴交于点D、A，点A在点D的右边，顶点为F，C（0，1）（1）直接写出点B、A、F的坐标；（2）设Q在该抛物线上，且S△BAF＝S△BAQ，求点Q的坐标；（3）对大于1常数m，在x轴上是否存在点M，使得sin∠BMC＝？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由？29.如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y＝x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y ＝x2+bx+c交于第四象限的F点．（1）求该抛物线解析式与F点坐标；（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．30.如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、点B（4，0），与y轴交于点C；直线y＝﹣x+4经过点C，与x轴交于点D，点P是第一象限内抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠PCB＝∠DCB，求△PCD的面积；（3）如图2，过点C作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△CPH绕点C顺时针旋转，使点H的对应点H′恰好落在直线CD上，同时使点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．31．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．（1）如图1，求抛物线的顶点坐标；（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P 的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．32．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．33.抛物线y＝a（x+2）2+c与x轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C，已知点A（﹣1，0），OB＝OC．（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线与直线y＝﹣x﹣4的交点称为抛物线的不动点，若将此抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点；（3）Q为直线y＝﹣x﹣4上一点，在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB ＝2∠AQB，且这样的Q点有且只有一个？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．3．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．4.（2013•菏泽）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴的交点，点B在二次函数的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，有PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？解：（1）由y=﹣x+3，令x=0，得y=3，所以点A（0，3）；令y=0，得x=4，所以点C（4，0），∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴B点坐标为（﹣4，0），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴D点坐标为（8，3），将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y=x2+bx+c，可得，解得：，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．（2）①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，∵PQ⊥AC，∴△APQ∽△CAO，∴=，即=，解得：t=．即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．②∵S四边形PDCQ+S△APQ=S△ACD，且S△ACD=×8×3=12，∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP=t，CQ=t，AQ=5﹣t，设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，由△AQH∽CAO可得：=，解得：h=（5﹣t），∴S△APQ=t×（5﹣t）=（﹣t2+5t）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S△APQ达到最大值，此时S四边形PDCQ=12﹣=，故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．等腰三角形类10. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。

•2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题1．（2020•九江一模）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A 在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．特例感悟：（1）已知：a=-2，b=4，c=6．①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=，|a|•AE•BF=．②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=，|a|•AE•BF=．③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=，|a|•AE•BF=．猜想论证：（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C 不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．•2．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．••3．（2020•硚口区模拟）抛物线C：y=ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且AB=4OC．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图1，点M在y轴左侧的抛物线C上，将点M先向右平移4个单位长度，再向下平移n（n≥0）个单位长度，得到的对应点N恰好落在抛物线C上．若S△MNC=2，求点M的坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C1，一次函数y=kx+b的图象l 与抛物线C1只有一个公共点E，与x轴交于点F，探究：y轴上是否存在定点G满足∠EGF=90°？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．••4．（2020•梁园区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，-4）．点P是抛物线上一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B 为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．••5．（2020•广州模拟）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3=0．（1）求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；（2）若抛物线y=ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；（3）在（2）的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．••6．（2020•清江浦区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC、BC、DB、DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积时，求m的值；（3）当m=3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．••7．（2020•历下区校级模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．••的值；（3）延长AE，BD相交于点F，求证：四边形ECDF是平行四边形．••9．（2020•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx-1经过点A （-2，1）和点B（-1，-1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．••10．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线交x轴于A（-2，0），B（3，0），交y轴于C（0，4）．（1）求抛物线解析式；（2）点D在第一象限的抛物线上，△ACD与△BDO的面积比为2：3，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在点C与D之间的抛物线上取点E，EF∥AD交AC于F，EH⊥EF交x轴于G、交FB延长线于H，当EF+HG=EG时，求点E的坐标．二次函数综合大题练习211．（2020•浙江自主招生）如图①，抛物线y=-x2+（m-2）x+3与y轴交于点C，与直线y=mx交于A，B两点（点A，B分别在第一，三象限），连结AC．（1）当AC⊥AB时，求m的值；（2）如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO=∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．••• •（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．••14．（2020•浙江自主招生）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连结OP并延长交抛物线于点B，连结AO、AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是（请在横线上直接写出答案即可）．••C．二次函数y=x2+2径为r．②若n=4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．••16．（2020•浙江自主招生）若二次函数y=x2-（2b+2）x+b2+2b的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y=ax+2（a+1）的图象恒过定点C．（1）求点C的坐标及|AB|的值；（2）若△ABC为等腰三角形，求b的值．••轴交于点P．（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b是，请求出定值；若不是，说明理由．18．（2020•长春模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x≥a时，取顶点在x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对伴随抛物线．例如：抛物线y=（x+1）2（x≤0）与抛物线y=（x-1）2（x≥0）就是关于直线x=0（y轴）的一对伴随抛物线．（1）求抛物线y=（x+1）2+3（x≤1.5）关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．（2）设抛物线y=mx2-2m2x+2（m≠0，m≠4）交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为（8，2）、（8，0），直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．••19．（2020•青山区模拟）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y 轴交于点C．20．（1）如图1，已知A（-1，0），B（3，0）．21．①直接写出抛物线的解析式；22．②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；23．（2）如图2，直线y=-1与抛物线y=-x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．24．①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；25．②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？•••二次函数综合大题练习321．（2020•兴化市模拟）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y=kx-k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．••交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连••23．（2020春•雨花区校级月考）若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y=ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y=x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求m的最大值．••24．（2020春•沈河区校级月考）已知抛物线y=x2+bx+c，经过点B（-4，0）和点A（1，0），与y轴交于点C．（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，抛物线上存在一点E，使△ACE是以AC为直角边的直角三角形，求出所有满足条件的点E坐标；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在点的N左侧），分别过点M，N作PM∥x直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的表达式．••25．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图顶点，交y轴于点D．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA=∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．•与x轴相交于B，C两点，且B点坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；（3）抛物线与y轴交于点Q，连接BQ，DQ，在抛物线上有一个动点P，且S△PBD=S△BDQ，求满足条件的点P的横坐标．•27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知抛物线y=ax2-3ax+m与x轴交于A（-1，0）、B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S△ABC=5．（1）求此抛物线的对称轴和解析式；（2）点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，在直线BC上找一点Q，使QA+QD最小，求QA+QD 的最小值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC=180°？若存在，请你求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．••28．（2020•长春模拟）定义：在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“孪生函数”．29．例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于点（0，1）的“孪生函数”的图象如图②所示，且它的“孪生函数”的解析式为()()⎩⎨⎧<+-≥+=11xxxxy.（1）直接写出函数y=x+1关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标．（3）点M是函数G：y=-x2+4x-3的图象上的一点，设点M的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“孪生函数”．①当m=1时，若函数值y的范围是-1≤y＜1，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1）为顶点的正方形ABCD 与函数G′的图象只有两个公共点时，m的取值范围．••29．（2020•江岸区校级模拟）如图，已知直线AB：y=x-3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y=x2-2x-m与y轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若∠BCD=∠BEC，求m值；（3）连接OD，若OD=CE，求m值．••30．（2020•福建模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，（1）求a、b满足的关系式；①求抛物线的解析式；②点M是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，线段MN 上有一点H，若∠HBA+∠MAB=90°，求证：HN的长为定值．•••二次函数综合大题练习431．（2020•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系x O y中，将抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+1相交于点A（0，1）和点B（3，-2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．••32．（2020•河南模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；•33．（2020春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=ax2-4ax+c的图象经过点A（0，-4）．（1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式．（2）已知点B（1，-4a），点C在直线AB上，且点C的横坐标为4，请直接写出点C的纵坐标（用含a的式子表示）．（3）在（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围．••34．（2020春•沙坪坝区校级月考）阅读下面材料，回答问题材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”；（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；••35．（2020春•武邑县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x=1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．••36．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B 两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，过点A的直线y=ax+a交y正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y 轴交AD于E，求证：AF=DE．（3）如图2，直线DE：y=kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF=FE．若a=1，求点F坐标．••37．（2020•荔城区校级模拟）已知抛物线y=x2-2mx+m2-3（m是常数）（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点．（2）设抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别为B、D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．①若点P为△ABD的外心，求点P的坐标（用含m的式子表示）；请说明理由．••A（0，2），与x轴交于B（-3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ=OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．••39．（2020•蜀山区校级模拟）如图1，抛物线y =x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y =x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若ABC PAB S S ∆∆=2，求点P 的坐标；（3）如图2，若点M 是位于直线AB 下方抛物线上一动点，以MA 、MB 为邻边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，请直接写出平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标．••40．（2020•山西模拟）综合与探究连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）连接OD，CD，求△OCD周长的最小值；（3）在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．•。

•2020年九年级数学典型中考压轴题训练：二次函数综合大题1．（2020•九江一模）在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y=ax2+bx+c交于A，B（点A 在点B的左侧）两点，点C是该抛物线上任意一点，过C点作平行于y轴的直线交AB于D，分别过点A，B作直线CD的垂线，垂足分别为点E，F．特例感悟：（1）已知：a=-2，b=4，c=6．①如图①，当点C的横坐标为2，直线AB与x轴重合时，CD=，|a|•AE•BF=．②如图②，当点C的横坐标为1，直线AB∥x轴且过抛物线与y轴的交点时，CD=，|a|•AE•BF=．③如图③，当点C的横坐标为2，直线AB的解析式为y=x-3时，CD=，|a|•AE•BF=．猜想论证：（2）由（1）中三种情况的结果，请你猜想在一般情况下CD与|a|•AE•BF之间的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用．（3）若a=-1，点A，B的横坐标分别为-4，2，点C在直线AB的上方的抛物线上运动（点C 不与点A，B重合），在点C的运动过程中，利用（2）中的结论求出△ACB的最大面积．•2．（2020•佛山模拟）如图①，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（1，0），点P为第一象限内抛物线上的一点，求四边形BDCP面积的最大值；（3）如图②，动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，到达点B时停止运动，且不与点O、B重合．设运动时间为t秒，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q，连接OQ，是否存在t值，使得△BOQ为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．••3．（2020•硚口区模拟）抛物线C：y=ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），且AB=4OC．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图1，点M在y轴左侧的抛物线C上，将点M先向右平移4个单位长度，再向下平移n（n≥0）个单位长度，得到的对应点N恰好落在抛物线C上．若S△MNC=2，求点M的坐标；（3）如图2，将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C1，一次函数y=kx+b的图象l 与抛物线C1只有一个公共点E，与x轴交于点F，探究：y轴上是否存在定点G满足∠EGF=90°？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．••4．（2020•梁园区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A（4，0）、B（5，5）三点，直线l交抛物线于点B，交y轴于点C（0，-4）．点P是抛物线上一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P关于直线OB的对称点恰好落在直线l上，求点P的坐标；（3）M是线段OB上的一个动点，过点M作直线MN⊥x轴，交抛物线于点N．当以M、N、B 为顶点的三角形与△OBC相似时，直接写出点N的坐标．••5．（2020•广州模拟）已知关于x的方程ax2+（3a+1）x+3=0．（1）求证：无论a取任何实数时，该方程总有实数根；（2）若抛物线y=ax2+（3a+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且a为正整数，求a值以及此时抛物线的顶点H的坐标；（3）在（2）的条件下，直线y=-x+5与y轴交于点C，与直线OH交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，请直接写出它的顶点横坐标h的值或取值范围．••6．（2020•清江浦区一模）如图，抛物线y=ax2+bx+6经过点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC、BC、DB、DC．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积时，求m的值；（3）当m=3时，若点M是x轴正半轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．••7．（2020•历下区校级模拟）如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．••的值；（3）延长AE，BD相交于点F，求证：四边形ECDF是平行四边形．••9．（2020•青羊区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx-1经过点A （-2，1）和点B（-1，-1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．••10．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线交x轴于A（-2，0），B（3，0），交y轴于C（0，4）．（1）求抛物线解析式；（2）点D在第一象限的抛物线上，△ACD与△BDO的面积比为2：3，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在点C与D之间的抛物线上取点E，EF∥AD交AC于F，EH⊥EF交x轴于G、交FB延长线于H，当EF+HG=EG时，求点E的坐标．二次函数综合大题练习211．（2020•浙江自主招生）如图①，抛物线y=-x2+（m-2）x+3与y轴交于点C，与直线y=mx交于A，B两点（点A，B分别在第一，三象限），连结AC．（1）当AC⊥AB时，求m的值；（2）如图②，D是y轴负半轴上一点，且满足∠BDO=∠ACO，连结DA，DB，CB，求四边形DACB的面积．••• •（1）求直线AC的解析式（用含m的式子表示）．••14．（2020•浙江自主招生）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴为直线x=2．动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t秒．连结OP并延长交抛物线于点B，连结AO、AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当A，O，B三点构成以OB为斜边的直角三角形时，求t的值；（3）请你探究：当4≤t≤5时，在点P运动过程中，△AOB的外接圆圆心M所经过的路线长度是（请在横线上直接写出答案即可）．••C．二次函数y=x2+2径为r．②若n=4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．••16．（2020•浙江自主招生）若二次函数y=x2-（2b+2）x+b2+2b的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y=ax+2（a+1）的图象恒过定点C．（1）求点C的坐标及|AB|的值；（2）若△ABC为等腰三角形，求b的值．••轴交于点P．（3）点M是抛物线上的动点，过点M作MG∥y轴交直线l于点G，当k=2时，求证：不论b是，请求出定值；若不是，说明理由．18．（2020•长春模拟）定义：如图，若两条抛物线关于直线x=a成轴对称，当x≤a时，取顶点x=a左侧的抛物线的部分；当x≥a时，取顶点在x=a右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x=a的一对伴随抛物线．例如：抛物线y=（x+1）2（x≤0）与抛物线y=（x-1）2（x≥0）就是关于直线x=0（y轴）的一对伴随抛物线．（1）求抛物线y=（x+1）2+3（x≤1.5）关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．（2）设抛物线y=mx2-2m2x+2（m≠0，m≠4）交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为（8，2）、（8，0），直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．••19．（2020•青山区模拟）抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y 轴交于点C．20．（1）如图1，已知A（-1，0），B（3，0）．21．①直接写出抛物线的解析式；22．②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐标；23．（2）如图2，直线y=-1与抛物线y=-x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．24．①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；25．②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？•••二次函数综合大题练习321．（2020•兴化市模拟）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b，c的值：（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y=kx-k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．••交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连••23．（2020春•雨花区校级月考）若抛物线与x轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”．顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C2：y=ax2+2x+c为“等边抛物线”，求ac的值；（3）对于“等边抛物线”C3：y=x2+bx+c，当1＜x＜m时，二次函数C3的图象落在一次函数y=x图象的下方，求m的最大值．••24．（2020春•沈河区校级月考）已知抛物线y=x2+bx+c，经过点B（-4，0）和点A（1，0），与y轴交于点C．（1）确定抛物线的表达式，并求出C点坐标；（2）如图1，抛物线上存在一点E，使△ACE是以AC为直角边的直角三角形，求出所有满足条件的点E坐标；（3）如图2，M，N是抛物线上的两动点（点M在点的N左侧），分别过点M，N作PM∥x直角边长成二倍关系时，请直接写出直线MN的表达式．••25．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图顶点，交y轴于点D．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上一动点，若∠PBA=∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的面积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上一点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正方形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．•与x轴相交于B，C两点，且B点坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；（3）抛物线与y轴交于点Q，连接BQ，DQ，在抛物线上有一个动点P，且S△PBD=S△BDQ，求满足条件的点P的横坐标．•27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知抛物线y=ax2-3ax+m与x轴交于A（-1，0）、B（x2，0）两点，与y轴正半轴交于点C，且满足S△ABC=5．（1）求此抛物线的对称轴和解析式；（2）点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，在直线BC上找一点Q，使QA+QD最小，求QA+QD 的最小值；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使得∠PCA+∠ABC=180°？若存在，请你求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．••28．（2020•长春模拟）定义：在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“孪生函数”．29．例如：图①是函数y=x+1的图象，则它关于点（0，1）的“孪生函数”的图象如图②所示，且它的“孪生函数”的解析式为()()⎩⎨⎧<+-≥+=11xxxxy.（1）直接写出函数y=x+1关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标．（3）点M是函数G：y=-x2+4x-3的图象上的一点，设点M的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“孪生函数”．①当m=1时，若函数值y的范围是-1≤y＜1，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点A（1，1）、B（-1，1）、C（-1，-1）、D（1，-1）为顶点的正方形ABCD 与函数G′的图象只有两个公共点时，m的取值范围．••29．（2020•江岸区校级模拟）如图，已知直线AB：y=x-3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y=x2-2x-m与y轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若∠BCD=∠BEC，求m值；（3）连接OD，若OD=CE，求m值．••30．（2020•福建模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（-2，0）和点B，（1）求a、b满足的关系式；①求抛物线的解析式；②点M是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，线段MN 上有一点H，若∠HBA+∠MAB=90°，求证：HN的长为定值．•••二次函数综合大题练习431．（2020•武侯区校级模拟）如图，在平面直角坐标系x O y中，将抛物线y=-x2+bx+c与直线y=-x+1相交于点A（0，1）和点B（3，-2），交x轴于点C，顶点为点F，点D是该抛物线上一点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点D在直线AB上方的抛物线上，求△DAB的面积最大时点D的坐标；（3）如图2，若点D在对称轴左侧的抛物线上，且点E（1，t）是射线CF上一点，当以C、B、D为顶点的三角形与△CAE相似时，求所有满足条件的t的值．••32．（2020•河南模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；•33．（2020春•海淀区校级月考）在平面直角坐标系x O y中，抛物线y=ax2-4ax+c的图象经过点A（0，-4）．（1）请直接写出抛物线的对称轴的表达式．（2）已知点B（1，-4a），点C在直线AB上，且点C的横坐标为4，请直接写出点C的纵坐标（用含a的式子表示）．（3）在（2）的条件下，抛物线的图象与线段BC恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围．••34．（2020春•沙坪坝区校级月考）阅读下面材料，回答问题材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”；（1）实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由．（2）若直线y=2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；••35．（2020春•武邑县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x=1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y=kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．••36．（2020•武汉模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B 两点（点A在点B的左边），交y轴负半轴于点C．（1）则点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，过点A的直线y=ax+a交y正半轴于点F，交抛物线于点D，过点B作BE∥y 轴交AD于E，求证：AF=DE．（3）如图2，直线DE：y=kx+b与抛物线只有一个交点D，与对称轴交于点E，对称轴上存在点F，满足DF=FE．若a=1，求点F坐标．••37．（2020•荔城区校级模拟）已知抛物线y=x2-2mx+m2-3（m是常数）（1）证明：无论m取什么实数，该抛物线与x轴都有两个交点．（2）设抛物线的顶点为A，与x轴的两个交点分别为B、D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．①若点P为△ABD的外心，求点P的坐标（用含m的式子表示）；请说明理由．••A（0，2），与x轴交于B（-3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ=OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．••39．（2020•蜀山区校级模拟）如图1，抛物线y =x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y =x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若ABC PAB S S ∆∆=2，求点P 的坐标；（3）如图2，若点M 是位于直线AB 下方抛物线上一动点，以MA 、MB 为邻边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，请直接写出平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标．••40．（2020•山西模拟）综合与探究连接BC，点D为抛物线对称轴上一动点．（1）求直线BC的函数表达式；（2）连接OD，CD，求△OCD周长的最小值；（3）在抛物线上是否存在一点E．使以B、C、D、E为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．•。

三轮压轴每日一练：《二次函数动点综合》1．如图1，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣EG的值最小，求出PG﹣EG的最小值；（2）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．2．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B．（I）求抛物线的解析式；（Ⅱ）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M作直线MN垂直于x轴，与直线AB和抛物线分别交于点P、N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），AB平行于x轴，直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．①若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；②取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由．4．如图1，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴负半轴交于点C，若AB＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E是第三象限内抛物线上的动点，过点E作EF∥AC交抛物线于点F，过E 作EG⊥x轴交AC于点M，过F作FH⊥x轴交AC于点N，当四边形EMNF的周长最大值时，求点E的横坐标；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点Q，使得以Q、C、B、O为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．5．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）顶点为D（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△BCD的形状，并说明理由；（3）点P在抛物线上，点Q在直线y＝x上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图①，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P 从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时点Q从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B移动，当点P与点A重合时移动停止．设点P移动的时间为t秒．（1）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（2）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图②所示，该抛物线上是否存在点D，使∠MQD＝∠MKQ？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求B，C，D三点的坐标；（2）如图2，分别过点B，D作x轴、y轴的垂线BE，DF，BE与DF相交于点E，点G在线段OF上，现将△BOG沿BG折叠使得点O落在四边形BEFO的对角线上，求点G的坐标；（3）如图3，设M是y轴左侧抛物线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交x轴于点E，交直线BC于点N．连接BM，当△BMN为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）连接AD并延长，过抛物线上一点Q（Q不与A重合）作QN⊥x轴，垂足为N，与射线交于点M，使得QM＝3MN，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点A和点B，与y轴交于点C，作直线BC，点B 的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6）．（1）求抛物线的解析式并写出其对称轴；（2）D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；（3）若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线BC上的一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q．使以C，E，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出Q点的横坐标；若不存在，请说明理由．12．定义：如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A．B两点不重合），如果△ABP中，PA与PB两条边满足其中一边是另一边的倍，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的“好”点．（1）命题：P（0，3）是抛物线y＝﹣x2+2x+3的“好”点．该命题是（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a＜0）与x轴交于A，B两点，点P（1，2）是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ ＝S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．13．如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴相交于A、B两点，交y轴于点C（A点在B点左侧），连接AC、BC．（1）如图2，若点M为线段BC上方的抛物线上的一个动点，Q为射线BA上的一个动点，过点M作MN∥y轴交BC于点N，过点N直线l∥∥x轴连接CQ交l于点P，连接MQ，当MN 的长度最大时，求出MQ+PN的最小值．（2）如图3，将图1中的△AOC沿y轴对称得△A1OC，将A点向左平移1个单位得点A2，将△A1BC绕点A1旋转，在旋转过程中，点B、C对应点分别为点B1、C1，当△A2B1C1为以A 2C1为腰的等腰三角形时，直接写出点A1到直线A2C1的距离．14．如图，抛物线y＝﹣+bx+c交x轴于点A、B（A在B左侧），交y轴于点C，直线y＝﹣x+6经过点B、C．（1）求抛物线解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接PA交BC于点D，设点P的横坐标为t，的值为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E为线段OB上一点，连接CE，过点O作CE的垂线交BC于点G，连接PG并延长交OB于点F，若∠OGC＝∠BGF，F为BE中点，求t的值．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A与点B的坐标；（2）若a＝，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45°，求点M的横坐标m 的取值范围．（3）经过点B的直线l：y＝kx+b与y轴正半轴交于点C．与抛物线的另一个交点为点D，且CD＝4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1．解：（1）抛物线y＝﹣﹣x+2…①，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标为：（﹣4，0）、（1，0）、（0，2），则点D（﹣2，1），函数的对称轴为x＝﹣，将点B、D的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BD的表达式为：y＝﹣x+，过点P作y轴的平行线交直线EF于点G，设点P（x，﹣﹣x+2），则点G（x，﹣x+），△PDF的面积S＝×PG×（x F﹣x D）＝（﹣﹣x+2+x﹣）×2＝﹣x2﹣x+，当x＝﹣时，S最大，即点P（﹣，）；过点E作x轴的平行线交PG于点H，直线BD的表达式为：y＝﹣x+…②，则tan∠EBA＝＝tan∠HEG，GH＝GE，故PG﹣EG＝PG﹣HG＝PH为最小值，即点G为所求，联立①②并解得：x＝﹣，故点E（﹣，），则PG﹣EG的最小值PH：﹣＝；（2）①当AM是正方形的边时，（Ⅰ）当点M在y轴左侧时（N在下方），如图2，当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH与点G，过点N作HN⊥GH于点H，∵∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠HAN＝∠GMA，∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），∴GA＝NH＝4﹣＝，AH＝GM，即y＝﹣﹣x+2＝，解得：x＝，当x＝时，则GM＝x﹣（﹣4）＝，点y N＝﹣AH＝﹣GM＝，故点N（﹣，）；当x＝时，同理可得：点N（﹣，﹣）；当点M在第三象限时，同理可得：点N（﹣，﹣）；（Ⅱ）当点M在y轴右侧时，如图3，M在第一象限时，过点M作MH⊥x轴于点H，设AH＝b，MH＝a，同理可得：△AHM≌△MGN（AAS），则点M（﹣4+b，b﹣），即a＝b﹣，将点M的坐标代入①式并解得：b＝，a＝（a、b均舍去负值），y＝a+b＝，N故点N（﹣，），同理当点M在第四象限时，点N（﹣，﹣）；②当AM是正方形的对角线时，当点M在y轴左侧时，过点M作MG垂直于函数对称轴于点G，设函数对称轴与x轴交于点H，同理可得：△AHN≌△NGM（AAS），设点N（﹣，m），则点M（﹣﹣m，+m），将点M的坐标代入①式并解得：m＝或﹣（舍去），故点N（﹣，）；当点M在y轴右侧时，同理可得：点N（﹣，﹣）．综上，点N的坐标为：（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，）或（﹣，﹣）．2．解：（1）∵y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y＝0时，x＝3，即A（3，0）．∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2）．∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝﹣x+2，∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∴PM＝﹣m+2，AM＝3﹣m，PN＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+4m，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，∴∠BNP＝∠AMP＝90°或∠NBP＝∠AMP＝90°，当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴N点的纵坐标为2，∴﹣m2+m+2＝2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；当∠NBP＝90°时，过点N作NC⊥y轴于点C，则∠NBC+∠BNC＝90°，NC＝m，BC＝﹣m2+m+2﹣2＝﹣m2+m，∵∠NBP＝90°，∴∠NBC+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BNC，∴Rt△NCB∽Rt△BOA，∴＝，∴＝，解得m＝0（舍去）或m＝，∴M（，0）；综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）；②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），∵M，P，N三点为“共谐点”，∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）＝﹣m2+m+2，解得m＝3（舍去）或m ＝0.5；当M 为线段PN 的中点时，则有﹣m +2+（﹣m 2+m +2）＝0，解得m ＝3（舍去）或m＝﹣1；当N 为线段PM 的中点时，则有﹣m +2＝2（﹣m 2+m +2），解得m ＝3（舍去）或m＝﹣；综上可知当M ，P ，N 三点成为“共谐点”时m 的值为或﹣1或﹣．3．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3）， ∴点B 的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A （0，﹣1），B （4，﹣1）两点， ∴，解得：∴抛物线的函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣1． （2）可设P 的坐标为（m ，m ﹣1），则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝﹣（x ﹣m ）2+m ﹣1．解方程组：，解得：，，∴P （m ，m ﹣1），Q （m ﹣2，m ﹣3）． 过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则PE ＝m ﹣（m ﹣2）＝2，QF ＝（m ﹣1）﹣（m ﹣3）＝2．∴PQ ＝2＝AP 0．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为2（即为PQ 的长）．由A （0，﹣1），B （4，﹣1），P 0（2，1）可知，△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝2．如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝﹣x 2+2x ﹣1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x +b 1， ∵B （4，﹣1），∴﹣1＝4+b 1，解得b 1＝﹣5， ∴直线l 1的解析式为：y ＝x ﹣5． 解方程组，得：，，∴M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7）．②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为 ．如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，﹣1）． 由A （0，﹣1），F （2，﹣1），P 0（2，1）可知： △AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为．过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝﹣x 2+2x ﹣1于点M ，则M 为符合条件的点． ∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x +b 2， ∵F （2，﹣1），∴﹣1＝2+b 2，解得b 2＝﹣3， ∴直线l 2的解析式为：y ＝x ﹣3． 解方程组 ，得：，，∴M 3（1+，﹣2+），M 4（1﹣，﹣2﹣）．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，﹣1），M 2（﹣2，﹣7），M 3（1+，﹣2+），M 4（1﹣，﹣2﹣）．ii）存在最大值．理由如下：由i）知PQ＝2 为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ＝B′Q．连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN＝PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP＝FQ．∴NP+BQ＝FQ+B′Q≥FB′＝＝2．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2 ．∴的最大值为＝．4．解：（1）x2﹣（a+1）x+a＝0，则x1+x2＝a+1，x1x2＝a，则AB＝＝（a﹣1）2＝16，解得：a＝5或﹣3，抛物线与y轴负半轴交于点C，故a＝5舍去，则a＝﹣3，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①；（2）由y＝x2+2x﹣3得：点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），设点E（m，m2+2m﹣3），OA＝OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF∥AC，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，将点E的坐标代入上式并解得：直线EF的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②，联立①②并解得：x＝m或﹣3﹣m，故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、N的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m+3），则EF＝（x F﹣x E）＝（﹣2m﹣3）＝MN，四边形EMNF的周长S＝ME+MN+EF+FN＝﹣2m2﹣（6+4）m﹣6，∵﹣2＜0，故S有最大值，此时m＝﹣，故点E的横坐标为：﹣；（3）①当点Q在第三象限时，﹣﹣﹣﹣当QC平分四边形面积时，则|x Q|＝x B＝1，故点Q（﹣1，﹣4）；﹣﹣﹣﹣当BQ平分四边形面积时，则S△OBQ ＝×1×|y Q|，S四边形QCBO＝1×3+×3×|x Q|，则2（×1×|y Q|）＝1×3+×3×|x Q|，解得：x Q＝﹣，故点Q（﹣，﹣）；②当点Q在第四象限时，同理可得：点Q（，）；综上，点Q的坐标为：（﹣1，﹣4）或（﹣，﹣）或（，）．5．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a＝﹣，函数的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+6…①，顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP＝PG，S＝PG×AC＝PG×6＝12，解得：PH＝4，△PCA直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1），综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3﹣，﹣﹣1）或（﹣3，﹣1）．（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC＝，CD＝，AD＝，则∠ACD＝90°，sin∠DAC＝＝，延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝2，AD＝AD′＝，S△ADD′＝DD′×AC＝DH×AD′，即：2×＝DH×，解得：DH＝，sin2∠DAC＝sin∠DAD′＝＝＝＝sin∠EAB，则tan∠EAB＝，①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y＝x+b，将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y＝x+…④，联立①④并解得：x＝（不合题意值已舍去），即点E（，）；②当点E在AB下方时，同理可得：点E（，﹣），综上，点E（，）或（，﹣）．6．解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC ＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．7．解：（1）把点A、C坐标代入抛物线表达式得：，解得：，抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3，顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝1或﹣3，故点B（﹣3，0），而C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），则BD＝，CD＝，BC＝，故：BD2＝CD2+BC2，故△BCD为直角三角形；（3）存在，理由：①当OC是平行四边形的一条边时，设：点P（m，m2+2m﹣3），点Q（m，m），则PQ＝OC＝3，PQ＝|m2+2m﹣3﹣m|＝3，解得：m＝﹣1或2或0或﹣3（舍去0），故m＝﹣1或2或﹣3；②当CO是平行四边形的对角线时，设点P（m，m2+2m﹣3），点Q（n，n），由中线定理得：，解得：m＝0或﹣1（舍去0）；故m＝﹣1或2或﹣3，则点P（﹣1，﹣4）或（2，5）或（﹣3，0）．8．解：（1）如图①，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，∴0＜t＜3．∵四边形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°．∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△QBC∽△PAQ时，∴，∴．∴4t2﹣15t+9＝0．∴t1＝3（舍），t2＝；②当△CBQ∽△PAQ时，∴．∴＝．∴t2﹣9t+9＝0．∴t＝（舍去）．综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t＝或t＝；（2）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2）．把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中并解得：抛物线：y＝x2﹣3x+2．∴顶点k（，﹣），连接MQ，∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM＝KQ．∴KE⊥MQ．∴∠MKE＝∠QKE＝∠MKQ．设DQ交y轴于H．（ⅰ）当点D在直线MQ的上方时，如图②所示，则∠DQM＝∠MKQ＝∠MKE．∵∠HMQ＝∠MEK＝90°，∴△HMQ∽△MEK．∴．∴．解得MH＝2．∴H（0，4）．∴直线HQ的解析式为y＝﹣x+4．由方程组得x2﹣3x+2＝﹣xx+4．解得x 1＝3（舍），x 2＝﹣．∴D （﹣，）；（ⅱ）当点D 在直线MQ 的下方时，y 轴上存在点H ，如图③所示，使∠HQM ＝∠MKQ ＝∠MKE ．由对称性得H （0，0），即H 与原点重合．∴直线OQ 的解析式y ＝x ．由方程组得3x 2﹣11x +6＝0．解得x 1＝3（舍），x 2＝．∴D （，）．综上所述，点D 的坐标为（﹣，）或（，）．9．解：（1）y ＝﹣x 2+2x +3，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝0，则x ＝﹣1或3， 故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），函数的对称轴为：x ＝1，故点D （1，4）；（2）①当点O 落在OE 上时（左侧图），则OO′⊥BG，设∠EOB＝α，则tanα＝＝，则sin，cos OH＝OB cosα，而∠BGO＝∠HOB＝α，则OG＝＝＝，故点G（0，）；②当点O落在BF上时（右侧图），设OG＝OG′＝a，则FG＝4﹣a，FO′＝5﹣BO′＝5﹣3＝2，故（4﹣a）2＝4+a2，解得：a＝，故点G（0，）；综上，点G的坐标为：（0，）或（0，）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点M（m，﹣m2+2m+3），则点N（m，﹣m+3），点B（3，0）．①当MN＝BN时，即：﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝BN＝BE＝（3﹣m），解得：m＝3或﹣（舍去3），故点M（﹣，1﹣2）；②当MN＝BN时，则点M在BN的中垂线上，BN的中点坐标为：（，），则BN的中垂线的表达式为：y＝x﹣m，将点M的坐标代入上式得：﹣m2+2m+3＝m﹣m，解得：m＝﹣1或3（舍去3），故点M的坐标为：（﹣1，0）；③当BN＝BM时，同理可得：点M（﹣2，﹣5）；综上点M的坐标为：（﹣，1﹣2）或（﹣1，0）或M（﹣2，﹣5）．10．解：（1）点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；（2）存在，理由：作点D关于对称轴的对称轴D′（﹣1，2），连接BD′交抛物线对称轴与点P，则点P 为所求，将点B、D′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线BD′的函数表达式为：y＝﹣x+，抛物线的对称轴为：x＝，当x＝时，y＝，故点P（，）；（3）设点N（m，0），则点M、Q的坐标分别为：（m，m+1）、（m，﹣m2+m+3），则QM＝|﹣m2+m+3﹣m﹣1|＝|﹣m2+2|，3MN＝3（m+1），∵QM＝3MN，即|﹣m2+2|＝3（m+1），解得：m＝﹣2或﹣1或5（舍去﹣2），故点（﹣1，2）或（5，﹣7）．11．解：（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣6，令y＝0，则x＝﹣2或6，则点A（﹣2，0），则函数的对称性x＝2；（2）①当∠BCD＝90°时，将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：直线BC的表达式为：y＝x﹣6，则直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣6，当x＝2时，y＝﹣8，故点D（2，﹣8）；②当∠DBC＝90°时，同理可得点D（2，4），故点D（2，﹣8）或（2，4）；（3）①当CE为菱形的一条边时，则PQ∥CE，设点P（m，m﹣6），则点Q（m，n），则n＝m2﹣2m﹣6…①，由题意得：CP＝PQ，即m＝m﹣6﹣n…②，联立①②并解得：m＝6﹣2，n＝4﹣8，则点Q（6﹣2，4﹣8）；②当CE为菱形的对角线时，则PQ⊥CE，即PQ∥x轴，设点P（m，m﹣6），则点Q（s，m﹣6），其中m﹣6＝s2﹣2s﹣6…③，则PC＝﹣m，CQ2＝s2+m2，由题意得：CQ＝CP，即：（﹣m）2＝s2+m2…④，联立③④并解得：m＝6或﹣2（舍去6），故点（2，﹣8）；综上，点Q（6﹣2，4﹣8）或（2，﹣8）．12．解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝0，则x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），则PA＝＝，PB＝3，则PA与PB两条边满足其中一边是另一边的倍，则该命题是假命题，故答案为：假；（2）将点P的坐标代入抛物线表达式得：a+b＝2，点A（0，0），则点B（，0），点P（1，2），则PA2＝5，PB2＝4+（﹣1）2＝4+（）2，①当PA＝2PB时，即5＝8[4+（）2]，解得：方程无解；②当PB＝2PA时，4+（）2＝5×8＝40，解得：a＝﹣，则b＝，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x ； （3）S △ABQ ＝S △ABP ，则|y Q |＝y P ＝2， 则±2＝﹣x 2+x ， 解得：x ＝1（舍去）或6或，则点Q 的坐标为：（6，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．13．解：（1）y ＝﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣3）（x +1），则点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，），由B 、C 的坐标可得直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +，设点M （x ，﹣x 2+x +），则点N （x ，﹣x +）， 则MN ＝（﹣x 2+x ++x ﹣）＝﹣（x ﹣）2+， 当x ＝时，MN 的长度最大，此时，点M 、N 的坐标分别为：（，）、（，）；此时，点N 恰好是BC 的中点，如图1（左侧图），由点B 、C 的坐标知，∠CBO ＝30°，在y 轴半轴取点C 关于x 轴的对称点C ′（0，﹣3），连接BC ′，过点C 作CT ⊥C ′B ，交OB 于点Q ，垂足为点T ，则QT ＝BQ ， 而点N 是BC 的中点，则PN ＝BQ ＝QT ，故MQ +PN 的最小值等于QT +MQ 的最小值，当点M 、Q 、T 三点共线时（如图1右侧图），QT +MQ ＝MT ，即MQ +PN 的最小值等于QT ，延长MN 交x 轴于点R ，则∠RMQ ＝∠OBC ′＝30°，而MR ＝，则RQ ＝MR tan30°＝，同理MQ ＝，BQ ＝，QT ＝，MQ +PN 的最小值等于MT ＝MQ +QT ＝+＝；（2）点A 2（﹣2，0），点A 1（﹣1，0），A 1C 1＝A 1B 1＝2，则A 1A 2＝3， ①当A 2C 1＝A 2B 1时，如图2，则x 轴为B 1C 1的中垂线，有如图2所示的两种情况，当点C 1在上方时，如左图所示，过点A 1作A 1H ⊥A 2C 1于点H ， 在△A 1A 2C 1中，A 1C 1＝2，则A 1A 2＝3，∠C 1A 1A 2＝120°，S △A 1A 2C 1＝A 1A 2×B 1C 1＝A 2C 1×h ，解得：h ＝；当点C 1在下方时，如右图所示， 同理可得：h ＝；②当A 2C 1＝B 1C 1＝2时，如图3所示两种情况，当点C 1在上方时，如左图所示，过点A 1作A 1H ⊥A 2C 1于点H ， 在△A 1A 2C 1中，A 1C 1＝2，则A 1A 2＝3，A 2C 1＝2，设HC 1＝x ，则A 2H ＝2﹣x ，则A 1H 2＝9﹣（2﹣x ）2＝2﹣x 2， 解得：x ＝，h ＝＝；当点C 1在下方时，如右图所示，在△A 1A 2C 1中，A 1C 1＝2，则A 1A 2＝3，A 2C 1＝2，故h ＝；综上所述：点A 1到直线A 2C 1的距离为得：或或．14．解：（1）直线y ＝﹣x +6经过点B 、C ，则点B 、C 的坐标分别为：（6，0）、（0，6），则c ＝6，将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝2， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +6…①； （2）点P （t ，﹣t 2+2t +6），将点P 、A 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得： 直线AP 的表达式为：y ＝﹣（t ﹣6）x +（6﹣t ）， 将上式与直线BC 的表达式联立并解得：x ＝，故点D （，+6），则＝，则d ＝＝﹣1＝﹣t 2+t （0＜t ＜6）；（3）设OE＝a，则点E（a，0），设OG交CE于点H，∵∠ECO+∠COH＝90°，∠COH+∠HOE＝90°，∴∠HOE＝∠OCH，tan∠OCH＝＝＝tan∠HOE，则直线OH的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，故点G（，），则BG＝＝，则CG＝BC﹣BG＝，∵OB＝OC＝6，故∠OCB＝∠OBC＝45°，而∠OGC＝∠BGF，则△CGO∽△BGF，即：，即：，解得：BF＝a，F为BE中点，则OE＝EF＝FB，故a＝2，故点F（4，0），点G（，）；将点F、G的坐标代入一次函数表达式并解得：直线FG的表达式为：y＝3x﹣12…③，联立①③并解得：x＝﹣1（舍去负值），故t＝﹣1+．15．解：（1）y＝a（x+3）（x﹣1），令y＝0，则x＝1或﹣3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）；（2）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）…①，当∠MAO＝45°时，如图所示，则直线AM的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3），故点M（4，7）；②∠M′AO＝45°时同理可得：点M（﹣2，﹣1）；故：﹣2≤m≤4；（3）①当BD是矩形的对角线时，如图2所示，过点Q作x轴的平行线EF，过点B作BE⊥EF，过点D作DF⊥EF，抛物线的表达式为：y＝ax2+2ax﹣3a，函数的对称轴为：x＝﹣1，抛物线点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），则点P的横坐标为：﹣1，OB＝1，而CD＝4BC，则点D的横坐标为：﹣4，故点D（﹣4，5a），即HD＝5a，线段BD的中点K的横坐标为：＝﹣，则点Q的横坐标为：﹣2，则点Q（﹣2，﹣3a），则HF＝BE＝3a，∵∠DQF+∠BQE＝90°，∠BQE+∠QBE＝90°，∴∠QBE＝∠DQF，∴△DFQ∽△QEB，则，，解得：a＝（舍去负值），同理△PGB≌△DFQ（AAS），∴PG＝DF＝8a＝4，故点P（﹣1，4）；②如图3，当BD是矩形的边时，作DI⊥x轴，QN⊥x轴，过点P作PL⊥DI于点L，同理△PLD≌△BNQ（AAS），∴BN＝PL＝3，∴点Q的横坐标为4，则点Q（4，21a），则QN＝DL＝21a，同理△PLD∽△DIB，∴，即，解得：a＝（舍去负值），LI＝26a＝，故点P（﹣1，），；综上，点P的坐标为：P（﹣1，4）或（﹣1，）．。

三轮压轴专题：《二次函数动点综合》1．如图1，矩形OBCD的边OD，OB分别在x轴和y轴上，且B（0，8），D（10，0）．点E是DC边上一点，将矩形OBCD沿过点O的射线OE折叠，使点D恰好落在BC边上的点A处．（1）若抛物线y＝ax2+bx经过点A，D，求此抛物线的解析式；（2）若点M是（2）中抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使△AMN为等腰三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图2，动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度向终点D运动，动点Q从点D出发沿折线D﹣C﹣A以同样的速度运动，两点同时出发，当一点运动到终点时，另一点也随之停止，过动点P作直线1⊥x轴，依次交射线OA，OE于点F，G，设运动时间为t（秒），△QFG的面积为S，求S与t 的函数关系式，并直接写出t的取值范围．（t的取值应保证△QFG的存在）2．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，0），⊙A与x轴相交于点B，C，交y轴正半轴于点D．（1）求点B，D的坐标；（2）过点B作⊙A的切线，与过点A，C的抛物线交于点P．抛物线交y轴正半轴于点Q．若P的纵坐标为t，四边形PQAC的面积为y．①求y与t的函数关系式；②若△PBO与△DOA相似，求m2﹣12tm+y取最小值时m的值．3．在平面直角坐标系中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行或重合，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形，点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，图①中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3CD 3，都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形A 3B 3CD 3是点A，B，C的最佳外延矩形．（1）如图②，已知A（﹣1，0），B（3，2），点C在直线y ＝x﹣1上，设点C的横坐标为t．①若t＝，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为．②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为9，求t的值．（2）如图③，已知点M（4，0），n（0，），P（x，y）是抛物线y＝﹣x2+2x+3上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标x的取值范围；（3）已知D（1，0）．若Q是抛物线y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1的图象在﹣2≤x≤1之间的最高点，点E的坐标为（0，4m），设点D，E，Q的最佳外延矩形的面积为S，当4≤S≤6时，直接写出m的取值范围．4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），点B在x轴的正半轴上．点P，Q均在线段AB上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标大于m，在△PQM中，若PM∥x轴，OM∥y轴，则称△PQM为点P，Q的“云三角形”．（1）若B点的坐标为（4，0），m＝2，则点P，B的“云三角形”的面积为．（2）当点P，Q的“云三角形”是等腰三角形时，求点B的坐标．（3）在（2）的条件下，作过O，P，B三点的抛物线y＝ax2+bx+c，①若点M为抛物线上一点，△POM是点P，O的“云三角形”，求△POM的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；②当点P，Q的“云三角形”的面积为3，且抛物线y＝ax2+bx+c 与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点时，直接写出m的取值范围．5．对于平面中给定的一个图形及一点P，若图形上存在两个点A、B，使得△PAB是边长为2的等边三角形，则称点P是该图形的一个“美好点”．（1）若将x轴记作直线l，下列函数的图象上存在直线l的“美好点”的是（只填选项）．A．正比例函数y＝xB．反比例函数y＝C．二次函数y＝x2+2（2）在平面直角坐标系xOy中，若点M（n，0），N（0，n），其中n＞0，⊙O的半径为r．①若r＝2，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”，求n 的取值范围；②若n＝4，线段MN上存在⊙O的“美好点”，直接写出r的取值范围．6．定义：在平面直角坐标系中，点（m，n）是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于m的部分关于直线x＝m的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点（m，n）的“孪生函数”．例如：图①是函数y＝x+1的图象，则它关于点（0，1）的“孪生函数”的图象如图②所示，且它的“孪生函数”的解析式为y＝．（1）直接写出函数y＝x+1关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．（2）请在图③的平面坐标系（单位长度为1）中画出函数y＝关于点（﹣1，﹣3）的“孪生函数”的图象，并求出图象上到x轴距离为6的所有点的坐标．（3）点M是函数G：y＝﹣x2+4x﹣3的图象上的一点，设点M 的横坐标为m，G′是函数G关于点M的“孪生函数”．①当m＝1时，若函数值y的范围是﹣1≤y＜1，求此时自变量x的取值范围；②直接写出以点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣1）、D （1，﹣1）为顶点的正方形ABCD与函数G′的图象只有两个公共点时，m的取值范围．7．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到抛物线C2：y＝x2．（1）直接写出抛物线C1的解析式；（2）如图1，已知抛物线C1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，点P（，t）在抛物线C上，QB⊥PB交抛物线于点1Q．求点Q的坐标；（3）已知点E，M在抛物线C2上，EM∥x轴，点E在点M的左侧，过点M的直线MD与抛物线C2只有一个公共点（MD与y轴不平行），直线DE与抛物线交于另一点N．若线段NE＝DE，设点M，N的横坐标分别为m，n，直接写出m和n的数量关系（用含m的式子表示n）为．8．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交y轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点C，交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），OB＝OC．（1）求b，c的值；（2）在线段BC上有一点H，直线AH交y轴于D，在射线AH 上有一点G，过点G的直线交y轴正半轴于点F，交x轴于点E，∠CAG＝∠OCB，∠FEO+∠CHA＝90°，点E的横坐标为t，EG 的长为d，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，设直线EF交BC于点M，过点E作y 轴平行线交直线AD于点N，点P在抛物线上，连接DP、DM、DE、EN、PE、PN，若＝（点E在AB延长线上），S＝4S△PNE，求点P的坐标．△DME9．如图1：抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC＝1，tan∠BAC＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当S＝3时，点G为第二象限抛物线上一点，连接PG，CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG＝，求GH的长．10．如图，已知直线y＝kx与抛物线y＝mx2+n交于点A、C．（1）若m＝﹣1，且点A坐标为A（1，2），求抛物线解析式与点C坐标；（2）如图1，若k＝1，将直线y＝x沿着x轴翻折，在第四象限交抛物线于点P，若，求mn的值；（3）如图2，已知抛物线与直线解析式分别为y＝与y ＝x，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（t，0）是x轴正半轴上的动点，记S△AEB＝S1，S△EOD＝S2，OE＝s，OD＝t，当满足∠BAE＝∠BED＝∠AOD的E点有两个时，求S1•S2﹣（S1+）+的最小值，并求出此时E的坐标．11．已知，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣4经过点L（﹣1，0）、（2，﹣6）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，平移抛物线C1使其顶点为M（0，2）得到抛物线C，点A为抛物线C2第一象限内异于点M的任意一点，直线AM 2交x轴于点C，过点C作x轴的垂线交抛物线C2于点B，直线AB与y轴交于点N，求点N的坐标；（3）如图2，点P是抛物线C1第一象限内的点，过点P的直线y＝mx+n（n＜0）与抛物线C1交于另一点Q，连接LP交y轴于点S，连接LQ交y轴于点T．若OS•OT＝2，探究m与n之间的数量关系，并说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与抛物线y＝+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为4．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），点P的横坐标为m．①如图1，连接PO，以点P为旋转中心，把线段PO逆时针旋转90°，得到线段PC．当m为何值时，点C在直线AB上；②如图2，一动圆以点P为圆心，并与直线AB相切，设圆的半径为r，求r关于m的函数关系式，并求出r的取值范围．13．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点，过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B 在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）设点D（a，0）在x轴上运动，连接FD，作FD的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点I，判断点I是否在抛物线y＝ax2+c，并证明你的判断；（3）若k＝1，设AB的中点为M，抛物线上是否存在点P，使得△PMF周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由；（4）若，在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB 的面积为，若存在求出点Q的坐标，若不存在说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO＝β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．15．有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t 的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足：①a＜0，ab≠0，c＝2；②顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y﹣．若t≤m+恒成立，求m的最小值．参考答案1．（1）解：∵四边形OBCD是矩形，B（0，8），D（10，0）∴BC＝OD＝10，DC＝OB＝8，∠OBC＝∠C＝90°，由折叠可得：OA＝OD＝10，AE＝DE∵∠OBC＝90°，OB＝8，OA＝10，∴AB＝6，∴AC＝4，设AE＝DE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠C＝90°，∴x2＝42+（8﹣x）2解得：x＝5，∴AE＝DE＝5，∴点A的坐标为（6，8），点E的坐标为（10，5），∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（6，8），D（10，0），∴角解得：此抛物线的解析式为（2）存在M、N，使以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，设抛物线的对称轴与BC交于点H，过点E作ET⊥AH，垂足为T，连接AM、ME，如图1，设点M的坐标为（m，n），则，∴AH＝6﹣5＝1，HM＝﹣8﹣nET＝10﹣5＝5，TM＝﹣5﹣n因为AH⊥HM，∴AM2＝AH2+MH2＝1+（8﹣n）2∵ET⊥MH∴ME2＝ET2+MT2＝25+（5﹣n）2①若AM与AE是菱形的一组邻边，则AM＝AE∴AM2＝AE2∴1+（8﹣n）2＝25∴（8﹣n）2＝24解得：②若EM与EA是菱形的一组邻边，则EM＝EA∴EM2＝EA2∴25+（5﹣n）2＝25∴（5﹣n）2＝0∴n3＝5③若MA与ME是菱形的一组邻边，则MA＝ME∴MA2＝ME2∴1+（8﹣n）2＝25+（5﹣n）2解得：n4＝2.5综上所述：满足要求的点M的坐标为，（5，5），（5，2.5）（3）设直线OA的解析式y＝k1z，∵点A的坐标为（6，8），∴6k1x＝8，∴，直线OA的解析式，同理可得：直线OE的表达式为y＝，∵OP＝1×t＝t∴P（t，0）∵直线⊥x轴于点P，点F，G是直线l与OA，OE的交点∴，故，当0＜t＜8时，点Q在线段DC上过点Q作QS⊥直线l，垂足为S，如图2，则QS＝PD＝10﹣t∴＝＝，②当8≤t＜9时，点Q在线段CA上，且在直线l的右侧，设FG交AC于点N，如图3，则QN＝CN﹣CQ＝PD﹣CQ＝（10t）﹣（t﹣8）＝18﹣2t∴＝＝③当t＝9时，QN＝18﹣2t＝0，点Q与点N重合，此时△QFG 不存在，故舍去，④当9＜t≤10时，点Q在线段CA上，且在直线l的左侧，设FG交AC于点N，如图4．则QN＝CQ﹣CN＝CQ﹣PD＝（10﹣t）＝2t﹣18∴＝（2t﹣18）＝综上所述：2．解：（1）如图，连接OD，则AD＝AB＝5，∵点A（3，0），∴OA＝3，∴OB＝AB﹣OA＝2，∴B（﹣2，0），在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OD＝＝4，∴D（0，4）；（2）①∵⊙A的半径为5，点A（3，0），∴C（8，0），∴设过点A，C的抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣8），由（1）知，B（﹣2，0），∵BP是⊙A的切线，∴BP⊥OB，∴P（﹣2，t），∵点P在抛物线上，∴t＝a（﹣2﹣3）（﹣2﹣8），∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）（x﹣8）＝x2﹣x+，∴Q（0，），∴OQ＝，∴y＝S四边形PQAC＝S△PBC﹣S梯形PBOQ﹣S△OAQ＝×10t﹣×2×（t+）﹣×3×＝t；②设w＝m2﹣12tm+y当△PBO∽△DOA时，，∴，∴t＝，此时，y＝，∴m2﹣12tm+y＝m2﹣12×m+＝m2﹣32m+＝（m﹣16）2﹣248，当m＝16时，m2﹣12tm+y有最小值﹣248；当△PBO∽△AOD时，，∴，∴t＝，此时，y＝，∴m2﹣12tm+y＝m2﹣12×m+＝m2﹣18m+＝（m﹣9）2﹣76，当m＝9时，m2﹣12tm+y有最小值﹣76，而﹣248＜﹣76，∴m2﹣12tm+y取最小值时，m的值为16．3．解：（1）①如图②，作矩形ANBM，∵t＝，∴C（，），∵A（﹣1，0），B（3，2），∴C在矩形ANBM内部，此时，矩形ANBM是点A，B，C的最佳外延矩形．S＝AM•BM＝（3+1）（2﹣0）＝8．矩形ANBM故答案为8．②若C在x轴下方，则：4[2﹣（t﹣1）]＝9，解得t＝．若C在B点右上方，则：（t+1）（t﹣1）＝9，解得t1＝﹣（舍），t2＝．综上所述，t的值为或．（2）令y＝﹣x2+2x+3＝，解得x1＝1+，x2＝1﹣，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值为4×＝14，此时P点横坐标x的取值范围为：0≤x≤1﹣或1+≤x≤3．（3）∵y＝﹣x2﹣2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x+m）2+2m+1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2m+1）．当1≤﹣m即m≤﹣1时，Q点坐标为（1，﹣m2）若﹣m2＜4m，则m＞0（舍）或m＜﹣4，此时S＝m2，∵4≤S≤6，∴﹣≤m≤﹣2（舍）．若﹣m2≥4m，则﹣4≤m≤0，此时S＝﹣4m，∴4≤﹣4m≤6，解得：﹣≤m≤﹣1，当﹣2＜﹣m＜1即﹣1＜m＜2时，Q点的坐标就是抛物线顶点，S＝4m（m+1），∴4≤4m（m+1）≤6，解得≤m≤，当﹣m≤﹣2即m≥2时，4m≥8，不合题意，舍去．综上所述，m的取值范围为：≤m≤或﹣≤m≤﹣1．4．解：（1）如图1，∵A（0，6），B（4，0），∴直线AB解析式为，∵m＝2，∴P（2，3）∵PM∥x轴，QM∥y轴，∴M（4，3），∠PMB＝90°∴PM＝2，BM＝3，∴点P，B的“云三角形”△PBM的面积＝；故答案为：3（2）如图2，根据题意，得MP＝MQ，∠PMQ＝90°，∴∠MPQ＝45°，∵PM∥x轴，∴∠ABO＝45°，∴OB＝OA＝6，点B的坐标为（6，0）；（3）如图3，①首先，确定自变量取值范围为0＜m＜3，由（2）易得，线段AB的表达式为y＝6﹣x，∴点P的坐标为（m，6﹣m），∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，B两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝3，∴点M的坐标为（6﹣m，6﹣m），∴PM＝（6﹣m）﹣m＝6﹣2m，∴；②当点P在对称轴左侧，即m＜3时，∵点P，Q的“云三角形”面积为3，由①得：2m2﹣12m+18＝3，解得：或（舍去）．当点P在对称轴上或对称轴右侧，即m≥3时，，∴，，，∵抛物线＝ax2+bx+c与点P，Q的“云三角形”恰有两个交点，∴，解得：．综上所述，m的取值范围为：或．5．解：（1）∵x轴是图形l，△PAB是边长为2的等边三角形，∴P点纵坐标为±，y ＝x上存在点（，）或（﹣，﹣）是x轴的“美好点”，y ＝上存在点（，）或（﹣，﹣）是x轴的“美好点”，y＝x2+2中y的最小是2，∴y＝x2+2上不存在x轴的“美好点”，故选A、B；（2）①∵M（n，0），N（0，n），n＞0，∴∠MNO＝60°，MN＝2n，△ABC与△ABD是边长为2的等边三角形，∴AC∥BD∥y轴，设直线NM的解析式为y＝kx+b，则有，∴k＝﹣，设过C点与MN平行的直线为y＝﹣+c，过D点与MN平行的直线为y＝﹣+d，当直线y＝﹣+c与圆O相切时，c＝4，∴n＝4+2＝6，此时⊙O上恰好存在1个直线MN的“美好点”，当y＝﹣+d与圆O相切时，d＝4，此时y＝﹣+c经过点O，即c＝0，此时⊙O上恰好存在3个直线MN的“美好点”，∴0＜n＜4时，⊙O上恰好存在2个直线MN的“美好点”；②如图：∵△ABC与△ABD是边长为2的等边三角形，∴C点在以O为圆心OC为半径的圆上，D点在以O为圆心OD 为半径的圆上，∵n＝4，∴M（4，0），N（0，4），∴∠ONM＝60°，当MN与D点所在圆相切时，OD＝r＝2，此时线段MN上存在⊙O的“美好点”，当OC＝OM时，OC＝r＝4，此时线段MN上存在⊙O的“美好点”，∴2≤r≤4时，线段MN上存在⊙O的“美好点”．6．解：（1）函数y＝x+1在x＞1部分任意取一点（2，3）关于x＝1的对称点为（0，3），设函数y＝x+1图象关于x＝1对称的部分的图象解析式为y＝kx+b，将点（0，3），（1，2）代入解析式，得，解得，∴“孪生函数”的解析式为y＝；（2）令y＝6，则x＝，∴点的坐标为（，6），∵点（，6）关于x＝﹣1的对称点为（﹣，6），令y＝﹣6，则＝6，解得x＝﹣，∴点的坐标为（﹣，﹣6），点（﹣，﹣6）关于x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣，﹣6），综上所述：到x轴距离为6的点的坐标为（，6）或（﹣，﹣6）或（﹣，6）或（﹣，﹣6）；（3）①当m＝1时，G'的解析式为y＝，令y＝﹣1，﹣x2+4x﹣3＝﹣1，解得x＝2﹣或x＝2+，令y＝﹣1，﹣x2+1＝﹣1，解得x＝﹣或x＝，当﹣≤x＜0或0＜x＜2或2＜x＜2+时，﹣1≤y＜1；②函数y＝﹣x2+4x﹣3的顶点为（2，1），点（2，1）关于x＝m对称的点的坐标为（2m﹣2，1），∴函数y＝﹣x2+4x﹣3关于x＝m对称的函数解析式为y＝﹣（x ﹣2m+2）2+1，当2m﹣2＞1时，即m＞，当x＝1时，﹣（3﹣2m）2+1＞﹣1，即＜m＜，∴＜m＜时G'与正方形ABCD有两个交点；当x＝﹣1时，﹣（1﹣2m）2+1＜﹣1，即m＜或m＞，∴m＜；综上所述：＜m＜或m＜时G'与正方形ABCD有两个交点．7．解：（1）由已知可知，抛物线C2：y＝x2向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线C1：y＝ax2+bx+c，∴抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4，故答案为y＝（x﹣1）2﹣4；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，令y＝0，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵点P（，t）在抛物线C1上，∴t＝（﹣1）2﹣4，解得t＝﹣，∴P（，﹣），设Q（t，t2﹣2t﹣3），过点P作PM⊥x轴交于点M，过点Q作QN⊥x轴交于点N，∵BQ⊥BP，∴∠QBN+∠MBP＝∠QBN+∠MQN＝90°，∴∠BQN＝∠PBM，∴△BNQ∽△QMP，∴＝，∴＝，∴t＝﹣或t＝3，∵Q点在第二象限，∴t＝﹣，∴Q（﹣，）；（3）∵点M与N在y＝x2上，∴M（m，m2），N（n，n2）∵EM∥x轴，∴E（﹣m，m2），设MD的解析式为y＝kx+b，∴m2＝km+b，∴b＝m2﹣km，∴y＝kx+m2﹣km，∵直线MD与抛物线y＝x2只有一个交点，∴kx+m2﹣km＝x2，∴△＝k2﹣4（m2+km）＝0，∴k＝2m，∴直线MD的解析式为y＝2mx﹣m2，∵NE＝DE，∴D（﹣2m﹣n，2m2﹣n2），∴2m2﹣n2＝2m（﹣2m﹣n）﹣m2，整理得，n2﹣2mn﹣7m2＝0，∴n＝（1±2）m，故答案为n＝（1±2）m．8．解：（1）直线y＝﹣x+3交y轴于点C，则点C（0，3），OB ＝OC＝3，则点B（3，0），故c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，故b＝2，c＝3；（2）抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠CAG＝∠OCB＝45，过点E作ET⊥AH于点T，过点C作CK⊥AC交AH于点K，过点C作PQ∥x轴，过点K作KQ⊥PQ于点Q，∵CK⊥AC，∴∠ACK＝90°，∴∠CKA＝45°，∴∠CAK＝∠CKA，∴AC＝CK，∵∠PAC＝∠QCK，∠APC＝∠CQK＝90°，∴△APC≌△CQK（AAS），∴PC＝KQ，PA＝CQ＝3，∵点A（﹣1，0），故OA＝1，∴PC＝KQ＝1，故点K（3，2）；由点A、K的坐标得，直线AK的表达式为：y＝x+，故点D（0，），则tan∠ADO＝＝，∵∠FEO+∠CHA＝90°，∠FEO+∠OFE＝90°，∴∠OFE＝∠CHA，∵∠OFE+∠CFB＝180°，∴∠CHA+∠CFB＝180°，∴∠FGH+∠FCH＝180°，∵∠FCH＝45°，∴∠FGH＝135°，∴∠HGE＝45°，∴∠HGE＝∠TEG＝45°，∴TG＝TE＝CE，∵EA＝t+1，tan∠TAE＝＝，∴AT＝2TE，在Rt△ATE中，TE2+AT2＝AE2，TE2+（2TE）2＝（t+1）2，解得：TE＝（t+1），d ＝EG＝TE＝（t+1）；（3）如图，过点P作PZ⊥EN角BN的延长线于点Z，直线PZ 交y轴于点C′（C），延长DM交EN于点W，∵＝，则设BE＝3k，则FC＝5k，则OF＝3﹣5k，OE＝3+3k，由（2）知，∠HGE＝45°，∴∠GEA+∠GAE＝45°，∵∠ACO+∠DAO＝180°﹣∠AOD﹣∠CAK＝45°，∴∠ACO＝∠GEA，∴tan∠ACO＝tan∠GEA，∵tan∠＝＝，∴tan∠＝，∴＝，即＝，解得：k＝，故OF＝，OE＝4，故点E（4，0），点F（0，），由点E、F的坐标得，直线EF的表达式为：y＝﹣x+，而BC 的表达式为：y＝﹣x+3，联立上述两个表达式并解得：x＝，故点M（，），∵点D（0，），故DM∥x轴，则DM＝，∵点N在直线y＝x+上，且横坐标为4，∴点N（4，），则EN＝，∴DM＝EN，∵S△PNE＝4S△DME，则NE•PZ＝4××DM•y M，故PZ＝4WE＝4×＝2，四边形C′ZEO为矩形，则C′Z＝OE＝4，故C′P＝2，当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝3，故点P（2，3）．9．解：（1）c＝3，故OC＝3，tan∠ABC＝1，则OA＝3，tan∠BAC＝3，则OA＝1，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点C坐标代入上式并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）点P（t，﹣t2+2t+3），点A（﹣1，0），将点P、A坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：直线PA的表达式为：y＝（3﹣t）（x+1），设直线AP交y轴于点R，则R（0，3﹣t），S＝CR×（x﹣x A）＝（3﹣3+t）（t+1）＝t2+t；P（3）S＝t2+t＝3，解得：t＝﹣3（舍去）或2，故点P（2，3），而点C（0，3），连接CP，则CP∥x轴，CH⊥GP，则∠CPH＝∠OCH＝α，HM⊥CP，则∠CHM＝∠HCO＝α，过点O作ON⊥CH交CH的延长线于点N，作HM⊥CP于点M，CP＝2，OC＝3，CH＝CP sinα＝2sinα，ON＝OC sinα＝3sinα，CN＝OC cosα＝3cosα，∵ON⊥CN，GH⊥CH，∴∠HON＝∠OHG，故tan∠HON＝＝＝＝tan∠OHG＝，解得：tan，则sinα＝，cosα＝，MH＝CH cosα＝2sinα•cosα＝，CM＝CH sinα＝，故点H （，）；设点G（m，﹣m2+2m+3），而点P（2，3），由点G、P的坐标得，直线PG表达式中的k值为：﹣m＝﹣tanα＝，故点G（﹣，），由点G、H的坐标得，GH＝．10．解：（1）∵点A（1，2）在直线y＝kx上∴k＝2，即直线为y＝2x∵点A（1，2）在抛物线y＝mx2+n上，m＝﹣1∴﹣1+n＝2，解得：n＝3∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3解得：（即点A）∴点C坐标为（﹣3，﹣6）；（2）过点A作AM⊥x轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N∴∠OMA＝∠ONP＝90°∵点A在直线y＝x上，设A（a，a）（a＞0）∴OM＝AM＝a，∠AOM＝45°∵点A关于x轴对称点A'（a，﹣a）∴直线y＝x沿着x轴翻折得到直线OA'解析式为y＝﹣x，∠PON＝∠AOM＝45°∴△AOM、△PON都是等腰直角三角形∵∴∴ON＝PN＝2a∴P（2a，﹣2a）∵点A、P都在抛物线y＝mx2+n∴①﹣②消去n后整理得：ma＝﹣1，即a＝﹣①×4﹣②消去ma2后整理得：n＝2a∴n＝﹣∴mn＝﹣2；（3）过点E作EH⊥x轴于点H解得：，，∵点A在第一象限∴A（1，），OA＝，tan∠AOD＝∴∠AOD＝60°∴∠BAE＝∠BED＝∠AOD＝60°设直线AB与x轴交点为F，则△AOF为等边三角形∴OF＝OA＝2，F（2，0）设直线AB解析式为：y＝kx+b解得：∴直线AB：y＝﹣x+2解得：（即点A）∴点B与点F重合，点B在x轴上∴OB＝AB＝OA＝2∵∠BAE＝∠BED，∠BEO＝∠BAE+∠ABE＝∠BED+∠OED ∴∠ABE＝∠OED∵∠BAE＝∠AOD∴△ABE∽△OED∴即∴t＝＝﹣（s﹣1）2+，故0＜t＜；∵OE＝s，sin∠EOH＝＝∴EH＝OE＝s∴S2＝S△EOD＝OD•EH＝st＝＝∵∴S1＝＝∴S1•S2﹣（S1+）+＝﹣[+]+＝，令s（2﹣s）＝u，则原式＝u2﹣u+＝，∵＞0，∴当u＝时，S1•S2﹣（S1+）+的最小值为，此时，s（2﹣s）＝，解得：s1＝，s2＝，当s＝或时，均满足0＜t＜；∴当OE＝s1＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝，∴E1（，）当OE＝s2＝时，OH＝cos60°＝，EH＝sin60°＝，∴E2（，），综上所述，E的坐标为：E1（，），E2（，）．11．解：（1）将点（﹣1，0）、（2，﹣6）的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣3，c＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）设AC等解析式为y＝k1x+2，联立得：x2﹣k1x＝0，∴x A＝k1，设直线AB的解析式为y＝k2x+b2，联立得：x2﹣k2x+2﹣b2＝0，∴x A x B＝2﹣b2，∵x B＝x C＝，∴b2＝4，即点N坐标为（0，4）；（3）设直线LP的解析式为y＝a1x+a1，联立得：x2﹣（3+a1）x﹣4﹣a1＝0，∴a1＝x P﹣4，设直线LQ的解析式为y＝a2x+a2，同理得：a2＝x Q﹣4，∵OS•OT＝2，∴（x P﹣4）（x Q﹣4）＝2，∴x P x Q﹣4（x P+x Q）+16＝2，联立得：x2﹣（3+m）x﹣4﹣n＝0，∴x P x Q＝﹣4﹣n，x P+x Q＝3+m，∴n＝﹣4m﹣2．12．解：（1）由题意得A（﹣2，0），B（4，6），，解得：，则所求函数解析式为：y＝﹣+2x+6；（2）①过P作PG⊥y轴于G点，过C点作CH⊥PG交PG的延长线于H点，设P（m，﹣1/2m2+2m+6），∵∠PGO＝∠CHP＝90°，∠CPH＝∠POG（同角的余角相等），PO＝PC，∴△POG≌△CPH（AAS），∴CH＝PG＝﹣m，OG＝PH＝﹣m2+2m+6，则C（﹣m2+3m+6，﹣m2+m+6）又∵C点在直线AB上，∴﹣m2+m+6＝﹣m2+3m+6+2，解得：m＝﹣1；②过P点作PE⊥x轴于E点，交AB于F点，设⊙P与直线AB相切于Q点，连PQ，则PQ⊥AB，∴△PQF和△AEF均是等腰直角三角形，∴PF＝PQ＝r，AE＝EF＝m+2，又∵PF+EF＝﹣m2+2m+6，即r+m+2＝﹣m2+2m+6，解得r＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣1）2+，当m＝1时，r的最大值为，∵﹣2＜m＜4，∴0＜r≤．13．解：（1）由题意得：，解得：；∴抛物线解析式为；（2）设I（a，y），过I作IH⊥y轴于点H，则IH＝a，FH＝y ﹣2，IF＝ID＝y，在Rt△IHF中∴IF2＝IH2+FH2，∴y2＝a2+（y﹣2）2，，故点I在抛物线y＝x2+c；（3）若k＝1，设AB的中点为M，则，解得中点M的坐标为：（2，4），由（2）可知，抛物线上的点到点F的距离等于它到x轴的距离．设抛物线上存在点P，使得△PMF周长最小，过点P作PP'⊥x 轴于点P′，∵FM+PM+PF＝FM+PM+PP′，∵FM是定值，PM+PP'≥MP'．故当MP⊥x轴时，PM+PP′＝MP′，此时P、M、P′共线，△PMF 周长最小，故点P（2，2），∴MP′＝4，MF＝2，故△PMF周长最小的最小值为：4+2；（4）设R（x R，y R）、Q（x Q，y Q），A（x A，y A），B（x B，y B），把点B的坐标代入y＝kx+2并解得：k＝2，故点A（2﹣2，4﹣2），故x B﹣x A＝4，S＝S△AQR+S△BQR＝QR•（x R﹣x A）+（x B﹣x R）＝（x B﹣x A）△QAB＝4×QR＝4，解得：QR＝2，QR＝|y﹣y Q|＝|x+2﹣（x2+1）|＝|﹣（x﹣2）2+2|＝2，R当﹣（x﹣2）2+2＝2时，解得：x＝2，故点Q（2，2）；﹣（x﹣2）2+2＝﹣2时，解得：x＝﹣2或6，故点Q（﹣2，2）或（6，10）；综上，点Q（2，2）或（﹣2，2）或（6，10）．14．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），函数的对称轴为：x＝﹣1，故点D（﹣1，﹣4a）；（2）无关，理由：由抛物线的表达式得，点C（0，﹣3a），将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线CD的表达式为：y＝ax﹣3a，令y＝0，则x＝3，故点E（3，0），即OE＝3，OE的长与a值无关；（3）tanβ＝＝＝﹣a，故﹣≤a≤﹣1；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE，则PD＝PE，∠DPE＝90°，而点D（﹣1，﹣4a），点E（3，0），过点P作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点M，交x 轴于点N，∵∠PDM+∠MPD＝90°，∠MPD+∠EPN＝90°，∴∠MPD＝∠EPN，∠PMD＝∠ENP＝90°，PD＝PE，∴△PMD≌△ENP（AAS），∴MD＝PN，MP＝NE，即n＝﹣1﹣m，﹣4a﹣n＝3﹣m，解得：n＝﹣1﹣m，m＝2a+1，∵a＜0，故m＝2a+1＜1，故n＝﹣m﹣1（m＜1）．15．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）解：在直线y＝﹣x+6中，当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝8，∴B（0，6），A（8，0），∴OB＝6，OA＝8，∴AB＝＝10，由题意得：AQ＝5t，AP＝4t，BQ＝10﹣5t，OP＝8﹣4t，连接PQ，∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠BAO＝∠QAP，∴△AQP∽△ABO，∴∠APQ＝∠AOB＝90°，∴QP＝＝3t，∵四边形BOPQ为“和睦四边形”，∴①当OB＝OP时，6＝8﹣4t，∴t＝；②当OB＝BQ时，6＝10﹣5t，∴t＝；③当OP＝PQ时，8﹣4t＝3t，∴t＝；④当BQ＝PQ时，10﹣5t＝3t，∴t＝，综上所述，t的值为或或或；（3）解：在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为（，），C（0，2），∵CD＝OC，∴CD2＝OC2，∴①，∵D在以AB为直径的圆上，且在抛物线对称轴上，∴△ADB为等腰直角三角形，∴，∴②，。