1.（多选题）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ABC ）
A.y=x2+2x B. y 2x1 C.y x3 1 D.y (x 1) x
2.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为 (-∞,1] .
3.函数f(x)=lg (x2-4)的单调递增区间为( C ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,0) (C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)
探究提高 （1）复合函数是指由若干个函数复合而 成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”， 即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域； ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其 单调性； ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
考点分类 深度剖析
考点一 函数的单调性与单调区间
1、常见函数的单调性及单调区间
（1）一次函数y=kx+b的单调性； （2）二次函数y=ax2+bx+c的单调性； （3）反比例函数 y k (k 0) 的单调性；
x
（4）指数函数y=ax的单调性；
（5）对数函数y loga xa 0, a 0的单调性； （6）幂函数 y x 的单调性；
故x∈(1,+∞).
判断函数的单调性与求函数单调区间的常见方法:
1、利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、 对数等函数),转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.
2、图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出, 可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值 的函数的单调区间常用此法.
（1）一次函数y=kx+b的单调性； 当k>0时，函数在R上单调递增； 当k<0时，函数在R上单调递减；
（2）二次函数y=ax2+bx+c的单调性；
当a>0时，函数在
-，- b 2a
单调递减，
在
-
b 2a
，+
单调递增;
当a<0时，函数在
-，- b 2a
单调递增，
在
-
b 2a
，+
单调递减；
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪 先求得函数的定义域,然后结合二次函数、对数函 数的单调性进行考虑,再根据“同则增,异则减”的法则求解 函数的单调区间.
解析 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的 对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是 减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由 此可得D项符合.故选D.
f(x1)>f(x2) ，那么就 说函数f（x）在区间D
间D上是增函数
上是减函数
图
象
描 述
自左向右看图象是 ___上__升__的____
自左向右看图象是 __下__降__的____
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_增__函__数___或__减__函__数__，则称 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性， _区__间__D___叫做f（x）的单调区间.
当a>1时，函数在（0，+∞）上单调递增； 当0<a<1时，函数在（0，+∞）上单调递减；
（6）幂函数 y x 的单调性；
常见的幂函数有
y x，y x2，y 1 ，y x3，y x x
函数y=x3在R上为增函数；
函数 y x 在（0，+∞）上为增函数；
2、函数单调性的常用结论
（1）若f(x),g(x)均为区间D上的增（减）函数，则fx)+g(x)也 是区间D上的增（减）函数。 （2）若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同，若k<0,则kf(x)与f(x) 的单调性相反。
1
（3）函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= f (x) 的 单调性相反。
[例1] (1)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
(A)y=e-x
(B)y=x3
(C)y=ln x
(D)y=|x|
解析: 对于选项 为增函数 - 为减函数 故 - 为减函数 对于选项B,y′=3x ≥0,故 为增函数 对于选项 函数的定义域 为(0,+∞),不为R 对于选项 函数 为偶函数 在(-∞,0)上单调 递减 在(0,+∞)上单调递增 故选
解析:(2)y=|x2-3x+2|=
x 2
3x x2
函数的单调递增区间是[1, 3 ]和[2,+∞).故选 B. 2
[例3]已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函数的区间 是（ D ）
A.(3,6)
3、导数法:利用导数确定函数的单调区间.
4、复合函数法:如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断 方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减” 的法则求解函数的单调区间.使用此法时首先要考虑函数的定义域.
易错警示
单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个 单调区间应分别写 不能用并集符号“∪”连接 也不能用“或” 连接 例如函数的单调递增区间 应写为(-∞,1),(2,+∞)也可写为 (-∞,1)和(2,+∞),若是写为(-∞,1)∪(2,+∞)则是错误的
第一轮复习---函数的单调性
高二数学 林龙香 2020年7月2
要点梳理
函数的单调性 （1）单调函数的定义
增函数
减函数
定 一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定 义 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时,都有
当x1<x2时，都有
定 义
f（x1）<f(x2) ，那 么就说函数f(x)在区
（3）反比例函数
y k (k 0) x
的单调性；
当k>0时，函数在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增；
当k<0时，函数在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减；
（4）指数函数y=ax的单调性；
当a>1时，函数在R上单调递增； 当0<a<1时，函数在R上单调递减；
（5）对数函数 y loga xa 0, a 0的单调性；
【变式训练】 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( A )
1
(A)y= x 2
( B)y=2- x
(C)y=log1 x
2
(D)y= 1 x
[例2] 函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是( A ) (A)[1,2] (B)[-1,0]
(C)[0,2] (D)[2,+∞)
解析:(2)f(x)=|x-2|x=
1.（多选题）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ABC ）
A.y=x2+2x B. y 2x1 C.y x3 1 D.y (x 1) x
2.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为 (-∞,1] .
【变式训练】 A.(1,+∞)
函数y= log 1 (2x2 3x 1)的递减区间为（
B.2 (, 3]
A
）
4
C. (1 2
解析
,)
D.
[
作出t=2x2-3x+1的示意
3 4
,)
图如图所示，
∵0< 要使
1 2
<1,∴
y log
1
y log 1 t
2
(2x2 3x
递减.
1递) 减,
t应该大于0且递2 增,
x2 2x, x
x2
2x,
2, x 2,
其图象如图,
由图象可知函数的单调递减区间是[1,2].故选 A.
【变式训练】 函数 f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是( B )
(A)[ 3 ,+∞) 2
(B)[1, 3 ]和[2,+∞) 2
(C)(-∞,1]和[ 3 ,2] 2
(D)(-∞, 3 ]和[2,+∞) 2
