青岛理工大学高数(2)复习题期末试题及参考答案

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。

）1.C++对C语言作了很多改进，即从面向过程变成为面向对象的主要原因是（）A.增加了一些新的运算符B.允许函数重载，并允许设置缺省参数C.规定函数说明符必须用原型D.引进了类和对象的概念2•下列符号不能组成标识符的是（）A.连接符B.下划线C.大小写字母D.数字字符3.类型修饰符unsigned不能修饰（）A.charB. intC. long intD. float4.在int a=3,int *p=&a；中，*p 的值是（）A.变量a的地址值B.无意义C.变量p的地址值D.35•下列关于指针的操作中，错误的是（）A.两个同类型的指针可以进行比较运算B.可以用一个空指针赋给某个指针C.一个指针可以加上两个整数之差D.两个同类型的指针可以相加6•重载函数在调用时选择的依据中，错误的是（）A.函数的参数B.参数的类型C.函数的名字D.函数的类型7.—个函数功能不太复杂，但要求被频繁调用，选用（）A.内联函数B.重载函数C.递归函数D.嵌套函数8•下列不是描述类的成员函数的是（）A.构造函数B.析构函数C.友元函数D.拷贝构造函数9.构造函数不具备的特征的是（）A.构造函数的函数名与类名相同B.构造函数可以重载C.构造函数可以设置默认参数D.构造函数必须指定类型说明10.通常，拷贝构造函数的参数是（）A.某个对象名B.某个对象的成员名C.某个对象的引用名D.某个对象的指针名11•继承机制的作用是（）A.信息隐藏B.数据封装C.定义新类D.数据抽象12.类的析构函数的作用是（）A.—般成员函数B.类的初始化C.对象的初始化D.删除对象创建的所有对象13•类的析构函数是在（）调用的。

A.类创建时B.创建对象时C.删除对象时D.不自动调用14.在（）情况下适宜采用inline定义内联函数。

A.函数体含有循环语句B.函数体含有递归语句C.函数代码少、频繁调用D.函数代码多、不常调用15•如果类A被说明成类B的友元，贝!］（）A.类A的成员即类:B的成员B.类B的成员即类A的成员C.类A的成员函数不得访问类:B的成员D.类B不一定是类A的友元16•在类中声明转换函数时不能指定（）A.参数B.访问权限C.操作D.标识符17•在公有继承的情况下，基类成员在派生类中的访问权限（）A.受限制 B.保持不变18.C++类体系中，不能被派生类继承的有()A.转换函数B.构造函数C.虚函数D.静态成员函数19•假定AB为一个类，则执行ABx；语句时将自动调用该类的() A.有参构造函数 B.无参构造函数C.拷贝构造函数D.赋值构造函数20.C++语言建立类族是通过()A.类的嵌套B.类的继承C.虚函数D.抽象类答案如下：l. D 2.A 3.D 4.D 5.D6.A 7.A &C 9.D 10.C11.C 12.C 13.D 14.C 15.D16.C17.B 18.C 19.B 20.B二•下面的每小题有一个或多个答案是正确的，请选出正确选项并将其填入相应括号内。

《数控技术与数控机床》复习题B一、填空题1 所谓插补，就是数据密化的过程。

在实际加工过程中，常采用或来逼近零件的轮廓曲线。

2 DDA直线插补的物理意义是使动点沿矢量的方向前进，这种方法同样适用于DDA插补。

3他激式直流主轴伺服电机调速时，额定转速以下调速称为恒转矩调速，通过调整实现；额定转速以上调速称为恒功率调速，通过实现。

4 SPWM波形的特点是，其各个脉冲的面积与控制正弦波下面相应的面积成比例，等距、等幅而不等，中间宽两边。

5刀具补偿的作用是把转换成。

6采用步进电机的开环伺服系统，对于数控装置发来的一个经驱动线路放大后驱动步进电机转过一个，经过机械传动系统带动工作台移动一个脉冲当量的位移。

7逐点比较法是以折线逼近直线或圆弧曲线，它与给定的之间的最大误差不超过一个。

8 准备功能指令分为模态代码和非模态代码。

模态代码表示该代码一经在一个中应用，直到出现同组的另一个时才失效。

9 数控机床的伺服驱动系统通常包括两种：和。

10 直线式感应同步器由作相对平行移动的和组成。

二、选择题1 插补周期与位置反馈采样周期。

A：相同；B：不相同；C：可以相同，也可以不相同2 在圆弧插补时，一般用切线、内接弧线和内外均差弦线逼近圆弧，其中具有较大的轮廓误差而不宜采用。

A：切线；B：、内接弧线；C：内外均差弦线3 双螺母齿差调隙式滚珠丝杠，两齿轮的齿数分别为Z1=99、Z2=100，丝杠导程t=10mm，若间隙为0.004mm，则相应的螺母应转过个齿即可消除间隙，达到预紧的目的。

A：3；B：4；C：5；D：64 机床数控系统中的PLC经常被用作控制。

A：逻辑顺序；B：智能；C：进给伺服；5 脉冲增量插补法适用于以为驱动装置的开环伺服系统。

A：步进电机；B直流伺服电机：C交流伺服电机：D：直线电机6 步进电机通电方式没有带负载的能力，不能实际应用。

A：三相单三拍；B：三相六拍；C：三项双三拍7 一个零件的轮廓曲线一般是由许多不同的几何元素组成的，把各几何元素间的连接点称为。

2020年青岛市名校数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()3sin 2cos 2f x x x =-的图象向左平移3π个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数()g x 的图象，则()g x 在下列区间上为单调递减的区间是（）A ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,26ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是 A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a <3．某个命题与正整数有关，如果当()n k k N *=∈时命题成立，那么可推得当1()n k k N *=+∈ 时命题也成立。

现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 A ．当n=7时该命题不成立 B ．当n=7时该命题成立 C ．当n=9时该命题不成立D ．当n=9时该命题成立4．已知()()2sin 1f x x f x π+'=，则()1f =( ) A ．12B ．πC ．2π D ．以上都不正确5．已知,x y 满足约束条件11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩„„…，则2z x y =+的最大值为（）A ．32B ．32-C ．3D ．-36．已知全集U R =，集合{|23}A x x =-≤<,1{|2,0}x B y y x -==≥，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|20}x x -≤< B ．1{|2}2x x -≤< C ．1{|0}2x x ≤<D ．{|03}x x ≤<7．将函数()3sin 2cos2f x x x =-的图象向左平移6π个单位，所得图象其中一条对称轴方程为（ ） A ．0x =B ．6x π=C ．4x π=D ．2x π=8．如图,阴影部分的面积是（ ）A ．1e e+B ．11e e+- C ．12e e+- D ．1e e-9．已知ξ的分布列为ξ-1 0 1p12 13 16设23ηξ=+，则()E η的值为（ ）A ．4B ．73C ．54D ．110．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P(X <2)等于A ．715 B ．815C ．1415D ．111．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =I （ ） A ．{}12x x << B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<<12．使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0x >B ．1x >-C ．1x <-或0x >D ．10x -<<二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在()61x +的二项展开式中，2x 项的系数为_____（结果用数值表示）．14．不等式12x<的解集是_________. 15．112除以9的余数为_______；16．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====L ，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ⋅L L 的长度构成数列{}n a ，则此数列的通项公式为n a =_____．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()2ln m fx mx x x =--，()2e g x x=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知0m >，若存在[]01,x e ∈使得()()00f x g x =，求实数m 的取值范围. 18．如图，正方体1111ABCD A B C D -的所有棱长都为1，求点A 到平面1A BD 的距离.19．（6分）在一次考试中某班级50名学生的成绩统计如表，规定75分以下为一般，大于等于75分小于85分为良好，85分及以上为优秀.经计算样本的平均值81μ≈，标准差 6.2σ≈. 为评判该份试卷质量的好坏，从其中任取一人，记其成绩为X ，并根据以下不等式进行评判 ① ()0.6828P X μσμσ-<<+≥； ② (22)0.9544P X μσμσ-<<+≥； ③ (33)0.9974P X μσμσ-<<+≥评判规则：若同时满足上述三个不等式，则被评为优秀试卷；若仅满足其中两个不等式，则被评为合格试卷；其他情况，则被评为不合格试卷. （1）试判断该份试卷被评为哪种等级；（2）按分层抽样的方式从3个层次的学生中抽出10名学生，再从抽出的10名学生中随机抽出4人进行学习方法交流，用随机变量ξ表示4人中成绩优秀的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.20．（6分）在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为212()222x tt y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，直线l 与抛物线24y x =相交于A,B 两点，求线段AB 的长．21．（6分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，33(P -，43P 中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线:(1)l y kx m m =+≠与椭圆C 相交于,A B 两点.若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 必过定点，并求出该定点的坐标．22．（8分）在()f x 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． (1)求角A 的大小(2)若3a =，求ABC △的周长最大值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数化为sin()y A x ωϕ=+ 的形式，再写出变换后的函数()g x ,最后写出其单调递减区间即可． 【详解】()2cos 2f x x x =-的图象向左平移3π个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍变换后()=2cos g x x -，()g x 在区间[2,2],k k k Z πππ-+∈ 上单调递减故选A 【点睛】本题考查三角函数变换，及其单调区间．属于中档题． 2．C 【解析】试题分析：①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；若方程有两个负的实根，则必有102{001440aa aa >-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a =时，可得12x =-也适合题意． 综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤． 故答案为C考点：充要条件，一元二次方程根的分布 3．A 【解析】 【分析】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当()n k k N *=∈时命题不成立，则1()n k k N *=-∈命题也不成立，所以选A. 【详解】根据逆否命题和原命题的真假一致性得，当()n k k N *=∈时命题不成立，则1()n k k N *=-∈命题也不成立， 所以当8n =时命题不成立，则7n =命题也不成立， 故答案为：A 【点睛】(1)本题主要考查数学归纳法和逆否命题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性. 4．B 【解析】 由题意可得：()()()()()'cos 2'1,'1cos 2'1,'1,f x x f x f f f πππππ=+∴=+=据此有：()()2sin ,1sin f x x x f πππππ=+=+=. 本题选择B 选项. 5．B 【解析】 【分析】画出可行域，通过截距式可求得最大值. 【详解】作出可行域，求得(1,1)B --，11(,)22A ，(2,1)C -,通过截距式可知在点C 取得最大值，于是max 2213z =⨯-=.【点睛】本题主要考查简单线性规划问题，意在考查学生的转化能力和作图能力.目标函数主要有三种类型：“截距型”，“斜率型”，“距离型”，通过几何意义可得结果. 6．B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：111{|2,0},{|}{|}22x U B y y x B y y B x x -==≥∴=≥∴=<Q ð，所以()UA B ⋂=ð 1{|2}2x x -≤<． 考点：集合的交集、补集运算． 7．B 【解析】试题分析：()3132cos 22sin 2cos 22sin 226f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 向左平移6π个单位后所得函数解析式为()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()g x 对称轴方程为()262x k k Z πππ+=+∈，所以()62k x k Z ππ=+∈，当0k =时，6x π=． 考点：三角函数图象及性质． 8．C 【解析】由定积分的定义可得，阴影部分的面积为()()11001|2x x x x e e dx e e e e ---=+=+-⎰.本题选择C 选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正． 9．B 【解析】 【分析】由ξ的分布列，求出1()3E ξ=-，再由()2()3E E ηξ=+，求得7()3E η=. 【详解】111111()(1)01236263E ξ=-⨯+⨯+⨯=-+=-，因为23ηξ=+，所以17()2()32()333E E ηξ=+=⨯-+=.【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量a b ηξ=+，具有线性关系，直接利用公式()()E aE b ηξ=+能使运算更简洁.10．C 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝1173210715C C C =⋅，P(X ＝2)＝23210115C C =， 于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714151515+= 故选C 【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题． 11．A 【解析】 【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B I 即可 【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<. 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题 12．A 【解析】 【分析】首先解出不等式110x +>，因为是不等式110x+>成立的一个充分不必要条件，所以满足是不等式110x+>的真子集即可． 【详解】 因为()1110010x x x x x ++>⇒>⇒+>，所以0x >或1x <-，需要是不等式110x+>成立的一个充分不必要条件，则需要满足是()(),10,-∞-+∞U 的真子集的只有A,所以选择A 【点睛】本题主要考查了解不等式以及命题之间的关系，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1 【解析】 【分析】通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x 的指数为2，求出展开式中2x 的系数． 【详解】解：展开式的通项为16r r r T C x +=．令2r =得到展开式中2x 的系数是2615C =．故答案为：1． 【点睛】本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力． 14．()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 【解析】 【分析】 由不等式12x <得120x -<，所以210x x->，等价于(21)0x x ->，解之得所求不等式的解集. 【详解】由不等式12x <得120x -<，即120x x -<，所以210x x->，此不等式等价于 (21)0x x ->，解得0x <或12x >， 所以不等式的解集是：()1,0,2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭U ， 故填：()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U . 【点睛】本题考查分式不等式的解法，一般的步骤是：移项、通分、分解因式、把每个因式未知数的系数化成正、转化为一元二次不等式或作简图数轴标根、得解集，属于基础题. 15．5 【解析】 【分析】将112变为()32912-⨯，利用二项式定理展开可知余数因不含因数9的项而产生，从而可知余数为233925C -=.【详解】由题意得：()311322282912=⨯=-⨯()()()()3232203212222333339122929129121C C C C -⨯=⨯+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-112∴除以9的余数为：233925C -=本题正确结果：5 【点睛】本题考查余数问题的求解，考查学生对于二项式定理的掌握情况，关键是能够配凑出除数的形式，属于常考题型.16 【解析】 【分析】由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得2211n n a a -=+,利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】根据图形1122378...1OA A A A A A A =====， 因为122378...OA A OA A OA A ∆∆∆、都是直角三角形，2211n n a a -∴=+,2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，()2111n a n n ∴=+-⨯=，n a ∴=.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）答案不唯一，具体见解析（2）241em e ≥- 【解析】 【分析】（1）求导数()22'2mx mf x x x-+=，讨论m 的不同范围得到单调区间. （2）设函数()()()F x f x g x =-，()0'F x ≥，函数单调递增推出()40mme eF e =--≥，解得答案. 【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+.()22'2mx mf x x x-+=，()'0f x =，则220mx x m -+=. 当0m ≤时，则()'0f x <，()f x 在()0,∞+单调递减；当01m <<时，220mx x m -+=，>0∆有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <，则1x =2x =，由1220x x m +=>，121=x x ，所以120x x <<. 所以()'0f x <时，12x x x <<，()f x 单调递减；()'0f x >，10x x <<或2x x >，()f x 单调递增；当m 1≥时，方程220mx x m -+=的0∆≤，则()'0f x ≥，()f x 在()0,∞+单调递增； 综上所述：当0m ≤时，()f x 的减区间为()0,∞+；当01m <<时，()f x 的减区间为11,m m ⎛+⎪⎝⎭，()f x 增区间为10,m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和1m ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭. 当m 1≥时，()f x 的增区间为()0,∞+. （2）()()()F x f x g x =-，()22ln m emx x x F x x---=， ()()222222'20F x mx m e x mx x m e x x++--++==≥，所以()F x 在[]1,e 单调递增， ()120F e =-<，()4m F e me e =--，要使得()0F x =在[]1,e 有解，当且仅当()40mme eF e =--≥，解得：241em e ≥-. 【点睛】本题考查了函数的单调性，存在性问题，构造()()()F x f x g x =-，判断()0'F x ≥是解题的关键.18．【解析】 【分析】由题意首先求得三棱锥1A A BD -的体积，然后利用等体积法即可求得点A 到平面1A BD 的距离. 【详解】由题意可得，三棱锥1A A BD -的体积11111111326A A AB D D A B V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，且1A BD V 的等边三角形，其面积1sin 6022S ==o ，设点A 到平面1A BD 的距离为h ，利用等体积法可得：1136h =，则h .即点A 到平面1A BD 【点睛】本题主要考查点面距离的计算，等体积法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．（1）该份试卷应被评为合格试卷；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表，计算()P X μσμσ-<<+，(22)P X μσμσ-<<+，(33)P X μσμσ-<<+的值，由此判断出“该份试卷应被评为合格试卷”.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望. 【详解】（1）34()(74.887.2)0.680.682850P X P X μσμσ-<<+=<<==<， 49(22)(68.693.4)0.980.954450P X P X μσμσ-<<+=<<==>， (33)(62.499.6)10.9974P X P μσμσμ-<<+=<<=>，因为考生成绩满足两个不等式，所以该份试卷应被评为合格试卷.（2）50人中成绩一般、良好及优秀的比例为2:5:3，所以所抽出的10人中，成绩优秀的有3人，所以ξ的取值可能为0，1，2，3()4741035102106C P C ξ====；()3173410105112102C C P C ξ====；()2273410633221010C C P C ξ====；()137341071321030C C P C ξ====.所以随机变的ξ分布列为故0123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查正态分布的概念，考查频率的计算，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题. 20．【解析】 【分析】 【详解】直线l 的普通方程为1(2)0x y -+-=，即3y x =-， 与抛物线方程联立方程组解得111,{2,x y ==229,{6x y ==-，∴AB ==.21．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）证明见解析，()2,1-.【解析】 【分析】（I ）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点.又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上.将23,P P 两点的坐标代入方程，联立即可解得22,a b ，从而得出C 的方程； （II ）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k ，()()1122,,,A x y B x y ，利用设而不求方法证明． 【详解】（I ）由于34,P P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过34,P P 两点. 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上. 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩.故C 的方程为2214x y +=.（II ）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为12,k k ，将y kx m =+代入2214xy +=得()222418440kx kmx m +++-=由题设可知()2216410k m ∆=-+>.设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++. 而12121211y y k k x x --+=+ ()()12121212122111kx x m x x kx m kx m x x x x +-++-+-=+=由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.即()()22244821104141m km k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，>0∆，则由1:2m l y x m +=-+，得()1122m y x ++=--，所以l 过定点()2,1-. 【点睛】设而不求方法的一般思路，设出直线与圆锥曲线的的交点坐标，将直线方程和圆锥曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式或斜率关系结合题意解答． 22．（1）3A π= (2)1【解析】试题分析：（1）由()2cos cos b c A a C -=，根据正弦定理，得2sin cos sin B A B =， 可得1cos 2A =，进而可得A 的值；（2）由（1）及正弦定理，得;b B c C ==，可得ABC ∆的周长，33636l B B sin B ππ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合范围20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求ABC ∆的最大值.试题解析：（1）由()2cos cos b c A a C -=及正弦定理，得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+()2sin cos sin sin B A C A B ∴=+= ()0,B π∈Q sin 0B ∴≠ ()0,A π∈Q1cos 2A = 3A π∴=(2)解：由（I ）得3A π∴=，由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====所以;b B c C ==ABC ∆的周长33l B π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭3sinBcos sin 33cosB ππ⎫=+++⎪⎭33cosB =++36sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q 当3B π=时，ABC ∆的周长取得最大值为1．。

《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题11. 计算 行列式6142302151032121----=D 的值。

2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。

3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。

4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ， 计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。

5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。

6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。

9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式x a a a xa a ax D n=的值。

11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。

12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。

14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。

15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。

16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。

17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。

18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数选择题1.已知函数)(x f 的定义域是()+∞∞-,，满足)()()(y f x f y x f +=+则)(x f 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶 D.不能确定2.已知2x e x f =)(()[]x x φf -=1，且()0x ≥φ，()=x φ（ ）A.()x -1ln 1<xB.()x -1ln 0≤xC.()x -1ln 1-<xD.()x -1ln 0x <3.设2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()=x f （ ）A.22-xB.22+xC.2-xD.x xx 1122-+4.已知21x y --=直接函数的反函数是21x y --=，则直接函数的定义域是（ ）A.()01,-B.[]11,-C.[]01,-D.[]10, 5.()x e x x x f cos sin = ()+∞<<∞-x 是（ ）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数6.设()x f 与()x g 分别为定义在()+∞∞-,上的偶函数与奇函数，则()()x g f 与()()x f g 分别（ ）A.都是偶函数B.都是奇函数C.是奇函数与偶函数D.是偶函数与奇函数7.设()⎩⎨⎧>+≤=0022x x x x x x f ，则（ ）A.()()⎩⎨⎧>+-≤-=-0022x xx x x x f B.()()⎩⎨⎧>-≤+-=-022x xx x x x f C.()⎩⎨⎧>-≤=-0022x x x x x x f D.()⎩⎨⎧>≤-=-0022x xx x x x f8.()x f y =的定义域是[]11,-，则()()a x f a x f y -++=的定义域是（ ） 其中10≤≤aA.[]11+-,a aB.[]11+---a ,aC.[]11-+-,a aD.[]11+--a ,a9.函数()x f y =与其反函数()x f y 1-=的图形对称于直线（ ） A.0=y B.0=x C.x y = D.x y -= 答案ABACD ADDC 练习题1.设()x x f y +==11，求()[]x f f解：()[]x f f xxx++=++=21111121-≠-≠,x x 2.指出下列两个函数是否相同，并说明理由 (1)()1+=x x f ()()21x x g += (2)()x x f =，()()x x g arcsin sin =(3)()xx x f =，()xx x g 2=解：(1)不同，对应法则不同(2)不同，定义域不同()x f 的是()+∞<<∞-x ,()x g 的是[]11,- (3)相同，定义域和对应法则都相同3.若()⎩⎨⎧≥<=02x xx xx f ，求()[]x f f 解：()[]()()()[]()()()[]⎩⎨⎧≥<=⎩⎨⎧≥<=00022x x f x x f x f x f x f x f x f f 4.（2001数学二考研题）()⎩⎨⎧>≤=1011x x x f ，则()[]x f f 解()[]()()()()∞+∞-∈≤⎩⎨⎧>≤=,x x f x f x f x f f 1111而5.()⎩⎨⎧<<-≤≤==012102x x x x x f y 求()1+x f解()()()()()⎩⎨⎧-<<-+≤≤-+=⎩⎨⎧<+<-+≤+≤+=+1212011011121101122x x x x x x x x x f6.设()x F 是定义在关于原点对称的某数集X 上的函数，证明()x F 必可表示成一个偶函数与一奇函数之和。

高等数学（2）复习题及答案一、填空题：） 的通解为（、微分方程221x ce y xy y ==' 2、微分方程y "-7y '+12y=0的通解为：y=C 1e 3x +C 2e 4x解：特征方程是：r 2-7r+12=0⇒r 1=3,r 2=4方程的通解是：y=C 1e 3x +C 2e 4x(){}）的定义域为　（＝　函数　94,,419.3222222≤+<=-++--y x y x D y x y x z 4、）的定义域为　（＝函数　⎩⎨⎧-<<⎩⎨⎧->>--+11;11)1ln(y x y x y x xy z 5、幂级数的收敛域为（ ）6．幂级数 的收敛域为（） 7、)),(),((),(21202 变换二次积分次序１０１０dy y x f dx dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=)),((),(),(.822120 变换二次积分次序１０１０dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx yyxx⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+二、解微分方程：()()()x x x y x y y x e x c c y r r r r e c y c e e dx e dy e y y y e y 221222,022222ln ,,1 022221+===-=+-+=+===+'-''='-、解：、 、3、xy '-ylny=0解：这是可分离变量的微分方程 Cx e y Cx y ln C ln x ln y ln ln xdxy ln y dy =⇒=⇒+=⇒= 4、⎩⎨⎧='==-''1)0(y 0)0(y 0e y y 2解：y "-e 2y =0是可降阶的的微分方程。

设y '=p ，则y "=dydpp dx dy dy dp dx dp dx dy dx d ===⎪⎭⎫ ⎝⎛，方程化为 C 21e 21p 21e dy dp p y 22y 2+=⇒=，代入初始条件y '(0)=1可得：C=0. y '=e y ⇒e -y dy=dx ⇒-e -y =x+C 1代入初始条件y (0)=0可得：C 1=-1.所求的特解是： x+e -y -1=0三、求下列函数的偏（全）导数 ：),(∞+-∞nn x ∑∞=+0!1n 1）（n 0n x !n 1∑∞=),(∞+-∞的偏导数　、求y x z 2sin 12=解：y x xzy x x z 2cos 2,2sin 22=∂∂=∂∂ dtdzt v e u t uv z t 求、设,cos ,,sin 2==+= 解：t t t e dtdz tcos )sin (cos +-= 3、yxy z )ln(=，求dz. 解:x y 1x z =∂∂, 2y )x y ln(1y z -=∂∂,dz=x y 1dx+2y )x y ln(1-dy()()()7,23;8,322,1342,12,122=∂∂+=∂∂=∂∂+=∂∂++=yzy x y z x z y x x z y xy x z 处偏导数 在　、求 [][])cos()sin( )cos()sin(,,,sin 5y x y x x e yzy x y x y e xzyz x z y x v xy u v e z xy xy u+++=∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+===解：，求、设 . 6、设u=(x 2+yz 3) 3，求y u ,x u ∂∂∂∂及zu ∂∂ 解: xu∂∂=3(x 2+yz 3)2 2x=6x(x 2+yz 3)2 ， y u ∂∂=3(x 2+yz 3)2 z 3=3z 3(x 2+yz 3)2zu∂∂3(x 2+yz 3)2 3yz 2=9yz 2(x 2+yz 3)2 四、设2y 1xarctg z +=，求dz ∣(1,1)2222222)1(111111y x y yy x xz +++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∂∂解：2222222)y 1(x xy 2)y 1(xy 2y 1x 11y z ++-=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∂∂ dy )y 1(x xy2dx )y 1(x y 1dz 2222222++-++++=dy 52dx 52dy )11(12dx )11(111|dz 2222222)1,1(-=++-++++= 五、计算二重积分1、⎰⎰Dxdxdy ,其中D 是由y=0,y=x,x=1围成。

（整理）高数二册期末总练习题.微分复习1. 若f(x,y,z)=22y x z xy xz +-+，求f x (1,0,1). 2. 设z=ln y x -2,求yzx z ，. 3. 求函数z=22y x +在x=1，y=1处的全微分. 4. 设z=u v ,而u=2x+y ，v=3x-y ，求xz ??. 5. 设z=f(22y x xy -，)，其中f 具有一阶连续偏导数，求y z x z ，. 6. 设z=z(x,y)由方程ez=xyz 所确定，求yz x z ，. 7. 球曲面z=x 2+2y 2-3在点(2,1,4)处的切平面方程.8. 求曲面?==22x z y x 上点(1,1,1)处的法平面方程，切线方程. 9. 求函数z=3(x+y)-x 3-y 3的极值.10. 从斜边之长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 11. 设f(x,y,z)=xy 2+z 3x 2，求f zzx (2,0,1). 12. 设z=x y ，求dz|(1,2).13. 设z=x+sin(xy)-2lny ，求全微分dz|(1,1)，yx z2.14. 设z=e x-2y ，而x=sint ，y=t 3，则dtdz. 15. 设z=f(yarctanx,xe y )，其中f 有一阶连续偏导数，求yz x z ，. 16. 设方程lny+z=lnz 确定z 是x ，y 的函数，求yz x z ，. 17. 求曲线x=t+cost ，y=sint ，z=e t 在对应t 0=0处的切线方程与法平面方程.18. 求函数f(x,y)=e x (x+y 2)的极值. 二重积分及其应用1. 求??--Dd y x σ224，其中D ；x 2+y 2≤4,y ≥0.2. 设平面区域D 是由y=x ，y=1与y 轴所围，求??Ddxdy 5.3. 设平面区域D 由y=x ，xy=1和x=2围成，把??Dd y x f σ),(化为二次积分.4. 由y=x+2,y=x 2围成的平面薄片，其各点处密度为21x +=ρ，求该薄片的质量.5. 交换二次积分??102),(xx dy y x f dx 的积分次序.6. 设D={(x,y)|b 2≤x 2+y 2≤a 2,b>0,a>0,x ≥0},把二重积分??+Ddxdyy x )(22表示为极坐标系下的二次积分.7. 求??--Dy xd eσ22，其中D 是由x 2+y 2=1，y=x 和x=0在第一象限所围成封闭区域. 8. 计算??Dd xσarctan，其中D 是闭区域1≤x 2+y 2≤4，0≤y ≤x. 9. 计算以xoy 面上的圆周x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底，而以曲面z=x 2+y 2为顶的曲顶柱体体积.10. 求锥面z=22y x +被圆柱z 2=2x 所截得部分的面积. 11. 求旋转抛物面z=x 2+y 2被平面z=1所截得部分的面积.12. 计算以xoy 面上由y=x 以及y=x 2围成D 以z=x y 为顶的曲顶柱体体积.13. 求由平面x=0，y=0,y+x=1所围成z=0及抛物面x 2+y 2=6-z ，截得立体体积. 曲线积分复习题1. 设平面曲线L 下半圆周y=-21x -，求?+L ds y x )(22.2. 设一段锥面螺线L ：x=e t cost ，y=e t sint ，z=e t (0≤t ≤2π)上点(x,y,z)处的线密度为μ(x,y,z)=2221zy x ++，求该构件的质量.3. 计算?L ds y 2，其中L 是抛物线y=x 2上点(0,0)与(1,1)之间的一段弧.4. 设一段折线型构件占有xoy 面上的曲线弧L ，L 为连接点A(2,0),O(0,0)与点B(0,3)的折线段，且在曲线L 上点(x,y)处的密度为μ(x,y)=x 3+y 3，求该构件质量.5. 计算?+Ly x ds e22，其中L 是由x=acost ，y=asint ，t ??∈4,0π.6. 设一质点在力→→→+=j x i y F 的作用下，沿圆周x=Rcost ，y=Rsint 上由t 1=0到t 2=2π的一段弧移动做功W.7. 计算?L ydy x 3，其中L 是抛物线y=x 2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧.8. 计算?-++L dy x y dx y x )()(，其中：（1）L 从(1,1)经(1,2)到(4,2)的折线（2）L 是抛物线上y 2=x 上从点(1,1,)到点(4,2)一段弧.9. 设有一平面力场→→+-=i y a x F ])[(22，将一质点沿曲线L ：(x-a)2+y 2=a 2(a>0)从点(a,a)移动到点(2a,0)所做功W=1，求a.10. 设一质点在力→→→→++=k x j z i y F 的作用下，从点A(0,1,2)沿直线段移动到点B(2,3,5)，求力F 做的功W.11. 计算?+++L dy y x dx y x )()(222，其中L ：x 2+y 2=1，正方向.12. 就算?++-+L dy y x dx y xy x )()32(224，其中L 是曲线x 2+y 2=-2y 取正方向.13. 计算曲线积分I=?-+-L x x dy x y e dx x y e )cos (]2sin [，其中L 为曲线y=21x -上的点A(1,0)沿逆时针方向到B(-1,0)的一段弧. 14. 设L ：x 2+y 2=2x 逆时针方向，求?-L xdy xdx y cos sin .15. 设有一变力在坐标上投影X=2xy-y 4+3，Y=x 2-4xy 3，这变力确定了一个立场.(1)证明质点在场内移动时，场力所做的功与路径无关(2)计算质点从(1,0)到(2,1)，改变力做的功.16. 计算?+--Ldy y x dx y x )sin ()(2，其中L 为圆周y=22x x -上点(0,0)到(1,1)的一段弧.17. 设L 由x=0，x=2，y=0，y=3围成，逆时针方向、封闭，求+-Lxydy dx y 2)1(2.18. 求?-)0.2()0,0()sin (cos ydy ydx e x .19. 设L 为圆域D ：x 2+y 2≤-2x 正向边界，求?-+-L dy y x dx y x )()(33.级数期末复习1. 求级数n nnn 32)1(1-∑∞=的和. 2. p nn n1)1(1-∑∞=，求p 的范围使得级数收敛或发散.3. 判断收敛性 1) nn n 11+∑∞= 15）)1(1n n n -+∑∞= 2) n n 311∞=∑ 16）)1ln(1 +∑∞=n nn 3) )423(1n n n +∑∞= 17）)423(31nn n +∑∞= 4) 1121++∑∞=n n n 18）nn n n ++∑∞=211 5) 121-∑∞=n nn 6) )4)(1(51++∑∞=n n n 7) )11ln(31nn +∑∞= 8) nn 2sin1π∞=∑9)nn n 4sin 51π∞=∑10) !1n n n n ∞=∑ 11) !41n n n ∞=∑ 12) nn n 5!1∞=∑13) nn n 321∞=∑14) 112tan+∞=∑n n n π4.判断是否收敛，若收敛，是否绝对收敛或条件收敛1）21)1(1+-∑∞=n nn 2）1113)1(--∞=-∑n n n n3）nnn ln 1)1(1-∑∞= 4）n n n 3sin 1∞=∑5）623)1(41++-∑∞=n n nn 5.求幂级数收敛区间1）nx n n )5(1-∑∞= 2）12)1(121+-∑+∞=n x n n n 3）!0n x n n ∞=∑ 4）nn n x n !)1(11-∞=-∑ 5）1221+∑∞=n x nn n6.将函数展成幂级数1）函数f(x)=2312++x x 分别展开成x 和x+4的幂级数2）将f(x)=ln(2+x)展成x+1的幂级数 3）将函数f(x)=e -2x 展开成x 的幂级数 4）将函数f(x)=cos(x 2)展成x 的幂级数5）将函数f(x)=x1展成x+4的幂级数7.求下列级数的和函数1）11-∞=∑n n nx2）nx nn ∞=∑1。

一、填空题（5153'=⨯'） 1、曲面)(2122y x z +=在)1,1,1(P 处的切平面为01=--+z y x 。

2、函数)0(>=x x u y ，则d u =xdy x dx yx y y ln 1+-。

3、设函数23u x y z =，则沿方向角3π=α，3π=β，4π=γ的方向l 的方向导数(1,1,1)ul-∂=∂2123-。

4、交换二次积分的次序：210d (,)d x x f x y y ⎰⎰1(,)d x f x y y +⎰=⎰⎰-221),(y ydx y x f dy 。

5、22()d LI x y s =+⎰，:3cos ,3sin (0)2L x t y t t π==≤≤，则=I π227。

二、单项选择题（5153'=⨯'） 1、直线24241:-=-=--zy x L 和平面0122:=++-∏z y x 的位置关系是（ C ）。

A. ∏⊂L ; B. ∏//L ; C. ∏⊥L ; D. L 与∏斜交.2、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x ，),(00y x f y 存在且连续，是),(y x f 在该点可微分的（A ）。

A. 充分条件而非必要条件;B. 必要条件而非充分条件;C. 充分必要条件;D. 既非充分条件又非必要条件． 3、设22y xy x u +-=在点)1,1(M 处的(1,1)grad u=( A ).。

A. j i +;B. j i +2;C. j i -;D. j i -2.4、下列级数收敛的是 B 。

（A ）n n∑-)1(； （B ）112n n ∞=∑； （C ）11n n∞=∑； （D ）111n n∞-=∑。

5、设22Σ:,04z x y z =+≤≤的部分，则S ∑⎰⎰=（ A ）。

A. π8; B. π4; C. π-)1517(; D. π-21517. 三、计算题（8468'=⨯'）1、一直线过点)5,2,3(-且与二平面34=-z x ，152=--z y x 的交线平行，求该直线方程。