高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高

第17讲应用题综合二内容概述各种具有较强综合性的复杂应用题．包含多种可能情况，需要进行分类讨论的问题；需要进行合理守排对策，以达到最佳效果的问题．典型问题兴趣篇1．有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米．如图17-1，若把这批砖横着铺，则可铺897厘米长；如图17-2，若竖横相间铺，则可铺657厘米长，请问：如图17-3这样铺，可铺多少厘米长？2．一种商品的定价为整数元，100元最多能买3件，甲、乙两人各带了若干张百元钞票，甲带的钱最多能买7件这种商品，乙带的钱最多能买14件，两人的钱凑在一起就能多买1件，求这件商品的定价．3．小明要写152页字，小强要写150页字．从暑假第一天起，小明一天写3页，天天写；小强第一天写4页，但是隔一天写一次，请问：第多少天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍？4．现有甲、乙、丙三种食盐水各200克，浓度依次为42%、36%、30%，现在要配制浓度是34%的食盐水420克，至少要取甲种食盐水多少克？5．要生产某种产品100吨，需用A种原料200吨，或B种原料200.5吨，或C种原料195.5吨，或D种原料192吨，或E种原料180吨．现知用A种原料及另外一种（指B、C、D、E 中的一种）原料共19吨生产此种产品10吨．试分析所用另外一种原料是哪一种，这两种原料各用了多少吨？6．某城出租车的计价方式为：起步价是3千米8元，之后每增加2千米（不足2千米按2千米计算）增加3元．现从甲地到乙地乘出租车共支出车费44元；如果从甲地到乙地先步行900米，然后再乘出租车只要41元，那么从甲、乙两地的中点乘出租车到乙地需支付多少钱？7．现有21块巧克力，A、B、C、D、E五个人轮流把这些巧克力吃光了，但不知道他们吃的先后顺序．A说：“我吃了剩下巧克力数量的三分之二．”B说：“我吃了剩下巧克力数量的一半，”说：“我吃了剩下巧克力数量的一半．”D说：“我吃光了剩下的巧克力，”E说：“我们每人吃的数量互不相同．”已知每人吃的数量都是正整数，请问：E吃了多少块巧克力？8．已知A、B、C、D、E、F六人分别看了5、5、6、8、8、10场演出．每场演出票价不变，成人票的票价是儿童票的2倍，且均为整数元．已知这六人买演出票共支出了1026元，求成人票单价．9．甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产裤子，共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产裤子，共生产720套衣服．现两厂合并后，100天最多可以生产多少套衣服？10．如图17-4，圆形湖泊周长1200米，除了A点和B之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十只蜜蜂．它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米／秒”，小偷从A点出发沿湖顺时针逃到位于B点的家中，只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会被蜇一下．请问：小偷最少会被几只蜜蜂蜇到？拓展篇1．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9、17、24、28、30、31、33、44块．甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？2．商店进了一批同样规格的袜子甩卖，为了避免找零，按40%的利润先定价，实际上收取高于“定价×双数”的最小整数元．结果买2双袜子需要5元，3双袜子需要8元，5双袜子需要12元，已知每双袜子的成本和利润都是整数分，求每双袜子的成本．3．甲站有车26辆，乙站有30辆．从上午8点开始，每隔5分钟由甲站向乙站开出一辆车，每隔7.5分钟由乙站向甲站开出一辆车，都经过1小时到达对方车站，问：最早在什么时刻，乙站车辆数是甲站的3倍？总共持续多长时间？4．有4种颜色的卡片每种各3张，每张卡片上写有一个正整数，相同颜色的卡片上写有相同的数，不同颜色的卡片上写有不同的数．把这些卡片发给6个人，每人得到2张不同色的卡片，将上面的数相加，得到了6个和：88、121、129、143、154、187.但是，其中有一个人算错了．请从小到大依次写出四种颜色卡片上所写的数，请写出所有可能．5．生产某种产品100吨，需用A 原料250吨，或B 原料300吨，或C 原料225吨，或D 原料240吨，或E 原料200吨．现知用了A 原料和另外两种原料共15吨生产该产品7吨，每种原料都用了至少1吨，且某种原料占了原料总量的一半，那么另两种原料是什么？分别用了多少吨？6．北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者（包含200元）优惠5%．每次买书500元以上者（包含500元）优惠10%．某顾客到书店买了三次书，如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜13.5元；如果三次合并一起买比三次分开买便宜39.4元．已经知道第一次的书价是第三次书价的85．问：这位顾客第二次买了多少钱的书？7．甲、乙两人同时从A 地出发，以相同的速度向B 地前进，甲每行5分钟休息2分钟，乙每行210米休息3分钟，甲出发后50分钟到达B 地，乙到达B 地比甲迟了10分钟．已知两人最后一次的休息地点相距70米，求两人的速度．8．货运公司要用若干辆最大载重2.1吨的汽车一次性搬运总重18.6吨的货物．为方便搬运，公司把这18.6吨货物包装成若干箱，每箱重量相同．由于包装规格所限，每箱的重量不能超过320千克，且包装好后，货物只能整箱搬运，不得拆箱．请问：要保证一定能一次搬运所有货物，至少需要多少辆汽车？此时每箱货物重量为多少千克？9．某车间有30名工人，计划要加工A 、B 两种零件，这些工人按技术水平分成甲、乙、丙三类人员，其中甲类人员有6人，乙类有16人，丙类有8人．各类人员每人每天加工两种零件的个数如表17-1所示．如果要求加工A 、B 两种零件各3000个，那么最少要用几天？10．有三个一样大的桶，一个装有浓度为60%的酒精100升，一个装有水100升，还有一个桶是空的．现在要配置浓度为36%的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具，并且桶上无其他刻度．如果倒溶液的时候最多只允许往每个量具里倒4次，那么最多能配置出浓度为36%的酒精多少升？11．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙三人从同一地点同时出发，每人环行2周．现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度都是每小时5千米，乙和丙步行的速度都是每小时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使三个人两辆车同时到达终点，环行2周最少要用多少分钟？12．幼儿园分大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多61人，中班共27人．把25筐苹果分给他们，每筐苹果在50至60之间不等．已知苹果总数的个位数字是7，若每人分得19个，则苹果不够；若大班比中班每人多1个，中班比小班每人多一个，则苹果刚好分完．那么按第二种分法，大班每人分得几个苹果？小班有多少人？超越篇1．如图17-5所示，在直角三角形ABC 中，AC 长3厘米，CB 长4厘米，AB 长5厘米．有一只小虫从C 点出发，沿CB 以l 厘米／秒的速度向B 爬行；同时，另一只小虫从B 点出发，沿BA 以1厘米／秒的速度向A 爬行，请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形？（请写出所有答案）2．七个人围坐在圆桌周围，在每个人面前都有一个牛奶杯．第一个人把自己的牛奶都平均分到其余的杯子中去，接着第二个人照样做一遍，然后第三个人到第七个人也同样做一遍．最后发现每个杯子中的牛奶都和最开始时一样多．如果所有杯子的牛奶共有7升，那么第一个人到第七个人的杯子里开始时分别有牛奶多少升？3．甲、乙两人切蛋糕，两人轮流切，每人切走了五块．已知：①甲切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的61、62、63、64和65各1次，但不全对应切蛋糕顺序；②乙切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的51、52、53、54和55各1次，也是不全对应切蛋糕顺序；③切的最大的两块都是原来蛋糕的91，另外还有一块大小是原来蛋糕的2251．求切的第八块蛋糕与原来蛋糕的大小之比．4．师徒两人共同组装50台机器，每台机器组装必须经过A 、B 两道工序．对于每台机器，师傅操作A 工序需要15分钟，操作B 工序需要5分钟；徒弟操作A 工序需要45分钟，操作启工序需要20分钟，每台机器每道工序只能由一人完成，不同工序可以由不同人分别完成，但必须A 先B 后．试问：如果两人合作至少要花多少分钟才能完成工作？5．甲、乙两人在如图17-6的跑道上练习跑步，两人从A 点同时出发，甲在A 、E 之间做折返跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道ABCD 顺时针跑步，已知AB=BE=100米，且两人跑步的速度都在每秒3米到每秒8米之间．如果两人出发2分钟后第一次相遇，之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离A 多远？6．某电器商场开展促销活动，每次消费超过1500元不足3000元者（含1500元）优惠5%，超过3000元者（含3000元）优惠10%．甲、乙、丙三个人各买了一件电器，如果甲、乙一起结算，比分开结算便宜130元；如果甲、丙一起结算，比分开结算便宜260元；如果三人一起结算，比三人分开结算便宜405元．请问：三人购买的电器价格分别是多少？7．某商场进行酬宾，规定现金消费每满50元返回10元礼券，多出不足50元部分不计（比如消费99元只能返回1张10元礼券），用礼券产生的消费不参与返券．妈妈看中了3件商品，分别是100多元、200多元、300多元，且都是10的倍数，更巧的是，有两件商品的价格之和正好是整百．为了充分利用返券，妈妈打算先买其中的两件，然后兑换成返券，这样买第三件商品的时候，就可以用上返券了，当然，如果返券不够买第三件，自己还得再掏一些钱，她合计了一下，这样安排的话，共有三种可能的消费结果：第一种恰好花640元，礼券也用完了；另外两种情况都要花670元，但最后又返回40元礼券．问：三种商品的价格分别是多少元？8．学校运来125个桃和若干个梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分，这时又运来了26个水果（桃梨若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每个老师多分得3个水果（每位老师的桃数相同，梨数相同）．最后又运来40个水果（桃梨若干），但是发现所剩的桃和梨竞不够每位老师同时多拿一个，那么第一次分后剩下了多少个梨？第 17 讲 应用题综合二兴趣篇1、有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长 12 厘米。

高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲数论综合提高一第十五讲数论综合提高本讲知识点汇总：一. 整除1. 整除的定义如果整数a除以整数b b 0，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a .如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b 不整除a.2. 整除判定(1)尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被& 125整除的数的特征：末三位能被8或125整除.(2)截断求和法能被9、99、999及其约数整除的数的特征.(3)截断求差法能被11、101、1001及其约数整除的数的特征.(4)分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性.3. 常用整除性质(1)已知 a | b、a |c，则a | b c 以及a| b c . ( b>c)(2)已知ab |ac，则b |c .(3)已知 a | bc 且a,b 1，则 a | c ?(4)已知 a | c 且 b |c，贝V a, b c .4. 整除的一些基本方法：(1)分解法：①分解得到的数有整除特性；②两两互质.(2)数字谜法：①被除数的末位已知；②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.(3)试除法：①除数比较大；②被除数的首位已知(4) 同除法：①被除数与除数同时除以相同的数；②简化后的除数有整除特性?二、质数与合数1. 质数与合数的定义质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数.2. 分解质因数分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式. 女口：100 225 , 28 0 235 7 ?典型题型一.整除1. 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字；(1)9的考点：乱切法；(2)11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减偶段和.2. 整除性质的使用；3. 整除与位值原理；4. 整除方法在数字谜中的应用.二.质数合数1. 质数合数填数字：注意2和5的特殊性;2. 判断大数是否为质数：逐一试除法；3. 末尾0的个数问题：层除法.例1. ( 1)五位数3口6口5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少?(2)如果六位数387□匚|□能被624整除，则三个方格中的数是多少？(3)末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？「分析」（1）75可以分解为3和25; （2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答.练习1、（1）六位数10 37 没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多少？（2）如果六位数374□□口能被324整除，则三个方格中的数是多少？（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？例 2.将自然数1, 2, 3,…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键.练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：12345678910111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？例3.已知3a7 bOc是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字.请问：三位数abc 是多少？「分析」分解495=5 X 9X 11,可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可, 分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？练习3、已知aOOb 3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字.请问:位数abc是多少?例4. 一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确定五位数的前三位,然后根据9的整除特性确定其余数字.练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除,去掉末两位之后形成的两位数可以被29 整除,这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？例5. 72 乘以一个三位数后,正好得到一个立方数? 这个三位数最大是多少？「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数,分解72可以确定质因数的种类, 满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数.例6.在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比前n 1个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？「分析」末尾0 的个数决定于2和5的对数,有一对2、5就可以确定一个0,而题目数列中2的个数一定多于5的个数,所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可.数学王国里的一颗明珠一一梅森素数早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2P 1是素数，则（2p- 1）2（P1）是完美数（Perfect number）.1640年6月，费马在给马林梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质.我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”.这封信讨论了形如2P1的数（其中p为素数）.梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2 , 3, 5, 7, 13 ,17, 19, 31, 67, 127, 257时，2p1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1是合数.前面的7个数（即2, 3, 5, 7, 13, 17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31, 67, 127和257）属于被猜测的部分. 不过，人们对其断言仍深信不疑.虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位.梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑.由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp 2p1 .如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）.2300多年来，人类仅发现47个梅森素数.由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为数海明珠”.自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程.作业1.五位数3口0口5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少?2. (1)已知六位数2口01口2是99的倍数，那么这个六位数是多少?(2)已知六位数19 49 是72的倍数，那么这个六位数是多少?3. 201 202 203 L 500的末尾有多少个连续的0?4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少?5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，…，颗颗炼成不老长生丹.然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干.已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？第十五讲数论综合提高一例7.答案：(1) 30675、38625、39675; (2) 504; (3) 26999详解：(1)据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7,填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625,填7时，满足条件是30675或39675,所以答案是30675、38625、39675.(2)将六位数补成387999 , 387999除以624余495，所以387999减去495的差387504 一定是624的倍数，所以答案是504.(3)改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931 等于26999.例&答案：36详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可.9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+ N是9的倍数，即N N 1是9的倍数，即N或N 1是9的倍数，所以2满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36,写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36.例9.答案：865详解：495 5 9 11，即只要满足是5、9、11的倍数即可?对肓，不论a取哪一个一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0C 一定是11和5的倍数，即是605.于是307是9的倍数，所以a是8,所以a、b、c组成的三位数是865.例10 . 答案：13806、94365详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806 ;最大且数字不同，则前三位只能是943,再根据9的整除特性，所以最大是94365. 例11 . 答案：648例12 . 答案：83详解：这是一个首项为1,公差为3的等差数列，由题意知第n 1个数应为125的倍数,即3n 1 125k，可知k取2时符合要求，此时n为83.练习：练习1、答案：(1) 105372; (2) 220、544 或868; (3) 20999练习2、答案：35练习3、答案：548或908简答：即a00b 3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知^0b与3c5分别要被(4、9)与11整除，所以可求得abc是548或908.练习4、答案：最小值是2907;最大是8793作业6. 答案：38025简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025.7. 答案：(1) 260172 ； (2) 197496简答：(1)设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a 1 b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a 6, b 7，所以该六位数为260172 ； (2)能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496.8. 答案：75简答：500!所含0的个数减去200!所含0的个数即可，答案为75.9. 答案：34简答：易知3421190 352,所以可估算出所求的数为34.10. 答案：900简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5,于是当n 235 30时，n2900为所求答案.。

142n；1．1⨯2+2⨯3+3⨯4+L+n⨯(n+1)=n⨯(n+1)⨯(n+2)n⨯(n+1)⨯(n+2)⨯(n+3)4．第十七讲整数型计算综合提高一、多位数计算1．凑整、凑9的思想；2．数字和问题：999L439与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×．n个9二、等差数列1．等差数列的“配对”思想；2．求和公式：（1）(首项+末项)⨯项数÷2；（2）中间项⨯项数．3．项数公式：(末项-首项)÷公差+1．4．第n项：首项+(n-1)⨯公差．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是：（1）设等比数列的和为S；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）（3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1．平方差公式a2-b2=(a-b)(a+b)．2．平方求和12+22+32+L+n2=n⨯(n+1)⨯(2n+1)63．立方求和．13+23+33+L+n3=(1+2+L+n)2．五、整数裂项；32．1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+3⨯4⨯5+L+n⨯(n+1)⨯(n+2)=14 2 214 （ （ （ 经典题型一、整数数列基本计算1． 公式型计算；2． 平方差公式的应用；3． 整数裂项： （1） 基本裂项：例如 1×2、1×2×3 等；（2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧1． 换元思想；2． 分组思想；3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1） 888888882 - 111111112 的计算结果是多少？（2） 888 L43 8 ⨯ 333 L 43 3的计算结果的数字和是多少？ 30个830 个3「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果， 再算数字和．练习 1、 999999999 ⨯ 999999999 的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数 1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续 2 个页码漏掉了，结果得到 2013，那么这本书共有多少页？漏掉的 2 页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习 2、把从 1 开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如： 1）， 3，5，7）， 9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第 8 组中所有数的和是多少？+ + L + 例3． 对自然数 a 和 n ，规定 a ∇n = a n + a n -1 ，例如 3∇2 = 32 + 3 = 12 ，那么：（1）计算：1∇2 + 2∇2 +L + 30∇2 ；（2）计算： 2∇1 + 2∇2 +L + 2∇10．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习 3、对自然数 a 和 n ，规定 a ∇n = a n + a n -1 ，例如 3∇3 = 33 + 32 = 36 ，那么：算式： 1∇3 + 2∇3 + L + 30∇3 的结果是多少？例4． 计算：1⨯ 2+(1+2) ⨯ 4+(1+2+3) ⨯ 6+(1+2+3+4) ⨯ 8+L +(1+2+L +20) ⨯ 40 ．「分析」试着计算几项，寻找一下规律．13 13 + 23 13 + 23 + 33 13 + 23 + 33 + L + 1003 练习 4、计算： + ． 1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + L + 100例5． 计算：1⨯ 2 + 3 ⨯ 4 + 5 ⨯ 6 + L + 99 ⨯100 ．「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6． 计算：1!⨯ 3 - 2!⨯ 4 + 3!⨯ 5 - 4!⨯ 6 + L + 2009!⨯ 2011 - 2010!⨯ 2012 + 2011!⨯ 2013 - 2012!「分析」关于阶乘的计算一定牢记： n !⨯ (n + 1) = (n + 1)! ，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．（ 1（ （ 作业1. 333333 ⨯ 333333 的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加 5 个，乙背单词的数量每天增加 1倍，已知第一天二人共背了 33 单词，第二天二人共背了 40 个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算： 1）212 + 222 + 232 + L + 402 ； 2）22 + 42 + 62 + L + 422 ； 3） 2+ 32 + 52 L + 232 ， 的结果？4. 计算：1⨯ 39 + 2 ⨯ 38 + 3 ⨯ 37 + 4 ⨯ 36 + L + 39 ⨯1 ．5. 已知一个平方数加上 143 后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？14 14 14 14 1 44 43 L 43 4 L 14141第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得：888888882 - 111111112= (88888888 + 11111111)⨯ (88888888 - 11111111)= 99999999 ⨯ 77777777= 77777777 ⨯ (100000000 - 1)= 7777777700000000 - 77777777= 7777777622222223（2）凑整可得：8882L438 ⨯ 3332L43 3 = 8882L43 8 ÷ 3 ⨯ 3 ⨯3332L43 3 30个8 30个3 30个8 30个3= 296296L4 296 ⨯ 9992L439 = 2962 296295703 2 70370410个296 30个9 9个296 9个703数字和是 270．例8． 答案：这本书共有 64 或 63 页；漏掉的两页是 33、34 或 1、2详解：1 + 2 + 3 + L + 64 = 2080 ．所以共 64 页，差的两个页码的和是 67，所以是 33 页和 34 页．1 +2 +3 + L + 63 = 2016 ．所以也可以数 63 页，差的两个页码的和是 3，所以是 1 页和2 页．例9． 答案：（1）9920；（2）3069详解：（1）根据题目定义的新运算可得：1∇2 + L + 30∇2 = (12 + 1)+ (22 + 2)+ L + (302 + 30)= (12 + L + 302 )+ (1 + L + 30) = 9920 ；（2） 2∇1 + 2∇2 + L + 2∇10 = (21 + 20 )+ (22 + 21 )+ L + (210 + 29)= (21 + 22 + L + 210 )+ (20 + 21 + L + 29 )= 211 - 2 + 210 - 1 = 3069 ．= ⨯ 2 + ⨯ 4 + ⨯ 6L + ⨯ 40 例10． 答案：46970详解：1⨯ 2+(1+2) ⨯ 4+(1+2+3) ⨯ 6+(1+2+3+4) ⨯ 8+L +(1+2+L +20) ⨯ 401⨯ 2 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 20 ⨯ 21 2 2 2 2= 12 ⨯ 2 + 22 ⨯ 3 + 32 ⨯ 4 + L + 202 ⨯ 21= 12 ⨯ (1 + 1) + 22 ⨯ (2 + 1) + 32 ⨯ (3 + 1) + L + 202 ⨯ (20 + 1)= (13 + 23 + L + 203 )+ (12 + 22 + L + 202)= 46970例11． 答案：169150详解：1⨯ 2 + 3 ⨯ 4 + 5 ⨯ 6 + L + 99 ⨯100 = (22 - 2)+ (42 - 4)+ (62 - 6)+ L + (1002 - 100) = (22 + 42 + L + 1002 )- (2 + 4 + L + 100) = 171700 - 2550= 169150例12． 答案：1详解：1!⨯ 3 - 2!⨯ 4 + 3!⨯ 5 - 4!⨯ 6 + L + 2009!⨯ 2011 - 2010!⨯ 2012 + 2011!⨯ 2013 - 2012!= 1!⨯ (1 + 2) - 2!⨯ (1 + 3) + 3!⨯ (1 + 4) - L - 2010!⨯ (1 + 2011) + 2011!⨯ (1 + 2012 ) - 2012! = 1!+ 2!- (2!+ 3!) + (3!+ 4!) - L - (2010!+ 2011!) + (2011!+ 2012!) - 2012!= 1= (12 + 22 + L + 1002 )÷ 2 + (1 + 2 + L + 100) ÷ 2 = ⨯100 ⨯101⨯ 201 ÷ 2 + 5050 ÷ 2 = 171700 ． 练习：练习 1、答案：81简答：原式 = 111111111÷ 9 ⨯ 9 ⨯111111111=12345679⨯ 999999999= 12345678987654321结果数字和为 81．练习 2、答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是 3 的次方，即 1，3，9，27，81，L L ，从而第 8 组第 1 个数为 2187，第 9 个组第 1 个数为 6561，即求 2187 + 2189 + L L + 6559 ，等差数列求和得 (2187 + 6559)⨯ 2187 ÷ 2 = 9563751 ．练习 3、答案：225680简答：1∇3 + 2∇3 + L + 30∇3 = 13 + 12 + 23 + 22 + 33 + 32 + L + 303 + 30212 + 22 + 32 + L + 302 + 13 + 23 + 33 + L + 303 = 225680 ．练习 4、答案：171700简答： 需要借助这样一个公式： 13 + 23 + 33 + L L + n 3 = (1 + 2 + 3 + L L + n )2 ，因此， 原式= 1 + (1+ 2) + (1+ 2 + 3) + L + (1+ 2 + 3 + L + 100) = (1⨯ 2 + 2 ⨯ 3 + 3 ⨯ 4 + L + 100⨯101)÷ 21 6作业6.答案：54简答：333333⨯333333=111110888889，数字和是54．7.答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a、b个单词，所以甲第n天背a+5(n-1)个单词，乙第n 天背2n-1b个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程a+b=33和a+5+2b=40，可求得a和b分别为31和2，可知答案为6；8．8.答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009.答案：10660简答：原式=1⨯(40-1)+2⨯(40-2)+L+39⨯(40-39)=40⨯(1+2+L+39)-(12+22+L+392) =10660．10.答案：1或5041简答：设已知关系式为a2+143=b2，应用平方差公式有(b+a)(b-a)=143，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。

第十七讲小升初总复习模拟测试四【学生注意】本讲练习为提高测试卷，满分100分，考试时间70分钟．一、填空题Ⅰ（本题共有8小题，每题6分）1.计算：11111 58811111414171720++++=⨯⨯⨯⨯⨯_______．2.有a、b、c三个自然数，乘积是2010，则a b c++的最小值是_______．3.如图，BD、DF、FC的长分别为2、3、4，三角形AFC的面积为24，E为AF中点，则四边形ABDE的面积是________．4.某岛住着两种居民：老实人只讲真话，而骗子只说谎话．当游客遇到三名同行的岛民时，向他们每人问了同样的一句话：“你的两名同伴中有几个是老实人？”第一个人回答：“0个．”第二个人回答：“1个．”那么第三人将回答：“_________个．”（填0、1或2）5.甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书320本．如果从甲调35本给乙，从乙调18本给丙，从丙调19本给丁，从丁调38本给甲，则四个组的图书变成一样多．那么甲、乙、丙、丁四个小组原来分别有书_____本、_____本、_____本、_____本．6.某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后并没有拿到报酬，那么他最多出勤了_______天．7.在一次动物运动会的30米短跑项目结束后，大牛发现：胖猪、瘦狗和圆龟三只动物的平均用时为10秒，胖猪、瘦狗、圆龟、逗逗猴和大牛5只动物的平均用时为8秒．如果大牛和逗逗猴的速度比是2:3，那么大牛每秒跑了_______米．8.有的自然数，既是210的倍数，又恰好含有210个约数，那这样的自然数共有_______个．二、填空题Ⅱ（本题共有4小题，每题7分）9.已知414611760.839525□，那么方框内填的数是_______．10.春节期间，某商店按下面两种方式促销：第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折后再减20元．刘老师到商店买了两件原价不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元．已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），那么这两件商品的原价分别是______元和______元．11.如图，五个面积相同的正方形放在一个面积是164的盒子里面，盒中空白面积已经标出，那么每个正方形的面积是______．12.将1到16这16个数填入44的方格表中．如果某个方格里填的数在它所在行和所在列里都不是最大的，则称该方格是“平庸”的．那么“平庸”的方格最多有______个，最少有______个．三、填空题Ⅲ（本题共有3小题，每题8分）13.现有一个盛有水的圆柱形容器底面半径是12厘米．如果把一个高为12厘米，底面半径是6厘米的圆锥形铁块（底面朝下）放入水中，则水面高度恰好上升到圆锥高度的一半．如果取出该铁块后，再放入一个与原铁块底面半径和高都相同的圆柱形铁块，则水面高度将上升为_______厘米．14.定义新运算“*”：对任意数m、n，111*m n m n．已知111*6,*25m nm n，那么m和n的差是_______．15.把“高思寒假尖子班正在考试”写成如图中的样子，每次自左往右读时，能取不同路径，但上下最多只允许错开一个字，共有______种读法．已知去掉图中36个汉字中的某一个之后，全部读法就只剩1288种，那么被去掉的是哪一个汉字？请在图中把这个汉字圈起来．高思寒假尖子班正在考试思寒假尖子班正在考寒假尖子班正在假尖子班正尖子班子第十七讲 小升初总复习模拟测试四16. 答案：120．解答：原式=11111111111135881111141417172020⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 17. 答案：78．解答：要使a b c ++最小，a 、b 、c 三个自然数之间必须尽量接近．201023567=⨯⨯⨯，当三个自然数取5、6、67时，有最小和数78．18. 答案：21．解答：三角形ABF 的面积是524304⨯=，三角形DEF 的面积是1330925⨯⨯=，所以四边形ABDE 的面积是30921-=．19. 答案：1．解答：假设第一个人是老实人，则余下两人都是骗子，而此时第二人回答“1个”说的是真话，矛盾，所以第一个人是骗子．假设第二个人是骗子，由“1个”得第三个人也应该是骗子，从而第一个人说的“0个”是真话，矛盾，所以第二个人是老实人，第三个人也是老实人，第三个人将回答“1个”．20. 答案：77；63；81；99．解答：最后四个组的书都是320480÷=本．甲拿出了35本，拿进了38本之后变为80本，说明甲组原来有80383577-+=本．其余三组按同样方法可求得分别有63、81、99本．21. 答案：6．解答：出席一天的钱可以被扣4天，说明工人最多出席了15的时间，即13065⨯=天． 22. 答案：5．解答：大牛和逗逗猴共用时5831010⨯-⨯=秒．由于大牛和逗逗猴的速度比是2:3，因而时间比为3:2，大牛跑完全程花了31065⨯=秒，大牛速度为3065÷=米/秒． 23. 答案：24．解答：是210的倍数，说明至少有四种质因数2、3、5、7；有210个约数，说明这个数只能是246x y z w ⨯⨯⨯的形式，其中x 、y 、z 、w 恰好是2、3、5、7的一个排列．故符合要求的自然数个数是4!24=．24. 答案：3.2．解答：利用移项要变号的性质倒推．25. 答案：240；120．解答：事实上，按第一种方式，相当于“打八折后再减2080%16⨯=元”．两件商品一起购买，相当于打八折后，再减162036+=元，所以两件商品的原价之和是()252360.8360+÷=元．进一步可以推断出两商品原价分别为240元和120元．26. 答案：39．解答：如图，1y =，55x x y z z z +=++=++，得4z =、8x =．于是四边形ABCD 的面积是41，:41:1641:4AB AE ==，所以3BE AB =，每个正方形的面积是()3539x ⨯+=．27. 答案：12；9．解答：（1）每行最多有3个平庸的方格，所以最多有12个平庸的方格，如图1所示；（2）每行、每列最多有一个方格不“平庸”，且行与列之间最少有一个公共的不平庸的方格，所以最多有4417+-=个不平庸，最少有9个平庸的方格．如图2所示．A BE28. 答案：416．解答：水的体积是2217126π612864π126π738π38⨯-⨯⨯⨯=-=立方厘米，放入圆柱体后，底面积变为2212π6π108π-=平方厘米，所以最后水面高度为738π41108π6=厘米． 29. 答案：5．解答：依题意，得1116m n m n mn +=+=，1112511125m n m n +=+==，所以1251506mn =÷=．于是()()22425m n m n mn -=+-=，m 和n 的差是5．30. 答案：2188；第二个“子”．解答：（1）标数法，如图，有2188种；（2）事实上，去掉一个汉字，少掉的读法数恰好是从左读到这个汉字，以及从右读到这个汉字的读法数乘积，如去掉第一行中的“寒”，则少掉2323646⨯=种读法．去掉第一行中的“子”，少掉的读法数是2121441⨯=．题中去掉一个汉字，要少掉21881288900-=种读法，这个汉字只能是第二个“子”．1 12 4 9 21 51 127 323 835 2188 1 2 5 12 30 76 196 512 13531 3 9 25 69 189 5181 4 14 44 133 1 5 201。