二次函数解析式的几种表达式

二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数是一个非常重要的函数，它有三种标准形式的表达式，分别
是一般型、完全型、标准型的表达式，它们可以应用于多学科，对于
任意二次函数都可以使用其中一种表达式来表示它。

一、一般型的表达式
一般型的表达式是指的是y=ax^2 + bx + c的形式，其中a，b，c为
实数，其中a不能等于0，这是一般型表达式的特点，这也是二次函数最基本的表达方式。

二、完全型的表达式
完全型表达式是一般型的扩展，它的表达式形式为y=ax^2 + bx + c + dx + e，其中a、d不能同时为0，其他的参数都可以为0，但是参数a不能为0.完全型的表达式是二次函数的一种重要形式，它可以很好
地表示一个函数的形状，起到了很重要的作用。

三、标准型的表达式
标准型的表达式是二次函数最常用的表达式形式，它有一个标准的表
达式形式，即 y = a(x - h)^2 + k，参数a不能等于0，其中h为x
轴上的横坐标，k为y轴上的纵坐标。

标准型表达式最大的优点就是能够很容易地根据函数的图像来确定各参数的值，这个特点使得它在实
际应用中非常有用。

总结
以上就是二次函数的三个表达式的介绍，它们各有优缺点，在具体应
用中应根据具体情况来选择适合的表达式。

正确的使用三种表达式就可以很好地表达二次函数的特性。

二次函数解析式的几种常见形式二次函数解析式的几种形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0).(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y 轴，但不过原点，则设y=ax^2+k1.7定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。

IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。

）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式①一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3种形式可进行如下转化：①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a②一般式和交点式的关系x1，x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)注意事项•二次函数知识点总是与图形相对应，这也是函数的特点之一，我们在学习二次函数的时候，一定要注重代数与几何的双重锤炼，做到真正的数形结合，同时，也能够让自己对二次函数知识点理解更深刻。

求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。

现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。

一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。

二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。

例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。

若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。

求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。

⼆次函数表达式三种形式的联系与区别⼆次函数表达式三种形式的联系与区别⼆次函数的表达式有三种形式，即⼀般式、顶点式、交点式。

它们之间各不相同，⽽⼜相互联系。

⼀、⼀般式：y = a JQ +bx + c （a 0）优点：⼆次项系数"，⼀次项系数b,常数项c,三系数⼀⽬了然。

缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴b 4（〔c _ b⼆、顶点式：y = a（X-\----- ） + ------- （°H0）2a牝优点：很容易看出顶点坐标和对称轴缺点：不容易看出⼆次项系数“，⼀次项系数b,常数项C各是多少。

三、交点式：y = ?（x-x1）（-^-x2）优点：很容易看出图像与X轴的交点坐标（⼪，0）和（⼔，0）缺点：（1）不容易看出⼆次项系数"，⼀次项系数⽅，常数项C各是多少。

（2）当图像不与x轴相交时，此式不成⽴。

四、三种表达式之间的联系（1）⼀般式转化为顶点式利⽤配⽅法转化（⼀提、⼆配、三整理）y = X + bx + cu 2a 2a ⼀提，提⼆次项系数，只对⼆次项、⼀次项提系数“3—⼆配，配⼀次项系数⼀半的平⽅，⼒⼝上后⽴即减下来（2）顶点式转化为⼀般式展开整理即可z b 、 4ac — b y = ） + —- （? ⼯o ）2G 牝2 b h 4uc — b=^X +-"孑）+"4Q 4“4uc - X= a x +bx + ^- + --------- 」A 4a 4a2 f 4ac =a Y + bx +A 4a 2 =d X + bx + c（3）交点式转化为⼀般式展开，利⽤韦达左理整理可得⼆次函数y = 0才+加+（? （c H 0）与x 轴有两交点（弟，0）和（兀2，0）则X\和Xi 为⽅程a X +快+ c= 0的两个根y = a{x-x ^x-x ^= a （X-X i x -X 2x + X l X2>⼆川⽦⼀⼔+上权+兀矩]b c由韦达左理得：X] + X° = __ _a a代⼊得：y = a[x ⼀（X + X^x + %!兀2】r 2 . b. c.=a ^X _（__）% + _1a a=a ” + bx + c三种表达式视情况⽽定：（1）不知道特殊点的坐标时，常⽤⼀般式来表⽰：（2）知道顶点坐标，常⽤顶点式来表⽰：（3）如果知道图像与尤轴的交点坐标，常⽤交点式来表⽰。

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解〔提高〕【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，复原：将求出的待定系数复原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2〔a ≠0〕. 由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为〔0，2〕，〔4，0〕，〔5，-3〕.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点〔032,〕和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422().将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。

谈谈二次函数解析式的几种求法二次函数是初中数学非常重要的知识点，也是中考的必考内容。

本人在多年的教学中体会较多，现就二次函数的解析式的几种求法，谈谈几点看法。

二次函数的解析式的求法有很多种，但常见的也就以下几种。

（一）三点式即已知抛物线的三点坐标，求其解析式例如：一抛物线经过点（-1，-1）（0,2）（1,1）求这个函数的解析式。

解法如下：我们知道，二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，只需把上述三点代入y=ax²+bx+c即可解：设所求的二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把点（-1，-1）（0,2）（1,1）代入得 a-b+c=-1 a=2c=-2 b=1a+b+c=1 ,解得 c=-2即所求的二次函数的解析式为y=2x²+x-2（二）顶点式我们知道二次函数经过配方可得y=a（x-h）²+k的形式。

例：已知二次函数的顶点为（-1，-2）且经过点（1,10），求这个函数的表达式？解法如下：解：设所求抛物线为y=a （x+1）²-2, 再把（1,10）代入上式求得c=3.所以所求二次函数的解析式为y=3（x+1）²-2 即 y=3x ²+6x+1(三)交点式我们知道二次函数y=ax ²+bx+c 与x 轴的两交点的横坐标亦即是方程ax ²+bx+c=0的两个根，利用这种关系，也能够求出一些二次函数的解析式。

例如：某二次函数与x 轴的两交点为(3,0)(1,0)且经过点（0,3）求这个二次函数的解析式。

解：设所求的二次函数的表达式为y=a （x-3）（x-1），把（0,3） 代人上式得a=1， ∴所求函数的解析式为y=（x-3）（x-1）， 即y=x ²-4x+3（四）平移法例：平移二次函数y=2x ²的图像是它经过点（-1，1）(2,3)两点，求这时函数对应的二次函数的解析式？我们知道，平移二次函数的图像时，a 的值是不变的，所以，只要确定b 、c 的值就能够了。

二次函数的解析式求法二次函数有三种解析式的形式： ①一般式2(0)y ax bx c a =++≠， ②顶点式()2(0)y a x m k a =++≠，③交点式()()12(0)y a x x x x a =--≠，请选择恰当的序号填空：已知二次函数的顶点坐标是（4，5），可设其解析式为_______; 已知二次函数经过三个点（1，0）、（-1，2）、（4，3），则可设其解析式为____; 已知二次函数与x 轴交于点（5，0）、（-3，0），则可设其解析式为________。

题型一：三点式例1：已知一个二次函数图形经过（-1,10）、（2,7）和（1,4）三个点，那么这个函数的解析式是 。

题型二：交点型例2：已知抛物线9822-+-=x x y 的顶点为A ，若二次函数c bx ax y ++=2的图像经过A 点，且与X 轴交于点B(0,0)、C(3,0)两点，试求这个二次函数的解析式。

题型三：顶点型例3：已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点是A （-1,4）且经过点（1,2），求其解析式。

题型四:开放型例4：一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=-2x 2相同，试写出这个函数解析式． 变式训练：1、若所求的二次函数图象与抛物线y=2x 2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的解析式为 ．（写出一个正确的解析时即可）例5：二次函数c bx ax y ++=2的图像向左平移2个单位，在向上平移3个单位得到二次函数122+-=x x y ，求b 与c 的值。

变式训练：1、将二次函数22x y =的图像向上平移2个单位，所得到的解析式为 。

2、将抛物线x x y +=2向右平移a （a>0）个单位得到抛物线232+-=x x y ，则a= 。

3、已知二次函数y=x 2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k 为 。