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华东师大版八年级上册课件 12.3 两数和(差)的平方 (1)(共21张PPT)

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华东师大版八年级数学上册两数和(差)的平方课件

华东师大版八年级数学上册两数和(差)的平方课件
③

＋

·－
��

A.①③
B.①②
C.①②③
D.①②③④
；④(x－2)(x＋1).
合作探究
运用完全平方公式计算:(－2x＋5y)2.
解:(－2x＋5y)2＝(5y－2x)2＝(5y)2－2×5y×2x＋(2x)2
＝25y2－20xy＋4x2.
方法归纳交流 对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用
第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式
2.两数和差的平方
素养目标
1.知道两数和的平方公式.
2.会从已有的整式乘法的知识中提炼出两数和的平方这一乘
法公式.
3.能运用两数和的平方公式进行有关计算.
◎重点:对两数和的平方公式的理解，能运用完全平方公式
进行简单的计算.
预习导学
1.说出平方差公式.两数的和乘以这两数的差等于这两个数
预习导学
归纳总结
－b)2＝
完全平方公式:(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2 ，(a
a2－2ab＋b2 .用语言来叙述:
两数和(或差)的平方，
等于这两数的平方和，再加上(或减去)它们的积的2倍 .
【讨论】(a＋b)2＝a2＋b2对吗？为什么？
不对.因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
预习导学
·导学建议·
1.通过计算探究得到两数和(差)的平方公式，利用图形验证
完全平方公式，体会数形结合思想.
2.具有a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的情势的多项式叫做两数
和(差)的平方式，这种情势的多项式可以化成一个整式的平方.
预习导学
两数和(差)的平方公式的应用
阅读课本本课时“例4”至“练习”前面的内容，解决下列

华东师大版八年级上册课件 12.3.1 两数和乘以这两数的差(1)(共24张PPT)

华东师大版八年级上册课件 12.3.1 两数和乘以这两数的差(1)(共24张PPT)
特征:
相同
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
相反数
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
平方差
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
(相同项)2-(相反项)2
找一找、填一填
(a-b)(a+b)
a b a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2
= 20002-22
= y2-4-y2-4y+.
= 3 999 996.
当堂训练2 (a＋b) (a－b) ＝ a2－b2
2.简便计算： (1)498×502; (2)999×1001
利用平方差公式简便计算
(4) 4951 2499
适当调整位置
平方差公式:
(a+b)(a－ b)=a2－ b2.
即两数和与这两数差的积 等于这两个数的平方差.
(-m+n) (-m - n) =m2 -n2.
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个数的和
这两数的平方差
这两个数的差
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个二项 式相乘
(a+b)(a-b)=a2-b2
(1+a)(-1+a)
a1
a2-12
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
小试牛刀
计算： 1、 (5x+y)(5x-y) 2、 (－x+3y)(－x-3y)
2、
解： (－x+3y)(－x-3y)

华东师大版数学八年级上册两数和(差)的平方课件

华东师大版数学八年级上册两数和(差)的平方课件
式的法则进行计算. 2、先视察图12.3.2：
（1）解用(不a同 的b)方2 法 表(a示 它b)的(a面积b).
a2 ab（ aab bb2 ）2
a 2 2ab b‖2
图12.3.2
a2 2ab b2
a+b
a+b a a b
b
=
+
+
(a+b) 2 =
a2 +
2ab + b2
结论：两数和的平方
例3、已知x y 7， xy 10， 求x2 y2的值.
解 : x y 7, xy 10
x2 y2 x y2 2xy
72 210 29
例4、已知(x-y)2＝4，（x+y)2＝64，求x2+y2 和xy的值？
解:由(x-y)2＝4， 可得x2+y2-2xy=4 ① 由(x+y)2＝64，
也可以根据两数和平方公式计算
(a b)2 a (b)2
a2 2a(b) (b)2
a2 2ab b2
结论：两数差的平方
(a－b)2＝ a2－2ab+b2
两数差的平方，等于它们 的平方和减去这两数积的2倍．
公式的特点 首平方，尾平方，积的2倍夹中央
a-b
a-b
a
b
b
a
=
-
+
(a-b) 2 =
(a＋b)2＝ a2+2ab+b2
两数和的平方，等于它们 的平方和加上这两数积的2倍．
公式的特点 首平方，尾平方，积的2倍夹中央
例题讲授
提示：请大家认
例1、用 (a b)2 a2 2ab b2 计算：
(1)(2x 3y)2 （2）(2a b )2

华东师大版八年级上册 12.3 两数和乘以这两数的差 课件(共22张PPT)

华东师大版八年级上册 12.3 两数和乘以这两数的差 课件(共22张PPT)
3、以上三道题的计算中，第２、３两题 的答案与第1题的答案有什么区别呢？
(第２、３两题的答案只有两项)
4、满足什么条件的多项式相乘会出现这种 情况？（请和你的同伴交流一下）
5、你能用一句话归纳出上述发现的规律吗？ 应该用什么合适的式子表示？
(a+b)(a-b)=a2-b2
特征:
两个数的这和两个数的差这两数的平方差
简记： （
＋
）（
－
＝２
２
）
－
注意：〖“
”表示一个单项式或者多项式 〗
运用两数和乘两数差的公式计算：(3x+2)(3x-2) 分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22 =9x2-4
( a+b)(a-b) = a2 - b2
用公式（a+b）(a-b)=a2-b2关键是识别两数
完全相同项
1 4
(2
)²
⑵、(－ x＋2)(－ x－2)
= (－x)²－2² = x²－4
⑶、(－ 2x＋y)( 2x＋y) ⑷、(y－ x)(－ x －y)
= y²－(2x)² = y²－4x²
= (－x)²－y² = x²－y²
知识应用 比一比，看谁算得又简便又快：
计算： 1996×2004
方法一：直接计算；1996×2004 = 3999984
方法二：构造公式计算； 1996×2004 = (2000－4) ×(2000 ＋ 4) = (2000)²－ 4² = 4000000 － 16 = 3999984
通过本节课,你有什么收获?
作业
１、基础题：课本：P33 习题13.3 第1题
２、补充题：计算 ( X +2Y)(2Y￣X)

华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和(差)的平方》优质课件

华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和(差)的平方》优质课件
乘法公式
两数和（差）的平方
复习回顾:
➢ 1.什么是平方差公式? (a+b)(a-b)=a²-b² ➢ 2.计算:
(1)(a+b)² (2)(a-b)² (1)(a+b)²=(a+b)(a+b)=a²+ab+ab+b²
=a²+2ab+b² (2)(a-b)²=(a-b)(a-b)=a²-ab-ab+b²
=4x²-12xy+9y²
(a –b)²= a² - 2• a• b+ b²
例一:运用两数和（差）的平方公式计算: (1)(4a-b)² (2)(y+0.5)² (3)(-2x-1)²
解:(1)原式=(4a)²-2•4a•b+b²
=16a²-8ab+b²
(2)原式=y²+2•y•0.5+0.5²
=a²-2ab+b²
两数和（差）的平方公式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加 上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b²
b
Ⅰ
Ⅱ
a
Ⅲ
Ⅳ
a
b
(1)图中正方形的面积是_____(_a_+_b_)_²__________
(2)图中Ⅰ的面积是___a_b________ Ⅱ的面积是____b_²_______ Ⅲ的面积是____a_²_________ Ⅳ的面积是____a_b__________
=y²+y+0.25
(3)原式=(-2x)²-2•(-2x)•1+1²
=4x²+4x+1

华东师大版初中八年级上册数学精品授课课件 第12章 整式的乘除 乘法公式 2.两数和(差)的平方

华东师大版初中八年级上册数学精品授课课件 第12章 整式的乘除 乘法公式 2.两数和(差)的平方

观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a b
a b
= a2 -
ab + b2
ab
(a-b)2
= a2
- 2ab + b2
例5 计算：
（1）(3x-2y)2
=(3x)22·(3x)·(2y)+(2y)2 =9x212xy+4y2
（2）
1 2
m
1
2
解 法 一
1 2
m
12
解 法 二
1 2
2.两数和（差）的平方
华东师大版 八年级数学上册
新课导入
做一做
用多项式乘法法则计算：(a+b)2. (a+b)2=( a + b ) ( a + b )
=a2+ab+ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b
2
ห้องสมุดไป่ตู้
利用这个公式， 可以直接计算 两数和的平方.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和 加上它们的积的2倍.
m
1
2
=
1 2
m
2
2
1 2
m
1
12
= 1 m2 m 1 4
=
1
1 2
m
2
=12
2
1
1 2
m
+
1 2
2
m
=12 m + 1 m2 4
解 法 三
1 2
m
1
2
=
1 2
m
1
2
=
1 2
m
12
=

华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和(差)的平方》教学课件


概括
两数和平方公式的特征：
1、左边是两数和的平方，右边可这样记： “首平方，尾平方，首尾二倍在中央”
2、我们还可以把公式形象的记为:
(口 〇)2 口2 2口〇 〇2
这里的“口”和“〇”可以是单项式或多项
学一学
例1 利用完全平方公式计算：
(1) (2x+3)2 ；
(2) (3m−2n)2
注意
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1;
(3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样 先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确哪个是 a , 哪个是 b.
解：(1) (2x+−3)2 = (2x )2 +2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 + 12x + 9 ;
(2) (3m−2n)2
做题时要边念边写： 首项 的平方,
加上 第一数与第二数乘 的2倍,
引入
昨天,我们数学老师布置了这样一 道题目:
(a+b)2 与(a+2b)2等于多少,而且要 用拼图来说明。我到现在还没有 结果呢,唉!今天上课又要挨批评 了, 怎么办呢?同学们,你们能帮帮 我吗?
探究
(a+b)2
=
a2 +
2ab
+ b2
a2
ab
a2
ab
ab
b2
a
b
a+b

华东师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和(差)的平方》课件

(-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2; (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2; (a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2.
当堂练习
1.运用完全平方公式计算：
(1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(2) (a+b+c)2 原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方 法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把 其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (3) (2m-1)2 ；

华师大版数学八年级上册两数和(差)的平方课件

2
解：(1)(2x+3y)2=(2x)2 +2 • 2x • 3y + (3y)2 =4x2+12xy+9y2.
(2)(2a+ b
2
)2=(2a)2 + 2 • 2a • b
2
+
b 2
2
=4a2
+
2ab
b2
+4
.
试一试
知2－讲
推导两数差的平方公式.
我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2. 注意到a-b =
21
1 2
m
1 2
m
2
1 m 1 m2. 4
总结
知2－讲
在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清题目 中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的 b，同时还要确定用两数和的平方公式还是两数差的 平方公式．
知2－练
1 计算(－a－b)2等于( )
A．a2＋b2
B．a2－b2
知3－讲
1 4
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的值是多少？ (2)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2， 其中a＝－3. (3)已知x2－4x＋1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y) (x－y)－y2的值．
导引：对于(1)，把等号左边的式子展开后对照各项，即可 得解；对于(2)，利用平方差公式和两数和(差)的平 方公式展开，合并同类项后代入求值；对于(3)， 先化简代数式，再将条件变形整体代入求值．
知3－讲
例4 已知a2＋b2＝13，ab＝6， 求(a＋b)2，(a－b)2的值．
导引：利用两数和(差)的平方公式展开，得到两数的平方 和与这两数积的两倍，再将条件代入求解．
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1 x2
(x1)2 2(x 1)
x
x
(x 1)2 2
x
32 2
7
小结
完全平方公式 ：
(a＋b)2= a2＋2ab＋b2
(a－b) 2 = a2 － 2ab + b2
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加上（或者减去） 它们的积的2倍．这两个公式叫做 乘法的完全平方公式．
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 ≠ a2 + b2
4、 填空:1 a2 6a ___9____ (a __3____2)
a22a33 2
2 4x2 20x _2_5____ (2x __5____2)
2x222x55 2
3 a2 b2 (ab)2 __2_a_b______
a22abb22ab
4 (x y)2 ___4_x_y_____ (x y)2
12.3.2 两数和（差）的平方
复习
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
变形形式：
(a－b)(a＋b) ＝a2－b2 (-a＋b)(-a-b)＝a2）( 2x＋5 ) ( 2x－5 )； （2）(11x－6y)(11x＋6y); （3）(-4b +5a) (4b＋5a); （4） (-2a－3b) (-2a＋3b)
2、归纳差平方公式及语言描述 （a-b）²＝a²-2ab＋b²
即：两数差的平方，等于它们的平方和减去它 们的乘积的2倍
3、公式的特点 首平方，尾平方，积的2倍夹中央
a-b
a-b
a
b
b
a
=
-
+
(a-b) 2 =
a2 -
2ab
+ b2
例 2 计算
（ 1） （ 3 x 2 y ）2
（ 2） （ 1 m 1）2 2
a+b
a+b a a b
b
a+b
a+b a a b
b
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ≠ a2 - b2
a-b
a-b
a-b
a
b
b a
a-b
a
b
b a
作作业业
课本第37页习题12.3 第2和3题。
两数和的平方，等于它们的 平方和加上这两数积的2倍．
公式的特点
首平方，尾平方，积的2倍夹中央
例题讲解
提示：请大家认
例1、用 (ab)2a22a bb2计算：
(1)(2x3y)2 （2）(2a b )2
真对照公式，找 准谁相当于公式 中的“a”和
解：
2
(1)(2x3y)2
(2 x )222 x3 y(3 y )2
x22xyy2 4xy x22xyy2
(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 (a－b)2 = a2－2ab＋b2
已知 xy7，xy10，求x2 y2的值.
解:xy7,xy10
x2y2 xy22xy
72210 29
a2＋b2 =(a＋b)2 －2ab
已知x
1 x
3，
求x2
1 x2
的值.
解: x2
学习目标
1、正确认识“两数和（差）的平方”乘法公式的结构特征； 2、能灵活、熟练的运用此公式进行计算； 3、通过大家探究公式的规律，激发大家探求新知的热情， 培养大家良好的思维品质。
学习重难点
重点：掌握公式结构特点，理解公式的意义； 难点：利用公式解决计算问题。
做一做
1、计算：(a b)2 提示：将 (a b)2转化成（a+b)(a+b)，再按多项式乘以多项
“b”；
（2）(2a b )2 (2a)2 222abb2
4x21x 2y 9y2
2 2
4a2 2abb2
4
试一试
1、问题(a-b)²=？ 根据乘方的意义，多项式乘多项式
( a － b ) 2= ( a － b ) ( a－ b ) = a2 + ab + ab + b2 = a2 － 2ab ＋ b2
随堂练随习堂练习
1、计算：
(1).( 1 x − 2y)2 ；
2
(2).(2xy+
1 5
x )2
;
(3).(n +1)2 − n2 ;
1 x2 2 xy 4 y2 4
4x2y2 4 x2y 1 x2
5
25
2n 1
(4)(4().2m n)2
. 4m 2 4mn n2
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
式的法则进行计算.
解 2、先观察图12.3.2：
（1）用不(a 同 的b方)2法 表(示 a它b的面) 积(b. a)
a2a（ ba a b bb2）2 a22a bb‖2
图12.3.2
a22abb2
a+b
a+b a a b
b
=
+
+
(a+b) 2 =
a2
+
2ab
+ b2
结论：两数和的平方
(a＋b)2＝ a2+2ab+b2
解 （ 1）（ 3 x 2 y ）2 （ 3 x ）2 2 3 x 2 y （ 2 y ）2 9 x 2 12 xy 4 y 2
解法 2 （ 1 m 1）2 2
（ 1 1 m ）2 2
（2）解法1 （ 1 m1）2 2
( 1 m)2 2 ( 1 m) 112
2
2
1 2 2 1 1 m （ 1 m ）2
2
2
1 m 1 m2 4
1 m2 m 1 4
例3.运用完全平方公式计算:
(1) 10３2 ; (2)1992
解:(1) 10３2 =(100+３)2
=1002+2×100×３+３2
=10000+600+9=10609
(2) 1992 =(200-1)2
=2002-2×200×1+12 =40000400+1=39601