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八年级初二数学勾股定理测试试题及答案

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一、选择题1．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以ABC 的三条边为边向外作正方形，连结EB ，CM ，DG ，CM 分别与AB ，BE 相交于点P ，Q ．若30ABE ∠=︒，则DG QM 的值为（ ）A ．32B ．53C ．45D ．31-2．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（ ）A ．3B ．23C ．4D ．32 3．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm4．已知等边三角形的边长为a ，则它边上的高、面积分别是（ ）A ．2,24a aB ．23,24a aC ．233,24a aD ．233,44a a 5．如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为( )A ．3cmB ．14cmC ．5cmD ．4cm6．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A ＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A 后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y 轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( )A ．(－2，23)B ．(－2，－23)C ．(－2，－2)D ．(－2，2)7．如图， 在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（ ）A ．8B ．16C ．32D ．648．如图，正方体的棱长为4cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）A ．9B ．10C ．326+D ．129．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形C ．如果 a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形D ．如果 a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°10．如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ） A ．7,24,25 B ．111,4,5222 C ．3,4,5 D ．114,7,822二、填空题11．如图，在矩形 ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，若点 M 、N 分别是线段 AC 、AB 上的两个动点，则 BM+MN 的最小值为_____________________．12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．13．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．14．如图，在△ABC 中，OA ＝4，OB ＝3，C 点与A 点关于直线OB 对称，动点P 、Q 分别在线段AC 、AB 上(点P 不与点A 、C 重合)，满足∠BPQ ＝∠BAO.当△PQB 为等腰三角形时，OP 的长度是_____．15．如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为 1S ，2S ，3S ，若123144S S S ++=，则2S 的值是__________．16．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.17．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是______尺．(注：l 丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)18．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．①线段OA 的取值范围是______________；②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．19．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.20．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．三、解答题21．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22．在等腰△ABC 与等腰△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ，且点D 、E 、C 三点在同一条直线上，连接BD ．（1）如图1，求证：△ADB ≌△AEC（2）如图2，当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，试猜想线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC ＝∠DAE ＝120°时，请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系式为： （不写证明过程）23．在等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．24．已知a ，b ，c 满足88a a -+-＝|c ﹣17|+b 2﹣30b +225， （1）求a ，b ，c 的值；（2）试问以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由．25．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC =____________cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．26．如图， ABD 为边长不变的等腰直角三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，在 ABD 外取一点 E ，以A 为直角顶点作等腰直角AEP △，其中 P 在ABD 内部，90EAP ∠=︒，2AE AP ==E 、P 、D 三点共线时，7BP =下列结论：①E 、P 、D 共线时，点B 到直线AE 5②E 、P 、D 共线时， 13ADP ABP S S ∆∆+==532ABD S ∆+③ ④作点 A 关于 BD 的对称点 C ，在 AEP 绕点 A 旋转的过程中，PC 的最小值为5+232；⑤AEP △绕点A 旋转,当点E 落在AB 上，当点P 落在AD 上时，取BP 上一点N ，使得AN BN =，连接 ED ，则AN ED ⊥．其中正确结论的序号是___．27．如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a，且点A、D、E在同一直线上，连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°，CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).28．（已知：如图1，矩形OACB的顶点A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y轴上一点且坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB方向运动，到达点B时运动停止．（1）设点P运动时间为t，△BPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）当点P运动到线段CB上时（如图2），将矩形OACB沿OP折叠，顶点B恰好落在边AC上点B′位置，求此时点P坐标；（3）在点P运动过程中，是否存在△BPD为等腰三角形的情况？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．29．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45 ，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D【分析】先用已知条件利用SAS 的三角形全等的判定定理证出△EAB ≌△CAM ，之后利用全等三角形的性质定理分别可得30EBA CMA ==︒∠∠，60BPQ APM ==︒∠∠，12PQ PB =，然后设1AP =，继而可分别求出2PM =，312PQ =，所以33QM QP PM +=+=；易证Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL ），从而得3DG AB ==然后代入所求数据即可得DG QM 的值． 【详解】解：∵在△EAB 和△CAM 中 ，AE AC EAB CAM AB AM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△EAB ≌△CAM （SAS ），∴30EBA CMA ==︒∠∠，∴60BPQ APM ==︒∠∠,∴90BQP ∠=︒,12PQ PB =, 设1AP =，则AM =2PM=，1PB =，12PQ =，∴2QM QP PM =+=+=； ∵ 在Rt △ACB 和Rt △DCG 中，CG BC AC CD =⎧⎨=⎩， Rt △ACB ≌Rt △DCG （HL ），∴DG AB ==∴12DG GM==． 故选D ．【点睛】 本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理等知识．2．D解析：D【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD 是线段QE 垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ +最小值为BE ，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出BE 的最小值即可得．【详解】如图，作QE AD ⊥，交AC 于点E ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠CAD ，AD ∴是线段QE 垂直平分线（等腰三角形的三线合一）PQ PE ∴=PB PQ PB PE ∴+=+由两点之间线段最短得：当点,,B P E 共线时，PB PE +最小，最小值为BE 点,P Q 都是动点BE ∴随点,P Q 的运动而变化由垂线段最短得：当BE AC ⊥时，BE 取得最小值在Rt BCE ∆中，456,C C B ∠=︒= 2322BE CE BC ∴=== 即PB PQ +的最小值为32故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ +的最小值是解题关键．3．C解析：C【分析】当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，于是得到结论．【详解】解：当C ′落在AB 上，点B 与E 重合时，AC'长度的值最小， ∵∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，∴AB=5cm ，由折叠的性质知，BC ′=BC=3cm ，∴AC ′=AB-BC ′=2cm ．故选：C ．本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4．C解析：C【分析】作出等边三角形一边上的高，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BD ，利用勾股定理即可求出AD ，再利用三角形面积公式即可解决问题．【详解】解：如图作AD ⊥BC 于点D ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠B AD ＝30° ∴1122BD AB a == 由勾股定理得，2222213()2AD AB BD a a a =-=-= ∴边长为a 的等边三角形的面积为12×a ×32a ＝34a 2， 故选：C ．【点睛】本题考点涉及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题关键.5．B解析：B【解析】【分析】先求出S A 、S B 、S C 的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D 的边长.【详解】解∵S A =6×6=36cm 2，S B =5×5=25cm 2，Sc=5×5=25cm 2，又∵1010A B C D S S S S +++=⨯ ，∴36+25+25+S D =100，∴S D =14，∴正方形D 14【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.6．B解析：B【解析】根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=23，所以A(－2，－23)，故选B.7．D解析：D【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=4，EF=8，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=64．故选：D．【点睛】此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.8．B解析：B【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．【详解】解：如图，AB22(24)2210++=．故选：B．【点睛】此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了．9．D解析：D【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；故选D．【点睛】考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．10．B解析：B【分析】根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案．【详解】A、22272425+=，能组成直角三角形，故正确；B、22211145222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不能组成直角三角形，故错误；C、222345+=，能组成直角三角形，故正确；D、2221147822⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，能组成直角三角形，故正确；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．二、填空题11．8【解析】如图作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′A 交DC 于点E ，则BM+MN 的最小值等于的最小值 作交于，则为所求； 设,,由，，h+5=8，即BM+MN 的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M 点与N 点的位置是解题的关键．12．21021332【分析】在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算,,DF DE CE ''，可得CD ．【详解】∵90ACB ︒∠=，4,2AC BC ==， ∴5AB = 情况一：当25AD AB ==AE CE ⊥于E∴ 1122BC AC AB AE ⋅=⋅，即455AE =，1455DE = ∴22855CE AC AE =-= ∴22213CD CE DE =+=情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ，∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅，即455BE =，1455DE = ∴22255CE BC BE =-= ∴22210CD CE DE =+=情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E∴1122BC AC AB BE ⋅=⋅， ∴45BE =355CE ∴= ∵ABD △为等腰直角三角形∴152BF DF AB === ∴95DE DF E F DF BE ''=+=+= 25355CE EE CE BF CE ''=-=-=-= ∴2232CD CE E D ''=+=故答案为：1021332【点睛】本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键． 13．9625【分析】将△B´CF 的面积转化为求△BCF 的面积，由折叠的性质可得CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ，可证得△ECF 是等腰直角三角形，EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，由等面积法可求CE 的长，由勾股定理可求AE 的长，进而求得BF 的长，即可求解．【详解】根据折叠的性质可知，CD ＝AC ＝6，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B´CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE ＋∠B´CF ＝∠ACE ＋∠BCF ， ∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝45°，且CE ⊥AB ，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，∵S △ABC ＝12AC•BC ＝12AB•CE ， ∴AC•BC ＝AB•CE ，∵根据勾股定理求得AB ＝10，∴CE ＝245，∴EF ＝245，∵AE 185， ∴BF ＝AB−AE−EF ＝10－185－245＝85， ∴S △CBF ＝12×BF ×CE ＝12×85×245＝9625， ∴S △CB´F ＝9625， 故填：9625． 【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键．14．1或78【分析】 分为三种情况：①PQ BP =，②BQ QP =，③BQ BP =，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【详解】解：分为3种情况：①当PB PQ =时，4=OA ，3OB =，∴5BC AB ===， C 点与A 点关于直线OB 对称，BAO BCO ∴∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BPQ BCO ∴∠=∠，APB APQ BPQ BCO CBP ∠=∠+∠=∠+∠，APQ CBP ∴∠=∠，在APQ 和CBP 中，BAO BCP APQ B PQ B P C P ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩， ()APQ CBP AAS ∴△≌△，∴5AP BC ==，1OP AP OA ∴=-=；②当BQ BP =时，BPQ BQP ∠=∠，BPQ BAO ∠=∠，BAO BQP ∴∠=∠，根据三角形外角性质得：BQP BAO ∠>∠，∴这种情况不存在；③当QB QP =时，QBP BPQ BAO ∠=∠=∠，PB PA ∴=，设OP x =，则4PB PA x ==-在Rt OBP △中，222PB OP OB =+，222(4)3x x ∴-=+， 解得：78x =； ∴当PQB △为等腰三角形时，1OP =或78； 【点睛】 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题，注意分类讨论．15．48【分析】用a 和b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出2S 的面积．【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为a ，较短的长度为b ，即图中的AE a =，AH b =，则()221S AB a b ==+，2222S HE a b ==+，()223S TM a b ==-， ∵123144S S S ++=，∴()()2222144a b a b a b ++++-= 22222222144a b ab a b a b ab ++++++-=2233144a b +=2248a b +=，∴248S =．故答案是：48．【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用．16．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．17．【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3=21（尺）， 222021+=29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解．18．①1＜OA ＜4． ②672． 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1， ∴AC •BD =672.19．169【解析】解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．20．22-根据已知条件，添加辅助线可得△EAC ≌△DAM （SAS ），进而得出当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，转化成求DM 的最小值，通过已知值计算即可．【详解】解：如图所示，在AB 上取AM=AC=2，∵90ACB ∠=，2AC BC ==，∴∠CAB=45°，又∵45EAD ∠=，∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD=45°，∴∠EAC =∠DAB ，∴在△EAC 与△DAB 中AE=AD ，∠EAF =∠DAB ，AC =AM ，∴△EAC ≌△DAM （SAS ）∴CE=MD ，∴当MD ⊥BC 时，CE 的值最小，∵AC=BC=2， 由勾股定理可得2222AB AC BC =+=，∴222=-BM ，∵∠B=45°，∴△BDM 为等腰直角三角形，∴DM=BD ，由勾股定理可得222+BD DM =BM∴DM=BD=22-∴CE=DM=22-故答案为：22-【点睛】本题考查了动点问题及全等三角形的构造，解题的关键是作出辅助线，得出全等三角形，找到CE 最小时的状态，化动为静．三、解答题21．（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，梯子距离地面的高度AE=22257-=24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，∴22CD CE-222520-，∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．22．（1）见解析；（2）CD2AD+BD，理由见解析；（3）CD3+BD【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE2AD，可得结论；（3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH 3，由AD＝AE，AH⊥DE，推出DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD3AD+BD，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD2AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.23．（1）①见解析；②DE＝297；（2）DE的值为517【分析】（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝297，∴DE＝297；（2）∵BD＝3，BC＝9，∴分两种情况如下：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝综上所述，DE的值为．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．24．（1）a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，平方的非负性即可求出a 、b 、c 的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）∵a ，b ，c 88a a --|c ﹣17|+b 2﹣30b +225， 2881||7(15)a a c b --+-＝﹣，∴a ﹣8＝0，b ﹣15＝0，c ﹣17＝0，∴a ＝8，b ＝15，c ＝17；（2）能．∵由（1）知a ＝8，b ＝15，c ＝17，∴82+152＝172．∴a 2+c 2＝b 2，∴此三角形是直角三角形，∴三角形的周长＝8+15+17＝40； 三角形的面积＝12×8×15＝60． 【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.25．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =-=-=(cm )．故答案为：12； （2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，∴PC = PA =t ，PB =16-t ．在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（， 解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132⨯-=(cm )；（3）分三种情况讨论：①当CQ =BQ 时，如图1所示，则∠C =∠CBQ ．∵∠ABC =90°，∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，∴∠A =∠ABQ ，∴BQ =AQ ，∴CQ =AQ =10，∴BC +CQ =22，∴t =22÷2=11(s )．②当CQ =BC 时，如图2所示，则BC +CQ =24，∴t =24÷2=12(s )．③当BC =BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯===， ∴CE 2222483612()55BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，∴CQ =2CE =14.4，∴BC +CQ =26.4，∴t =26.4÷2=13.2(s )．综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．26．②③⑤【分析】①先证得ABE ADP ≅，利用邻补角和等腰直角三角形的性质求得90PEB ∠=︒，利用勾股定理求出BE ，即可求得点B 到直线AE 的距离；②根据①的结论，利用APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+即可求得结论； ③在Rt AHB 中，利用勾股定理求得2AB ，再利用三角形面积公式即可求得ABD S ∆； ④当A P C 、、共线时，PC 最小，利用对称的性质，AB BC =的长，再求得AC 的长，即可求得结论；⑤先证得ABP ADE ≅，得到ABP ADE ∠=∠，根据条件得到ABP NAB ∠=∠，利用互余的关系即可证得结论．【详解】①∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =，45APE AEP ∠=∠=︒， ∴EAB PAD ∠=∠， ∴()ABE ADP SAS ≅，∴180********AEB APD APE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1354590PEB AEB AEP ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴222PE BE PB +=， ∵2AE AP ==，90EAP ∠=︒， ∴22PE AE ==，∴()22227BE +=， 解得：3BE =，作BH ⊥AE 交AE 的延长线于点H ，∵45AEP ∠=︒，90PEB ∠=︒，∴180180904545HEB PEB AEP ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， ∴26sin 45322HB BE =︒==， ∴点B 到直线AE 6，故①错误； ②由①知：ABE ADP ≅，2EP =，3BE =∴APD ABP ABE APB S S S S ∆∆∆∆+=+AEP BEP S S ∆∆=+1122AE AP PE EB =⨯⨯+⨯⨯ 11222322=⨯ 13=，故②正确；③在Rt AHB 中，由①知：62EH HB ==， ∴622AH AE EH =+=， 22222256623AB AH BH =+=+=+⎭⎝⎭， 21153222ABD S AB AD AB ∆=⋅==+ ④因为AC 是定值，所以当A P C 、、共线时，PC 最小，如图，连接BC ，∵A C 、关于 BD 的对称， ∴523AB BC ==+，∴225231043AC BC ==+=+，∴ min PC AC AP =-，10432=+-，故④错误；⑤∵ABD 与AEP 都是等腰直角三角形，∴90BAD ∠=︒，90EAP ∠=︒，AB AD =，AE AP =， 在ABP 和ADE 中，AB AD BAP DAE AP AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP ADE SAS ≅，∴ABP ADE ∠=∠，∵AN BN =，∴ABP NAB ∠=∠，∴EAN ADE ∠=∠，∵90EAN DAN ∠+∠=︒，∴90ADE DAN ∠+∠=︒，∴AN DE ⊥，故⑤正确；综上，②③⑤正确，故答案为：②③⑤．【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形的面积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是解题的关键．27．（1）见解析；（2）26；（3）3a+ 【分析】（1）由∠ACB=∠DCE 可得出∠ACD=∠BCE ，再利用SAS 判定△ACD ≌△BCE ，即可得到AD=BE ；（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=12DE ，同（1）可证△ACD ≌△BCE ，得到AD=BE ，然后可求AE 的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB 的长；（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt △BEN 中即可求出BE ，由于BE=AD ，所以利用AE=AD+DE 即可得出答案.【详解】证明：（1）∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE（2）∵∠DCE=90°，CD=CE ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∵CM ⊥DE ，∴CM 平分DE ，即M 为DE 的中点∴CM=12DE ， ∴DE=2CM=14，∵∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ，即∠ACD=∠BCE在△ACD 和△BCE 中，AC=BC ACD=BCE CD=CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE∴AE=AD+DE=24如图，设AE，BC交于点H，在△ACH和△BEH中，∠CAH+∠ACH=∠EBH+∠BEH，而∠CAH=∠EBH，∴∠BEH=∠ACH=90°，∴△ABE为直角三角形由勾股定理得2222AB=AE BE=2410=26++（3）由（1）（2）可得△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC，∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=120°∴∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM，∴CD=CE=2CM，3CM∴33∵∠BEN=∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠EBC+∠CBA=∠BAE+∠DAC+∠CBA=30°+30°=60°，∴∠NBE=30°，∴BE=2EN，3EN∵BN=a∴BE=2EN=33a=AD∴2323+b【点睛】本题考查全等三角形的旋转模型，掌握此模型的特点得到全等三角形是关键，其中还需要用到等腰三角形三线合一与30度所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本知识点是关键.28．（1）S=24(06)464(616)tt t<⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫⎪⎝⎭（3）存在，(6,6)或(6,1027)-，(6,272)【解析】【分析】（1）当P在AC段时，△BPD的底BD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边BD为固定值，用t表示出高，即可列出S与t的关系式；（2）当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，设P（m，10），则PB=PB′=m，由勾股定理得m2=22+（6-m）2，即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．【详解】解：（1）∵A，B的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P在线段AC上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24；当点P在线段BC上时，BD=8，高为6+10-t=16-t，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′22OB OA-＇，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m，∴m2=22+（6-m）2，解得m=10 3则此时点P的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，①当BD=BP 1=OB-OD=10-2=8，在Rt △BCP 1中，BP 1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP 1228627-=∴AP 1＝10−7，即P 1（6，10-27②当BP 2=DP 2时，此时P 2（6，6）；③当DB=DP 3=8时，在Rt △DEP 3中，DE=6，根据勾股定理得：P 3228627-=，∴AP 3=AE+EP 3=7+2，即P 3（6，27），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，10-276，7+2）．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．29．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3）25CM =【解析】【分析】(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．【详解】解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，∴BC ∥EF ，∴∠EFM ＝∠HBM ，在△FME 和△BMH 中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△FME ≌△BMH （ASA ），∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，∵CD ＝BC ，∴CE ＝CH ，∵∠HCE ＝90°，HM ＝EM ，∴CM ＝ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接BD ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形，∴45,45FDE CBD ︒︒∠=∠=∴点B E D 、、在同一条直线上，∵90,90BCF BEF ︒︒∠=∠=，M 为BF 的中点， ∴12CM BF =，12EM BF =，∴CM ME =， ∵45EFD ∠=︒，∴135EFC ∠=︒，∵CM FM ME ==，∴,MCF MFC MFE MEF ∠=∠∠=∠∴135MCF MEF ∠+∠=︒，∴36013513590CME ∠=︒-︒-︒=︒，∴CM ME ⊥．（3）如图3中，连接EC ，EM ．由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，∵22EC 26210+=∴CM ＝EM ＝25【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．30．（1）t ，45；（2）详见解析；（3）90°；（4）t 的值为2﹣1或2+1，BE =3．【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；（2）根据SAS 即可证明△ADE ≌△CDF ；（3）由△ADE ≌△CDF ，即可推出∠ADE =∠CDF ，推出∠EDF =∠ADC =90°；（4）分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】（1）由题意：AE =t ．∵CA =CB ，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠BCD =∠ACD =45°．故答案为t ，45．（2）∵∠ACB =90°，CA =CB ，CD ⊥AB ，∴CD =AD =BD ，∴∠A =∠DCB =45°．∵AE =CF ，∴△ADE ≌△CDF （SAS ）．（3）∵点E 在边AC 上运动时，△ADE ≌△CDF ，∴∠ADE =∠CDF ，∴∠EDF =∠ADC =90°．（4）①当点E 在AC 边上时，如图1．在Rt △ACB 中，∵∠ACB =90°，AC =CB ，AB =2，CD ⊥AB ，∴CD =AD =DB =1，AC =BC 2=． ∵CE =CD =1，∴AE =AC ﹣CE 2=-1，∴t 2=-1． ∵BC =22112+=，∴BE =22EC BC +=12+=3；②当点E 在AC 的延长线上时，如图2，AE =AC +EC 2=+1，∴t 2=+1． ∵BC =22112+=，∴BE =22EC BC +=12+=3；综上所述：满足条件的t 2121，BE 3【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活。

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八年级初二数学数学勾股定理试题及答案

八年级初二数学数学勾股定理试题及答案

八年级初二数学数学勾股定理试题及答案一、选择题1．已知：△ABC 中，BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，BQ ＝AC ，点F 在CE 的延长线上，CF ＝AB ，下列结论错误的是（ ）．A ．AF ⊥AQB ．AF=AQC ．AF=ADD ．F BAQ ∠=∠2．如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AC =2AB ,点D 是AC 的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE 如图放置,连接BE ,EC .下列判断:①△ABE ≌△DCE ;②BE =EC ;③BE ⊥EC ;④EC =3DE .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )A ．2n ﹣2B ．2n ﹣1C ．2nD ．2n+14．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（ ）A 37B 13C 3713D 371375．在ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别是a b c 、、，下列条件中，不能说明ABC 是直角三角形的是（ ） A ．222b a c =-B ．;C A B ∠=∠-∠ C ．::3:4:5A B C ∠∠∠=D ．::5:12:13a b c =6．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，∠BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．3B ．4C ．7(21)-D ．7(21)+7．有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（ ） A ．5B ．7C ．5D ．5或7 8．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ）A ．a =3，b =4，c =6B ．a =5，b =6，c =7C ．a =6，b =8，c =9D ．a =7，b =24，c =259．如图，在矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 折叠，点B 落在点B ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ） A ．7.5平方千米B ．15平方千米C ．75平方千米D ．750平方千米二、填空题11．等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边的长为________ 12．如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，1AB DC ==，BD 平分ABC ∠，BD CD ⊥，则AD BC +等于_________.13．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．14．如图，已知△DBC 是等腰直角三角形，BE 与CD 交于点O ，∠BDC=∠BEC=90°，BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.15．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.16．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，已知12310S S S ++=,则2S 的值是____.17．在Rt △ABC 中，直角边的长分别为a ，b ，斜边长c ，且a +b 5c =5，则ab 的值为______．18．如图，Rt△ABC 中，∠BCA ＝90°，AB 5AC ＝2，D 为斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，则EF 的最小值是_____．19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，BD 是高，则点BD 的长为_____．20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒； ②求AB 的长．23．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=︒，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转90︒）；（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=︒，1AM =，求BM 的长．24．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .25．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述); (2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2a b +的值.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________； (2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示) 27．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .（1）求证:CED ADB ∠=∠； （2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .28．（已知：如图1，矩形OACB 的顶点A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），点D 是y 轴上一点且坐标为（0，2），点P 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC ﹣CB 方向运动，到达点B 时运动停止．（1）设点P 运动时间为t ，△BPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）当点P 运动到线段CB 上时（如图2），将矩形OACB 沿OP 折叠，顶点B 恰好落在边AC 上点B ′位置，求此时点P 坐标；（3）在点P 运动过程中，是否存在△BPD 为等腰三角形的情况？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．29．如图1，已知△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且CD＝AE，AD与BE相交于点F．（1）求证：∠ABE＝∠CAD；（2）如图2，以AD为边向左作等边△ADG，连接BG．ⅰ）试判断四边形AGBE的形状，并说明理由；ⅱ）若设BD＝1，DC＝k（0＜k＜1），求四边形AGBE与△ABC的周长比（用含k的代数式表示）．30．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-．（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高，推导出EBH DCH ∠=∠；再结合题意，可证明FAC AQB △≌△，由此可得F BAQ ∠=∠,AF AQ =；再经90AEF ∠=得90F FAE ∠+∠=，从而证明AF ⊥AQ ；最后由勾股定理得222AQ AD QD =+，从而得到AF AD ≠，即可得到答案． 【详解】如图，CE 和BD 相较于H∵BD 、CE 分别是AC 、AB 边上的高 ∴CE AB ⊥,BD AC ⊥∴90BEC BDC AEF ADQ ∠=∠=∠=∠= ∴90EBH EHB DHC DCH ∠+∠=∠+∠=∵EHB DHC ∠=∠ ∴EBH DCH ∠=∠ 又∵BQ ＝AC 且CF ＝AB ∴FAC AQB △≌△∴F BAQ ∠=∠,AF AQ =，故B 、D 结论正确； ∵90AEF ∠= ∴90F FAE ∠+∠=∴90BAQ FAE F FAE ∠+∠=∠+∠= ∴AF ⊥AQ 故A 结论正确；∵90ADQ ∠= ∴222AQ AD QD =+ ∵0QD ≠ ∴AQ AD ≠ ∴AF AD ≠ 故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高等知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形、勾股定理、三角形的高的性质，从而完成求解．2．C解析：C 【分析】根据AC=2AB ，点D 是AC 的中点求出AB=CD ，再根据△ADE 是等腰直角三角形求出AE=DE ，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCE 全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC ，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC ，然后推出∠BEC=∠AED ，从而判断出③小题正确；倍，用DE 表示出AD ，然后得到AB 、AC ，再根据勾股定理用DE 与EC 表示出BC ，整理即可得解，从而判断出④小题错误． 【详解】解：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点， ∴CD=12AC=AB ， ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴AE=DE ，∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°， ∴∠BAE=∠CDE ， 在△ABE 和△DCE 中，AB CD BAE CDE AE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （SAS ），故①小题正确； ∴BE=EC ，∠AEB=∠DEC ，故②小题正确； ∵∠AEB+∠BED=90°， ∴∠DEC+∠BED=90°， ∴BE ⊥EC ，故③小题正确； ∵△ADE 是等腰直角三角形， ∴DE ，∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点， ∴DE ，DE ，在Rt △ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2=DE ）2+（DE ）2=10DE 2， ∵BE=EC ，BE ⊥EC ， ∴BC 2=BE 2+EC 2=2EC 2， ∴2EC 2=10DE 2，解得，故④小题错误， 综上所述，判断正确的有①②③共3个．故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确识图，根据△ADE 是等腰直角三角形推出AE=DE ，∠BAE=∠CDE=135°是解题的关键，也是解决本题的突破口．3．A解析：A 【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答. 【详解】解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形121111222ABC S -∆∴=⨯⨯== ，∴2222AC 112,AD (2)(2)2=+==+=223212212:2122122AACD ADE S S --∆∴=⨯⨯===⨯⨯==∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ， 故答案为A. 【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.4．C解析：C 【分析】如图1或图2所示，分类讨论，利用勾股定理可得结论． 【详解】当如图1所示时，AB=2，BC=3，∴AC=2223=13+； 当如图2所示时，AB=1，BC=6，∴故选C ．【点睛】本题主要考查图形的拼接，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．5．C解析：C【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种：①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据上面两种情况进行判断即可．【详解】解：A 、由222b a c =-得a 2=b 2+c 2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC 为直角三角形，不符合题意；B 、由C A B ∠=∠-∠得∠C +∠B=∠A ，此时∠A 是直角，能够判定△ABC 是直角三角形，不符合题意；C 、∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC 不是直角三角形，故此选项符合题意；D 、a ：b ：c=5：12：13，此时c 2=b 2+ a 2，符合勾股定理的逆定理，△ABC 是直角三角形，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．6．C解析：C【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，根据角平分线的性质定理，可得：DE ＝DC ＝x ，则BE ＝x ，进而可得到AE ＝AC ＝7，在Rt △BDE 中，应用勾股定理即可求解．【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则∠AED ＝90°，AE ＝AC ＝7，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC ＝AC ＝7，AB在Rt △AED 和Rt △ACD 中，AE ＝AC ，DE ＝DC ，∴Rt △AED ≌Rt △ACD ，∴AE ＝AC ＝7，设DE ＝DC ＝x ，则BD ＝7－x ，在Rt △BDE 中，222BE +DE =BD ， 即：()()22272-77-x x +=， 解得： 7(21)x =-，故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，运用方程思想是解题的关键．7．D解析：D【分析】分4是直角边、4是斜边，根据勾股定理计算即可．【详解】当4是直角边时，斜边2234+，当4是斜边时，另一条直角边22473-=，故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．8．D解析：D【解析】A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．9．B解析：B【分析】已知AD 为CF 边上的高，要求AFC △的面积，求得FC 即可，求证AFD CFB '△≌△，得B F DF '=，设DF x =，则在Rt AFD △中，根据勾股定理求x ，于是得到CF CD DF =-，即可得到答案．【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFD CFB '△≌△，'DF B F ∴=，设DF x =，则8AF CF x ==-，在Rt AFD △中，222AF DF AD =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，835CF CD FD ∴=-=-=， 1102AFC S AF BC ∴=⋅⋅=△． 故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFD CFB '△≌△是解题的关键．10．A解析：A【解析】分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．详解：∵52+122=132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴这块沙田面积为：12×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）． 故选A ．点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键． 二、填空题11．310或10【详解】分两种情况：（1）顶角是钝角时，如图1所示：在Rt △ACO 中，由勾股定理，得AO 2=AC 2-OC 2=52-32=16，∴AO=4，OB=AB+AO=5+4=9，在Rt △BCO 中，由勾股定理，得BC 2=OB 2+OC 2=92+32=90，∴BC=310；（2）顶角是锐角时，如图2所示：在Rt △ACD 中，由勾股定理，得AD 2=AC 2-DC 2=52-32=16，∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1．在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=12+32=10，∴10 ；综上可知，这个等腰三角形的底的长度为1010．【点睛】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，难度适中，分情况讨论是解题的关键． 12．3【分析】由//AD BC ，BD 平分ABC ∠，易证得ABD ∆是等腰三角形，即可求得1AD AB ==，又由四边形ABCD 是等腰梯形，易证得2C DBC ∠=∠，然后由BD CD ⊥，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得30DBC ∠=︒，则可求得BC 的值，继而求得AD BC +的值.【详解】解：∵//AD BC ，AB DC =，∴C ABC ∠=∠，ADB DBC ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴2ABC DBC ∠=∠，ABD DBC ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠，∴1AD AB ==，∴2C DBC ∠=∠，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵三角形内角和为180°，∴90DBC C ∠+∠=︒，∴260C DBC ∠=∠=︒，∴2212BC CD ==⨯=，∴123AD BC +=+=.故答案为：3．【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．13．2【分析】连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=，22125CD AD ==+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线，∴225AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.14．10【分析】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可.【详解】过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：∵DBC ∆是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC = ∴422DC DB ===∵2OD =∴32OC DC OD =-=∴2234OB BD DO +=设OE x =，∵∠BEC=90°则()2222OC OE BC OB OE -=-+∴334OE =∴22123417EC OC EO =-=∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90° ∴16342FG EC ==∴2034BE BO OE =+= ∴1734217GO GE OE BE OE =-=-= ∴22=10OF GO GF -=【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.15．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）故填14.5 ,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.16．103. 【分析】 根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG=NG ，CF=DG=NF ，再根据()21S CG DG =+，22S GF =，()23S NG NF =-，12310S S S ++=，即可得出答案.【详解】∵八个直三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形∴CG=NG ，CF=DG=NF∴()2222122S CG DG CG DG CG DG GF CG DG =+=++=+ 22S GF =()22232S NG NF NG NF NG NF =-=+-∴2222212322310S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ++=+⋅+++-⋅==∴210 3GF=故210 3S=故答案为10 3.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质. 17．10【分析】先根据勾股定理得出a2+b2＝c2，利用完全平方公式得到（a+b）2﹣2ab＝c2，再将a+b＝c＝5代入即可求出ab的值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，直角边的长分别为a，b，斜边长c，∴a2+b2＝c2，∴（a+b）2﹣2ab＝c2，∵a+b＝c＝5，∴（2﹣2ab＝52，∴ab＝10．故答案为10．【点睛】本题考查勾股定理以及完全平方公式，灵活运用完全平方公式是解题关键.18【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据∠BCA＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，证得四边形CEDF是矩形，连接CD，则CD=EF，当CD⊥AB时，CD最短，即.点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力．19．48 5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC边上的高为8，然后根据三角形的面积法可得111012822BD⨯⨯=⨯⨯，解得BD=485.20．【分析】 根据三角形等面积法求出32AC BC = ，在Rt△ACD 中根据勾股定理得出AC 2=14BC 2+36，依据这两个式子求出AC 、BC 的值.【详解】 ∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高， ∴12AC•BE＝12BC•AD， ∵AD＝6，BE ＝4， ∴AC BC ＝32， ∴22AC BC ＝94， ∵AB＝AC ，AD⊥BC，∴BD＝DC ＝12BC ， ∵AC 2﹣CD 2＝AD 2，∴AC 2＝14BC 2+36， ∴221364BC BC +＝94， 整理得，BC 2＝3648⨯， 解得：BC＝∴△ABC 的面积为12×cm 2故答案为：【点睛】本题考查了三角形的等面积法以及勾股定理的应用，找出AC 与BC 的数量关系是解答此题的关键．三、解答题21．（12）150°；（3【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12，∴AG ＝()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG ＝13．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）BC−AC ＝AD ；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，证△ACD ≌△ECD 得DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，据此∠CED ＝2∠CBA ，结合∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE 得出∠CBA ＝∠BDE ，即可得DE ＝BE ，进而得出答案；（2）①在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，先证△ADC ≌△AMC ，得到∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ，结合CD ＝BC 知CM ＝CB ，据此得∠B ＝∠CMB ，根据∠CMB ＋∠CMA ＝180°可得；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，由CB ＝CM 知BN ＝MN ＝a ，CN 2＝BC 2−BN 2＝AC 2−AN 2，可得关于a 的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC ＝AD ．理由如下：如图（a ），在CB 上截取CE ＝CA ，连接DE ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠ECD ，又CD ＝CD ，∴△ACD ≌△ECD （SAS ），∴DE ＝DA ，∠A ＝∠CED ＝60°，∴∠CED ＝2∠CBA ，∵∠CED ＝∠CBA ＋∠BDE ，∴∠CBA ＝∠BDE ，∴DE ＝BE ，∴AD ＝BE ，∵BE ＝BC−CE ＝BC−AC ，∴BC−AC ＝AD ．（2）①如图（b ），在AB 上截取AM ＝AD ，连接CM ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠MAC ，∵AC ＝AC ，∴△ADC ≌△AMC （SAS ），∴∠D ＝∠AMC ，CD ＝CM ＝12，∵CD ＝BC ＝12，∴CM ＝CB ，∴∠B ＝∠CMB ，∵∠CMB ＋∠CMA ＝180°，∴∠B ＋∠D ＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝， 解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果．23．（15132）见解析；（3）23【分析】（1）分两种分割法利用勾股定理即可解决问题；（2）如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ．只要证明△ADC ≌△BNC ，推出CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，再证明△MDC ≌△MNC ，可得MD=MN ，由此即可解决问题；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据题意可得△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，利用全等性质推出∠BNP=30°，从而得到NB 和NP 的长，即得BM.【详解】解：（1）当MN 最长时，225MN AM -，当BN 最长时，BN=2213AM MN +=；（2）证明：如图，过点A 作AD ⊥AB ，且AD=BN ，在△ADC 和△BNC 中，AD BN DAC B AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△BNC （SAS ），∴CD=CN ，∠ACD=∠BCN ，∵∠MCN=45°，∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，∴∠MCD=∠MCN ，在△MDC 和△MNC 中，CD CN MCD MCN CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDC ≌△MNC （SAS ），∴MD=MN在Rt △MDA 中，AD 2+AM 2=DM 2，∴BN 2+AM 2=MN 2，∴点M ，N 是线段AB 的勾股分割点；（3）过点B 作BP ⊥AB ，使得BP=AM=1，根据（2）中过程可得：△CPB ≌△CMA ，△CMN ≌△CPN ，∴∠AMC=∠BPC=120°，AM=PB=1，∠CMN=∠CPN=∠A+∠ACM=45°+15°=60°，∴∠BPN=120°-60°=60°，∴∠BNP=30°，∴NP=2BP=2=MN ，∴22213-=，∴BM=MN+BN=23+.【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24．作图见解析，32 5【分析】作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值．【详解】如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长．连接AN，在Rt△ABC中，AC=4，AB=8，∴2222AB AC=84=45++∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅∴85 45∵CA⊥AB，A'M⊥AB，∴CA∥A'M∴∠C=∠A'NH，由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N 在△ACH和△A'NH中，∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H，∴△ACH≌△A'NH（AAS）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．25．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，即 a 2+b 2= c 2．（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.26．（1）∠CBD=20°；（2）AD=164；(3) △BCD 的周长为m+2 【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；（3）根据三角形ACB的面积可得11 2AC CB m=+，进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．【详解】（1）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴∠1=∠A=35°，∵∠C=90°，∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，∴∠2=55°-35°=20°，即∠CBD=20°；（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，∴AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x= 74，AD=8-74=164；（3）∵△ABC 的面积为m+1，∴12AC•BC=m+1，∴AC•BC=2m+2，∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，∴CA+CB=m+2，∵AD=DB，∴CD+DB+BC=m+2．即△BCD 的周长为m+2．【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．27．（1）见解析；（2）27BC =.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．【详解】（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ，∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.（2）解：连接AC 交BD 于点O ，∵AB AD =，BC DC =，∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形，8AB =∴8AD BD AB ===，∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ，∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中，∴OC ==.在Rt △BOC 中，∴BC ===【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．28．（1）S=24(06)464(616)t t t <⎧⎨-+<<⎩（2）10,103⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）存在，(6,6)或(6,10- ，(6,2)【解析】【分析】（1）当P 在AC 段时，△BPD 的底BD 与高为固定值，求出此时面积；当P 在BC 段时，底边BD 为固定值，用t 表示出高，即可列出S 与t 的关系式；（2）当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时，设P （m ，10），则PB=PB ′=m ，由勾股定理得m 2=22+（6-m ）2，即可求出此时P 坐标；（3）存在，分别以BD ，DP ，BP 为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P 坐标即可．【详解】解：（1）∵A ，B 的坐标分别是（6，0）、（0，10），∴OA=6，OB=10，当点P 在线段AC 上时，OD=2，BD=OB-OD=10-2=8，高为6，∴S=12×8×6=24； 当点P 在线段BC 上时，BD=8，高为6+10-t=16-t ，∴S=12×8×（16-t）=-4t+64；∴S与t之间的函数关系式为：240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩（）；（2）设P（m，10），则PB=PB′=m，如图1，∵OB′=OB=10，OA=6，∴AB′=22OB OA-＇=8，∴B′C=10-8=2，∵PC=6-m，∴m2=22+（6-m）2，解得m=103则此时点P的坐标是（103，10）；（3）存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图2，①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8，在Rt△BCP1中，BP1=8，BC=6，根据勾股定理得：CP1228627-=∴AP1＝10−7，即P1（6，10-27②当BP2=DP2时，此时P2（6，6）；③当DB=DP3=8时，在Rt△DEP3中，DE=6，根据勾股定理得：P 3E=228627-=，∴AP 3=AE+EP 3=27+2，即P 3（6，27+2），综上，满足题意的P 坐标为（6，6）或（6，10-27），（6，27+2）．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用．29．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）222133k k k k ++++.【解析】【分析】（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，∵AE ＝CD ，∴△BAE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠CAD ．（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．理由：∵△ADG ，△ABC 都是等边三角形，∴AG ＝AD ，AB ＝AC ，∴∠GAD＝∠BAC＝60°，∴△GAB≌△DAC，∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，∴BG∥AE，∴四边形AGBE是平行四边形，ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．∵BH＝CH＝1 (1) 2k+∴1113 1(1),3(1) 2222DH k k AH BH k =-+=-==+∴222AH DH k k1AD=+=++∴四边形BGAE的周长＝222k k1k+++,△ABC的周长＝3（k+1），∴四边形AGBE与△ABC的周长比＝222133k k kk++++【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．30．（1）46（2）（123+24+510）m2【分析】（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．【详解】（1）解：△ABC的面积为S＝()()()()a b c a b c a c b b c a+++-+-+-＝(457)(457)(475)(574)+++-+-+-＝46故答案是：46；（2）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）在Rt△ADE中，∵∠A＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ＝∴BE ＝AB ﹣AE ＝﹣＝DE ==∴BD ==∴S △BCD =∵S △ABD ＝112422AB DE ⋅=⨯⨯=∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABD ＝ 24+答：该块草地的面积为（24+m 2．【点睛】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.。

八年级数学下勾股定理_单元测试题(带答案)

八年级数学下勾股定理_单元测试题(带答案)

(第6题)AB D C（第12题）307米5米八年级下勾股定理测试题一、耐心填一填每小题3分,共36分1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB=___________；2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 .3、小明同学要做一个直角三角形小铁架,他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒,可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________；4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度.5、在△ABC 中,∠C ＝90°,若c ＝10,a ∶b ＝3∶4,则ab ＝ ．6、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则高AD=________；7、等腰△ABC 的面积为12cm 2,底上的高AD ＝3cm, 则它的周长为________．8、在Rt △ABC 中,斜边AB ＝2,则AB 2+BC 2+CA 2＝________．9、有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为 ；10、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了________米．11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm,则它的面积是________． 12、如图,今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风,一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下,倒下部分的树梢到树的距离为7米, 则这棵大树折断前有__________米保留到0.1米; 二、精心选一选每小题4分,共24分13、下列各组数据为边的三角形中,是直角三角形的是A 、 错误!、错误!、7B 、5、4、8C 、错误!、2、1D 、错误!、3、错误! 14、正方形ABCD 中,AC=4,则正方形ABCD 面积为A 、 4B 、8C 、 16D 、32 15、已知Rt △ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c,若∠B=90○,则 A 、b2= a2+ c2；B 、c2= a2+ b2；C 、a2+b2=c2；D 、a +b =c16、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=ａ+ｂ2－ｃ2,则此三角形是 . A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍,得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为 A 、 直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、无法确定AB D CdabD CB A N O MAM O N B 图图图18、一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米,消防车的云梯最大升长为13米,则云梯可以达该建筑物的最大高度是 A 、 12米 B 、 13米 C 、 14米 D 、15米 三、决心试一试19、12分如右图,等边△ABC 的边长6cm; ①求高AD ②求△ABC 的面积 20、12分如图,ABC ∆中,3590,12,,22CCD BD ∠=︒∠=∠==,求AC 的长;21、12分某菜农要修建一个塑料大棚,如图所示,若棚宽a=4m,高b=3m,长d=40m;求覆盖在顶上如右图阴影部分的逆料薄膜的面积;22、12分如图3-2,在△ABD 中,∠A 是直角,AB=3,AD=4,BC=12,DC=13,求四边形ABCD 的面积. 23、12分如图,一架长为5米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙ON 上,梯子底端距离墙ON 有3米;①求梯子顶端与地面的距离OA 的长; ②若梯子顶点A 下滑1米到C 点, 求梯子的底端向右滑到D 的距离;24、15分如图,A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A 、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD 上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少25、15分如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形涂上阴影．⑴在图1中,画一个三角形,使它的三边长都是有理数；⑵在图2、图3中,分别画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数．两个三角形不全等答案一、1. 5 2. 三角形的稳定性意思对就可以了 3. 6cm 、8cm 、10cm 4. 90 5. 48 6. 87. 18 8.8 cm9. 34111. 120 cm 212. 13.6 二、13-18 CBACAA三、19`. ①3错误!或 ②9错误!或15.59cm220. AC=3ABCDL21. 200m222. 3623. ①AO=错误! =4②OD=错误! =4 BD=OD-OB=4-3=1米24. 作A关于CD的对称点A’,连接A’B与CD的交点为M点为所求点可求得AM+BM=A’B=50千米,总费用为50×3=150万元25. 仅供参考每个5分。

新人教版数学八年级勾股定理练习题及答案(共6套)

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精品文档新人教版数学八年级第十七章<勾股定理>勾股定理课时练（1）1.在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB222ACBC++的值是（ A ）A.2B.4C.6D.82.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是______ cm（结果不取近似值）.3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__13_____．4.一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高多少m？解：∵5.如图，如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米?7.如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度.8.一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm。

求CD的长.9.如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB的长.10.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？11如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向“路”4m3m第2题图第5题图第9题图第8题图5m13m第11题东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？第一课时答案：1.A ，提示：根据勾股定理得122=+AC BC，所以AB 222AC BC ++=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为5m ，而3+4-5=2m ，所以他们少走了4步.3.1360 ，提示：设斜边的高为x ，根据勾股定理求斜边为1316951222==+ ，再利用面积法得，1360,132112521=⨯⨯=⨯⨯x x ；4. 解：依题意，AB=16m ，AC=12m ，在直角三角形ABC 中,由勾股定理,222222201216=+=+=AC AB BC ,所以BC=20m ,20+12=32(m ), 故旗杆在断裂之前有32m 高. 5.86. 解:如图,由题意得,AC=4000米,∠C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=30004000500022=-(米),所以飞机飞行的速度为5403600203=(千米/小时) 7. 解：将曲线沿AB 展开，如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E. 在R ο90,=∠∆CEF CEF t ，EF=18-1-1=16（cm ），CE=)(3060.21cm =⨯，由勾股定理，得CF=)(3416302222cm EF CE =+=+8.解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得254322222=+=+=AB AC BC在直角三角形CBD 中，根据勾股定理，得CD 2=BC 2+BD 2=25+122=169，所以CD=13.9. 解：延长BC 、AD 交于点E.（如图所示）∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8， 设AB=x ，则AE=2x ，由勾股定理。

初二数学勾股定理试题答案及解析

初二数学勾股定理试题答案及解析

初二数学勾股定理试题答案及解析1.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是a、b，斜边长为c)和一个正方形(边长为c)．请你将它们拼成一个能验证勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)用(1)中画出的图形验证勾股定理．【答案】见解析【解析】(1)(答案不唯一)如图．(2)验证：∵大正方形的面积可表示为(a＋b)2，又大正方形的面积也可表示为，∴，即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab．∴a2＋b2＝c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．2.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )A．米B．米C．米D．3米【答案】C【解析】树干垂直于地面，于是可构造一个直角三角形，运用勾股定理可以计算出(米)，所以树高为米．3.如图所示是一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长为________．【答案】7米【解析】(米)．利用平移，得至少需要地毯的长为AC＋BC＝4＋3＝7(米)．4.如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE的长为( )A．1B．C．D．2【答案】D【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得．在Rt△ADC中，由勾股定理得．在Rt△ADE中，由勾股定理得．5.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是( )A．3B．4C．5D．9【答案】A【解析】在Rt△ABD中，由勾股定理得．又点D是∠ABC的平分线上的点，它到BA，BC边的距离相等，所以点D到BC的距离等于DA之长3．6.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是________．【答案】76【解析】在题图乙的四个大直角三角形中，两直角边长分别为5，12，所以斜边长为13，所以这个风车的外围周长为4×13＋4×6＝76．7. (2014四川甘孜州)如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由题意得△ABD≌△CBD，所以∠ADB＝∠CDB，而∠ADB＋∠CDB＝180°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥AC．在Rt△BCD中，由勾股定理得BD2＝BC2－CD2＝52－32＝16，所以．8.(2013四川资阳)如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A．48B．60C．76D．80【答案】C【解析】在Rt△ABE中，由勾股定理得，所以阴影部分的面积为．9. (2012吉林)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB 于点D ，则BD ＝________．【答案】2【解析】∵AC ＝3，BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴．∵以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，∴AD ＝AC ＝3，∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2．10. [问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明．著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系(勾股定理)”带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图(1)中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述)．[尝试证明]以图(1)中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以a ＋b 为高的直角梯形(如图(2))，请你利用图(2)验证勾股定理．[知识拓展]利用图(2)中的直角梯形，我们可以证明．其证明步骤如下：∵BC ＝a ＋b ，AD ＝________，又∵在直角梯形ABCD 中，有BC________AD(填大小关系)，即________，∴．【答案】见解析【解析】[定理表述]如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．[尝试证明]∵Rt △ABE ≌Rt △ECD ，∴∠AEB ＝∠EDC ．又∵∠EDC ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEB ＋∠DEC ＝90°，∴∠AED ＝90°． ∵S 梯形ABCD ＝S Rt △ABE ＋S Rt △DEC ＋S Rt △AED ，∴，整理，得a 2＋b 2＝c 2．[知识拓展]；＜；11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，∠C ＝90°．(1)若a ＝6，b ＝8，则c ＝________；(2)若a ＝5，c ＝13，则b ＝________；(3)若c ＝34，a ︰b ＝8︰15，则a ＝________，b ＝________．【答案】(1)10 (2)12 (3)16；30【解析】(1)已知两直角边长a 、b ，由c 2＝a 2＋b 2＝62＋82＝100，得c ＝10．(2)已知直角三角形的斜边长c 和一条直角边长a ，则由b 2＝c 2－a 2＝132－52＝144，得b ＝12．(3)因为a︰b＝8︰15，所以可设a＝8k，b＝15k(k＞0)，又因为∠C＝90°，c＝34，所以c2＝a2＋b2，即342＝(8k)2＋(15k)2．所以k＝2．所以a＝16，b＝30．12.（2013鞍山）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，则BC的长为________．【答案】【解析】利用勾股定理即可求得BC的长．∵∠C＝90°，∴AB为斜边，∴．13.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，求DB的长．【答案】在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝82＋62＝100，∴AB＝10．由三角形的面积公式得，∴．在Rt△BCD中，DB2＝BC2－CD2，∴DB2＝62－4.82＝12.96．∴DB＝3.6．所以DB的长为3.6．【解析】用勾股定理求AB的长，再利用面积求CD，在Rt△BCD中，用勾股定理求DB．14.如图，∠A＝∠D＝90°，AC与BD相交于点O，AB＝CD＝4，AO＝3，则BD的长为（）A．6B．7C．8D．10【答案】C【解析】由题意知△ABO≌△DCO，∴OA＝OD．在Rt△ABO中，，∴BD＝BO＋OD＝5＋3＝8．故选C．15.如图，在锐角△ABC中，已知AB＝25cm，AC＝30cm，BC边上的高AD＝24cm，则△ABC的面积为________．【答案】300cm2【解析】在Rt△ABD中，．在Rt△ACD中，．所以BC＝BD＋DC＝7＋18＝25，所以．16.（2013吉林）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为________．【答案】（4，0）【解析】∵A（－6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∴AB＝10．∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，∴AC＝AB＝10，∴OC＝4，∴C（4，0）．17.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B偏离50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求：该河的宽度AB为多少米？【答案】根据题意可知BC＝50米，AC＝（AB＋10）米，设AB＝x米，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2，即（x＋10）2＝x2＋502，解得x＝120．即该河的宽度AB为120米．【解析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理可求出直角边AB的长度．18.（2013资阳）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48B．60C．76D．80【答案】C【解析】利用勾股定理求出AB，然后用正方形的面积减去三角形的面积即可．19.在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是________．【答案】或连接EF，则．∵E为AB的中点，∴．【解析】先根据题意画出图形．此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．①如图所示：连接CD，则．∵D为AB的中点，∴．②如图所示：20.如图，以数轴的单位长为边长作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是( )A．B．1.4C．D．【答案】D【解析】由勾股定理求得正方形的对角线长为，由作图得，所以点A表示的数是．。