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第一章 第1节 同底数幂的乘法一、创设情境1．什么样的运算叫做乘方？乘方的结果叫做什么？幂的意义是什么，2．光在真空中的速度大约是3×108m/s ，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3×107s 秒计算，算一下比邻星与地球的距离约为多少？（只列式）快速计算108×107结果等于多少？二、自主探究1．猜想：（1）102×103； （2）105×108 （3）10m ×10n （m ，n 都是正整数）．2．探究：依据上面的做题经验，2m ×2n 等于什么？n m ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛7171和（－3）m ×(-3)n 呢？（m,n 都是正整数）法则：（文字叙述）（公式）3．拓展法则中说的是两个同底数幂相乘，那么三个或三个以上的同底数幂相乘怎样运算？ a m ·a n ·a p =三、应用法则例1计算：（1）（-3）7×（-3）6； （2）（1111）3 ⨯1111； （3）-x 3 · x 5； （4）b 2m · b 2m +1.例2 光在真空中的速度约为3×108m/s ，太阳光照射到地球大约需要5×102s. 地球距离太阳大约有多远？四、变式训练，1．口答：（1）x2·x5 （2）b5·b （3）32·3n2．下面是某学生所做的四个题目，另一个同学说做错了，而他说没错，请评判一下谁说得对．（1）x5+x5= x10（2）x m·x m=2x m（3）a·a3·a5=a0+3+5 =a8 （4）-a2·(-a4) ·(-a)3=(-a)2+4+3 3．计算：（1）23·24·25 （2）x3·x m-1 （3）y m-1·y m+1·y （4）（5）a3·a3+a2·a44．已知a x=2，a y=3（x、y均为正整数）求a x+y的值六、达标检测A层：1．填空题（1）a（）·a4=a20．（2）若102·10m=102013，则m= ．2．计算：（1）y·y2·y3 （2）y m·y m+1 （3）y m-1·y m+1·y （4）B层：3．某种计算机每秒钟可以进行4×107次运算，那么这台计算机5×102秒可以进行多少次运算？4．若a m=2，a n=5，求a m+n的值．。
1 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即am
1 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即am*an=a(m+n)
在学习数学中，我们会接触到各种各样的函数、表达式和公式，而“同底数幂”就是其中一种。
所谓“同底数幂”是指一个底数和多个指数组合而成的表达式，如
a^m*a^n，其中a为底数，m和n为指数。
在现实生活中，我们会经常遇到同底数幂的乘法性质，即同底数幂相乘时，底数不变，而指数则相加。
比如，有一个函数 f(x)=2^x，对于任意 x，函数
f(x) 的值都是 2 的 x 次方，那么当 x=2 时，
f(x)=2^2=4，而当 x=3 时，f(x)=2^3=8。
如果我们要计算出 f(2)*f(3) 的值，由于这里的两个函数都是同底数幂，即都是 2 的某个次方，所以可以利用它们的乘法性质来进行计算，即 f(2)*f(3)=2^2*2^3=2^(2+3)=2^5=32。
从上面的例子可以看出，同底数幂的乘法性质很容易让我们能够把复杂的计算问题转化为简单的计算过程，大大地减轻了计算的负担。
此外，在某些特殊的情况下，同底数幂的乘法性质也可以被用来计算出一个数的立方。
比如，当 m=3 时，
a^m=a^3，而 a^3=(a^2)*a，由于 a^2 也是一个同底数幂，我们可以利用它的乘法性质来进行计算，即
a^3=(a^2)*a=(a*a)*a=(a*a*a)，也就是说，a 的立方等于a 乘以自身的平方。
总之，同底数幂的乘法性质是一个非常有用的性质，它可以帮助我们快速地计算出一个数的立方，也可以让我们减少计算的负担，大大提高了我们的工作效率。
同底数幂的乘法公式是：$a^m \times a^n = a^{m+n}$，其中$a$ 是底数，$m$ 和$n$ 是指数。
这个公式告诉我们，当底数相同时，幂的乘法可以通过将指数相加来得到结果。
同底数幂的乘方公式是：$(a^m)^n = a^{m \times n}$，其中$a$ 是底数，$m$ 和$n$ 是指数。
这个公式告诉我们，幂的乘方可以通过将指数相乘来得到结果。
这两个公式在解决涉及同底数幂的运算问题时非常有用。
例如，如果我们想计算$2^3 \times 2^4$，我们可以使用同底数幂的乘法公式将其简化为$2^{3+4} = 2^7$。
同样地，如果我们想计算$(3^2)^3$，我们可以使用同底数幂的乘方公式将其简化为$3^{2 \times 3} = 3^6$。
课题：1.1同底数幂的乘法课型：新授课年级：七年级教学目标：1.掌握同底数幂乘法的法则；能正确地运用同底数幂乘法的运算性质，并能应用它解决一些实际问题.2.经历探索同底数幂乘法运算性质过程，进一步体会幂的意义，感悟数学中特殊到一般”和化归的数学思想，发展合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.教学重难点重点：同底数幂的乘法法则的推导过程，会用同底数幂的乘法法则进行有关计算.难点：探究同底数幂的乘法法则的过程及培养学生的归纳能力和化归思想.教法及学法指导：本节课通过复习引入，不断的通过问题引导学生的思维活动，同时突出学生的“探索”，将观察、思考等活动贯穿于教学活动的始终，在教学过程中立足让学生自己去探索、分析归纳、合作交流.课前准备：教师准备：制作教学课件．学生准备：准备练习本和预习课本内容.教学过程:一、复习回顾，提出问题活动内容：复习幂的意义，提出问题问题：2表示什么？10×10×10×10×10 可以写成什么形式?1. 5a表示的意义是什么？其中a、a、n a分别叫做什么?2. n3. 光在真空中的速度大约是3×108千米/秒.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3 ×107 秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？处理方式：第一、二个问题，多媒体展示后让学生口答，教师再通过两三道习题巩固定义，如()23-，43-.第三个问题让学生在演草纸上书写，并找一学生板书3×108×3×107×4.22=3×3×4.22×（108×107），接着老师追问108× 107等于多少呢？这节课我们就来学习这类幂的运算，同底数幂的乘法设计意图：通过复习幂的意义，为本节课公式的推导做好准备，联系生活提出问题，学生解决有困难，从而引出本节课的学习内容，激发学生学习的欲望.二、自主合作，解决问题活动内容1： 经历同底数幂的运算性质的过程 1.利用乘方的意义计算下列各式： （1）102×103（2）105×108（3）10m×10n（m ，n 都是正整数）（4）(71)m ×(71)n（m ，n 都是正整数） (5) (-3)m× (-3)n（m ，n 都是正整数）处理方式：让学生独立利用乘方的意义进行推导，并找学生板书各题.师生共同订正推导过程中的错误，如底数是分数或是负数要添加括号. 102×103=（10×10 ）×（10×10×10 ）=10510m×10n=（10×10×… ×10 ）×（10×10× … ×10 ）=10m+nm 个10 n 个10(71)m ×(71)n = （71×71×… ×71）×（71×71× … ×71）=（71）m+nm 个71 n 个71(-3)m×(-3)n=[(-3)×(-3)×…×(-3)]×[(-3)×(-3)×…×(-3)]=(-3)m+nm 个10 n 个10指数幂= a·a· … ·a n 个a底数设计意图：由特殊过渡到一般，让学生经历同底数幂的乘法性质的推导过程，并在发现的过程中不断巩固幂的意义，同时，本环节为学生下一步归纳同底数幂的乘法法则做好准备.活动内容2：归纳同底数幂的运算性质 问题:1.观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？2.猜想: =⋅nma a? (当m 、n 都是正整数)处理方式：让学生观察以上推导的算式，底数、指数有什么关系，学生归纳后教师提出第二个问题，猜想:nmaa ⋅的结果，并让学生进行验证.nmaa ⋅= (a ﹒a ﹒﹒﹒﹒a)·(a ﹒a ﹒﹒﹒﹒a)m 个a n 个a =a ﹒a ﹒﹒﹒﹒a (m+n)个a =a m+n所以n m a a an m n m、(+=⋅是正整数）上面两个问题处理完后老师教师继续追问：（1）a m．a n ．a p 等于什么？接着让学生推导出am．a n ．a p = a m+n+p ,，（2）如何用语言叙述这一性质？（老师板书性质）a m ．a n =a m+n （ m 、n 是正整数）即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.教师点拨强调：运用法则时，幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加.设计意图：通过观察、归纳、推导得到同底数幂的乘法法则，培养学生的合情推理能力，完成本节课的第一个目标.三、展示汇报，反馈点拨活动内容：利用同底数幂的运算性质进行计算 （多媒体出示）例1计算（1）(-3)7×(-3)6（2）（3）-x 3.x5（4）b 2m .b 2m +1处理方式：先让学生独立利用法则进行计算，然后师生共同订正答案. 预设学生的易错点：111111113⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛1.（1）（3）题漏加括号，老师可以让学生比较加不加括号的区别；2. （2）中学生容易把第二个因式的指数误认为0；3．（3）题的负号，学生可能会误认为是底数的负号，教师可以追问（3）题是不是同底数幂的乘法运算，对于（3）题中“－”你是怎样理解的？ 【规范解题】（1）（－3）7×（ －3）6= （－3）7+6 = （－3）13；（2）（1111）3×（1111） = （1111）3+1 = （1111）4； （3） －x 3• x 3= －x 3+5= －x 8；（4） b2m• b2m +1= b2m+2m +1= b4m +1四、巩固训练，拓展提高活动内容1：巩固同底数幂的运算性质 1.计算2.下面的计算是否正确？如有错误请更正.（1）b 4· b 4= 2b 4（ ） （2）b 5+ b 5= b 10（ ）（3）x 5·x 5= x 25( ) （4）c · c 3= c 3( )处理方式：让学生书写1题，口答2题，学生口答判断后，让学生说出错因，并给出正确的答案.设计意图：1题仿照例题，再一次巩固易错点，2题通过错例，让学生进一步巩固同底数幂的乘法性质.活动内容2：应用同底数幂的运算性质例2光在真空光的速度是 3×108千米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒.地球距离太阳大约有多远？（解决开头提出的问题）光在真空中的速度大约是3×108千米/秒.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年.一年以3 ×107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少千米？处理方式：让学生板书两个题目.设计意图：第1题通过练习让学生体会同底数幂的乘法在生活中的应用， 第2题 是为了照应开头，巩固同底数幂的乘法在生活中的应用.活动内容3：提高同底数幂的运算性质的练习（3）－x 2·x 3； （4）（－c ）3·（－c ）m.（1）52×57； （2）7×73×72；1.计算（a－b）3·（a－b）2；2.若a m =3，a n =2，求a m+n 的值.处理方式：让学生先独立思考，再小组交流答案.请同学们想一想本节课的收获，并说给同伴听.设计意图：1题让学生理解公式中的底数可以是字母，也可以是多项式；2题是公式的逆用，培养学生的逆向思维，同时再一次加深对同底数幂的乘法性质的理解.五、当堂检测，课堂小结(一)课堂小结请同学们想一想本节课的收获，并说给同伴听.1．同底数幂的法则是什么？2．计算中的易错点是什么？处理方式：让学生先回顾本节课的收获，并说给同伴听，教师再强调.设计意图：帮学生梳理知识，再一次强调所学内容.(二)课堂小结A层：1.（1）5x .（）= 2008x(2)36x x-⋅＝；2.如果2-n a‧1+n a‧2a=11a,则n= .3．计算2a‧3a+ a‧4a4．某种计算机每秒钟可以进行4×107次运算，那么这台计算机5×102秒可以进行多少次运算？B层：5．若a m=2，a n=5，求a m+n的值．处理方式：学生独立测试，小组长批改.设计意图：考察学生本节课的掌握情况，查缺补漏.作业：必做：课本 P4习题1.1第1、2题．选做：课本 P4 习题1.1第4题．板书设计。
第一章 整式的乘除 第1节 同底数幂的乘法教学过程：一、复习与回顾1.na 表示的意义是什么？其中a 、n 、na分别叫做什么?na= a × a × a ×… a （ n 个a 相乘）2. 52表示什么？3. 10×10×10×10×10 可以写成什么形式?10×10×10×10×10 = . 二、创设情境，引出课题，探索新知 师：2008是我们每个中国人都感到骄傲和自豪的一年——那就是举办2008年北京奥运会.你们还记得奥运场馆的标志性建筑是什么吗？——对，鸟巢和水立方！非常壮观，被列入北京十大建筑，同时也是世界上著名的节能环保建筑.你们认为它们最漂亮的是什么时候呢？（出示鸟巢和水立方的夜景图）到了晚上它们就更漂亮了，是因为什么？（灯光）可能大家有所不知，这里所需要的灯光大部分都不是来自发电厂，而是来自太阳能.（出示: 中国奥委会为了把2008年北京奥运会办成一个环保的奥运会，很多建筑都做了节能的设计，据统计：奥运场馆一平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧810千克煤所产生的能量.那么510平方千米的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤？）【设计意图：利用鸟巢和水立方夜景图及例1，一方面可以集中学生注意力，使之较快进入课堂学习状态，另一方面不失时机的加深学生的爱国主义教育和环保意识】 师：你们能列式吗？（学生讨论得出810×510） 师：810,510我们称之为什么？（幂）师：我们再来观察底数有什么特点？生1：都是10 . 生2: 是一样的.师：像这样底数相同的两个幂相乘的运算，我们把它叫做同底数幂的乘法.（揭示课题） （一） 合作学习、探索新知 1.探索810×510 等于多少？（鼓励学生大胆猜想.）学生可能会出现以下几种情况： ① 13100②4010 ③40100 ④1310【猜想产生疑问，激发兴趣，为学生推导公式作好情感铺垫.】师：那到底谁的猜想是正确的呢？小组合作讨论.（师提示：根据幂的意义.） 生回答师板演：810×510=（10× 10×...×10）×（10 × 10× (10)（8个10） （5个10） =10×10×…×10 13个10 =1310即：810×510=1310【师给出适当的提示后，相信学生能在已有的知识基础上，利用集体的智慧，找出猜想中的正确答案，并通过“转化”思想得出结论，也找到了正确的推理过程.】 2.出示问题：（学生口答，课件显示过程.） 62×92=（2 · 2…2）×（2 · 2…2）6个2 9个2 =2 . 2 (2)15个2 ＝152即：62×92＝1523.观察以上两个式子，你有什么发现？ (生会有多种答案 . )师：这是两个特殊的式子，他们的指数分别是8,5；6,9.同底的两数任何次幂相乘，都是底数不变，指数相加吗？能找到一个具有一般性、代表性的式子吗？m a ·na怎么计算？【62 ×92和ma · na 的推导过程由于810×510 打好了坚实的基础而且推导过程也重复，所以可用填空的形式简化公式的推导过程，即避免了重复教学过程，也节约时间，同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程.】板书：m a · n a = nm a + (m 、n 都是正整数)师补充解释m 、n 都是正整数的原因，并请学生用自己的语言概括该结论，之后全体学生用精炼的文字概括表述.板书：同底数幂相乘底数不变，指数相加.【多名学生参与到全班学生参与，经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程，从而发展全体学生数学语言和提高学生的表达能力.】 出示:1.计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）()26-· ()56- （2）xm ·13+x m（3）()4b a +×()b a +教学（1）指名回答，师板演完整步骤.（2）（3）学生独立完成，要求书写完整的解答步骤. 师概括底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式或多项式. 出示:2.计算下列各式，结果用幂的形式表示：（1）a · 3a · 7a （2） ()2x - ×()3x -×()5x - 教学（1）学生齐答，师板演完整步骤.（2）学生独立完成后师提问：你对法则有什么新的认识吗？【设计意图：让学生体会到当三个或三个以上同底数幂相乘时，也可以用公式，不是只有两个相乘才能用公式. 】出示:3、计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）-3m×()6m - （2）()()42a a a -⋅-⋅教学 ：小组合作，讨论完成.问：此类题有何特征？解题时应注意哪些问题？【第1题（1）的教学活动目的让学生掌握解题的书写步骤，（2）（3）让学生独立完成进一步巩固解题的书写步骤，第3题小组合作解题.本例的教学活动既有教师的引导，学生独立思考又有学生的合作交流，从而优化学生的思维体现了思维的合理化、严格化、程序化，特别是小组合作，能使学生在同伴交流过程中也培养了团体合作意识. 】 师问：88a a +等于多少？ 生可能会快速回答：等于16a 师追问88a a ⋅等于多少？ 生：等于16a生在回答16a 时立即发现了问题 师再追问：那么说88a a += 88a a ⋅? 生思考片刻：88a a +=82a【该教学活动让学生产生思想冲突，并由教师的追问使他们自己产生疑问，再让学生经过“比较”解决冲突，也避免了以后出现同类项与同底数幂相乘产生混淆.】三、巩固新知课件出示下面计算对吗？如果不对，应怎样改正？（ ）（ ） （ ）（ ）师：思考一至二分钟举手回答，可挑选自己喜欢的题目回答.【给学生充足的思维空间，养成思考习惯，让学生自主挑选回答主要是让后进生也能在课堂上体验成功，有成就感；且该教学活动亦能培养学生仔细观察问题的习惯.】 四、活用法则课件出示：（1）已知ma = 3 , na =5 , 求n m a+的值.【让学生在新知识的基础上结合旧知识解题.培养学生综合分析.同时也进一步巩固了同底数幂乘法公式的理解和应用.】 五、归纳小结1、同桌之间用今天学到的知识，每人出一个最好的题让同伴解答.看谁出题最好、又看谁解答最棒！2、叙述本节课的收获.【另一方式的归纳总结法、既能让学生自己总结应用课堂所学的知识，也能让学生体验成功的喜悦.】 六、当堂达标236a a a ⋅=（2）66a a a⋅=（3）831177⋅=-（4）（-7）（）3332a a a ⋅=（1）1.（1）5x .（ ）= 2008x（2）4x ·3x = 72 求x 的值2．计算 2a ‧3a+ a ‧4a3.如果2-n a ‧1+n a ‧2a =11a ,则n = 4．已知：m a =2，n a =3. 求 ： n m a +【通过习题检测学生对公式的理解与运用，然后师生共同分析存在问题】 七、课堂作业必做题：课本4p 1 ， 2 选做题：3 八、板书设计九、教学反思：本课我采用探究合作教学法进行教学，充分发挥了学生的主体作用，积极为学生创设一个和谐宽松的情境，学生在自主的空间里自由的奔放地想象思维和学习取得较好的效果.在这次教学的导入环节，我利用多媒体为学生创设美观热点生活情境，充分调动了学生的兴趣和积极性；在同底数幂乘法公式推导过程中学生思维经历了猜测、质疑、推理、论证的科学发展过程，也渗透了转化和从特殊到一般的数学辩论思想，充分体现了自主探究的学习方式；而在巩固深化环节上精心设计开放式题目.通过学生独立思考，小组合作等手段，让学生个个动手、人人参与，充分调动学生学习数学的积极性.同时也使各层次的学生有不同的收获.。
