湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题

2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|1＜x＜5}，则（∁R A）∩B＝（）A．（2，5）B．（2，+∞）C．[2，5）D．[2，+∞）2．（3分）函数y＝+log2（x+3）的定义域是（）A．R B．（﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣3，0）∪（0，+∞）3．（3分）已知扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，则扇形的面积为（）A．2B．4C．8D．164．（3分）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．，B．，C．，D．，5．（3分）设，且∥，则锐角α为（）A．30°B．60°C．75°D．45°6．（3分）函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．（3分）如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝（）A．B．C．D．8．（3分）函数y＝﹣x cos x的部分图象是（）A．B．C．D．9．（3分）已知两个非零向量，满足，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．10．（3分）已知函数，则该函数的图象（）A．关于直线对称B．关于点对称C．关于点对称D．关于直线对称11．（3分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．12．（3分）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则＝2+与＝﹣3+2的夹角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°13．（3分）已知函数f（x）＝若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣1，2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）14．（3分）已知函数，若要得到一个偶函数的图象，则可以将函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度15．（3分）设f（x）＝若f（x）＝x+a有且仅有三个解，则实数a的取值范围是（）A．[1，2]B．（﹣∞，2）C．[1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．（3分）＝．17．（3分）＝．18．（3分）幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为．19．（3分）函数y＝的单调递增区间是．20．（3分）半径为1的扇形AOB，∠AOB＝120°，M，N分别为半径OA，OB的中点，P 为弧AB上任意一点，则的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．（8分）已知函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点P（，0），图象中与点P最近的最高点是（，5）．（1）求函数解析式；（2）求函数的增区间．22．（8分）已知函数f（x）＝log a（其中a＞1）．（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并给予证明；（Ⅲ）求使f（x）＞0的x取值范围．23．（8分）已知向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）若sin（θ﹣φ）＝，0＜φ＜，求cosφ的值．24．（8分）某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x，3x（吨）．（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．（精确到0.1）25．（8分）定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f （x）＝1+a•（）x+（）x（1）当a＝1，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：∁R A＝{x|x≥2}；∴（∁R A）∩B＝[2，5）．故选：C．2．【解答】解：要使原函数有意义，只需，解得x∈（﹣3，0）∪（0，+∞），所以原函数的定义域为（﹣3，0）∪（0，+∞）．故选：D．3．【解答】解：因为扇形的圆心角的弧度数为2，扇形的弧长为4，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：＝4．故选：B．4．【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B．5．【解答】解：由，且∥，则sinα﹣cosα＝0，解得tanα＝，又α为锐角，所以α＝60°．故选：B．6．【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．7．【解答】解：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，，∴．故选：A．8．【解答】解：函数y＝﹣x cos x为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cos x→1，则﹣x cos x＜0，故选：D．9．【解答】解：∵两个非零向量，满足，∴，展开得到．故选：B．10．【解答】解：由2x+＝kπ，k∈z可得x＝，故该函数的图象关于点（，0）对称，k∈z．由2x+＝kπ+，可得x＝，k∈z，故该函数的图象关于直线x＝对称，k∈z．故选：B．11．【解答】解：∵，∴，故选：C．12．【解答】解：∵已知，是夹角为60°的两个单位向量，∴•＝1×1×cos60°＝，设＝2+与＝﹣3+2的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵||＝＝＝，||＝＝＝，•＝（2+）•（﹣3+2）＝﹣6+•+2＝﹣6++2＝﹣，∴cosθ＝＝＝﹣，∴θ＝120°，故选：C．13．【解答】解：由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f （a），得2﹣a2＞a即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1．故选：C．14．【解答】解：数＝，要得到一个偶函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可．故选：B．15．【解答】解：函数f（x）＝，若的图象如图所示，（当x＞0时，函数的图象呈现周期性变化）由图可知：（1）当a≥3时，两个图象有且只有一个公共点；（2）当2≤a＜3时，两个图象有两个公共点；（3）当a＜2时，两个图象有三个公共点；即当a＜2时，f（x）＝x+a有三个实解．故选：B．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.）16．【解答】解：＝1+|1﹣|﹣＝1+﹣1﹣＝﹣＝0．故答案为：0．17．【解答】解：，所以sinα＝；故答案为：．18．【解答】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，∵幂函数f（x）的图象过点，∴4α＝，∴α＝﹣．∴f（8）＝＝＝，故答案为：．19．【解答】解：根据对数函数的定义可得：函数y＝的定义域为：（﹣∞，﹣6）∪（2，+∞）令t＝x2+4x﹣12，则，由对数函数的性质可得：函数在定义域内是减函数，由二次函数的性质可得：t＝x2+4x﹣12的单调递减区间是（﹣∞，﹣6），单调递增区间是（2，+∞），再根据复合函数的单调性是“同增异减”，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣6）．故答案为：（﹣∞，﹣6）．20．【解答】解：由题意，设∠POM＝θ，则•＝（﹣）•（﹣）＝•﹣•﹣•+2＝××cos120°﹣1×cosθ﹣1×cos（120°﹣θ）+1＝﹣﹣cosθ﹣（﹣cosθ+sinθ）+1＝﹣（cosθ+sinθ）＝﹣sin（θ+30°），因为θ∈[0°，120°]，所以θ+30°∈[30°，150°]，所以sin（θ+30°）∈[，1]，所以•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．【解答】解：（1）由已知点函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象过点，图象中与点P最近的最高点是．∴A＝5，，即T＝π∴ω＝2∴y＝5sin（2x+φ），将代入得5＝5sin（+φ）解得φ＝+2kπ，k∈Z令k＝0，则φ＝∴y＝5sin（2x）（2）令﹣+2kπ≤2x≤+2kπ，k∈Z则﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z∴函数的增区间为[﹣+kπ，+kπ），（k∈Z）22．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）＝log a（其中a＞1），可得＞0，即＜0，即（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）．（Ⅱ）由于函数的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），故函数为奇函数．（Ⅲ）由f（x）＞0 可得＞1，即＜0，2x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故所求的x的取值范围为（0，1）．23．【解答】解：（1）∵向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，∴sinθ×1+（﹣2）×cosθ＝0⇒sinθ＝2cosθ．∵sin2θ+cos2θ＝1，∴4cos2θ+cos2θ＝1⇒cos2θ＝．∵θ∈（0，），∴cosθ＝，sinθ＝．（2）解法一：由sin（θ﹣φ）＝得，sinθcosφ﹣cosθsinφ＝⇒sinφ＝2cosφ﹣，∴sin2φ+cos2φ＝5cos2φ﹣2 cosφ+＝1⇒5cos2φ﹣2 cosφ﹣＝0．解得cosφ＝或cosφ＝﹣，∵0＜φ＜，∴cosφ＝．解法二：∵0＜θ，φ＜，∴﹣＜θ﹣φ＜．所以cos（θ﹣φ）＝＝．故cosφ＝cos[（θ﹣（θ﹣φ）]＝cosθcos（θ﹣φ）+sinθsin（θ﹣φ）＝×+×＝．24．【解答】解：（1）由题意知：x≥0，令5x＝4，得x＝；令3x＝4，得x＝．则当时，y＝（5x+3x）×1.8＝14.4x当时，当时，＝24x﹣9.6即得（2）由于y＝f（x）在各段区间上均单增，当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，y≤f（）＜26.4当x∈时，令24x﹣9.6＝26.4，得x＝1.5所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8+3.5×3＝17.70元乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝8.7元25．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝1+1•（）x+（）x．令t＝•（）x，由x＜0 可得t＞1，f（x）＝h（t）＝t2+t+1＝+，∵h（t）在（1，+∞）上单调递增，故f（t）＞f（1）＝3，故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故函数f（x）在（﹣∞，0）上不是有界函数．（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则当x≥0时，|f（x）|≤3恒成立．故有﹣3≤f（x）≤3，即﹣3≤1+a•（）x+（）x≤3，即﹣4﹣≤a≤2﹣，∴[﹣4•2x﹣]≤a≤[2•2x﹣]．∴当x＝0时，[﹣4•2x﹣]的最大值为﹣4﹣1＝﹣5，[2•2x﹣]的最小值为2﹣1＝1，故有﹣5≤a≤1，即a的范围为[﹣5，1]．。

长郡中学2019-2019学年度高一第一学期期末考试数学一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 •设集合A=［1,3?，集合B 亠..1,2,4,5 ?,则集合AUB 二( )A. 11,3,1,2,4,5 / B . MC. 11,2,3,4,5 / D . ：2,3,4,5 /TL2 •已知tan: - -3 , ，则sin 的值为( )2A •1B731C • ——D •732222r r r r r r3 •已知j刁=4，t)=3，且a与b不共线，若向量 a + kb与a - kb互相垂直，则k的值为( )A•a B2丽C • ±--------- D34324•如果奇函数f (x )在区间12,8 ］上是减函数且最小值为6，贝U f(x )在区间［-8,-2】上是( ) A.增函数且最小值为-6 B •增函数且最大值为-6C.减函数且最小值为-6 D •减函数且最大值为-65•方程2x，3x-7 =0的解所在的区间为( )A. -1,0 B • 0,1 C • 1,2 D • 2,36 • =ABC中，内角A, B,C所对的边分别是a, b, c，若a2- c2，b2= ab，则C =( )A. 30° B • 60° C • 120° D • 60° 或120°7 • ABC中，内角A, B,C所对边的长分别为a,b,c，若cos^ ，则ABC为( ) cosB aA •等腰三角形B •等边三角形C.直角三角形 D •等腰三角形或直角三角形f 8 •已知集合A= X■■■■ -x2 6Li2 :：1 ，B = ' x log 4 x a "，a的取值范围为若A I B^，则实数R 上的周期为2的偶函数，已知 x - 2,3 I 时，f x = x ，则x 1-2,0 1时，f x的解析式为( )A . x 4B C. 3 — X +1D 13.若函数 f (x )=si n 豹 x —J Jcos ^x ，⑷ >0,x ^ R ，又 f (x j = 2 , f (x 2)=0，且捲—x 2 的最小值为—，则，的值为（ 2 )1 24A . -BCD.233314.如图，正三角形 ABC 的中心位于点G 0,1 , A 0,2 ，动点P 从点A 出发沿厶ABC 的边界按逆时针uun r方向运动，设• AGP =x 0乞x 乞2二，向量OP 在a 二1,0方向上的射影为y （ O 为坐标原点），则 y 关于x 的函数y 二f x 的图象大致为（）A. BC.A . 1 ：：：a ::: 2 C..1 ：：： a 乞 2设是第二象限角， 1 P x,4为其终边上的一点，且 cos x ，则tan =（） A .4 _3 二 11 ■:sin 2二-匚 cos 「亠二 jco^ — - :- cos - 10.化简 cos 二「sin 3二…sin -二-：sin 吟 的结果为tan :- 11 .先把函数 象向右平移 3 A .ji —+CL tan :-f x =sin x i 的图象上各点的横坐标变为原来的 1“ I 6丿 个单位, （纵坐标不变），再把新得到的图得到y 二g x 的图象.当x g x 的值域为（.亠 C IL 21-4,012 .设f x 是定义在 2 -x2_x+1—1,0<x^2彳0)=廿.则关于x的方程2 f(x-2),x>26「f （x p — f （x ）—1 = 0的实数根个数为（A. 6 B . 7 C . 8 D . 9、填空题（每题3分，满分15分，将答案填在答题纸上）设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bsin A=乜.acosB若b 3 , sin C =2sin A，求a, c的值.Q已知函数f x「3sinxcosx-cos2x ?15.已知定义在R上的奇函数f x，当x .0时,16.lg 2 Ig5 二0戸17.18.2sin -cos:-已知tan「- 3，贝U —cosa +3sin G已知向量a, b满足b =2, a与b的夹角为60 °，则b在a上的投影是19.若函数f x =2x2-kx-3在区间〔-2,4 1上具有单调性，则实数k的取值范围是20.uuu uuu在.ABC 中，AB AC =9, si n B =cosA si nC, S ABC= 6 , P 为线段AB 上一点，且uir CP UlTCB，则—•丄的最小值为x y21.(1)(2)UlTCA=x CA y CB解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知集合A x求AI B ;求$ A UB .+3)(x—2)兰0}, B={x1 兰x 兰4}.22.(1) 求角B的大小;(2)23.(1) 求f x的单调递增区间;(2) 若角:的终边不共线，且f 二f ［，求tan24.已知向量a = cos： ,sin ：, b = cos :,sin ：,2.5 5(1 )求cos - ；1 i 5(2)右0 , 0 ,且sin ，求sin、丄.2 2 1325.已知二次函数f x =x2，若不等式f -x • f x < 2 x的解集为C .(1)求集合C ；(2)若函数g x = f a x-a x 1-11( a 0且a")在集合C上存在零点，求实数a的取值范围.。

湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.11的等比中项是（ ） A. 1 B. －1 C. ±1 D.12【答案】C 【解析】试题分析：设两数的等比中项为)21111x x x ∴==∴=±，等比中项为-1或1考点：等比中项2.如果0b a <<，那么下列不等式错误的是（ ） A. 22a b > B. 0a b -> C. 0a b +< D. b a >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质或比较法对各选项中不等式的正误进行判断.【详解】0b a <<Q ，0a b ∴->，0a b +<，则()()220a b a b a b -=-+<，22a b ∴<，可得出b a >，因此，A 选项错误，故选：A.【点睛】本题考查判断不等式的正误，常利用不等式的性质或比较法来进行判断，考查推理能力，属于基础题.3.袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（ ） A.79B.49C.23D.59【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为59，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.4.若经过两点()4,21A y +、()2,3B -的直线的倾斜角为34π，则y 等于（ ） A. 1- B. 2C. 0D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】由直线AB 的倾斜角得知直线AB 的斜率为1-，再利用斜率公式可求出y 的值. 【详解】由于直线AB 的倾斜角为34π，则该直线的斜率为3tan 14π=-， 由斜率公式得()2132142y y ++=+=--，解得3y =-，故选：D.【点睛】本题考查利用斜率公式求参数，同时也涉及了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：由斜二测画法的规则知与x'轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度不变，与y 轴平行或重合的线段与x ’轴平行或重合，其长度变成原来的一半，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2，观察四个选项，A 选项符合题意．故应选A ．考点：斜二测画法。

2018–2019学年度湖南省名校高一第一学期期末联考数学试卷（四）数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I卷（选择题 60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}2．m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．m⊥l，n⊥l，则m∥n B．α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βC．m∥α，n∥α，则m∥n D．α∥γ，β∥γ，则α∥β3．已知△ABC在斜二测画法下的平面直观图△A'B'C'，△A'B'C'是边长为a的正三角形，那么在原△ABC的面积为（）A．B．C．D．4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25π B．50π C．125πD．都不对5．在空间直角坐标系中点P（1，3，﹣5）关于xoy对称的点的坐标是（）A．（﹣1，3，﹣5）B．（1，﹣3，5） C．（1，3，5）D．（﹣1，﹣3，5）6．过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程为（）A．2x+y﹣4=0 B．x+2y﹣5=0 C．x+3y﹣7=0 D．3x+y﹣5=07．三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3之间的大小关系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a8．若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若，MN与圆C相切，则|MN|的最小值为（）A．1 B．C．D．10．定义在R上的奇函数f（x），当x≥０时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣111．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，点P是平面A1B1C1D1内的一个动点，则三棱锥P﹣ABC的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A．1 B．2 C．D．12．若函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）+]=，则f（log23）=（）A．1 B． C．D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知函数，则= ．14．圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为．15．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足f（2x﹣1）＜f（3）的x取值集合是．16．在直角坐标系内，已知A（3，2）是圆C上一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为x﹣y+1=0和x+y﹣7=0，若圆C上存在点P，使∠MPN=90°，其中M，N的坐标分别为（﹣m，0），（m，0），则实数m的取值集合为．。

2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．（5分）满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A的个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）已知幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），若f（m）＝3，则实数m的值为（）A．B．C．±9D．93．（5分）的值是（）A．B．C．D．4．（5分）已知直线l1：x+2y﹣1＝0，l2：2x+ny+5＝0，l3：mx+3y+1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m+n的值为（）A．﹣10B．10C．﹣2D．25．（5分）已知，则＝（）A．B．1C．D．26．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与A1C所成的角的大小是（）A．30°B．60°C．90°D．120°7．（5分）已知tanθ＝2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ＝（）A．﹣B．C．﹣D．8．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β9．（5分）已知函数，则＝（）A．1B．lg2C．2D．010．（5分）若存在正数x使成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）11．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣e x]＝1，且f（a）＜f（b）＜e，若，则a与b的关系是（）A．a＝b3B．b＝a3C．b＝a4D．a＝b4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13．（5分）函数y＝ln（1﹣x）的定义域为．14．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）则该几何体的体积为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2＝4有且仅有三个点到直线l：2x﹣5y+c ＝0的距离为1，则实数c的取值集合是．16．（5分）已知函数，若a、b、c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知点A（﹣4，0），B（2，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．（1）若点P为曲线C，求此曲线的方程；（2）已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且与（1）中的曲线C只有一个公共点，求直线l的方程．18．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC．19．（12分）已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x（x≥40）万部且并全部销售完，每万部的收入为R（x）万元，且．（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部的函数关系式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．20．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝3，D是CB延长线上一点，且BD＝BC．（1）求二面角B1﹣AD﹣B的正切值；（2）求三棱锥C1﹣ABB1的体积．21．（12分）已知圆C过点P（2，2），且与圆M：（x+6）2+（y﹣6）2＝r2（r＞0）关于直线x﹣y+6＝0对称．（1）求圆C的方程；（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．22．（12分）已知f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx．（1）若k＝2，求方程f（x）＝0的解；（2）若关于x的方程f（x）＝0在区间（0，4）上有两个不相等的实根x1、x2：①求实数k的取值范围；②证明：．2018-2019学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．【解答】解：满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A为：{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，共4个．故选：C．2．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象过点（4，2），∴4a＝2，解得a＝，∴f（x）＝，∵f（m）＝＝3，∴m＝9．故选：D．3．【解答】解：原式＝sin（π+）•cos（π﹣）•tan（﹣π﹣）＝﹣sin•（﹣cos）•（﹣tan）＝﹣×（﹣）×（﹣）＝﹣．故选：A．4．【解答】解：∵l1∥l2且l1⊥l3，∴n﹣4＝0，m+6＝0，解得n＝4，m＝﹣6．则m+n＝4﹣6＝﹣2．故选：C．5．【解答】解：∵∴alg2＝blg5＝∴，∴＝2lg2+2lg5＝2lg10＝2故选：D．6．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1D，A1D⊥DC，A1D⊥AD1，∴AD1⊥平面A1DC，∴异面直线AD1与A1C所成的角的大小是90°．故选：C．7．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ＝＝＝＝．故选：D．8．【解答】解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A 错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选：D．9．【解答】解：∵函数，∴＝ln（﹣lg2）+ln（）+2＝ln（﹣lg2）+ln（+lg2）+2＝ln1+2＝2．故选：C．10．【解答】解：根据题意，⇒x﹣（）x＜a，设f（x）＝x﹣（）x，其导数为f′（x）＝1﹣（）x ln（）＝1+（）x ln2＞0，则函数f（x）在R上为增函数，且f（0）＝0﹣（）0＝﹣1，则在（0，+∞）上，f（x）＞f（0）＝﹣1恒成立；若存在正数x使成立，即x﹣（）x＜a有正实数解，必有a＞﹣1；即a的取值范围为（﹣1，+∞）；故选：D．11．【解答】解：设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，该圆的半径为r＝2cm，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，球心到截面圆圆心的距离为（R﹣1）cm，由勾股定理可得R2＝（R﹣1）2+22，解得，因此，球的体积为．故选：A．12．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的单调函数，满足f[f（x）﹣e x]＝1，则f（x）﹣e x为常数，设f（x）﹣e x＝t，则f（x）＝e x+t，又由f[f（x）﹣e x]＝1，即f（t）＝1，则有e t+t＝1，解可得t＝0，则f（x）＝e x，若f（a）＜f（b）＜e，即e a＜e b＜e1＝e，则a＜b＜1，若，必有0＜a＜b，则有+＝，又由0＜a＜b＜1，则＜1，解可得＝，即lga＝3lgb，变形可得：a＝b3，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中对应题号的横线上）13．【解答】解：要使原函数有意义，则解得：0≤x＜1所以原函数的定义域[0，1）．故答案为[0，1）．14．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下面为长方体，上面为圆锥，且长方体的长、宽、高分别为3、2、1，圆锥的底面半径为1，高为3，则该几何体的体积V＝．故答案为：6+π．15．【解答】解：如图，由圆的方程x2+y2＝4，可得圆心坐标为（0，0），圆半径r＝2，由题意可知，原点到直线2x﹣5y+c＝0的距离为1．由点到直线的距离公式可得：，∴c＝±．故答案为：{±}．16．【解答】解：函数函数，图象如图所示：若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），令a＜b＜c，则a•b＝1，8＜c＜10，故8＜abc＜10，故答案为：（8，10）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：（1）设P（x，y），∵点A（﹣4，0），B（2，0），动点P满足|P A|＝2|PB|．∴＝2，整理得：x2+y2﹣8x＝0．∴曲线C方程为x2+y2﹣8x＝0．（2）设直线l的横截距为a，则直线l的纵截距为a，当a＝0时，直线l过（0，0），设直线方程为y＝kx．把y＝kx代入曲线C的方程x2+y2﹣8x＝0，得：（k2+1）x2﹣8x＝0，∵△＝64﹣4（k2+1）×0＝64，∴直线l与曲线C有两个公共点，已知矛盾；当a≠0时，直线方程为x+y＝a，把x+y＝a代入曲线C的方程x2+y2﹣8x＝0，得：2x2﹣（2a+8）x+a2＝0，∵直线l与曲线C只有一个公共点，∴△＝[﹣（2a+8）]2﹣8a2＝0，解得a＝4，∴直线l的方程为x+y﹣4+4＝0或x+y﹣4﹣4＝0．18．【解答】（Ⅰ）证明：∵在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，∴AC⊥AB，AC⊥P A，又AB∩P A＝A，∴AC⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴AC⊥PB．（Ⅱ）证明：连接BD，与AC相交于O，连接EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E是PD的中点，∴EO∥PB，又PB不包含于平面AEC，EO⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC．19．【解答】解：（1）W＝xR（x）﹣（160x+400）＝x（﹣）﹣（160x+400）＝74000﹣﹣160x﹣400＝73600﹣﹣160x，（2）由（1）可得W＝73600﹣﹣160x≤73600﹣2＝73600﹣16000＝57600，当且仅当当且仅当＝160，即x＝50时取等号，所以当x＝50时，y取得最大值57600万元．20．【解答】解：（1）取BC中点O，B1C1中点E，连结OE，OA，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1＝3，D是CB延长线上一点，且BD ＝BC．∴以O为原点，OD为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，B1（，3，0），A（0，0，），D（，0，0），B（，0，0），＝（，0，﹣），＝（，3，﹣），平面ABD的法向量＝（0，1，0），设平面ADB1的法向量＝（x，y，z），则，取z＝，得＝（1，1，），设二面角B1﹣AD﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝，tanθ＝＝2，∴二面角B1﹣AD﹣B的正切值为2．（2）三棱锥C1﹣ABB1的体积：＝＝＝＝．21．【解答】（1）解：由题意可得点C和点M（﹣6，6）关于直线x﹣y+6＝0对称，且圆C和圆M的半径相等，都等于r．设C（m，n），由且，解得：m＝0，n＝0．故原C的方程为x2+y2＝r2．再把点P（2，2）代入圆C的方程，求得r＝．故圆的方程为：x2+y2＝8；（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线P A和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，则得直线OP和AB平行，理由如下：由题意知，直线P A和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设P A：y﹣2＝k（x﹣2），PB：y﹣2＝﹣k（x﹣2）．由，得（1+k2）x2+4k（1﹣k）x+4（1﹣k）2﹣8＝0，∵P的横坐标x＝2一定是该方程的解，∴，同理，x B＝．由于AB的斜率k AB＝＝＝＝1＝k OP（OP的斜率），∴直线AB和OP一定平行．22．【解答】解：（1）当k＝2时，f（x）＝|x2﹣4|+x2+2x，当|x|≥2时，f（x）＝2x2+2x﹣4，由f（x）＝2x2+2x﹣4＝0，得x2+x﹣2＝0，得x＝1舍或x＝﹣2；当|x|＜2时，f（x）＝2x+4，由2x+4＝0得x＝﹣2（舍）；故当k＝2时，方程f（x）＝0的解是x＝﹣2．（2）不妨设0＜x1＜x2＜4，∵f（x）＝|x2﹣4|+x2+kx＝，若x1、x2∈[2，4），与x1x2＝﹣2矛盾，若x1、x2∈（0，2），与y＝kx+4是单调函数矛盾则0＜x1＜2≤x2＜4；则kx1+4＝0 ①，2x22+kx2﹣4＝0 ②，由①，得：k＝﹣＜﹣2，由②，得：k＝＝﹣2x2+（﹣7，﹣2]；∴k的取值范围是（﹣7，﹣2）；联立①、②消去k得：2x22﹣•x2﹣4＝0，即2x1x22﹣4x2﹣4x1＝0，即x1x22＝2x2+2x1，则+＝，∵2≤x2＜4．∴＜2，即+＜2．。