北师大版版高考数学一轮复习三角函数解三角形正弦定理余弦定理及其应用教学案理解析版

2.1.1 正弦定理 本节教材分析本节的主要任务是引入并证明正弦定理并应用，在课型上属于定理教学课.本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的边角的基本关关系很密切. 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?” 三维目标1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2. 过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

．教学建议： 引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sin ab cA B C ==，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖;然后举例说明，引导学生练习巩固.新课导入设计导入一: [回忆导入]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin abcc A B C === b c从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin ab cA B C ==那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？引出课题.导入二：(情景导入)如图固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

第六节解三角形☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。

变式：a＝2R in A，b＝2R in B，c＝2R in C。

a∶b∶c＝in A∶in B∶in C。

2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc co A；b2＝a2＋c2－2ac co B；c2＝a2＋b2－2ab co C。

变式：co A＝错误!；co B＝错误!；co C＝错误!。

in2A＝in2B＋in2C－2in B in C co A。

3．解三角形1已知三边a，b，c。

运用余弦定理可求三角A，B，C。

2已知两边a，b及夹角C。

运用余弦定理可求第三边c。

3已知两边a，b及一边对角A。

先用正弦定理，求in B，in B＝错误!。

①A为锐角时，若ab，一解。

4已知一边a及两角A，B或B，C用正弦定理，先求出一边，后求另一边。

4．三角形常用面积公式1S＝错误!a·h a h a表示a边上的高。

2S＝错误!ab in C＝错误!ac in B＝错误!bc in A＝错误!。

3S＝错误!ra＋b＋cr为内切圆半径。

微点提醒1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量其中至少有一边就可解三角形。

2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理余弦定理实施边、角转换。

3．当a2＋b2<c2时判断三角形的形状，由co C＝错误!<0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。

小|题|快|练一、走进教材1．必修510A2A2A2A20A32A2A2A a A A A A2a c a c2A2C2A2A22A2a3a2a2a2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于________。

32021·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m。

高中数学§1正弦定理余弦定理教案北师大版教案主题：高中数学§1正弦定理、余弦定理教案教学目标：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.掌握正弦定理和余弦定理的计算方法，并能够应用于相关题目。

教学重点：1.正弦定理的推导和应用；2.余弦定理的推导和应用。

教学难点：1.正弦定理和余弦定理的灵活应用。

教学准备：1.教材：北师大版高中数学教材；2.教具：教学投影仪、复印件。

教学过程：一、导入（10分钟）1.教师通过提问或展示一些实际问题引起学生对三角形定理的兴趣，如“当我们观测星星时，我们如何测量两个不可达的距离？”2.学生提出的问题或思考可以引导教师进一步引入正弦定理和余弦定理。

二、正弦定理（30分钟）1.教师先介绍正弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。

2.教师通过具体例题演示正弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。

3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。

三、余弦定理（30分钟）1.教师先介绍余弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。

2.教师通过具体例题演示余弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。

3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。

四、综合应用（30分钟）1.教师设计一些综合性的问题，引导学生运用所学的正弦定理和余弦定理进行综合应用。

2.学生进行小组讨论，解决一些相关的综合应用题，教师逐一点评。

五、归纳总结（10分钟）1.教师引导学生总结正弦定理和余弦定理的计算方法和应用场景。

2.学生进行笔记整理，进行知识点的归纳总结。

六、作业布置（5分钟）1.教师布置相关的练习题，巩固所学的知识点。

2.学生预习下一节内容，做好相关的准备。

教学反思：通过本节课的教学，学生对正弦定理和余弦定理的定义和原理都有了基本的了解。

教师通过具体例题和综合应用题的演示，使学生掌握了计算方法和灵活应用的技巧。

在今后的教学中，需要加强学生的实际应用能力，让学生能够将所学的理论知识应用于实际问题的解决中。

第八节正弦定理和余弦定理的应用[知识能否忆起]1．实际问题中的有关概念(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．(4)坡度：①定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角θ为坡角)．②坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比)．2．解三角形应用题的一般步骤(1)审题，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型；(3)选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．[小题能否全取]1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°答案：B2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B 如图所示， ∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°， 而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3.(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：选A 由正弦定理得AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．4．(·上海高考)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析：如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 答案： 65．(·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里．解析：如图，由题意知在△ABC 中，∠ACB ＝75°－60°＝15°，B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8海里．答案：8解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．测量距离问题典题导入[例1] 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)． [自主解答] (1)在△ABC 中，由余弦定理得 cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7，②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D .解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． (2)小李的设计使建造费用最低． 理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，且∠C ＝∠D ， 所以S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用较低．若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，试求最低造价为多少？ 解：因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形， ∠D ＝60°，∠C ＝60°.故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以所求的最低造价为5 000×103＝50 000 3≈86 600元．由题悟法求距离问题要注意：(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．以题试法1.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝105°，∠CBA ＝45°，且AB ＝100 m.(1)求sin ∠CAB 的值； (2)求该河段的宽度． 解：(1)sin ∠CAB ＝sin 105° ＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45° ＝32×22＋12×22＝6＋24. (2)因为∠CAB ＝105°，∠CBA ＝45°， 所以∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠CAB ，则BC ＝AB ·sin 105°sin 30°＝50(6＋2)(m)．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD 的长就是该河段的宽度．在Rt △BDC 中，CD ＝BC ·sin 45°＝50(6＋2)×22＝50(3＋1)(m)． 所以该河段的宽度为50(3＋1)m.测量高度问题典题导入[例2] (·九江模拟)如图，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD (CD 所在的直线与地平面垂直)对于山坡的斜度为α，从A 处向山顶前进l 米到达B 后，又测得CD 对于山坡的斜度为β，山坡对于地平面的坡角为θ.(1)求BC 的长；(2)若l ＝24，α＝15°，β＝45°，θ＝30°，求建筑物CD 的高度．[自主解答] (1)在△ABC 中，∠ACB ＝β－α， 根据正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB ，所以BC ＝l sin αsin (β－α).(2)由(1)知BC ＝l sin αsin (β－α)＝24×sin 15°sin 30°＝12(6－2)米．在△BCD 中，∠BDC ＝π2＋π6＝2π3，sin ∠BDC ＝32，根据正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以CD ＝24－83米．由题悟法求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．以题试法2．(·西宁模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．解：如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°得BC ＝x .在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°， 即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40米．测量角度问题典题导入[例3] (·太原模拟)在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[自主解答] 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.由题悟法1．测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2．在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．以题试法3.(·无锡模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是________．解析：∵AD 2＝602＋202＝4 000，AC 2＝602＋302＝4 500. 在△CAD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，∴∠CAD ＝45°.答案：45°1．在同一平面内中，在A 处测得的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.19解析：选D ∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3. ∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19. ∴BC ＝19.2．一个大型喷水池的有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.3．(·天津高考) 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝⎛⎭⎫452－1＝725. 4．(·厦门模拟)在不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，其中a 为最大边，如果sin 2(B ＋C )<sin 2B ＋sin 2C ，则角A 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π6，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2解析：选D 由题意得sin 2A <sin 2B ＋sin 2C ， 再由正弦定理得a 2<b 2＋c 2，即b 2＋c 2－a 2>0. 则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∵0<A <π，∴0<A <π2.又a 为最大边，∴A >π3.因此得角A 的取值范围是⎝⎛⎭⎫π3，π2.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 2 海里D ．20 3 海里解析：选A 如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， ∴∠BCA ＝45°.又AB ＝40×12＝20(海里)，∴由正弦定理可得20sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(海里)．6．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6解析：选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003 m ，∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m.∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km.∴山高为18－11.4＝6.6 km.7.(·南通调研)“温馨花园”为了美化小区，给居民提供更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m 2，则购买这种草皮需要________元．解析：三角形空地的面积S ＝12×123×25×sin 120°＝225，故共需225×120＝27 000元．答案：27 0008.(·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：329．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析：如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)．答案：10 310.如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解：在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°， ∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B， ∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6. 11.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)解：由题意，设AC ＝x ，则BC ＝x －217×340＝x －40， 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝140 3.答：该仪器的垂直弹射高度CH 为1403米．12.(·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km 的C ，D 两地测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝30°(如图，其中A ，B ，C ，D 在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A ，B 之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？解：在△ACD 中，∠ACD ＝45°，CD ＝6，∠ADC ＝75°，所以∠CAD ＝60°.因为CD sin ∠CAD ＝AD sin ∠ACD， 所以AD ＝CD ×sin ∠ACD sin ∠CAD＝6×2232＝2 6. 在△BCD 中，∠BCD ＝30°，CD ＝6，∠BDC ＝15°，所以∠CBD ＝135°.因为CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， 所以BD ＝CD ×sin ∠BCD sin ∠CBD＝6×1222＝3 2. 又因为在△ABD 中，∠BDA ＝∠BDC ＋∠ADC ＝90°，所以△ABD 是直角三角形．所以AB ＝AD 2＋BD 2＝(26)2＋(32)2＝42.所以电线长度至少为l ＝1.2×AB ＝6425(单位：km) 答：施工单位至少应该准备长度为6425km 的电线．1.某城市的电视发射塔CD 建在市郊的小山上，小山的高BC 为35 m ，在地面上有一点A ，测得A ，C 间的距离为91 m ，从A 观测电视发射塔CD 的视角(∠CAD )为45°，则这座电视发射塔的高度CD 为________米．解析：AB ＝912－352＝84，tan ∠CAB ＝BC AB ＝3584＝512.由CD ＋3584＝tan(45°＋∠CAB )＝1＋5121－512＝177，得CD ＝169. 答案：1692.10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.解析：∵由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴x sin 45°＝10sin 60°.∴x ＝1063m. 答案：1063m 3.(·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船．(1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA ―→成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R )的值域．解：(1)连接BC ，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.∴BC ＝107，即所求距离为107海里． (2)∵sin θ20＝sin 120°107， ∴sin θ＝ 37. ∵θ是锐角，∴cos θ＝47. f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x ＝37sin x ＋37cos x ＝237sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， ∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－237，237.1.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102， ∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∴∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2. 因此，乙船的速度为10220×60＝30 2(海里/时)． 2.如图，扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中圆心角∠AOB 为2π3，半径OA 为1 km.为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由弧AC 、线段CD 及线段DB 组成，其中D 在线段OB 上，且CD ∥AO .设∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，观光道路最长？解：(1)在△OCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠COD ＝OD sin ∠DCO ＝CO sin ∠CDO＝23， 所以CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝cos θ＋13sin θ，OD ＝23sin θ， 因为OD <OB ，即23sin θ<1， 所以sin θ<32，所以0<θ<π3， 所以CD ＝cos θ＋33sin θ，θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，π3. (2)设观光道路长度为L (θ)，则L (θ)＝BD ＋CD ＋弧CA 的长＝1－23sin θ＋cos θ＋13sin θ＋θ ＝cos θ－13sin θ＋θ＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， L ′(θ)＝－sin θ－33cos θ＋1， 由L ′(θ)＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以θ＝π6，列表： θ⎝⎛⎭⎫0，π6 π6 ⎝⎛⎭⎫π6，π3 L ′(θ)＋ 0 － L (θ)增函数 极大值 减函数所以当θ＝π6时，L (θ)达到最大值，即当θ＝π6时，观光道路最长．。

学习资料第七节正弦定理和余弦定理授课提示：对应学生用书第68页[基础梳理]1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径．正弦定理的常用变形（1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C。

(2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!。

（3）a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，cos A＝错误!；b2＝a2＋c2－2ac cos B，cos B＝错误!；c2＝a2＋b2－2ab cos C，cos C＝错误!．3．勾股定理在△ABC中，∠C＝90°⇔a2＋b2＝c2．4．三角形的面积公式S△ABC＝错误!ah a＝错误!bh b＝错误!ch c＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B．1．射影定理：b cos C＋c cos B＝a，b cos A＋a cos B＝c,a cos C＋c cos A＝b。

2．三个角A、B、C与诱导公式的“消角"关系sin(A＋B）＝sin C，cos(A＋B）＝－cos C，sin 错误!＝cos 错误!，cos 错误!＝sin 错误!。

3．特殊的面积公式(1）S＝错误!r(a＋b＋c)（r为三角形内切圆半径)，(2)S＝错误!，P＝错误!（a＋b＋c)，（3)S＝错误!＝2R2sin A·sin B·sin C（R为△ABC外接圆半径)．［四基自测]1．(基础点：正弦定理)在△ABC中，若A＝60°,B＝45°，BC＝3错误!，则AC＝（）A．4错误!B．2错误!C.错误!D．错误!答案:B2．(基础点:正、余弦定理)在△ABC中,若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定答案：C3．（基础点：正弦定理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c。

第七节 正弦定理和余弦定理[考纲传真] (教师用书独具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．(对应学生用书第61页)[基础知识填充]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R .(R 为△ABC 外接圆半径)a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca ·cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C变形形式(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2Rcos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22abA 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜ba ≥ba ＞b解的个数一解两解一解一解(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[知识拓展]1．在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ．2．合比定理：a sin A ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .3．在锐角三角形中①A ＋B ＞π2；②若A ＝π3，则π6＜B ，C ＜π2. [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，若A ＞B ，则必有sin A ＞sin B ．( ) (2)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则△ABC 为锐角三角形．( )(3)在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝45°或135°.( ) (4)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( )[解析] (1)正确．A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ．(2)错误．由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＞0知，A 为锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形．(3)错误．由b ＜a 知，B ＜A ．(4)正确．利用a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15 B ．59 C ．53D ．1B [根据a sin A ＝b sin B ，有313＝5sin B ，得sin B ＝59.故选B ．]3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cosA ＝23，则b ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3D [由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D ．]4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．4 3 [∵cos C ＝13，0＜C ＜π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.] 5．(教材改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________．等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．](对应学生用书第62页)利用正、余弦定理解三角形(2018·广州综合测试(二))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cosC ＋b sin C ＝a .(1)求角B 的大小；(2)若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值．[解] (1)因为b cos C ＋b sin C ＝a ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A ． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )．即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ． 因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ． 因为cos B ≠0，所以tan B ＝1. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)法一：设BC 边上的高线为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，则BD ＝AD ＝14a ，CD ＝34a .所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a .由余弦定理得cos∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－55.所以cos∠BAC 的值为－55. 法二：设BC 边上的高线为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，则BD ＝AD ＝14a ，CD ＝34a .所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a . 由正弦定理得BC sin∠BAC ＝ACsin B，则sin∠BAC ＝BC sin BAC＝a sinπ4104a ＝255.在△ABC 中，由AB ＜AC ，得C ＜B ＝π4，所以∠BAC 为钝角．所以cos∠BAC ＝－1－sin 2∠BAC ＝－55. 所以cos∠BAC 的值为－55. [规律方法] 1.正弦定理是一个连比等式，只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的.2.1运用余弦定理时，要注意整体思想的运用. 2在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用. 3重视在余弦定理中用均值不等式，实现a 2＋b 2，ab ，a ＋b 三者的互化.)＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________. (2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.(1)2113 (2)60° [(1)在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.(2)法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理， 得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ． ∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )． 又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B ． ∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B ． 又sin B ≠0，∴cos B ＝12.∴B ＝π3.法二：∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝12.又0＜B ＜π，∴B ＝π3.]判断三角形的形状(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )【导学号：79140131】A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形(1)B (2)C [(1)由已知及正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2A ，又sin(B ＋C )＝sin A ， ∴sin A ＝1，∴A ＝π2.故选B ．(2)∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝a c，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．]([规律方法] 判定三角形形状的两种常用途径 1化角为边：利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断. 2化边为角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.易错警示：无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种情况的可能.[跟踪训练] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形B [法一：由已知得2sin A cos B ＝sinC ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π＜A －B ＜π，所以A ＝B ．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .]与三角形面积有关的问题(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .[解] (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.[规律方法] 三角形面积公式的应用方法 1对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式. 2与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化，所以解决此类问题通常围绕某个已知角，将余弦定理和面积公式都写出来，寻求突破.3a sin B ＋b cos A ，c ＝4. (1)求A ；(2)若D 是BC 的中点，AD ＝7，求△ABC 的面积.【导学号：79140132】[解] (1)由2b ＝3a sin B ＋b cos A 及正弦定理， 又0＜B ＜π，可得2＝3sin A ＋cos A ，即有sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1， ∵0＜A ＜π，∴π6＜A ＋π6＜7π6，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3.(2)设BD ＝CD ＝x ，则BC ＝2x ，由余弦定理得cos∠BAC ＝b 2＋16－(2x )28b ＝12，得4x 2＝b 2－4b ＋16.① ∵∠ADB ＝180°－∠ADC ，∴cos∠ADB ＋cos∠ADC ＝0，由余弦定理得7＋x 2－1627x ＋7＋x 2－b227x ＝0，得2x 2＝b 2＋2.②联立①②，得b 2＋4b －12＝0，解得b ＝2(舍负)， ∴S △ABC ＝12bc sin∠BAC ＝12×2×4×32＝2 3.。

《正弦定理、余弦定理》教课设计教课目标：进一步熟习正、余弦定理内容；可以应用正、余弦定理进行边角关系的互相转变； 可以利用正、余弦定理判断三角形的形状；可以利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教课要点： 利用正、余弦定理进行边角交换时的转变方向 教课难点 :三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 讲课种类： 新讲课 课时安排： 课时 教具：多媒体、实物投影仪教课方法 ：启迪指引式启迪学生在证明三角形问题或许三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的合用题型与所证结论的联系，并注意特别正、余弦关系的应用，比方互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；指引学生总结三角恒等式的证明或许三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角交换作用 教课过程 ： 一、复习引入：ab c R正弦定理：sin Asin B2sin C余弦定理： a 2b 2c 22bc cos A,cos Ab 2c 2 a 22bcb 2c 2a 22ca cos B,cos Bc 2a 2b 22cac 2a 2b22ab cosC ，cosCa 2b 2c 22ab二、解说典范：例在任一△中求证：a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0证：左侧 2Rsin A(sin B sinC) 2RsinB(sinC sinA) 2RsinC(sin A sin B)2R[sin AsinB sin AsinC sin BsinC sinBsin A sinC sin A sinC sin B] 右侧例在△中，已知 a3 ， b 2 ， 求、及解一：由正弦定理得：sin A asin B 3 sin 453 b22∵<即<∴或当时b sin C 2 sin 7562 csin B sin 452当时b sin C 2 sin 1562 csin B sin 452解二：设由余弦定理 b 2a2c22ac cos B 将已知条件代入，整理：x26x10解之： x 622当 c 62时2b 2c2 a 22(62 2 )2313cos A2bc622(31)2222进而，当 c 62时同理可求得：，2例在△中， , , ,是方程 x 223x20 的两个根，且()求（）角的度数（）的长度（）△的面积解：（） [()]() 1 ∴2（）由题设：a b 2 3a b2∴ ?? a 2b22ab cos120a 2b 2ab(a b) 2ab(2 3)2210即 10（） △ 1ab sin C1ab sin 1201 23 322222比如图，在四边形中，已知, , ,,求的长解：在△中，设则 BA 2BD 2 AD 22BD AD cos BDA即142x 2 10 22 10 x cos 60整理得： x 2 10x 96解之： x 116 x 26 （舍去）由余弦定理：BCBD ∴ BC16 sin 308 2sinCDBsinsin135BCD例 △中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角， 求最大角 ;求以此最大角为内角，夹此角两边之和为的平行四边形的最大面积解： 设三边 ak 1, b k, c k 1 kN 且 k 1∵为钝角∴ cosCa 2b 2c 2k4 0 解得 1 k42ac2(k1)∵ k N ∴ k 2 或但 k2 时不可以组成三角形应舍去当 k3 时 a2,b 3,c4,cosC1, C1094设夹角的两边为x, y xy 4xy sin Cx( 4 x)15 15 ( x 2 4x)44当 x2 时最大15例 在△中，＝，＝，为中点，且＝，求边长剖析：本题所给题设条件只有边长，应试虑在假定为ｘ后，成立对于 ｘ的方程 而正弦定理波及到两个角，故不行用 此时应注意余弦定理在成立方程时所发挥的作用因为为中点，所以、可表示为x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质成立方程2解：设边为 ｘ ，则由为中点，可得＝＝x，22x2 2在△中，＝AD 2 BD 2 AB 24( 2)52ADBD,2 4 x2x2 22在△中，＝AD 2 DC 2 AC 24 (2)32ADDC.2 4 x2又∠＋∠＝°∴＝（°－∠）＝－4 2 ( x) 25242 ( x) 232∴ 2 x 2 x 2 42 422 解得， ｘ＝, 所以，边长为评论：本题要启迪学生注意余弦定理成立方程的功能，领会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的合用题型此外，对于本节的例，也可考虑上述性质的应用来求解，思路以下： 由三角形内角均分线性质可得AB BD 5，设＝ ｋ，＝ ｋ ，则由互补角∠、∠的余ACDC3弦值互为相反数成立方程，求出后，再联合余弦定理求出，再由同角平方关系求出三、讲堂练习 ：半径为的圆内接三角形的面积为．，求此三角形三边长的乘积解：设△三边为，，则Ｓ ＝ 1 acsin B△2SABCac sin B sin B∴2abc2babcb 又2R ，此中为三角形外接圆半径sin B∴SABC1 , ∴＝ △ ＝××．＝abc4R所以三角形三边长的乘积为评论：因为题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：a b c Ｓ△sin Asin B2R ，此中为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式sin C＝ 1acsin B 发生联系，对进行整体求解2在△中，已知角＝°，是边上一点，＝，＝，＝，求解：在△中，＝ AC2DC 2 AD 2 72 32 52 11 , 2 AC DC2 73 14又＜＜°，∴＝ 5 314在△中，ACABsin B sin C∴＝sin CAC 5 32 7 5 6 .sin B 142评论：本题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要修业生注意正、余弦定理的综合运用 在△中，已知＝3，＝5，求的值513解：∵＝3＜2 ＝°，＜＜ π52∴°＜＜° , ∴＝45∵＝5＜1＝°，＜＜ π132∴°＜＜°或°＜＜°若＞°，则＋＞°与题意不符∴°＜＜°＝12133 1245 16 ∴（＋）＝·－·＝5 13 5 13 65又＝°－（＋）16 ∴＝［°－（＋）］＝－（＋）＝－65评论：本题要修业生在利用同角的正、余弦平方关系时，应依据已知的三角函数值详细确立角的范围，以便对正负进行弃取，在确立角的范围时，往常是与已知角靠近的特别角的三角函数值进行比较四、小结 经过本节学习，我们进一步熟习了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常看法题方法与解题技巧的总结，不停提高三角形问题的求解能力五、课后作业 ：六、板书设计 （略）七、课后记及备用资料：正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形顶用到的主要定理，若将正弦定理代入得： ＝＋－这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这必定理解题，简捷明快，下边举例说明之［例］在△中，已知－－＝3 ，求的度数解：由定理得＝＋－，∴－＝3∵≠ ∴Β＝－3∴＝°2［例］求°＋°＋°°的值 解：原式＝°＋°＋°° 在＝＋－中，令＝°，＝°， 则＝°°＝°＋°－°°°＝°＋°＋°°＝（3）＝ 324［例］在△中，已知＝，试判断△的形状 解：在原等式两边同乘以得：＝， 由定理得＋－ Β＝， ∴＝ ∴＝故△是等腰三角形 一题多证［例］在△中已知＝，求证：△为等腰三角形证法一：欲证△为等腰三角形可证明此中有两角相等，因此在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数 由正弦定理得＝∴＝b sin A，即·＝＝（＋）＝＋sin Bb sin Asin B∴－＝即（－）＝，∴－＝ ｎπ （ ｎ∈ Ｚ）∵、是三角形的内角，∴＝，即三角形为等腰三角形证法二：依据射影定理，有＝＋， 又∵＝∴＝＋∴＝，即bcosB .ccosC又∵bsin B . ∴ sin B cos B , 即＝ csin C sin C cosC∵、在△中，∴＝ ∴△为等腰三角形证法三：∵＝ a2b 2c 2及 cosCa , ∴ a 2b 2c 2 a ,2ba2b2ab2b化简后得＝ ∴＝∴△是等腰三角形学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。