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专题五功和能第2讲功能关系机械能守恒定律和能量守恒定律一、核心知识、方法回扣：1．机械能守恒定律:（1）内容：在只有重力（和弹簧的弹力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．（2）机械能守恒的条件①对某一物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．②对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．（3）三种表达式:①守恒的观点:____ ____ _____。
②转化的观点:_____ _____。
③转移的观点:_____ ___。
2．几个重要的功能关系(1)重力的功等于的变化,即W G＝.(2)弹力的功等于的变化,即W弹＝.(3)合力的功等于的变化,即W＝.(4)重力之外(除弹簧弹力)的其他力的功等于的变化.W其他＝ΔE.(5)一对滑动摩擦力做的功等于的变化.Q＝F·s相对.3．静电力做功与无关.若电场为匀强电场,则W＝Fs cos α＝Eqs cos α；若是非匀强电场,则一般利用W＝来求.4．磁场力又可分为洛伦兹力和安培力.洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都；安培力可以做正功、负功,还可以不做功.5．电流做功的实质是电场对做功.即W＝UIt＝.6．导体棒在磁场中切割磁感线时,棒中感应电流受到的安培力对导体棒做功,使机械能转化为能.7．静电力做功等于的变化,即W AB＝－ΔE p.二、方法、规律：1．机械能守恒定律的应用(1)机械能是否守恒的判断①用做功来判断,看重力(或弹簧弹力)以外的其他力做功代数和是否.②用能量转化来判断,看是否有机械能转化为其他形式的能.③对一些“绳子突然绷紧”、“”等问题,机械能一般不守恒,除非题目中有特别说明及暗示.(2)应用机械能守恒定律解题的基本思路①选取研究对象——物体系.②根据研究对象所经历的物理过程,进行、分析,判断机械能是否守恒.③恰当地选取参考平面,确定研究对象在运动过程的始末状态时的机械能.④根据机械能守恒定律列方程,进行求解.2．功能关系在电学中应用的题目,一般过程复杂且涉及多种性质不同的力,因此,通过审题,抓住和运动过程分析是关键,然后根据不同的运动过程各力做功的特点来选择规律求解. 3．力学中的动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题仍然是首选的方法.三、错题集：1、如图所示，桌面高地面高H，小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为（设桌面为零势面）（）A．mgh B．mgH C．mg（H＋h） D．mg（H－h）2、以下过程中机械能守恒的是（）A.以8m/s2的加速度在空中下落的石块B.沿固定的光滑斜面自由下滑的滑块C.正在升空的火箭D.吊在轻质弹簧下端正在自由振动的小球3、如图所示,质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连,开始两物体处于同一高度,绳处于绷紧状态,轻绳足够长,不计一切摩擦。
第2讲机械能守恒定律功能关系[限时规范训练]一、单项选择题1．(2016·湖南五市联考)把质量为m的小球(可看作质点)放在竖直的轻质弹簧上，并用手把小球按到位置A，如图所示．迅速松手后，弹簧把小球弹起，球升至最高位置C点，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态．已知A、B间的高度差为h1，B、C间的高度差为h2，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )A．小球从A上升到B位置的过程中，动能一直增大B．小球从A上升到C位置的过程中，机械能一直增大C．小球在位置A时，弹簧的弹性势能为mg(h2＋h1)D．一定有h2≥h1解析：小球上升时先加速后减速，当mg＝F弹时，加速度为零，速度最大，此时弹簧还处于压缩状态，选项A错误．从A到B，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹性势能减小，小球的机械能增大；而从B到C，只有重力对小球做功，机械能不变，选项B错误．从A到C 系统的机械能守恒，弹性势能全部转化为重力势能，故E p＝mg(h2＋h1)，选项C正确．从A 到C，弹簧的弹性势能转化为小球的重力势能，动能最大位置在B点下方，故h2可等于零，选项D错误．答案：C2．如图所示，一张薄纸板放在光滑水平面上，其右端放有小木块，小木块与薄纸板的接触面粗糙，原来系统静止．现用水平恒力F向右拉薄纸板，小木块在薄纸板上发生相对滑动，直到从薄纸板上掉下来．上述过程中有关功和能的说法正确的是( )A．拉力F做的功等于薄纸板和小木块动能的增加量B．摩擦力对小木块做的功一定等于系统中由摩擦产生的热量C．离开薄纸板前小木块可能先做加速运动，后做匀速运动D．小木块动能的增加量可能小于系统中由摩擦产生的热量解析：由功能关系，拉力F做的功等于薄纸板和小木块动能的增加量与系统产生的内能之和，选项A错误；摩擦力对小木块做的功等于小木块动能的增加量，选项B错误；离开薄纸板前小木块一直在做匀加速运动，选项C错误；对于系统，由摩擦产生的热量Q＝F fΔL，其中ΔL为小木块相对薄纸板运动的路程，若薄纸板的位移为L1，小木块相对地面的位移为L2，则ΔL＝L1－L2，且ΔL存在大于、等于或小于L2三种可能，对小木块，F f L2＝ΔE k，即Q存在大于、等于或小于ΔE k三种可能，选项D正确．答案：D3．如图所示，光滑水平面的左端与一斜面连接，斜面倾角θ＝37°，斜面高h＝0.8 m，F为斜面的顶点，水平面右端与一半圆形光滑轨道连接，半圆轨道半径R ＝0.4 m ．水平面上有两个静止小球A 和B ，m A ＝0.20 kg ，m B ＝0.30 kg ，两球间有一压缩的轻弹簧(弹簧与小球不拴接)，弹簧间用一根细线固定两个小球．剪断细线，两小球到达水平面的D 、F 点时弹簧已经与小球脱离．小球A 刚好到达半圆轨道的最高点C ，小球B 刚好落在斜面的底端E 点．g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则( )A ．小球A 在C 点的速度为零，处于完全失重状态B ．小球B 落在E 点时的水平速度大小是163 m/sC ．小球A 在D 点受到的弹力大小是12 N D ．细线被剪断前弹簧的弹性势能是2.7 J解析：小球A 刚好到达半圆轨道最高点C ，有m A g ＝m A v2C R，v C ＝2 m/s ，小球A 处于完全失重状态，A 选项错误；小球B 从F 点做平抛运动，有h ＝12gt 2，得t ＝0.4 s ，又有tan θ＝hv F t ，解得v F ＝83 m/s ，故B 选项错误；小球A 从D 到C ，由功能关系有12m A v 2D ＝12m A v 2C ＋2m A gR ，解得v D ＝2 5 m/s ，在D 点有F －m A g ＝m A v2D R，解得F ＝12 N ，C 选项正确；剪断细线到弹簧与小球脱离，由机械能守恒定律得E p ＝12m A v 2D ＋12m B v 2F ＝3.1 J ，故D 选项错误．答案：C4．如图所示，物体以100 J 的初动能从斜面的底端向上运动，斜面足够长．当它通过斜面上的M 点时，其动能减少了80 J ，机械能减少了32 J ．如果物体能从斜面上返回底端，则( )A ．物体在斜面上运动时，机械能守恒B ．物体在向上运动时，机械能减少100 JC ．物体上升到M 还能上升的距离为到达M 点前的14D ．物体返回A 点时动能为36 J解析：由题意，摩擦力始终做负功，机械能不守恒，选项A 错误；物体向上运动到最高点时，重力势能不为零，机械能减少量小于100 J ，选项B 错误；根据题意，当它通过斜面上的M 点时，其动能减少了80 J ，机械能减少了32 J ，说明克服摩擦力做功32 J ，从M 点上升到最高点的过程中，动能减少了20 J ，需要克服摩擦力做功8 J ，整个上升过程，共克服摩擦力做功40 J ，机械能减少了40 J ，物体上升到M 还能上升的距离为到达M 点前的14，选项C正确；物体返回A 点的过程中，损失的机械能也是40 J ，物体返回A 点时动能为20 J ，选项D 错误．答案：C5．(2016·六盘水高三一模)一根质量为m 、长为L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a 所示．若将一个质量为m 的小球分别拴在链条左端和右端，如图b 、c 所示，约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是( )A ．v a ＝v b ＝v cB ．v a ＜v b ＜v cC ．v c ＞v a ＞v bD ．v a ＞v b ＞v c解析：图甲中，当整根链条离开桌面时，根据机械能守恒定律可得12mg ·3L 4＝12mv 2a ，解得v a＝3gL 2；图乙中，当整根链条离开桌面时，根据机械能定恒定律可得12mg ·3L 4＝12·2mv 2b ，解得v b ＝6gL 4；图丙中，当整根链条离开桌面时，根据机械能守恒定律有12mg ·3L 4＋mg L2＝12·2mv 2c ，解得v c ＝14gL 4，故v c ＞v a ＞v b ，选项C 正确． 答案：C 二、多项选择题6.(2016·成都外国语学校模拟)如图所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连．弹簧处于自然长度时物块位于O 点(图中未标出)．物块的质量为m ，AB ＝a ，物块与桌面间的动摩擦因数为μ.现用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点，拉力做的功为W .撤去拉力后物块由静止向左运动，经O 点到达B 点时速度为零．重力加速度为g .则上述过程中( )A ．物块在A 点时，弹簧的弹性势能等于W －12μmgaB ．物块在B 点时，弹簧的弹性势能小于W －32μmgaC ．经O 点时，物块的动能小于W －μmgaD ．物块动能最大时弹簧的弹性势能小于物块在B 点时弹簧的弹性势能解析：因为要克服摩擦力做功，所以O 点不在AB 的中点，如图，x ＞a2，由动能定理，从O到A ，W －μmgx －W 弹＝0，系统增加的弹性势能E p ＝W －μmgx ，因为x ＞a 2，所以E p ＜W －12μmga ，A 错误；同理，物块在B 点时，E p ′＝W －μmg (x ＋a )＜W －32μmga ，B 正确；经O 点时，E k＝W －2μmg x ＜W －μmga ，C 正确；A →B 的过程中当弹力与F f 平衡时速度最大，此点在O 点右侧距O 点x 1＝F f k ＝μmgk处，x 1可能大于BO ，所以D 错．答案：BC7．某电视台冲关栏目，选手需要抓住固定在支架上的绳子向上攀登，才可冲上领奖台，如图所示．如果某选手刚刚匀速攀爬到接近绳子顶端时，突然因抓不牢绳子而加速滑下，对该过程进行分析(不考虑脚蹬墙壁的作用)，下列说法正确的是( )A ．上行时，人受到绳子的拉力与重力和摩擦力平衡B ．上行时，绳子拉力对人做的功等于人重力势能的增加量C ．下滑时，人所受的重力大于摩擦力，加速度小于gD ．下滑时，重力势能的减少量大于动能的增加量，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功 解析：匀速上行时，人受到绳子向上的静摩擦力和重力平衡，A 错误；匀速上行时，绳子摩擦力对人做的功等于人重力势能的增加量，B 错误；加速下滑时，加速度方向向下，则重力大于向上的摩擦力，合力小于重力，加速度小于g ，C 正确；下滑时，重力和摩擦力做功，根据动能定理W G ＋W f ＝ΔE k ，则减少的重力势能转化为动能和克服摩擦产生的内能，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功，D 正确． 答案：CD8．如图所示，由电动机带动的水平传送带以速度v ＝2.0 m/s 顺时针匀速运行，A 端上方靠近传送带的料斗中装有煤，打开阀门，煤以流量Q ＝50 kg/s 落到传送带上，煤与传送带达共同速度后被运至B 端．在运送煤的过程中，下列说法正确的是( ) A ．电动机应增加的功率为100 W B ．电动机应增加的功率为200 WC ．在1 min 内因煤与传送带摩擦产生的热量为6.0×103J D ．在1 min 内因煤与传送带摩擦产生的热量为1.2×104 J解析：煤经时间t 加速到v ，由动能定理有μmg ·v 2t ＝12mv 2，t 时间内由摩擦产生的热量Q内＝μmg ·s 相对＝μmg (vt －12vt )＝12mv 2，这段时间内电动机多消耗的能量E ＝12mv 2＋Q 内＝mv 2，电动机应增加的功率P ＝E t ＝mv 2t＝Qv 2＝200 W ，在1 min 内因煤与传送带摩擦产生的热量为Q内＝12mv 2＝12Qtv 2＝6.0×103J ，选项B 、C 正确． 答案：BC 三、非选择题9．如图所示，绷紧的传送带始终以v 0＝5 m/s 的速度匀速斜向上运行，传送带与水平面成30°角，现把质量m ＝10 kg 的工件轻轻地放在传送带底端P 处，由传送带传送至顶端Q 处．已知P 、Q 之间的距离为s ＝3.2 m ，工件与传送带间的动摩擦因数为μ＝32，g 取10 m/s 2，求：(1)工件被运送到Q 点时所具有的动能； (2)在传送工件过程中产生的内能．解析：(1)传送带速度为 5 m/s ，初始阶段工件速度小于传送带速度，因此工件所受摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律可知，工件运动的加速度为a ＝μg cos θ－g sin θ＝2.5 m/s 2工件加速到5 m/s 发生的位移为x 1＝v 20－022a＝5 m ＞s ＝3.2 m ，即工件速度没达到5 m/s 时已到达Q 点设工件到达Q 点时速度为v ，由v 2＝2as 及动能E k ＝12mv 2得工件被运送到Q 点时所具有的动能为E k ＝80 J.(2)由s ＝12at 2可知工件从P 到Q 所经历的时间t ＝1.6 s此过程中传送带的路程为x ＝v 0t ＝8 m所以工件与传送带相对运动过程中，两者的相对路程为x 0＝x －s ＝4.8 m 由功能关系知此过程中产生的内能为Q ＝μmg cos θ·x 0＝360 J.答案：(1)80 J (2)360 J10．如图所示，P 是倾角为30°的光滑固定斜面．劲度系数为k 的轻弹簧一端固定在斜面底端的固定挡板C 上，另一端与质量为m 的物块A 相连接．细绳的一端系在物块A 上，细绳跨过不计质量和摩擦的定滑轮，另一端有一个不计质量的小挂钩．小挂钩不挂任何物体时，物块A 处于静止状态，细绳与斜面平行．在小挂钩上轻轻挂上一个质量也为m的物块B 后，物块A 沿斜面向上运动．斜面足够长，运动过程中B 始终未接触地面． (1)求物块A 刚开始运动时的加速度大小a ；(2)设物块A 沿斜面上升通过Q 点位置时速度最大，求Q 点到出发点的距离x 0及最大速度v m ； (3)把物块B 的质量变为nm (n ＞0.5)，小明同学认为，只要n 足够大，就可以使物块A 沿斜面上滑到Q 点时的速度增大到2v m ，你认为是否正确？如果正确，请说明理由，如果不正确，请求出A 沿斜面上升到Q 点位置时的速度的范围．解析：(1)以A 、B 组成的系统为研究对象，A 刚开始运动的瞬间，由牛顿第二定律得mg ＝(m ＋m )a ，解得a ＝0.5g .(2)开始时，对A ，由平衡条件得mg sin 30°＝kx ， 当A 受到的合力为零时速度最大，此时mg sin 30°＋kx ′＝mg ，解得x ＝x ′＝mg2k，Q 点到出发点的距离x 0＝2x ＝mgk，在出发点与Q 点弹簧的形变量相同，弹簧的弹性势能相等，由机械能守恒定律得mgx 0＝mgx 0sin 30°＋12×2mv 2m ，解得最大速度v m ＝gm 2k. (3)当B 的质量变为nm 时，由机械能守恒定律得nmgx 0＝mgx 0sin 30°＋12(nm ＋m )v 2，解得v ＝gm 2n －1k n ＋1，n →∞时，v ＝g2mk＝2v m ，n 不断增大时，速度无限接近2v m ，因此小明的说法是错误的，速度范围是 0＜v ＜g2mk.答案：(1)0.5g (2)mg k gm 2k(3)小明的说法是错误的，A 沿斜面上升到Q 点位置时的速度的范围为0＜v ＜g2m k11．(2016·浙江五校联考)如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB 和圆轨道BCD 组成，AB 和BCD 相切于B 点，CD 连线是圆轨道竖直方向的直径(C 、D 为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC ＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB 上高H 处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D 时对轨道的压力为F ，并得到如图乙所示的压力F 与高度H 的关系图像，g 取10 m/s 2.求：(1)滑块的质量和圆轨道的半径；(2)是否存在某个H 值，使得滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的点．若存在，请求出H 值；若不存在，请说明理由． 解析：(1)小滑块由A →D ，根据机械能守恒定律有mg (H －2R )＝12mv 2D在D 点，由牛顿第二定律得F ＋mg ＝mv 2DR解得F ＝2mgH －2RR－mg取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得m ＝0.1 kg ，R ＝0.2 m(2)假设滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的E 点(如图所示)，OE ＝Rsin 30°滑块的水平位移x ＝OE ＝v DP t滑块的竖直位移R ＝12gt 2解得v DP ＝2 m/s而滑块过D 点的临界速度v DL ＝gR ＝ 2 m/s由于v DP ＞v DL ，所以存在一个H 值，使得滑块经过最高点D 后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的点．此时，根据机械能守恒定律有mg (H －2R )＝12mv 2DP解得H ＝0.6 m答案：(1)0.1 kg 0.2 m (2)存在 0.6 m。
