高三物理 5功和能考纲要求与例题专题复习

机械能守恒定律功和功率基础知识回顾1．追寻守恒量(1) 能量 :简称 " 能 ". 物质运动的一般量度 .任何物质都离不开运动 ,如引力运动、机械运动、分子热运动、电磁运动、化学运动、原子核与基本粒子运动...... 等.对运动所能作的最一般的量度就是能量,用数学的语言说,能量是物质运动状态的一个单值函数.相应于不同形式的运动,能量分为机械能、内能、电能、磁能、化学能、原子能等 .当物质的运动形式发生转变时,能量形式同时发生转变.能量可以在物质之间发生传递,这种传递过程就是作功或传递热量.例如 ,河水冲击水力发电机作功的过程就是河水的机械能传递给发电机,并转变为电能.自然界一切过程都服从能量转化和守恒定律,物体要对外界作功,就必须消耗本身的能量或从别处得到能量的补充. 因此 .一个物体的能量愈大,它对外界就有可能做更多的功.(2) 机械能 :物质机械运动的量度 .包括动能、重力势能和弹性势能.(3) 动能 :物体由于运动而具有的能量 .(4) 势能 :相互作用的物体凭借其位置而具有的能量.2．功的概念（ 1）定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力做了功.（ 2）做功的两个必要条件：a、力；b、物体在力的方向上发生位移.（ 3）功的单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号J，其物理意义是：1J 等于 1N 的力使物体在力的方向上发生1m 的位移时所做的功.（4）功是标量，只有大小，没有方向.（5）功是过程量，即做功必定对应一个过程（位移）应明确是哪个力在哪个过程中对哪个物体做功.3、功的计算（ 1）功的一般计算公式：W=Flcos θ（2）条件：适用于恆力所做的功（3）字母意义： F——力l——物体对地位移θ—— F 、l 正方向之间的夹角4、正负功的意义（1）根据功的计算公式 W=Flcos θ可得到以下几种情况：①当θ＝ 90o时， cosθ＝ 0，则 W＝ 0 即力对物体不做功；②当 00≤θ<90 o时， cosθ>0，则 W>0，即力对物体做正功；③当 90o<θ≤ 180 o时，则 cosθ<0，即力对物体做负功，也常说成物体克服这个力做功；（2）功的正负既不表示方向，也不表示大小，它表示：正功是动力对物体做功，负功是阻力对物体做功.5、作用力与反作用力的功作用力与反作用力同时存在，作用力做功时，反作用力可能做功，也可能不做功，可能做正功也可能做负功；不要以为作用力与反作用力大小相等，方向相反，就一定有作用力、反作用力的功，数值相等，一正一负 .6、总功的求法（ 1）先求外力的合力 F 合，再应用功的公式求出总功：W=F 合 lcosα（ 2）先分别求出各外力对物体所做的功W1、 W2、 W3⋯⋯，总功即这些功的代数和：W=W1 +W2+ W3+⋯⋯一对作用力与反作用力的做功情况:如，在光滑的水平面上，用力 F 推靠在一起的 A 、B 两物体向前运动一段位移，由于有 FAB ＝－ FBA ， SA ＝ SB，所以得： WAB ＝－ WBA 。

考点5 功和能1.〔·全国Ⅱ理综·T24〕(15分)如图，MNP 为竖直面内一固定轨块自M 端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹性碰撞后停止在水平轨道上某处。

假设在MN 段的摩擦可忽略不计，物块与NP 段轨道间的滑动摩擦因数为μ，求物块停止的地方与N 点距离的可能值。

此题以木块沿轨道下滑为情景，外表上看很简单，实际上具有多解，表达了高考对考生发散思维、综合分析能力的要求。

【思路点拨】 根据题意初位置在M 点，末位置在NP 段的某处，运用功能原理进行解题。

注意完全弹性碰撞后木块原速反弹以及木块能否再次上升后滑下。

【标准解答】根据功能原理，在物块从开始下滑到静止的过程中，物块重力势能减小的数值p E ∆与物块克服摩擦力所做功的数值W 相等，即p E W ∆= ①设物块质量为m ，在水平滑道上滑行的总路程为's ，那么p E mgh ∆= ②'W mgs μ= ③设物块在水平轨道上停住的地方与N 点的距离为d 。

假设物块在与P 碰撞后，在到达圆弧形轨道前停止，那么'2s s d =- ④ 联立①②③④式得2h d s μ=- ⑤ 此结果在2hs μ≤时有效。

假设2hs μ>，那么物块在与P 碰撞后，可再一次滑上圆弧形轨道，滑下后在水平轨道上停止，此时有'2s s d =+⑥ 联立①②③⑥式得2hd s μ=-⑦ 评分参考：①式3分，②③式各2分，④⑤⑥⑦式共8分〔只要得出⑤式或⑦式，即给这8分中的6分〕。

【答案】物块停止的位置距N 的距离可能为μh s -2或s h 2-μ【类题拓展】开放型试题对应策略开放型试题是指但凡答案不唯一或者条件不确定或者具有多种不同的解法的试题。

开放型试题是一类适应新课程理念的题型，该题型给考生以广阔的想象和创造空间，能考查学生的迁移分析能力和应用知识解决问题的能力以及培养创新意识。

在此根底上，深刻剖析其中的物理情景及物理过程，寻找有效信息与相关知识的联系，挖掘题目的突破点。

功和能动能定理【学习目标】1.掌握机械功、机械能等概念2.掌握动能定理3.掌握机车启动模型1．下面的过程中，重力对物体不做功的是（）A．飞机上升 B．飞机下降C．汽车在水平路面行驶D．汽车沿斜坡向山上行驶2．汽车以额定功率从水平路面上坡时，司机换挡目的是（）A．增大速度，增大牵引力 B．减小速度，减小牵引力C．增大速度，减小牵引力 D．减小速度，增大牵引力3．关于重力做功、重力势能变化的说法正确的是（）A．当物体向下运动时，重力对物体做负功B．当物体向下运动时，重力势能增大C．当物体向上运动时，重力势能增大D．当物体向上运动时，重力对物体做正功4．如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．用F缓慢地拉，将小球拉到细线与竖直放心θ角的位置．在次过程中，拉力F做的功是多少？（）A．FLcosθB．FLsinθC．FL（1﹣cosθ）D．mgL（1﹣cosθ）5．如图所示，质量为m的木块以初速率v0从曲面A点滑下，运动至B点时的速率仍为v0；若物体以的速率从A点滑下，则它运动至B点时的速率（）A．小于B．等于C．大于D．条件不足，无法计算第一部分功与功率一、功1．做功的两个要素(1)作用在物体上的力．(2)物体在力的方向上发生的位移．2．公式：W ＝Fs cos_α(1)α是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移． (2)该公式只适用于恒力做功． (3)功是标(标或矢)量． 3．功的正负(1)α<90°，力对物体做正功． (2)α>90°，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功． (3)α＝90°，力对物体不做功． 二、功率1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．物理意义：描述力对物体做功的快慢． 2．公式(1)P ＝Wt，P 为时间t 内的平均功率．(2)P ＝F v cos α(α为F 与v 的夹角) ①v 为平均速度，则P 为平均功率． ②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．第二部分 机车启动模型1．模型综述：物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值． 2．模型特征：(1)以恒定功率启动的方式：①动态过程：②这一过程的速度—时间图象如图所示：(2)以恒定加速度启动的方式： ①动态过程：②这一过程的速度—时间图象如图所示：深化拓展 无论哪种启动方式，机车最终的最大速度都应满足：v m ＝Pf，且以这个速度做匀速直线运动．第三部分 动能定理动能定理1．内容：力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．2．表达式：W＝12m v22－12m v21＝E k2－E k1.3．物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度．4．适用条件(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．功和功率1．一物体沿固定粗糙斜面下滑．关于它所受各力对其做功的判断，正确的是（）A．重力做正功，支持力做正功B．重力做正功，支持力做负功C．重力做负功，摩擦力做负功D．摩擦力做负功，支持力不做功2．关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是（）A．滑动摩擦力总是做负功B．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功C．静摩擦力对物体一定做负功D．静摩擦力对物体总是做正功3．如图所示，在固定的光滑斜面上，物块受到重力G和支持力N的作用．在物块下滑的过程中，下列说法正确的是（）A．G、N都做功B．G做功、N不做功C．G不做功，N做功D．G、N都不做功4．如图所示，质量为m的物体始终静止在斜面上，在斜面体从图中实线位置沿水平面向右匀速运动到虚线位置的过程中，下列关于物体所受各力做功的说法正确的是（）A．重力不做功B．支持力不做功C．摩擦力不做功D．合力做正功5．一艘轮船以速度15m/s匀速运动，它所受到的阻力为1.2×107N，发动机的实际功率是（）A．1.8×105kw B．9.0×104kw C．8.0×104kw D．8.0×103kw6．关于功率下列说法正确的是（）A．据P=可知，机器做功越多，其功率越大B．据P=Fv可知，汽车牵引力一定与速度成反比C．据P=可知，只要知道时间t内机器所做的功，可求得这段时间内任一时刻机器做功的功率D．据P=Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比7．物体放在动摩擦因素为μ的水平地面上，受到一水平拉力作用开始运动，所运动的速度随时间变化关系和拉力功率随时间变化关系分别如图甲、图乙所示．由图象可知动摩擦因素μ为（）（g=10m/s2）A．μ=0.1B．μ=0.2C．μ=0.3D．μ=0.4汽车启动模型8．汽车在平直公路上匀速行驶，t1时刻司机减小油门使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速行驶（设整个过程中汽车所受的阻力大小不变）．以下哪幅图象描述了汽车速度随时间变化（）A．B．C．D．9．在平直的公路上，一辆汽车在牵引力作用下从静止开始做匀加速直线运动，当速度达到某一值时汽车做匀速直线运动．若汽车所受阻力与速度成正比，则汽车功率P随时间t变化的关系可能是（）A．B．C．D．10．近年来城市的汽车越来越多，排放的汽车尾气是形成“雾霾”天气的一个重要因素，为减少二氧化碳排放，我国城市公交正大力推广新型节能环保电动车，在检测某款电动车性能的实验中，质量为8×102kg 的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F于对应的速度v，并描绘出F﹣图象（图中AB、AO均为直线），假设电动车行驶时所受的阻力恒定，则根据图象，一下判断中正确的是（）A．电动车运动过程中所受的阻力f=2000NB．电动车的额定功率P=6000WC．电动车由静止开始持续匀加速运动的时间t=7.5sD．电动车从静止开始运动到最大速度消耗的电能E=9×104J动能定理11．关于物体所受外力的合力做功与物体动能的变化的关系有以下四种说法：①合力做正功，物体动能增加；②合力做正功，物体动能减少；③合力做负功，物体动能增加；④合力做负功，物体动能减少．上述说法正确的是（）A．①②B．②③C．③④ D．①④12．一个质量为2kg的物体，以4m/s的速度在光滑水平面上向右滑行，从某个时刻起，在物体上作用一个向左的水平力，经过一段时间，物体的速度方向变为向左，大小仍然是4m/s，在这段时间内水平力对物体做的功为（）A．0 B．8J C．16J D．32J13．如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g．下列说法正确的是（）A．运动员踢球时对足球做功mv2B．足球上升过程重力做功mghC．运动员踢球时对足球做功mgh+mv2D．足球上升过程克服重力做功mgh+mv214．如图所示，小球从离地高为H的位置A由静止释放，从C点切入半圆轨道后最多能上升到离地面高为h的B位置．再由B位置下落，再经轨道由C点滑出到离地高为h′的位置．速度减为零，不计空气阻力，则（）A．H﹣h＞h﹣h′B．H﹣h＜h﹣h′C．H﹣h=h﹣h′D．不能确定H﹣h与h﹣h′的大小关系15．如图，光滑四分之一圆弧的半径为R，有一质量为m的物体（可视为质点），自A点从静止开始下滑到B点，然后沿粗糙的水平面前进2R，到达C点停止，求：（1）物体到达B点时的速度大小；（2）物体对B点处的压力大小；（3）物体与水平面间的动摩擦因数（g取10m/s2）．【高考题选】一．选择题（共7小题）1．如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环，小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力（）A．一直不做功B．一直做正功C．始终指向大圆环圆心D．始终背离大圆环圆心2．如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂．用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l．重力加速度大小为g．在此过程中，外力做的功为（）A．mgl B．mgl C．mgl D．mgl3．如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为（重力加速度为g）（）A．B．C．D．4．一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t内位移为s，动能变为原来的9倍，该质点的加速度为（）A．B．C．D．5．一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小f恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是（）A．B．C．D．6．如图，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平，一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道，质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小，用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功，则（）A．W=mgR，质点恰好可以到达Q点B．W＞mgR，质点不能到达Q点C．W=mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离D．W＜mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离7．一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度为v，若将水平拉力的大小改为F2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v，对于上述两个过程，用W F1、W F2分别表示拉力F1、F2所做的功，W f1、W f2分别表示前两次克服摩擦力所做的功，则（）A．W F2＞4W F1，W f2＞2W f1B．W F2＞4W F1，W f2=2W f1C．W F2＜4W F1，W f2=2W f1D．W F2＜4W F1，W f2＜2W f1二．多选题（共4小题）8．如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P．它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W．重力加速度大小为g．设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则（）A．a=B．a=C．N=D．N=9．两实心小球甲和乙由同一种材质制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则（）A．甲球用的时间比乙球长B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功10．如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM＜∠OMN＜．在小球从M点运动到N点的过程中（）A．弹力对小球先做正功后做负功B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差11．如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g．则（）A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg三．计算题（共2小题）12．轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l．现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g．（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．13．如图，在竖直平面内由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB 弧的半径为R，BC弧的半径为．一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．（1）求小球在B、A两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．1．如图所示，与水平面成30°角的传送带以v=2m/s的速度按如图所示方向顺时针匀速运行，AB两端距离l=9m．把一质量m=2kg的物块无初速的轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向上运动．若物块与传送带间的动摩擦因数μ=，不计物块的大小，g取10m/s2，求：（1）从放上物块开始计时，t=0.5s时刻摩擦力对物体做功的功率是多少？此时皮带克服摩擦力做功的功率是多少？（2）把这个物块从A端传送到B端的过程中，传送带运送物块产生的热量是多大？（3）把这个物块从A端传送到B端的过程中，摩擦力对物块做功的平均功率是多少？。

专题五 功和能高考要求】高考主要考察三类问题：（一）功（二）动能定理（三）机械能守恒定律，并注意与牛顿运动定律、运动学方程的综合。

1． 概念：功：θcos Fs W =是过程量，其中s 指物体的对地位移，θ为力与位移的夹角，此式在中学阶段仅用来计算恒力做功，变力的功一般用动能定理计算平均功率：t W P /=；瞬时功率：θcos Fv P =，θ为力与速度的夹角；汽车功率：Fv P = 动能：221mv E K =是状态量，其中v 指物体的对地速度；重力势能：mgh E P =，重力做的功等于重力势能的减少量，P G E W ∆-=2． 规律：3． 动能定理：外力对物体做的功的代数和等于物体动能的增量：∑∆=K E W 机械能守恒定律：只有重力或弹力做功时，物体或系统的机械能总量保持不变。

1212222121mgh mv mgh mv +=+ 【知识结构】⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=∆-=∆=∆⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧∑∑G G P K W W E W E W E 机功是能量转化的量度应用条件机械能守恒定律应用推导动能定理瞬时功率平均功率功率变力做功恒力做功功的计算功机械能一、功、功率功定义式为θcos Fs W =，其中s 指物体的对地位移，θ为力与位移的夹角，此式在中学阶段仅用来计算恒力做功，变力的功一般用动能定理计算；功率的定义式为t W P /=，结合θcos Fs W =可变形为θcos Fv P =，如果式中的各个量用瞬时值代入，可计算瞬时功率．对于汽车类功率问题，应注意Fv P =中是什么量保持不变．1．国际单位制中，功率的单位是W ，它与下述的哪一个单位相一致 （ ）A ．2/sm kg ⋅ B ．22/s m kg ⋅ C ．3/s m kg ⋅ D ．32/s m kg ⋅2．如图1所示，小物体m 位于光滑的斜面M 上，斜面位于光滑的水平地面上，从地面上看，在小物体沿斜面下滑的过程中，斜面对小物体的作用力 （ ）A ．垂直于接触面，做功为零B ．垂直于接触面，做功不为零C ．不垂直于接触面，做功为零D ．不垂直于接触面，做功不为零3．质量为m 的物体从半径为R 的光滑半圆轨道上A 点由静止下滑，如图2所示，半圆轨道可在光滑的水平面上自由运动，在m 下滑的过程中，设半圆轨道对物体的支持力为N ，物体对半圆轨道的压力为N '，则 （ ）A ．N '不做功B ．N '做正功C ．N 不做功D ．N 做负功4．一质量为m 的木块静止在光滑的水平地面上，从0=t 开始，将一个大小为F 的水平恒力作用在该木块上，在1t t =时刻力F 的功率是 （ ）A ． 122t m FB ． 2122t m FC ． 12t mF D ． 212t m F 5．设在平直公路上以一般速度行驶的自行车，所受阻力约为车和人总重的02.0倍，则骑车人的功率最接近 （ ）A ．kW 110-B ．kW 310- C ．kW 1 D ．kW 106.关于作用力与反作用力做功的关系，下列说法正确的是 （ ）A ．当作用力作正功时，反作用力一定作负功B ．当作用力不作功时，反作用力也不作功C ．作用力与反作用力所做的功一定是大小相等、正负相反的D ．作用力做正功时，反作用力也可以做正功7．汽车在水平公路上沿直线匀速行驶，速度为s m /18，发动机输出功率为kW 72，汽车所受到的阻力等于_______N .8．一台电动机的额定输出功率为kW 10,它min 1内可以做功________J ,用这台电动机竖直向上提升质量为kg 2105.2⨯的货物,上升的最大速度为____s m /.(取2/10s m g =)9．跳绳是一种健身运动．设某运动员的质量是kg 50，他一分钟跳绳180次．假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是多少瓦？（g 取2/10s m ）10．若正常人心脏在一次搏动中泵出血液ml 70，推动血液流动的平均压强为Pa 4106.1⨯．设心脏主动脉的内径为cm 5.2，每分钟搏动75次，求：（1）心脏推动血液流动的平均功率是多大？（2）血液从心脏流出的平均速度是多大？11．汽车的质量为kg 3100.6⨯，额定功率为kW 90, 沿水平道路行驶时，阻力恒为重力的05.0倍(取2/10s m g =)．求：(1)求汽车沿水平道路匀速行驶的最大速度；(2)设汽车由静止起匀加速行驶，加速度为2/5.0s m , 求汽车维持这一加速度运动的最长时间.12．如图3所示的水平传送装置，ab 间距为l ，皮带以v 的速度匀速运转.把一质量为m 的零件无初速地放在传送带a 处，已知零件与皮带之间的动摩擦因数为μ，试求从a到b 的过程中，摩擦力对零件所做的的功．二、动能、动能定理动能是标量，其表达式为21mv E K =，动能定理的表达式为∑∆=K E W ，其左边为合外力对物体做的功，右边为物体动能的增量；功表达式中的位移、动能表达式中的速度都是以地面为参考系，利用动能定理可以方便地计算变力做功问题．1．一质量为 m 的小球，用长为L 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平力F 的作用下，从平衡位置P 很缓慢地移动到Q 点，如图1所示，则力F 所做的功为 （ ）A. θcos mglB. )cos 1(θ-mglC. θsin Fl D ．.θFl2．一个质量为2kg 的物体，以4s m /的速度在光滑水平面上向右滑行，从某个时刻起，在物体上作用一个向左的水平力，经过一段时间，物体的速度方向变为向左，大小仍然是4s m /，在这段时间内水平力对物体做的功为 （ ）A. 0B. J 8C.J 16D.J 323．如图2所示,ABCD 是一条长轨道,其中AB 段是倾角为θ的斜面,CD 段是水平的.BC 是与AB 和CD 都相切的一小段圆弧,其长度可以忽略不计.一质量为m 的小滑块在A 点从静止状态释放，沿轨道下滑，最后停在D 点，A 点和D 点的位置如图所示，现用一沿着轨道方向的力推滑块，使它缓慢地由D 点推回到A 点时停下.设滑块与轨道之间的动摩擦因数为μ，则推力对滑块做的功等于 （ ）A. mghB. mgh 2C. )sin (θμh S mg + D ．θμμmghctg mgS +4．两辆汽车在同一平直路面上行驶，它们的质量之比2:1:21=m m ，速度之比1:2:21=v v ．当两车急刹车后，甲车滑行的最大距离为1s ，乙车滑行的最大距离为2s ．设两车与路面的动摩擦因数相等，不计空气的阻力，则 （ ）A. 2:1:21=s sB.1:1:21=s sC. s 1:2:21=sD.1:4:21=s s5．站在斜向上运动的自动扶梯上的人，若他同时沿着阶梯匀速地向上走，那么人发生相同位移的条件下，自动扶梯发电机所做的功和它的功率变化情况是 （ ）A ．所做的功减少B ．所做的功不变C ．功率不变D ．功率减小6．如图3所示，一个质量为m 的物体在高为h 的斜面上刚好匀速下滑，现用平行于斜面的力缓慢地将物体沿斜面从底端拉到顶端，拉力所做的功为________．7．在距地面m 12高处以s m /12的速度抛出一个质量为kg 2的物体，物体落到地面时的速度是s m /19，那么人在抛物的过程中对物体做的功是____ J ，物体下落过程中克服阻力做的功是____ J ．8．匀质直木板长为cm L 40=，放在水平桌面上，它的右端与桌面相齐，如图4所示，木板质量为kg 2，与桌面间动摩擦因数为2.0．若在木板左端用一水平推力F 将其推下桌子，水平推力至少做功___________J (取2/10s m g =)．9．一人在雪橇上，从静止开始沿着高度为m 15的斜坡滑下，到达底部时的速度为s m /10，人和雪橇的总质量为kg 60，下滑过程中克服阻力做的功等于______J (取2/10s m g =)．10．质量为kg 3100.4⨯的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经过s 3.33前进了m 425，这时它达到了最大速度，其数值为s m /15，问汽车所受的阻力为多大?（设汽车受到的阻力恒定不变）11．一钢球质量为m ，自高度H 处静止下落至一钢板上，与钢板碰撞后弹起，碰撞过程中无能量损失，若下落中所受的空气阻力F 的大小不变，求：(1)小球第一次下落至钢板时（尚未碰撞）的速度；(2)小球从开始下落到完全静止所通过的总路程.12．质量为m 的滑块与倾角为θ的斜面间的动摩擦因数为μ，θμtg <，斜面底端有一个和斜面垂直放置的弹性挡板,滑块滑到底端与它碰撞时没有机械能损失，如图5所示．若滑块从斜面上高为h 处以速度0v 开始沿斜面下滑，设斜面足够长,求：(1)滑块最终停在何处?(2)滑块在斜面上滑行的总路程是多少?14．如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB的下端与光滑的圆弧轨道BCD 相切于B，C是最低点，圆心角∠BOC=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m，现有一个质量为m=0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，DE 距离h=1.6m，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2．求：（1）物体第一次通过C点时轨道对物体的支持力F N的大小；（2）要使物体不从斜面顶端飞出，斜面的长度L AB至少要多长；（3）若斜面已经满足（2）要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，在此过程中系统因摩擦所产生的热量Q的大小15．如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2m/s的速率运行．现把一质量为m=10kg的工件（可看为质点）轻轻放在皮带的底端，经时间1.9s，工件被传送到h=1.5m的高处，取g=10m/s2．求：（1）工件与皮带的动摩擦因数；（2）电动机由于传送工件多消耗的电能。

难点之五 功与能一、难点形成原因：1、对功的概念及计算方法掌握不到位高中学生刚接触矢量与标量，对功有正负但又是标量不能理解，而在计算的时候，又不能准确应用公式cos W Fl α=，误以为计算功套上该公式就万事大吉，岂不知该公式一般仅仅适用于恒力做功。

2、不能灵活运用动能定理动能定理是高中物理中应用非常广泛的一个定理，应用动能定理有很多优点，但是同学对该定理理解不深，或者不能正确的分析初、末状态，或者不能正确的求出合外力的功，或者不能正确的表示动能变化量，导致对该规律的应用错误百出。

3、对守恒思想理解不够深刻在高中物理学习过程中，既要学习到普遍适用的守恒定律——能量守恒定律，又要学习到条件限制下的守恒定律——机械能守恒定律。

学生掌握守恒定律的困难在于：对于能量守恒定律，分析不清楚哪些能量发生了相互转化，即哪几种能量之和守恒；而对于机械能守恒定律，又不能正确的分析何时守恒，何时不守恒。

4、对功和能混淆不清在整个高中物理学习过程中，很多同学一直错误的认为功与能是一回事，甚至可以互相代换，其实功是功，能是能，功和能是两个不同的概念，对二者的关系应把握为：功是能量转化的量度。

二、难点突破：1、加深对功概念的理解、掌握功的常用计算方法功是力对位移的积累，其作用效果是改变物体的动能，力做功有两个不可缺少的因素：力和物体在力的方向上的位移，这两个因素同时存在，力才对物体做功。

尤其要明确，功虽有正负，但功是标量，功的正负不表示方向，仅仅是表示力做正功还是克服力做功。

功的常用计算方法有以下几种：（1）功的公式：cos W Fl α=，其中cos l α是力的作用点沿力的方向上的位移，该公式主要用于求恒力做功和F 随l 做线性变化的变力功（此时F 须取平均值）（2）公式W Pt =，适用于求恒力做功，也适用于求以恒定功率做功的变力功。

（3）由动能定理K W E =∆求恒力做功，也可以求变力做功。

（4）根据F-s 图象的物理意义计算力对物体做的功，如图5-1所示，图中阴影部分面积的数值等于功的大小，但要注意，横轴上方的面积表示做正功，横轴下方的面积表示做负功。

高考导航 本专题主要考查的内容有动能定理及其应用、机械能守恒定律及其应用、功能关系等．从近几年高考来看，对本专题的考查主要以多过程、多状态的形式出现，常与其他知识综合考查，对考生的能力要求较高.5年来高考对动能和动能定理、功能关系、机械能守恒定律及其应用的考查略有浮动，整体趋于平稳．试题一般条件隐蔽，过程复杂，灵活性强.2016年高考，单独考查会以选择题为主；如果与牛顿运动定律、曲线运动、电磁学等内容结合考查会以计算题为主．预计以选择题形式呈现的概率较大．体系构建一、功、功率的计算1．功的定义式：W ＝Fl cos α，该公式只能求恒力做的功．2．计算功的方法(1)按照功的定义求功．(2)用动能定理W ＝ΔE k 或功能关系求功(当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功)．(3)利用功率公式W ＝Pt 求解．3．功率的计算(1)平均功率的计算方法①利用P ＝W t②利用P ＝F v cos θ(2)瞬时功率的计算方法：P ＝F v cos θ，v 是t 时刻的瞬时速度．二、机车的启动问题1．恒定功率启动机车第一阶段做加速度逐渐减小的加速运动，第二阶段做匀速直线运动．速度图象如图所示，当F＝F f时，v max＝PF＝PF f2．恒定加速度启动机车第一阶段做匀加速直线运动，当功率达到额定功率后达到匀加速过程的最大速度v1；第二阶段保持功率不变，做变加速运动，直至达到最大速度v max；第三阶段做匀速直线运动，速度图象如图所示．(1)求v1：由F－F f＝ma，P＝P额＝F v1得v1＝P额F f＋ma.(2)求v max∶v max＝P额F f说明(1)机车匀加速启动，当匀加速结束时，速度并未达到整个过程的最大速度v m.(2)P＝F v中的F是牵引力，并非合力．三、动能定理的理解1．外力对物体做的总功是物体受到的所有力做功的代数和，包括重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力或其他外力．2.动能定理虽然是在物体受恒力做直线运动时推导出来的，但对于物体受变力做曲线运动时，同样适用．其中的力可以是各种性质的力，各种力既可以同时作用，也可以分段作用，只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可．3.对涉及单个物体的受力、位移及过程始末速度的问题的分析，尤其不涉及时间时，应优先考虑用动能定理求解．4．若物体运动包含几个不同过程时，可分段运用动能定理列式，也可以全程列式(不涉及中间速度时)．说明应用动能定理分析过程问题，关键是对研究对象进行受力分析，明确各力做功的正负及始末状态的动能，无须探究运动过程的细节．四、机械能守恒定律、功能关系及能量守恒1．机械能是否守恒的判断(1)用做功来判断：分析物体或系统的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功或做功的代数和为零，则机械能守恒．(2)用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则物体系机械能守恒．(3)对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等问题，机械能一般不守恒，除非题目中有特别说明及暗示．2.功能关系：做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就表示有多少能量发生了转化，所以说功是能量转化的量度，熟练掌握不同功与不同形式能量的转化关系，以此解题就是利用功能关系解题．常见的功能关系：3．对能量守恒定律的理解(1)某种形式能量的减少，一定存在另外形式能量的增加且减少量与增加量相等．(2)某个物体能量的减少，一定存在别的物体能量的增加且减少量与增加量相等．1．(2014·课标Ⅱ)一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v .若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v .对于上述两个过程，用W F 1、W F 2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f 1、W f 2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )A ．W F 2>4W F 1，W f 2>2W f 1B ．W F 2>4W F 1，W f 2＝2W f 1C ．W F 2<4W F 1，W f 2＝2W f 1D ．W F 2<4W F 1，W f 2<2W f 1答案 C解析 W F 1＝12m v 2＋μmg ·v 2t ，W F 2＝12m ·4v 2＋μmg 2v 2t ，故W F 2＜4W F 1；W f 1＝μmg ·v 2t ，W f 2＝μmg ·2v 2t ，故W f 2＝2W f 1，C 正确． 2．(2015·海南单科)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率．如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )A ．4倍B ．2倍 C.3倍 D.2倍答案 D解析 因摩托艇受到的阻力f ＝k v ，设原来发动机的输出功率为P ，最大速率为v m .输出功率为2P 时，最大速率为v m ′，由P ＝F v ＝f v m ＝k v 2m 得v m ＝P k ，所以v ′m v m ＝2P P ＝2，因此A 、B 、C 错，D 对． 3．(2015·浙江理综)(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg ，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N ；弹射器有效作用长度为100 m ，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )A ．弹射器的推力大小为1.1×106 NB ．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 JC ．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 WD ．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s 2答案 ABD解析 舰载机弹射过程中的加速度a ＝v 22x ＝8022×100m/s 2＝32 m/s 2，选项D 正确；对舰载机在水平方向受力分析，根据牛顿第二定律得：F 弹＋F 发－20%(F 弹＋F 发)＝ma ，解得：F弹＝1.1×106N ，选项A 正确；由功的定义得：W 弹＝F 弹·x ＝1.1×108J ，选项B 正确；由速度公式得弹射器对舰载机的作用时间t ＝v a ＝8032s ＝2.5 s ，由功率的定义得：P 弹＝W 弹t＝4.4×107W 选项C 错． 4．(2015·课标Ⅰ)如图，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平．一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道．质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小．用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功．则( )A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点 B ．W ＞12mgR ，质点不能到达Q 点 C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 D ．W ＜12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 答案 C解析 质点由静止开始下落到最低点N 的过程中由动能定理：mg ·2R －W ＝12m v 2 质点在最低点：F N －mg ＝m v 2R由牛顿第三定律得：F N ＝4mg联立得W ＝12mgR ，质点由N 点到Q 点的过程中在等高位置处的速度总小于由P 点到N 点下滑时的速度，故由N 点到Q 点过程克服摩擦力做功W ′＜W ，故质点到达Q 点后，会继续上升一段距离，选项C 正确．动能定理的应用1.动能定理是功能关系的一个具体体现，应用动能定理的关键是选择合适的研究对象，选好初态和末态，注意一定是合外力所做的总功，其中合外力是所有外力(包括重力)，一定是末动能减去初动能．应用动能定理解题时，在分析运动过程时无须深究物体运动过程中状态变化的细节，只需考虑整个过程的功及过程始末状态的动能，计算时把各个力的功连同符号(正、负)一同代入．2．动能定理是计算物体的位移或速率的简捷方法，当题目中涉及位移时可优先考虑动能定理．3．若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以把全过程作为一整体来处理．【例1】 如图所示，倾角θ＝30°的斜面固定在水平面上，斜面长L ＝2 m ，小物体A 与斜面间的动摩擦因数μ＝36，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端正好在斜面中点B 处．现从斜面最高点给物体A 一个沿斜面向下的初速度v 0＝2 m/s ，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好被弹回到AB 的中点C 处，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，则( )A ．物体第一次运动到B 点时速率为1 m/sB ．弹簧最大的压缩量为0.15 mC ．物体在被反弹上升过程中到达B 点时速度最大D ．物体第二次运动到B 点时速率为3 m/s【审题突破】 (1)本题以弹簧模型考查动能定理的应用，题中涉及的过程多，状态多，求解时一定要抓住动能定理的特点(不受物体受力情况、运动情况、轨迹情况限制，适用于单个物体和系统，也适用于单个过程和全过程，中间细节可不考虑)．(2)解答本题时要结合要求的问题，确定合适的研究过程，在求弹簧最大压缩量x 时，选取从A 到返回C 的过程，研究会使问题简便．答案 B解析 物体从A 到B ，由动能定理知(mg sin θ－μmg cos θ)·L 2＝12m v 21－12m v 20，代入数值得v 1＝3 m/s ，A 错；设弹簧最大压缩量为x ，从A 到返回C 的整个过程中，由动能定理得mg sinθ·L 4－μmg cos θ(2x ＋L 2＋L 4)＝0－12m v 20，代入数值得x ＝0.15 m ，B 对；物体在被反弹上升的过程中，当其合力为零时，速度最大，而在B 点合力沿斜面向下，即不是速度最大点，C 错；由动能定理知mg sin θ·L 2－μmg cos θ(2x ＋L 2)＝12m v 22－12m v 20， 代入数值得v 2＝302m/s ，D 错．应用动能定理的三点注意 (1)如果在某个运动过程中包含有几个不同运动性质的阶段(如加速、减速阶段)，可以分段应用动能定理，也可以对全程应用动能定理，一般对全程列式更简单．(2)因为动能定理中功和动能均与参考系的选取有关，所以动能定理也与参考系的选取有关．在中学物理中一般取地面为参考系． (3)动能定理通常适用于单个物体或可看成单个物体的系统．如果涉及多物体组成的系统，因为要考虑内力做的功，所以要十分慎重．在中学阶段可以先分别对系统内每一个物体应用动能定理，然后再联立求解．【变式训练】1．(2015·枣庄调研)如图所示，绝缘水平面上有宽为L ＝1.6 m 的匀强电场区AB ，电场强度方向水平向右，半径R ＝0.8 m 的竖直光滑半圆轨道与水平面相切于C ，D 为与圆心O 等高的点，GC 是竖直直径，一质量为m ＝0.1 kg ，电荷量q ＝0.01C 的带负电滑块(可视为质点)以v 0＝4 m/s 的初速度沿水平面向右进入电场，滑块恰好不能从B 点滑出电场，已知滑块与AB 段的动摩擦因数μ1＝0.4，与BC 段的动摩擦因数μ2＝0.8，g ＝10 m/s 2.(1)求匀强电场的电场强度E 的大小．(2)将滑块初速度变为v ′0＝3v 0，则滑块刚好能滑到D 点，求BC 的长度s .(3)若滑块恰好能通过最高点G ，则滑块的初速度应调为原初速度的多少倍？答案 (1)10 N/C (2)1.0 m (3)322v 解析 (1)由动能定理知qEL ＋μ1mgL ＝12m v 20代入数值得E ＝10 N/C.(2)因滑块刚好能到达D 点，则由动能定理知qEL ＋μ1mgL ＋μ2mgs ＋mgR ＝12m v ′20代入数值得s ＝1.0 m.(3)设滑块滑到C 点时速度为v 1，因滑块恰好能通过G 点，则在G 点有mg ＝m v 2G R从C 到G 由动能定理知－mg ·2R ＝12m v 2G －12m v 21 从A 到C 由动能定理知qEL ＋μ1mgL ＋μ2mgs ＝12m v 201－12m v 21 联立并代入数值得v 01＝62m/s ＝322v 0. 机械能守恒定律的应用解决机械能守恒综合题目的一般方法(1)对物体进行运动过程的分析，分析每一运动过程的运动规律．(2)对物体进行每一过程中的受力分析，确定有哪些力做功，有哪些力不做功，哪一过程中满足机械能守恒定律的条件．(3)分析物体的运动状态，根据机械能守恒定律及有关的力学规律列方程求解．【例2】 (2013·浙江高考)山谷中有三块石头和一根不可伸长的轻质青藤，其示意图如下．图中A 、B 、C 、D 均为石头的边缘点，O 为青藤的固定点，h 1＝1.8 m ，h 2＝4.0 m ，x 1＝4.8 m ，x 2＝8.0 m ．开始时，质量分别为M ＝10 kg 和m ＝2 kg 的大、小两只滇金丝猴分别位于左边和中间的石头上，当大猴发现小猴将受到伤害时，迅速从左边石头的A 点水平跳至中间石头．大猴抱起小猴跑到C 点，抓住青藤下端，荡到右边石头上的D 点，此时速度恰好为零．运动过程中猴子均可看成质点，空气阻力不计，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)大猴从A 点水平跳离时速度的最小值；(2)猴子抓住青藤荡起时的速度大小；(3)猴子荡起时，青藤对猴子的拉力大小．【审题突破】 1.命题立意：本题以两只猴子的运动为情景，考查了平抛运动的规律、机械能守恒定律、牛顿第二定律．能力立意上考查考生分析物理运动过程中的各状态，找出彼此联系，进行计算得出结论的能力．2．解题关键：(1)题干中“速度恰好为零”，猴子到达D 点的动能为零．(2)问题中“速度的最小值”即大猴从A 到C 水平位移大小为x 1.(3)“猴子荡起时”即猴子做圆周运动．3．解题技巧：(1)处理平抛运动时，分解为水平和竖直两个方向处理．(2)猴子抓住青藤荡起，满足机械能守恒定律．(3)猴子抓住青藤荡起时，拉力和重力的合力提供向心力．答案 (1)8 m/s (2)9 m/s (3)216 N解析 (1)设猴子从A 点水平跳离时速度的最小值为v min ，根据平抛运动规律，有h 1＝12gt 2①x 1＝v min t ②联立①②式得v min ＝8 m/s ③(2)猴子抓住青藤后从C 到D 的过程，由动能定理，得：－(M ＋m )gh 2＝0－12(M ＋m )v 2C ④ v C ＝2gh 2＝80m/s ≈9 m/s ⑤(3)设拉力为F T ，青藤的长度为L ，在最低点，由牛顿第二定律得F T －(M ＋m )g ＝(M ＋m )v 2C L⑥ 由几何关系(L －h 2)2＋x 22＝L 2⑦ 得：L ＝10 m ⑧综合⑤⑥⑧式并代入数据解得：F T ＝(M ＋m )g ＋(M ＋m )v 2C L＝216 N.应用机械能守恒定律的“四种情景”(1)情景一：物体沿轨道运动，轨道光滑，物体只受重力和轨道弹力，只有重力对物体做功时．(2)情景二：物体在绳子或杆作用下运动，绳子或杆对物体的弹力始终与速度方向垂直时．(3)情景三：物体只在重力作用下做自由落体、上抛、下抛、平抛等各种抛体运动时．(4)情景四：多个物体组成的系统，在运动过程中没有摩擦生热，没有非弹性碰撞，没有绳子瞬间绷紧等现象，只有动能与重力势能(或弹性势能)相互转化时．【变式训练】2．(2015·天津理综)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了3mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案 B解析圆环在下滑过程中，圆环的重力和弹簧的弹力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，圆环和弹簧组成的系统机械能守恒，系统的机械能等于圆环的动能和重力势能以及弹簧的弹性势能之和，选项A、D错误；对圆环进行受力分析，可知圆环从静止开始先向下加速运动且加速度逐渐减小，当弹簧对圆环的弹力沿杆方向的分力与圆环所受重力大小相等时，加速度减为0，速度达到最大，而后加速度反向且逐渐增大，圆环开始做减速运动，当圆环下滑到最大距离时，所受合力最大，选项C错误；由图中几何关系知圆环的下降高度为3L，由系统机械能守恒可得mg×3L＝ΔE p，解得ΔE P＝3mgL，选项B正确．功能关系能量守恒的综合应用利用功能关系解题的基本思路(1)分析物体的运动过程及每个过程的受力情况．因为每个过程的受力情况可能不同，引起的能量变化也不同．(2)分析清楚哪几个力做功、各力的位移、引起了哪种能量的变化．(3)根据功能关系列方程式求解或定性分析．(4)功能关系式选用上首先考虑动能定理，其次是机械能守恒定律，最后选择能量守恒定律，特别地当研究对象是系统，且系统机械能守恒时，首先考虑机械能守恒定律．【例3】(2014·广东高考)如图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图．图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦．在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中()A．缓冲器的机械能守恒B．摩擦力做功消耗机械能C．垫板的动能全部转化为内能D．弹簧的弹性势能全部转化为动能【审题突破】 1.命题立意：本题综合考查机械能守恒的条件、摩擦生热、弹簧弹力做功等知识点，与实际应用相联系，综合性强．2．解题关键：车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中，摩擦力做功，机械能不守恒．3．解题技巧：(1)机械能守恒的条件：只有机械能内部的相互转化，没有摩擦力做功．(2)功是能量转化的量度，特定的力做功与特定的能量转化对应．答案 B解析在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中，有摩擦力做功，消耗机械能，缓冲器的机械能不守恒，A 项错误、B 项正确；在弹簧压缩的过程中，有部分动能转化成了弹簧的弹性势能，并没有全部转化为内能，C 项错误；在弹簧压缩的过程中，是部分动能转化成了弹簧的弹性势能，而不是弹簧的弹性势能全部转化为动能，D 项错误．利用功能关系解题的“三点注意”(1)功→能：分清是什么力做功，并且分析该力做正功还是做负功，根据功、能之间的对应关系，可以判定能的转化形式，确定能量之间的转化情况．(2)能→功：根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，可以计算变力做功的多少． (3)功能关系的实质：功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系，功是能量转化的量度和原因，能量转化是做功过程的必然结果．【变式训练】3．(多选)(2015·遵义二模)如图所示，长为L 的长木板水平放置，在木板的A 端放置一个质量为m 的小物块，现缓慢地抬高A 端，使木板以左端为轴转动，当木板转到与水平面的夹角为α时小物块开始滑动，此时停止转动木板，小物块滑到底端的速度为v ，在整个过程中( )A ．木板对小物块做的功为12m v 2B ．支持力对小物块做的功为零C ．小物块的机械能的增量为12m v 2－mgL sin αD ．滑动摩擦力对小物块做的功为12m v 2－mgL sin α答案 AD解析 在运动过程中，小物块受重力、木板施加的支持力和摩擦力，整个过程重力做功为零，由动能定理W 木＝12m v 2－0，A 正确；在物块被缓慢抬高过程中摩擦力不做功，由动能定理得W ′木－mgL sin α＝0－0，则有W ′木＝mgL sin α，故B 错误；由功能关系，机械能的增量为木板对小物块做的功，大小为12m v 2，C 错误；滑动摩擦力对小物块做的功W f ＝W木－W ′木＝12m v 2－mgL sin α，D 正确．[突破审题·规范解答]如图所示，x 轴与水平传送带重合，坐标原点O 在传送带的左端，传送带长L ＝8 m ，匀速运动的速度v 0＝5 m/s.一质量m ＝1 kg 的小物块，①轻轻放在传送带上x P ＝2 m 的P 点．小物块随传送带运动到Q 点后②冲上光滑斜面且刚好到达N 点(小物块到达N 点后被收集，不再滑下)．若小物块经过Q 处无机械能损失，③小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g ＝10 m/s 2.求：(1)N 点的纵坐标；(2)小物块④在传送带上运动产生的热量；(3)若将小物块轻轻放在传送带上的某些位置，最终均能沿光滑斜面越过纵坐标y M ＝0.5m 的M 点，求这些位置的⑤横坐标范围．答案 (1)1.25 m (2)12.5 J (3)0≤x <7 m解析 (1)小物块在传送带上做匀加速运动的加速度 a ＝μg ＝5 m/s 2.小物块与传送带共速时， 所用时间t ＝v 0a ＝1 s运动的位移x ＝12at 2＝2.5 m<(L －x P )＝6 m故小物块与传送带共速后以v 0＝5 m/s 的速度匀速运动到Q ，然后冲上光滑斜面到达N 点，由机械能守恒定律得12m v 20＝mgy N解得y N ＝1.25 m(2)小物块在传送带上相对传送带滑动的位移 x 相对＝v 0t －x ＝2.5 m产生的热量Q＝μmgx相对＝12.5 J(3)设在坐标为x1处轻轻将小物块放在传送带上，最终刚好能到达M点，由能量守恒得μmg(L－x1)＝mgy M代入数据解得x1＝7 m故小物块在传送带上的位置横坐标范围0≤x<7 m【易错分析】(1)常见的思维障碍：①在求小物块冲上斜面的初速度时，误认为小物块一直加速至Q处，错误求出v0＝2a（L－x P）＝215m/s.②在求摩擦生热时，误认为相对滑行的距离为L－x P＝6 m，这样求忽视了相对静止的一段距离．(2)因解答不规范导致失分：①将Q＝μmgx相对写成Q＝μmg(L－x P)，书写不规范而失分．②坐标范围写成x≤7 m或0≤x≤7，不够准确而失分．1．轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图甲所示，弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴．现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示．物块运动至x＝0.4 m处时速度为零．则此时弹簧的弹性势能为(g＝10 m/s2)()A．3.1 J B．3.5 JC．1.8 J D．2.0 J答案 A解析物块与水平面间的滑动摩擦力为f＝μmg＝1 N．F－x图线与x轴包围的面积表示功，可知物块从静止到运动至x＝0.4 m时F做功W＝3.5 J，物块克服摩擦力做功W f＝fx＝0.4 J．由功能关系可知，W－W f＝E p，此时弹簧的弹性势能为E p＝3.1 J，选项A正确．2.如图所示，质量为m的滑块以一定初速度滑上倾角为θ的固定斜面，同时施加一沿斜面向上的恒力F＝mg sinθ.已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ，取出发点为参考点，能正确描述滑块运动到最高点过程中产生的热量Q 、滑块的动能E k 、机械能E 随时间t 变化关系，滑块的势能E p 随位移x 变化关系的是( )答案 CD解析 滑块运动到最高点的过程中，所受的合力等于沿斜面向下的摩擦力，滑块沿斜面向上做匀减速运动，运动到最高点的过程中产生的热量Q ＝fx ＝mg sin θ(v t －12at 2)，图A 错误，由动能定理得－mg sin θ(v t －12at 2)＝E k －12m v 2，E k ＝－mg sin θ(v t －12at 2)＋12m v 2，图B 错误．滑块的重力势能E P ＝mg x sin θ，图C 正确．根据题述知，F ＝mg sin θ＝μmg cos θ，机械能E 随时间t 不变，图D 正确．3．(2015·青岛5月检测)光滑水平面上质量为m ＝1 kg 的物体在水平拉力F 的作用下从静止开始运动，如图甲所示，若力F 随时间的变化情况如图乙所示，则下列说法正确的是( )A ．拉力在前2 s 内和后4 s 内做的功之比为1∶1B ．拉力在前2 s 内和后4 s 内做的功之比为1∶3C ．拉力在4 s 末和6 s 末做功的功率之比为2∶3D ．拉力在前2 s 内和后4 s 内做功的功率之比为2∶3 答案 BD解析 由牛顿第二定律可得F ＝ma ，2 s 时的速度v 2＝a 1t ，则v 2＝Fm t ＝8 m/s ，6 s 时的速度v 6＝v 2＋F ′m t ′＝16 m/s ；由动能定理可得前2s 内拉力做的功W ＝12m v 22－0＝32 J ，后4 s内拉力的功W ′＝12m v 26－12m v 22＝96 J ，则W W ′＝13，选项A 错误，选项B 正确；4 s 末拉力做功的功率P ＝F v 2＝32 W ，6 s 末拉力做功的功率P ′＝F ′v 6＝2×16 W ＝32 W ，则P P ′＝11，选项C错误；根据平均功率的定义P ＝Wt ，则前2 s 内做功的功率P ＝16 W ，后4 s 内做功的功率P ′＝24 W ，即P P ′＝23，选项D 正确．4．(多选)如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d ，杆上的A 点与定滑轮等高，杆上的B 点在A 点下方距离A 为d 处．现将环从A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )A ．环到达B 处时，重物上升的高度h ＝d2B ．环到达B 处时，环与重物的速度大小之比为 2C ．环从A 到B ，环减少的机械能大于重物增加的机械能D ．环能下降的最大高度为43d答案 BD解析 环到达B 处时，重物上升的高度等于绳拉伸过来的长度，所以h ＝2d －d ，A 错误；环和重物在沿绳方向的速度相等，环到达B 处时，环与重物的速度大小之比为2，B 正确；环和重物组成的系统机械能守恒，环减少的机械能等于重物增加的机械能，C 错误；当环下降的高度最大时，两者速度均为零，由系统机械能守恒得，环减少的重力势能等于重物最大的重力势能，有mgh ＝2mg (h 2＋d 2－d )，解得h ＝43d ，D 正确．专题提升练习(五)一、选择题(共9小题，每小题6分，共54分．在每小题给出的四个选项中，第1～6小题只有一个选项符合题目要求，第7～9小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分)1．有一质量为m 的木块，从半径为r 的圆弧曲面上的a 点滑向b 点，如图所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )A ．木块的加速度不变B ．木块所受的合外力为零C ．木块所受的力都不对其做功D ．木块所受的合外力不为零，但合外力对木块所做的功为零 答案 D2．质量为10 kg 的物体，在变力F 作用下沿x 轴做直线运动，力随坐标x 的变化情况如图所示．物体在x ＝0处，速度为1 m/s ，一切摩擦不计，则物体运动到x ＝16 m 处时，速度大小为( )A ．2 2 m/sB ．3 m/sC ．4 m/s D.17 m/s 答案 B3．质量为2 kg 的物块放在粗糙水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，物块动能E k 与其发生位移x 之间的关系如图所示．已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g 取10 m/s 2，则下列说法正确的是( )A ．x ＝1 m 时速度大小为2 m/sB ．x ＝3 m 时物块的加速度大小为2.5 m/s 2C ．在前4 m 位移过程中拉力对物块做的功为9 JD ．在前4 m 位移过程中物块所经历的时间为2.8 s 答案 D解析 对物块由动能定理得F 合x ＝ΔE k ，则F 合＝ΔE kx，即图线的斜率等于合外力．在0～2 s 内，F 合＝2 N ，设x ＝1 m 时速度大小为v ，由动能定理得F 合x ＝12×m v 2－0，v ＝ 2m/s ，选项A 错误；由图线知2～4 m 内加速度恒定，a ＝F 合m ＝ΔE k xm ＝52×2 m/s 2＝54 m/s 2，选项B 错误；在前4 m 位移过程中由动能定理得W －μmgx ＝9 J ，W ＝9 J ＋0.2×2×10×4 J ＝25 J ，选项C 错误；在x ＝2 m 时，12m v 21＝4 J ，v 1＝2 m/s ，在x ＝4 m 时，12m v 22＝9 J ，v 2＝3 m/s ，在前2 m 内，2 m ＝v 12t 1，t 1＝2 s ，在后2 m 内，2 m ＝v 1＋v 22t 2，t 2＝0.8 s ，故t ＝t 1＋t 2＝2.8 s ，选项D 正确．4．在倾角为θ的固定光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别。

专题5 功和能1.〔2016年海南卷13题9分〕水平地面上有质量分别为m 和4m 的物A 和B ，两者与地面的动摩擦因数均为μ。

细绳的一端固定，另一端跨过轻质动滑轮与A 相连，动滑轮与B 相连，如下列图。

初始时，绳出于水平拉直状态。

假设物块Z 在水平向右的恒力F 作用下向右移动了距离s ，重力加速度大小为g 。

求〔1〕物块B 客服摩擦力所做的功； 〔2〕物块A 、B 的加速度大小。

解析：〔1〕物块A 移动了距离s ，如此物块B 移动的距离为112s s =① 物块B 受到的摩擦力大小为f =4μmg ② 物块B 抑制摩擦力所做的功为W =fs 1=2μmgs ③〔2〕设物块A 、B 的加速度大小分别为a A 、a B ，绳中的张力为T 。

由牛顿第二定律得F –μmg –T =ma A ④2T –4μmg =4ma B ⑤由A 和B 的位移关系得a A =2a B ⑥ 联立④⑤⑥式得3=2A F mga m μ-⑦3=4B F mg a m μ-⑧2.[2016·全国卷Ⅱ] 两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．假设它们下落一样的距离，如此( ) A ．甲球用的时间比乙球长B ．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小C ．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小D ．甲球抑制阻力做的功大于乙球抑制阻力做的功 答案：BD解析： 设f ＝kR ，如此由牛顿第二定律得F 合＝mg －f ＝ma ，而m ＝43πR 3·ρ，故a ＝g －k43πR 2·ρ，由m 甲>m 乙、ρ甲＝ρ乙可知a 甲>a 乙，故C 错误；因甲、乙位移一样，由v 2＝2ax可知，v 甲>v 乙，B 正确；由x ＝12at 2可知，t 甲<t 乙，A 错误；由功的定义可知，W 抑制＝f ·x ，又f 甲>f 乙，如此W 甲抑制>W 乙抑制，D 正确．3.[2016·某某卷6分] 我国高铁技术处于世界领先水平，和谐号动车组是由动车和拖车编组而成，提供动力的车厢叫动车，不提供动力的车厢叫拖车．假设动车组各车厢质量均相等，动车的额定功率都一样，动车组在水平直轨道上运行过程中阻力与车重成正比．某列动车组由8节车厢组成，其中第1、5节车厢为动车，其余为拖车，如此该动车组( )图1­A ．启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动的方向相反B ．做匀加速运动时，第5、6节与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2C ．进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度成正比D ．与改为4节动车带4节拖车的动车组最大速度之比为1∶2 答案：BD解析： 列车启动时，乘客随着车厢加速运动，乘客受到的合力方向与车运动的方向一致，而乘客受到车厢的作用力和重力，所以启动时乘客受到车厢作用力的方向与车运动方向成一锐角，A 错误；动车组运动的加速度a ＝2F －8kmg 8m ＝F 4m －kg ，如此对第6、7、8节车厢的整体有f 56＝3ma ＋3kmg ＝0.75F ，对第7、8节车厢的整体有f 67＝2ma ＋2kmg ＝0.5F ，故第5、6节车厢与第6、7节车厢间的作用力之比为3∶2，B 正确；根据动能定理得12Mv 2＝kMgs ，解得s ＝v 22kg，可知进站时从关闭发动机到停下来滑行的距离与关闭发动机时的速度的二次方成正比 ，C 错误；8节车厢有2节动车时的最大速度为v m1＝2P 8kmg ＝P4kmg，8节车厢有4节动车的最大速度为v m2＝4P 8kmg ＝P 2kmg ，如此v m1v m2＝12，D 正确．4.[2016·全国卷Ⅰ18分] 如图1­，一轻弹簧原长为2R ，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A 处，另一端位于直轨道上B 处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为56R 的光滑圆弧轨道相切于C 点，AC ＝7R ，A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内．质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑，最低到达E 点(未画出)，随后P 沿轨道被弹回，最高到达F 点，AF ＝4R ，P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝14，重力加速度大小为g .(取sin 37°＝35，cos37°＝45)(1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小． (2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能．(3)改变物块P 的质量，将P 推至E 点，从静止开始释放．P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后，恰好通过G 点．G 点在C 点左下方，与C 点水平相距72R 、竖直相距R ，求P 运动到D 点时速度的大小和改变后P 的质量．图1­解析： (1)根据题意知，B 、C 之间的距离l 为l ＝7R －2R ①设P 到达B 点时的速度为v B ，由动能定理得mgl sin θ－μmgl cos θ＝12mv 2B ②式中θ＝37°，联立①②式并由题给条件得v B ＝2gR ③(2)设BE ＝x ，P 到达E 点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为E p .P 由B 点运动到E 点的过程中，由动能定理有mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－12mv 2B ④ E 、F 之间的距离l 1为 l 1＝4R －2R ＋x ⑤P 到达E 点后反弹，从E 点运动到F 点的过程中，由动能定理有 E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0 ⑥联立③④⑤⑥式并由题给条件得x ＝R ⑦ E p ＝125mgR ⑧(3)设改变后P 的质量为m 1，D 点与G 点的水平距离x 1和竖直距离y 1分别为x 1＝72R －56R sin θ⑨ y 1＝R ＋56R ＋56R cos θ⑩式中，已应用了过C 点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实． 设P 在D 点的速度为v D ，由D 点运动到G 点的时间为t .由平抛物运动公式有y 1＝12gt 2⑪ x 1＝v D t ⑫联立⑨⑩⑪⑫式得v D ＝355gR ⑬ 设P 在C 点速度的大小为v C ，在P 由C 运动到D 的过程中机械能守恒，有 12m 1v 2C ＝12m 1v 2D ＋m 1g ⎝ ⎛⎭⎪⎫56R ＋56R cos θ⑭ P 由E 点运动到C 点的过程中，同理，由动能定理有 E p －m 1g (x ＋5R )sin θ－μm 1g (x ＋5R )cos θ＝12m 1v 2C ⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮式得m 1＝13m ⑯5.〔2016年江苏卷14题16分〕如图1­所示，倾角为α的斜面A 被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B 相连，B 静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A 、B 的质量均为m .撤去固定A 的装置后，A 、B 均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g .求：图1­(1)A 固定不动时，A 对B 支持力的大小N ； (2)A 滑动的位移为x 时，B 的位移大小s ； (3)A 滑动的位移为x 时的速度大小v A .解析： (1)支持力的大小N ＝mg cos α(2)根据几何关系s x ＝x ·(1－cos α)，s y ＝x ·sin α 且s ＝s 2x ＋s 2y解得s ＝2〔1－cos α〕·x (3)B 的下降高度s y ＝x ·sin α 根据机械能守恒定律mgs y ＝12mv 2A ＋12mv 2B根据速度的定义得v A ＝Δx Δt ，v B ＝ΔsΔt如此v B ＝2〔1－cos α〕·v A 解得v A ＝2gx sin α3－2cos α6.[2016·全国卷Ⅱ6分] 小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图1­所示．将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点( )图1­A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度 答案：C解析： 从释放到最低点过程中，由动能定理得mgl ＝12mv 2－0，可得v ＝2gL ，因l P <l Q ，如此v P <v Q ，应当选项A 错误；由E k Q ＝m Q gl Q ，E k P ＝m P gl P ，而m P >m Q ，故两球动能大小无法比拟，选项B 错误；在最低点对两球进展受力分析，根据牛顿第二定律与向心力公式可知T －mg ＝m v 2l＝ma n ，得T ＝3mg ，a n ＝2g ，如此T P >T Q ，a P ＝a Q ，C 正确，D 错误． 7.[2016·全国卷Ⅲ] 一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t 内位移为s ，动能变为原来的9倍．该质点的加速度为( )A.s t 2B.3s 2t2 C.4s t 2 D.8s t2答案：A解析： 由E k ＝12mv 2可知速度变为原来的3倍．设加速度为a ，初速度为v ，如此末速度为3v .由速度公式v t ＝v 0＋at 得3v ＝v ＋at ，解得at ＝2v ；由位移公式s ＝v 0t ＋12at 2得s ＝vt＋12·at ·t ＝vt ＋12·2v ·t ＝2vt ，进一步求得v ＝s 2t ；所以a ＝2v t ＝2t ·s 2t ＝st 2，A 正确． 8.[2016·全国卷Ⅲ6分] 如下列图，一固定容器的内壁是半径为R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m 的质点P .它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，抑制摩擦力做的功为W .重力加速度大小为g .设质点P 在最低点时，向心加速度的大小为a ，容器对它的支持力大小为N ，如此( )图1­A．a＝2〔mgR－W〕mRB．a＝2mgR－WmRC．N＝3mgR－2WRD．N＝2〔mgR－W〕R答案：AC解析：质点P下滑到底端的过程，由动能定理得mgR－W＝12mv2－0，可得v2＝2〔mgR－W〕m，所以a＝v2R＝2〔mgR－W〕mR，A正确，B错误；在最低点，由牛顿第二定律得N－mg＝mv2R，故N＝mg＋mv2R＝mg＋mR·2〔mgR－W〕m＝3mgR－2WR，C正确，D错误．9.[2016·全国卷Ⅲ14分]如图，在竖直平面内由14圆弧AB和12圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。

第五章机械能第1讲功和功率过好双基关————回扣基础知识训练基础题目一、功1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功．2．必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移．3．物理意义：功是能量转化的量度．4．计算公式(1)恒力F的方向与位移l的方向一致时：W＝Fl.(2)恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：W＝Fl cosα.5．功的正负(1)当0≤α<π时，W>0，力对物体做正功．2<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．(2)当π2(3)当α＝π时，W＝0，力对物体不做功．26．一对作用力与反作用力的功做功情形图例备注都做正功(1)一对相互作用力做的总功与参考系无关(2)一对相互作用力做的总功W ＝Fl cos α.l 是相对位移，α是F 与l 间的方向夹角(3)一对相互作用力做的总功可正、可负，也可为零都做负功一正一负一为零一为正一为负二、功率1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．3．公式：(1)P ＝W t，P 描述时间t 内力对物体做功的快慢．(2)P ＝Fv①v 为平均速度，则P 为平均功率．②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．③当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解．研透命题点————细研考纲和真题分析突破命题点命题点一功的分析和计算1．常用办法对于恒力做功利用W＝Fl cosα；对于变力做功可利用动能定理(W＝ΔE k)；对于机车启动问题中的恒定功率启动问题，牵引力的功可以利用W＝Pt. 2．几种力做功比较(1)重力、弹簧弹力、电场力、分子力做功与位移有关，与路径无关．(2)滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关．(3)摩擦力做功有以下特点：①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值．③相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能的情况，内能Q＝F f x相对．◆类型1恒力功的分析和计算【例1】如图所示，木块B上表面是水平的，木块A置于B上，并与B 保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中()A．A所受的合外力对A不做功B．B对A的弹力做正功C．B对A的摩擦力做正功D．A对B做正功答案C解析A、B一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为g sinθ(θ为斜面倾角)，由于A速度增大，由动能定理知，A所受的合外力对A做正功，对A受力分析，可知B对A的支持力方向竖直向上，B对A的摩擦力方向水平向左，故B对A的摩擦力做正功，B对A的弹力做负功，A、B错误，C正确；A与B相对静止，由牛顿第二定律及几何关系可知A对B的作用力垂直斜面向下，A对B不做功，D错误．【变式1】在一次跳绳体能测试中，一位体重约为50kg的同学，一分钟内连续跳了140下，若该同学每次跳跃的腾空时间为0.2s，重力加速度g 取10m/s2，则他在这一分钟内克服重力做的功约为()A．3500J B．14000J C．1000J D．2500J答案A解析G＝mg＝50×10N＝500N，腾空时间为0.2s表示上升过程用时0.1s，上升的高度为h＝0.05m，则起跳一次克服重力做的功W0＝Gh＝500N×0.05 m＝25J,1分钟内跳了140次，则一分钟内克服重力做功W＝140W0＝140×25 J＝3500J，故选A.【变式2】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1s 内、第2s 内、第3s 内力F 对滑块做的功分别为W 1、W 2、W 3，则以下关系正确的是()A ．W 1＝W 2＝W 3B ．W 1<W 2<W 3C ．W 1<W 3<W 2D ．W 1＝W 2<W 3答案B 解析在第1s 内，滑块的位移为x 1＝12×1×1m ＝0.5m ，力F 做的功为W 1＝F 1x 1＝1×0.5J ＝0.5J ；第2s 内，滑块的位移为x 2＝12×1×1m ＝0.5m ，力F 做的功为W 2＝F 2x 2＝3×0.5J ＝1.5J ；第3s 内，滑块的位移为x 3＝1×1m ＝1m ，力F 做的功为W 3＝F 3x 3＝2×1J ＝2J ，所以W 1<W 2<W 3，故选B.◆类型2变力功的分析与计算方法以例说法图例应用动能定理用力F 把小球从A 处缓慢拉到B 处，F 做功为W F ，则有：W F －mgL (1－cos θ)＝0，得W F ＝mgL (1－cos θ)微元法质量为m 的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f ＝F f ·Δx 1＋F f ·Δx 2＋F f ·Δx 3＋…＝F f (Δx 1＋Δx 2＋Δx 3＋…)＝F f ·2πR等效转换法恒力F 把物块从A 拉到B ，绳子对物块做功W ＝F ·(h sin α－h sin β)平均力法弹簧由伸长x 1被继续拉至伸长x 2的过程中，克服弹力做功W ＝kx 1＋kx 22·(x 2－x 1)图像法一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x 0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W ＝F 0＋F 12x 0【例2】(多选)如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是()A ．重力做功为mgLB ．绳的拉力做功为0C ．空气阻力F 阻做功为－mgLD ．空气阻力F 阻做功为－F 阻·12πL 答案ABD 解析小球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B 正确；空气阻力F 阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F 阻做功为－F 阻·12πL ，C 错误，D 正确．方法1利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．【变式3】如图所示，在一半径为R ＝6m 的圆弧形桥面的底端A ，某人把一质量为m ＝8kg 的物块(可看成质点)．用大小始终为F ＝75N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B (圆弧AB 在同一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g 取10m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求这一过程中：(1)拉力F 做的功；(2)桥面对物块的摩擦力做的功．答案(1)376.8J (2)－136.8J解析(1)将圆弧AB ︵分成很多小段l 1、l 2…l n ，拉力在每一小段上做的功为W 1、W 2…W n .因拉力F 大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W 1＝Fl 1cos 37°、W 2＝Fl 2cos 37°…W n ＝Fl n cos 37°所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos37°·16·2πR ≈376.8J.(2)重力G 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－240J ，因物块在拉力F 作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知W F ＋W G ＋W f ＝0所以W f ＝－W F －W G ＝－376.8J ＋240J ＝－136.8J.方法2用F －x 图像求变力做功在F －x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和就表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．【变式4】一物体所受的力F 随位移x 变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F 对物体做的功为()A ．3JB ．6JC ．7JD ．8J 答案B 解析力F 对物体做的功等于图线与横轴x 所包围面积的代数和，即W 1＝12×(3＋4)×2J ＝7J ；W 2＝－12×(5－4)×2J ＝－1J 所以力F 对物体做的功为W ＝7J －1J ＝6J.故选项B 正确．方法3用动能定理求变力做功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功．因为使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选．【变式5】(多选)如图所示，一个质量为m＝1kg的带孔小球穿在固定的粗糙水平长横杆上，小球与横杆间的动摩擦因数为μ＝0.6.某时刻小球获得一个水平向右的瞬时速度v0＝15m/s，同时小球受到一个竖直向上的作用力F，F与速度的平方成正比，比例常数为k＝0.4，重力加速度为g＝10m/s2，则小球运动的整个过程中()A．作用力F对小球做功为0B．作用力F对小球做功为－112.5J C．摩擦力对小球做功为－112.5J D．摩擦力对小球做功为－100J答案AD解析对小球受力分析可知，初始状态F＝kv2＝0.4v2，当v0＝15m/s，F0＝90N＞mg＝10N，则小球受力如图所示．因为小球所受的作用力F与位移方向垂直，所以作用力F对小球做功为零，A正确，B错误；“小球运动的整个过程中”指从初态至稳定状态的过程．由于小球受到杆的向下的弹力，小球受到与运动方向相反的沿杆的摩擦力f，但由于F＝kv2，随着小球的减速运动，导致F 减小．由于竖直方向上合力为零，则杆给小球的弹力F N 减小，当F ＝mg 时，小球达到匀速状态，有kv 22＝mg ，解得v 2＝5m/s ，在这个过程中弹力在变化，因此摩擦力是变力．在v 0＝15m/s 到v 2＝5m/s 过程中，小球受到重力mg ，向上的拉力F 、向下的弹力F N ，只有摩擦力做功，对小球用动能定理，有W f ＝12mv 22－12mv 20＝－100J ，D 正确，C 错误．方法4“转化法”求变力做功通过转换研究的对象，可将变力做功转化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解，如轻绳通过定滑轮拉动物体运动过程中拉力做功问题．【变式6】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O .现以大小不变的拉力F 拉绳，使滑块从A 点起由静止开始上升．滑块运动到C 点时速度最大．已知滑块质量为m ，滑轮O 到竖直杆的距离为d ，∠OAO ′＝37°，∠OCO ′＝53°，重力加速度为g .求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(1)拉力F 的大小；(2)滑块由A 到C 过程中拉力F 做的功．答案(1)53mg (2)2536mgd 解析(1)根据共点力的平衡条件，在C 点有F cos 53°＝mg ，解得F ＝53mg .(2)由能量的转化与守恒可知，拉力F 对绳端点做的功就等于绳的拉力F 对滑块做的功滑轮与A 间绳长L 1＝dsin 37°滑轮与C 间绳长L 2＝d sin 53°滑轮右侧绳子增大的长度ΔL ＝L 1－L 2＝d sin 37°－d sin 53°＝5d12拉力做功W ＝F ΔL ＝2536mgd .1．公式P ＝Wt和P ＝Fv 的区别P ＝Wt 是功率的定义式，P ＝Fv 是功率的计算式．2．平均功率的计算方法(1)利用P ＝W t.(2)利用P ＝F ·v cos α，其中v 为物体运动的平均速度．3．瞬时功率的计算方法(1)利用公式P＝Fv cosα，其中v为t时刻的瞬时速度．(2)P＝F·v F，其中v F为物体的速度v在力F方向上的分速度．(3)P＝F v·v，其中F v为物体受到的外力F在速度v方向上的分力．【例3】质量m＝20kg的物体，在大小恒定的水平外力F的作用下，沿水平面做直线运动.0～2s内F与运动方向相反，2～4s内F与运动方向相同，物体的v－t图像如图所示．g取10m/s2，则()A．拉力F的大小为100NB．物体在4s时拉力的瞬时功率为120WC．4s内拉力所做的功为480JD．4s内物体克服摩擦力做的功为320J答案B解析取物体初速度方向为正方向，由题图可知物体与水平面间存在摩擦力，由题图可知0～2s内，－F－f＝ma1且a1＝－5m/s2；2～4s内，－F＋f＝ma2且a2＝－1m/s2，联立以上两式解得F＝60N，f＝40N，A错误；由P ＝Fv，得4s时拉力的瞬时功率为120W，B正确；由W＝Fx,0～2s内，W1＝－Fx1，2～4s内，W2＝Fx2，由题图可知x1＝10m，x2＝2m，代入数据解得，4s 内拉力所做的功为－480J ，C 错误；摩擦力做功W ＝fs ，摩擦力始终与速度方向相反，故s 为路程，由题图可求得总路程为12m,4s 内物体克服摩擦力做的功为480J ，D 错误．【变式7】如图所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点．每根杆上都套着一个质量相等的小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从a 、b 、c 处由静止释放，用P 1、P 2、P 3依次表示各滑环从静止滑到d 过程中重力的平均功率，则()A ．P 1<P 2<P 3B ．P 1>P 2>P 3C ．P 3>P 1>P 2D ．P 1＝P 2＝P 3答案B解析对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，根据牛顿第二定律得小滑环做初速度为零的匀加速直线运动的加速度为a ＝g sin θ(θ为杆与水平方向的夹角)；由图中的直角三角形可知，小滑环的位移s ＝2R sin θ，所以t ＝2sa＝4Rg，t 与θ无关，即t 1＝t 2＝t 3；根据W ＝mgh 可知三个环重力做的功W 1>W 2>W 3，根据P ＝Wt 可知P 1>P 2>P 3，故B 正确，A 、C 、D 错误．1．两种启动方式两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动P －t 图和v －t 图OA 段过程分析v ↑⇒F ＝P不变v↓⇒a ＝F －F 阻m↓a ＝F －F 阻m不变⇒F 不变v ↑⇒P ＝Fv ↑直到P ＝P 额＝Fv 1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t 0＝v 1aAB 段过程分析F ＝F 阻⇒a ＝0⇒v m ＝P F 阻v ↑⇒F ＝P 额v ↓⇒a ＝F －F 阻m↓运动性质以v m 做匀速直线运动加速度减小的加速直线运动BC 段F ＝F 阻⇒a ＝0⇒以v m ＝P 额F 阻做匀速直线运动2.三个重要关系式(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m＝P F min ＝PF阻(式中F min为最小牵引力，其值等于阻力F阻)．(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝P额F<v m＝P额F阻.(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－F阻x ＝ΔE k.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小．【例4】(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶，该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)．动车组能达到的最大速度为v m.下列说法正确的是()A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为34v m D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度v m，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为12mv2m－Pt答案C解析动车组在匀加速启动过程中，F－kv＝ma，a不变，v增大，F则也增大，选项A错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，则4Pv－kv＝ma，知随着v增大，a减小，选项B错误；当动车组达到最大速度v m时，满足4Pv m－kv m＝0；若四节动力车厢总功率为2.25P，动车组匀速行驶时满足2.25Pv－kv＝0，联立可得v＝34v m，选项C正确；动车组从静止启动到达到最大速度v m，由动能定理得4Pt－W f＝12mv2m－0，解得W f＝4Pt－12mv2m，选项D错误．【变式8】某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v－t图像，如图所示(除2～10s时间段内的图像为曲线外，其余时间段图像均为直线)．已知小车运动的过程中，2～14s时间段内小车的功率保持不变，在14s末停止遥控而让小车自由滑行．小车的质量为1kg，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变．求：(1)小车所受到的阻力大小及0～2s时间内电动机提供的牵引力大小；(2)小车匀速行驶阶段的功率；(3)小车在0～10s 运动过程中位移的大小．答案(1)0.75N1.25N(2)2.25W(3)19.7m解析(1)由图象可得，在14～18s 内：a 3＝Δv 3Δt 3＝0－318－14m/s 2＝－0.75m/s 2小车受到阻力大小：f ＝m |a 3|＝0.75N 在0～2s 内：a 1＝Δv 1Δt 1＝12m/s 2＝0.5m/s 2由F －f ＝ma 1得，电动机提供的牵引力大小F ＝ma 1＋f ＝1.25N即小车所受到的阻力大小为0.75N,0～2s 时间内电动机提供的牵引力大小为1.25N.(2)在10～14s 内小车做匀速直线运动，F ′＝f故小车匀速行驶阶段的功率：P ＝F ′v ＝0.75×3W ＝2.25W.(3)根据速度－时间图象与时间轴围成的“面积”等于物体的位移，可得0～2s 内，x 1＝12×2×1m ＝1m2～10s 内，根据动能定理有：Pt －fx 2＝12mv 2－12mv 21解得：x 2＝18.7m故小车在加速过程中的位移为：x ＝x 1＋x 2＝19.7m 即小车在0～10s 运动过程中位移的大小为19.7m【变式9】一辆汽车在平直的公路上以某一初速度运动，运动过程中保持恒定的牵引功率，其加速度a 和速度的倒数1v 的图像如图所示．若已知汽车的质量，则根据图像所给信息，不能求出的物理量是()A ．汽车的功率B ．汽车行驶的最大速度C ．汽车受到的阻力D ．汽车运动到最大速度所需的时间答案D解析由F －F f ＝ma 、P ＝Fv 可得a ＝P m ·1v －F f m ，由a －1v 图象可知，Pm＝k ＝40m 2·s －3，可求出汽车的功率P ，由a ＝0时1v m ＝0.05m －1·s ，可得汽车行驶的最大速度v m ＝20m/s ，再由v m ＝PF f ，可求出汽车受到的阻力F f ，但无法求出汽车运动到最大速度所需的时间．。