-北京市师达中学 2020-2021 学年度第一学期阶段练习九年级 数 学 (12月月考 )

2020—2021年北师大版九年级数学上册期中试卷及答案【精品】 班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．﹣3的相反数是（ ）A ．13-B ．13C ．3-D ．32．若点A （1+m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则m+n 的值是（ ）A ．﹣5B ．﹣3C ．3D ．13．关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．44．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（） A ．0或2 B ．-2或2 C ．-2 D ．25．已知点A （m ，n ）在第二象限，则点B （|m|，﹣n ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）A ．主视图改变，左视图改变B ．俯视图不变，左视图不变C ．俯视图改变，左视图改变D ．主视图改变，左视图不变7．如图，等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD 上，∠EBC=45°，则∠ACE 等于（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°8．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=58°，则∠2的度数为（）A．30°B．32°C．42°D．58°9．如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交AB 于点D，以OC为半径的CE交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）A．12π+183B．12π+363C．6π+183D．6π+363 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿AB方向运动到点B．动点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AC CB方向运动到点B．设△APQ的面积为y（cm2）.运动时间为x（s），则下列图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．8-的立方根是__________．2．分解因式：3x－x=__________．3．函数2=-中，自变量x的取值范围是__________．y x4．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含a、b代数式表示）.5．如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是__________．6．如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=23+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：15102x x x x-+--＝22．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．3．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°,D 是BC 的中点，E 是AD 的中点．过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．4．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D 是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO （O 是坐标原点），求点D 的坐标；（3）点P 是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC ，y 轴与点E 、F ，若△PEB 、△CEF 的面积分别为S 1、S 2，求S 1-S 2的最大值．5．为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图：请根据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查一共抽取了名居民；（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品．6．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、D2、D3、C4、D5、D6、D7、A8、B9、C10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、-22、x （x+1）（x －1）3、2x ≥4、a+8b5、1276三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、x ＝7．2、（1）证明见解析（2）1或23、（1）略；（2）略；（3）10．4、（1）抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）点D 的坐标为（3，2）或（-5，-18）；（3）当t=85时，有S 1-S 2有最大值，最大值为165. 5、（1）50；（2）平均数是8.26；众数为8；中位数为8；（3）需要一等奖奖品100份．6、（1）到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座；（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%.。

北京市师达中学2022-2023学年度第一学期阶段性练习初三数学2022.11一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．2．二次函数22(3)1=-+y x 的图象的顶点坐标是A ．（2，3）B ．（2，1）C ．（3，1-）D ．（3，1）3．用配方法解方程x 2＋4x ＝1，变形后结果正确的是A ．(x ＋2)2＝5B ．(x ＋2)2＝2C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝24．不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别。

从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是A ．25B ．35C ．23D ．125．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，若50AOB ∠=︒，则ACB ∠的度数是A ．75°B ．50°C ．25°D ．100°6．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC 中，以C 为中心，将△ABC 顺时针旋转35°得到△DEC ，边ED ，AC 相交于点F ，若∠A =30°，则∠EFC 的度数为A ．60°B ．65°C ．72.5°D ．115°8．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,y -，()22,y ，()34,y 在抛物线22y ax ax c=-+上．当0a >时，下列说法一定正确的是A ．若120y y <，则30y >B ．若230y y >，则10y <C ．若130y y <，则20y >D ．若1230y y y =，则20y =二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系xOy 中，点（4，7-）关于原点的对称点坐标为________．10．写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的解析式．11．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个根为1，则m 的值为_______．12．若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++≠的示意图如图所示,则b ______0(填“>”或“=”或“<”)．14．如图，直线332y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，AOB ∆绕点A 顺时针旋转90︒后得到△AO B ''，则点B 的对应点B '的坐标为．15．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.种子个数100400900150025004000发芽种子个数92352818133622513601发芽种子频率0.920.880.910.890.900.90根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为_______.（保留一位小数）16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点()0,2A ,()0,8B ，⊙M 为△ABP 的外接圆．（1）点M 的纵坐标为；（2）当∠APB 最大时，点P 的坐标为．三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解一元二次方程：2230x x --=．18．如图，将ABC ∆绕点B 旋转得到DBE ∆，且A ，D ，C 三点在同一条直线上．求证：DB平分ADE ∠．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x m =-+的图象过点(1,3)A ，且与x 轴交于点B ．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）若二次函数2y ax bx =+图象过A ，B 两点，直接写出关于x 的不等式2ax bx x m +>-+的解集．20．下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.已知：如图1，⊙O 和⊙O 外一点P ．求作：过点P 的⊙O 的切线．作法：如图2，（1）连结OP ，作线段OP 的中点M ；图1（2）以M 为圆心，MP 的长为半径作圆，交⊙O 于点A ，B ；（3）作直线．．P A 和PB .直线．．PA ，PB 即为所求作⊙O 的切线．请在图2中补全图形，并完成下面的证明．证明：连接OA图2由作法可知，OP 为⊙M 的直径，∴∠OAP =90°（）（填推理的依据）∴OA ⊥PA ∵点A 在⊙O 上∴直线PA 是圆的切线（）（填推理的依据）同理，直线PB 也是圆的切线．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0），B（4，－3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A´．（1）画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′的坐标；（2）求点B经过的路径¼'BB的长（结果保留π）.22.如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25°，求∠APB的度数.23．如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为x m，窗户的透光面积为y m2（铝合金条的宽度不计）．（1）求出y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．已知关于x 的方程2(3)30(mx m x m +--=为实数，0)m ≠．（1）求证：此方程总有两个实数根．（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值．25．如图，AB 是O e 的直径，直线MC 与O e 相切于点C .过点A 作MC 的垂线，垂足为D ，线段AD 与O e 相交于点E .（1）求证：AC 是∠DAB 的平分线；（2）若10,AB AC ==，求AE 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n ）在抛物线2y x bx =-+上．（1）若m ＝0，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线x t =，①直接写出t 的取值范围；②已知点A （－1，y 1），B （32，y 2），C （3，y 3）在该抛物线上．比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．27．点M为正方形ABCD的边BC延长线上一点，（1）如图1，当BC=CM=3时，连接AM，DM，则∠BMD=°，AM=；（2）如图2，将射线BM绕点B逆时针旋转α（0°<α<40°）得到射线BF，作AH⊥BF于点H，在射线BF上取点E，使得BE=2AH，连接DE．①依题意补全图形；②猜想∠BED的度数，并证明.图1图228．在平面直角坐标系xOy 中，已知⊙O 的半径为2，对于点P ，直线l 和⊙O ，给出如下定义：若点P 关于直线l 对称的点在⊙O 上或⊙O 的内部，则称点P 为⊙O 关于l 的反射点．（1）已知直线l 为直线3x =，①在点P 1（4，0），P 2（4，1），P 3（5，1）中，是⊙O 关于l 的反射点的有；②若点P 为x 轴上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的横坐标的最大值为；（2）已知直线l 的解析式为()20y kx k =+≠，①当1k =-时，若点P 为直线185x =上的动点，且点P 为⊙O 关于l 的反射点，则点P 的纵坐标t 的取值范围是；②点B ，3），C ，1），若线段BC 的任意一点都为⊙O 关于l 的反射点，则k 的取值范围是．。

北京市师达中学2024-2025学年九年级上学期数学第一次月考试题一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．二次函数y ＝(x －2)2＋3的最小值是( )A ．3B ．2C ．－2D ．－33．关于x 的方程()2120a x x -+-=是一元二次方程，则a 满足（ ）A ．1a ≠B ．1a ≠-C ．1a ≠±D ．为任意实数 4．将抛物线221y x =-向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A ．()2232y x =++B ．()=-+2y 2x 31 C ．()2232y x =-+ D ．()2231y x =++ 5．如图，五角星旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒6．三角形的外心是（ ）A ．三角形三条高线的交点B ．三角形三条中线的交点C ．三角形三条内角角平分线的交点D ．三角形三边垂直平分线的交点 7．如图，AB 为O e 的切线，切点为A ，BO 交O e 于点C ，点D 在O e 上．若ABO ∠的度数是32︒，则ADC ∠的度数是（ ）A ．32︒B ．29︒C ．58︒D ．26︒8．小明以二次函数246y x x =-+的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若4AB =，2DE =，则杯子的高CE 为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题9．若关于x 的一元二次方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是．10．已知2x =是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则2m n +的值是．11．已知()()12,3,1,y y 在二次函数2(1)y x =-的图象上，则1y 2y （填“>”，“<”或“=”）．12．如图，OAB △中，40AOB ∠=︒，将O A B △绕点O 逆时针旋转得到11OA B V，若1140AOB ∠=︒，则1AOA ∠的度数为．13．如图，AB 是O e 的直径，弧BC =弧CD =弧DE ，若75AOE ∠=︒，则BOC ∠=°．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若四边形ABCD 的外角∠DCE =65°，则∠BAD 的度数是．15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为．16．如图，ABC V 与CDE V 都是等边三角形，连接AD ，BE ，8CD =，4BC =，若将CDE V 绕点C 顺时针旋转，当点A 、C 、E 在同一条直线上时，线段BE 的长为．三、解答题17．解方程：24120x x --=．18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB △的顶点坐标分别为O 0,0 ，A 5,0 ，()4,3B -．在同一直角坐标内完成以下作图．(1)将OAB △绕点O 顺时针旋转90︒得到OA B ''△，点A 的对应点为A '，画出旋转后的图形OA B ''△；(2)OAB △与OA B ''''V 关于原点对称，点A 的对应点为A ''，画出OA B ''''V ．19．已知：关于x 的一元二次方程()2102x k k x -+-+=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)若方程的有一个根大于3，求k 的取值范围20．已知二次函数2:43C y x x =-+．(1)将243y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式；(2)根据函数图象完成以下问题：①当03x ≤≤时，y 的取值范围为________；②当3y <时，x 的取值范围为________．21．已知：A ，B 是直线l 上的两点．求作：V ABC ，使得点C 在直线l 上方，且AC =BC ，30ACB ∠=︒．作法：①分别以A ，B 为圆心，AB 长为半径画弧，在直线l 上方交于点O ，在直线l 下方交于点E ；②以点O 为圆心，OA 长为半径画圆；③作直线OE 与直线l 上方的⊙O 交于点C ；④连接AC ，BC ．V ABC 就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OA ，OB ．∵OA ＝OB ＝AB ，∴V OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∵A ，B ，C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝12∠AOB （）（填推理的依据）． ∴30ACB ∠=︒．由作图可知直线OE 是线段AB 的垂直平分线，∴AC =BC （）（填推理的依据）．∴V ABC 就是所求作的三角形．22．如图，利用一面墙（墙的长度不限），另三边用20m 长的篱笆围成一个面积为50m 2的矩形场地，求矩形的长和宽各是多少．23．如图，在三角形ABC V 中，120BAC ∠=︒，以BC 为边作等边三角形BCD △，把ABD △绕着点D 按顺时针方向旋转60︒后得到ECD V ．若3AB =，2AC =．(1)求证：点A ，C ，E 在同一条直线上；(2)求AD 的长．24．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．(1)建立如图所示的平面直角坐标系．对某只野兔一次跳跃中水平距离x （单位：m ）与竖直高度y （单位：m ）进行测量，得到以下数据：根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最大竖直高度为m ；②求满足条件的抛物线的解析式．(2)在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方1.8m 处有宽为0.8m 的小溪，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过小溪．25．如图，AB 是O e 的直径，M 是OA 的中点，弦CD AB ⊥于点M ，过点D 作DE CA ⊥交CA 的延长线于点E ．(1)连接OD ，求AOD ∠的度数；(2)求证：DE 与O e 相切；(3)点F 在弧上，45CDF ∠=︒，DF 交AB 于点N ．若6DE =，求FN 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点 ()()()2,2,,A y B y C m y -₁，₂，₃在抛物线 ²3y ax bx =++(0)a >上．设抛物线的对称轴为直线x =t ．(1)若 3y =₁，求t 的值；(2)若当 12t m t +<<+时，都有 y y y >>₁₃₂，求t 的取值范围．27．如图，将线段AB 绕点A 逆时针旋转α度（0180α︒<<︒）得到线段AC ，连结BC ，点N 是BC 的中点，点D ，E 分别在线段AC ，BC 的延长线上，且CE DE =．(1)EDC ∠=________（用含α的代数式表示）；(2)连结BD ，点F 为BD 的中点，连接AF ，EF ，NF ．①依题意补全图形；②若AF EF ⊥，用等式表示线段NF 与CE 的数量关系，并证明． 28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点T ，(),M a b ，(),0N n ，给出如下定义：若点N 以点T 为中心逆时针旋转90︒后，能与点M 重合，则称点T 为线段MN 的“完美等直点”．(1)如图1，当0a =，2b =，2n =时，线段MN 的“完美等直点”坐标是______；(2)如图2，当0a =，2n =时，若直线2y x =+上的一点T ，满足T 是线段MN 的“完美等直点”，求点T 的坐标及b 的值；(3)当24n -≤≤时，若点(),M a b 在以()1,1点T 为线段MN 的“完美等直点”，直接写出点T 的横坐标t 的取值范围．。

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．方程x （x ﹣5）=x 的解是（ ）A ．x=0B ．x=0或x=5C ．x=6D ．x=0或x=62．已知一个矩形的面积为24cm 2，其长为ycm ，宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是A ．B ．C ．D ．3．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－1B ．k≥－1C ．k ＜－1D ．k≤－14．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A ．DC a b =+B ．DC a b =-； C ．DC a b =-+D ．DC a b =--． 5．下列计算中，结果是6a 的是A ．24a a +B ．23a a ⋅C ．122a a ÷D ．23()a6．《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E . 1CE =寸，10AB =寸，则可得直径CD 的长为（ ）A ．13寸B ．26寸C ．18寸D ．24寸 7．不等式11x x ≥﹣﹣的解集是（ ）A ．1x ≥B ．1x ≥﹣C ．1x ≤D ．1x ≤﹣8．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，以△ABC 的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF ，GH ，DJ ，如果△ABC 的面积为8，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．28B ．24C ．20D ．1610．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，这个数用科学记数法表示（ ）A ．44410⨯B ．84.410⨯C ．94.410⨯D ．104.410⨯二、填空题(每小题3分,共24分)11．计算：2sin 245°﹣tan45°＝______． 12．一元二次方程240x x -=的解是_________.13．抛物线29y x =-与y 轴的交点做标为__________．14．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A 、B 两点之间有障碍物，现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xOy 中（如图），已知点A ，B 的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y ＝ax 2﹣4ax ﹣5a 运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a 的取值范围是_____．15．如图，AB CD ∥，AD 与BC 交于点O ，已知4AB =，3CD =，2OD =，那么线段OA 的长为__________．16．如图，在△ABC 中，∠BAC=35°，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转50°，得到△AB′C′，则∠B′AC 的度数是 ．17．分式方程22124x x x -=--的解为______________. 18．抛物线y ＝12（x ﹣2）2的顶点坐标是_____． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G .（1）求CD 的长.（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值. （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得60CPG ∠=︒?20．（6分）如图，已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3图象与x 轴分别交于点B 、D ，与y 轴交于点C ，顶点为A ，分别连接AB ，BC ，CD ，DA ． （1）求四边形ABCD 的面积；（2）当y ＞0时，自变量x 的取值范围是 ．21．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y （℃）和通电时间x （min ）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x ≤8和8＜x ≤a 时，y 和x 之间的关系式；（2）求出图中a 的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．22．（8分）阅读下面材料后，解答问题．分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：201x x ->+，2301x x +<-等．那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知，两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： （1）若0a >，0b >，则0a b >，若0a <，0b <，则0a b>； （2）若0a >，0b <，则0a b <，若0a <，0b >，则0a b <．反之，（1）若0a b >，则0,0,a b >⎧⎨>⎩或0,0;a b <⎧⎨<⎩（3）若0a b <，则__________或_____________．根据上述规律，求不等式201x x ->+，的解集，方法如下： 由上述规律可知，不等式201x x ->+，转化为①2010x x ->⎧⎨+>⎩或②2010x x -<⎧⎨+<⎩解不等式组①得2x >，解不等式组②得1x <-． ∴不等式201x x ->+，的解集是2x >或1x <-． 根据上述材料，解决以下问题：A 、求不等式2301x x +<-的解集 B 、乘法法则与除法法则类似，请你类比上述材料内容，运用乘法法则，解决以下问题：求不等式(1)(23)0x x +->的解集．23．（8分）如图，抛物线21y=x bx c 2-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA=2，OC=1． (1)求抛物线的解析式．(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BDP 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．注：二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴是直线x =b 2a-.24．（8分）今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．25．（10分）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，请直接写出AE的长．26．（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】先移项，然后利用因式分解法解方程．【详解】解：x（x﹣5）﹣x=0，x（x﹣5﹣1）=0，x=0或x﹣5﹣1=0，∴x1=0或x2=1．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2、D【详解】根据题意有：xy=24；且根据x，y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．故选D．3、C【解析】试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.由题意得，解得故选C.考点：一元二次方程的根的判别式点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．4、C【分析】由平行四边形性质，得DC AB=，由三角形法则，得到OA AB OB+=，代入计算即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC AB=，∵OA a=，=，OB b在△OAB中，有OA AB OB+=，∴AB OB OA b a a b=-=-=-+，∴DC a b=-+；故选择：C.【点睛】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．5、D【解析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.【详解】解：A、a2+a4≠a6，不符合；B、a2•a3=a5，不符合；C、a12÷a2=a10，不符合；D、(a2)3=a6，符合.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方．需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.6、B【分析】根据垂径定理可知AE的长．在Rt△AOE中，运用勾股定理可求出圆的半径，进而可求出直径CD的长．【详解】⊥连接OA，AB CD由垂径定理可知，点E是弦AB的中点，1AE=AB=52--OE=OC CE=OA CE设半径为r，由勾股定理得，22222+-OA=AE OE=OA+（OA CE）即222r =5（r-1）+ 解得：r=13所以CD=2r=26，即圆的直径为26，故选B ．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的性质和求法，熟练掌握相关性质是解题的关键.7、C【解析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解．【详解】解：11x x ≥﹣﹣，22x ≥﹣﹣1x ∴≤故选：C ．【点睛】考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．8、B【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B ．故选B ．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9、B【分析】过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ，根据全等三角形的性质得到EM ＝CN ，于是得到S △AEF ＝S △ABC ＝8，同理S △CDJ ＝S △BHG ＝S △ABC ＝8，于是得到结论．【详解】解：过E 作EM ⊥FA 交FA 的延长线于M ，过C 作CN ⊥AB 交AB 的延长线于N ，∴∠M ＝∠N ＝90°，∠EAM+∠MAC ＝∠MAC+∠CAB ＝90°，∴∠EAM=∠CAB∵四边形ACDE 、四边形ABGF 是正方形，∴AC=AE，AF ＝AB ，∴∠EAM ≌△CAN ，∴EM ＝CN ，∵AF＝AB，∴S△AEF＝12AF•EM，S△ABC＝12AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24，故选：B．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，正确的作辅助线是解题的关键．10、C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将4400000000用科学记数法表示为4.4×109.故选C.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．二、填空题(每小题3分,共24分)11、0【解析】原式=22121=2122⎛⎫⨯-⨯-⎪⎪⎝⎭=0，故答案为0.12、x1=0，x2=4【分析】用因式分解法求解即可.【详解】∵240x x-=，∴x(x-4)=0,∴x1=0，x2=4.故答案为x1=0，x2=4.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.13、(0，9)【分析】令x=0，求出y的值，然后写出交点坐标即可．【详解】解：x=0时，y=-9，所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-9）．故正确答案为：(0，-9)．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法．14、﹣45＜a＜47【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：∵点A、B坐标分别为（0，1），（6，1），∴线段AB的解析式为y＝1．机器人沿抛物线y＝ax2﹣1ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，机器人在运动过程中只触发一次报警，所以抛物线与线段y＝1只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．∴﹣5a＜1解得a＞﹣45．1＝ax2﹣1ax﹣5a，△＝0即36a2+16a＝0，解得a 1＝0（不符合题意，舍去），a 2＝49． 当抛物线恰好经过点B 时，即当x ＝6，y ＝1时，36a ﹣21a ﹣5a ＝1，解得a ＝47综上：a 的取值范围是﹣45＜a ＜47 【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用.15、83【分析】根据平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例得到OA ：OD ＝AB ：CD ，然后利用比例性质计算OA 的长．【详解】∵AB ∥CD ，∴OA ：OD ＝AB ：CD ，即OA ：2＝4：3，∴OA ＝83． 故答案为83． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．16、15°【分析】先根据旋转的性质，求得∠BAB'的度数，再根据∠BAC=35°，求得∠B′AC 的度数即可．【详解】∵将ABC 绕点A 顺时针方向旋转50°得到AB C ''△，∴50BAB '∠=︒，又∵35BAC ∠=︒，∴503515B AC '∠=︒-︒=︒，故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．17、1x =-；【解析】方程两边都乘以（x+2）（x-2）得到x （x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，然后进行检验确定分式方程的解． 【详解】解：22124x x x -=-- 去分母得x （x+2）-2=（x+2）（x-2），解得x=-1，检验：当x=-1时，（x+2）（x-2）≠0，所以原方程的解为x=-1．故答案为x=-1．【点睛】本题考查解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，然后把整式方程的解代入分式方程进行检验，最后确定分式方程的解．18、（2，0）．【分析】已知条件的解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标.【详解】解：∵抛物线解析式为y ＝12（x ﹣2）2， ∴二次函数图象的顶点坐标是（2，0）．故答案为（2，0）．【点睛】本题的考点是二次函数的性质.方法是根据顶点式的坐标特点写出答案.三、解答题(共66分)19、（1）DC =；（2）23EF DF =；（3）当DM =DM <<P 只有一个. 【解析】（1）由角平分线定义得30DAC ∠=︒，在Rt ADC ∆中，根据锐角三角函数正切定义即可求得DC 长.（2）由题意易求得BC =BD =ASA 得DFM AGM ∆≅∆，根据全等三角形性质得DF AG =，根据相似三角形判定得~BFE BGA ∆∆，由相似三角形性质得EF BE BD AG AB BC==，将DF AG =代入即可求得答案. （3）由圆周角定理可得CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当Q 与DE 相切时，结合题意画出图形，过点Q 作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG ，设Q 半径为r ，由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长； ②当Q 经过点E 时，结合题意画出图形，过点C 作CK AB ⊥，设Q 半径为r ，在Rt EQK ∆中，根据勾股定理求得r ，再由相似三角形的判定和性质即可求得DM 长；③当Q 经过点D 时，结合题意画出图形，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，由此可得DM 长.【详解】（1）解：∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， ∴1302DAC BAC ∠=∠=︒． 在Rt ADC ∆中，tan 3023DC AC =⋅︒=（2）解：易得，63BC =，43BD =．由DE AC ，得EDA DAC ∠=∠，DFM AGM ∠=∠．∵AM DM =，∴DFM AGM ∆≅∆，∴AG DF =．由DEAC ，得~BFE BGA ∆∆， ∴EF BE BD AG AB BC== ∴432363EF EF BD DF AG BC ==== （3）解：∵60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ，∴CQG ∆是顶角为120°的等腰三角形.①当Q 与DE 相切时，如图1，过Q 点作QH AC ⊥，并延长HQ 与DE 交于点P ，连结QC ，QG设Q 的半径QP r =则12QH r =，1232r r +=解得433r =． ∴43343CG =⨯=，2AG =． 易知DFM AGM ∆∆，可得43DM DF AM AG ==，则47DM AD = ∴1637DM =． ②当Q 经过点E 时，如图2，过C 点作CK AB ⊥，垂足为K ．设Q 的半径QC QE r ==，则33-QK r =．在Rt EQK ∆中，()221332r r +-=，解得1439r =， ∴14143393CG =⨯= 易知DFMAGM ∆∆，可得1435DM = ③当Q 经过点D 时，如图3，此时点M 与点G 重合，且恰好在点A 处，可得43DM =综上所述，当DM =DM <<时，满足条件的点P 只有一个. 【点睛】 本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．20、（1）4；（2）x ＞3或x ＜1．【分析】（1）四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）＝12×2×（3+1）＝4； （2）从图象可以看出，当y ＞0时，自变量x 的取值范围是：x ＞3或x ＜1，即可求解．【详解】（1）函数y ＝x 2﹣4x +3图象与x 轴分别交于点B 、D ，与y 轴交于点C ，顶点为A ，则点B 、D 、C 、A 的坐标分别为：（3，0）、（1，0）、（0，3）、（2，﹣1）；四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）＝12×2×（3+1）＝4； （2）从图象可以看出，当y ＞0时，自变量x 的取值范围是：x ＞3或x ＜1，故答案为：x ＞3或x ＜1．【点睛】本题考查二次函数的图形和性质，解题时需注意将四边形的面积转化为三角形的面积进行计算，四边形ABCD 的面积＝12×BD ×（x C ﹣x A ）. 21、（1）当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a 时，y=800x ；（2）40；（3）要在7：50～8：10时间段内接水． 【分析】（1）当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，即可求得k 1、b 的值，从而得一次函数的解析式；当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x ，将(8，100)的坐标代入y ＝2k x，求得k 2的值，即可得反比例函数的解析式；（2）把y ＝20代入反比例函数的解析式，即可求得a 值；（3）把y ＝40代入反比例函数的解析式，求得对应x 的值，根据想喝到不低于40 ℃的开水，结合函数图象求得x 的取值范围，从而求得李老师接水的时间范围．【详解】解： (1)当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20.当8＜x ≤a 时，设y ＝2k x， 将(8，100)的坐标代入y ＝2k x ， 得k 2＝800∴当8<x ≤a 时，y ＝800x. 综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20；当8＜x ≤a 时，y ＝800x(2)将y ＝20代入y ＝800x ， 解得x ＝40，即a ＝40.(3)当y ＝40时，x ＝80040＝20 ∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．【点睛】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，是一个分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．22、（3）00a b >⎧⎨<⎩或00a b <⎧⎨>⎩；A 、312x -<<；B 、32x >或1x <- 【分析】（3）根据两数相除，异号得负解答；A ：先根据两数相除，同号得正，异号得负，把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．B ：先根据两数相乘，同号得正，异号得负，把不等式转化成不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法求解即可．【详解】解：（3）若0a b <，则00a b >⎧⎨<⎩或00a b <⎧⎨>⎩； A ： ∵2301x x +<-， 由题意得：∴①23010x x +>⎧⎨-<⎩或②23010x x +<⎧⎨->⎩解①得312x -<<，解②无解 ∴不等式2301x x +<-的解集是312x -<< B ：求不等式(1)(23)0x x +->的解集解：由题意得：①10230x x +>⎧⎨->⎩或②10230x x +<⎧⎨-<⎩解不等式组①得32x >， 解不等式组②得1x <-∴不等式(1)(23)0x x +->的解集是32x >或1x <-， 【点睛】 本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解不等式转化为不等式组的方法是解题的关键．23、（2）211y=x x 322-++（2）P （12，54） 【详解】解：（2）∵OA=2，OC=2，∴A （－2，0），C （0，2）．将C （0，2）代入21y=x bx c 2-++得c=2． 将A （－2，0）代入21y=x bx 32-++得，()()210=22b 32-⋅-+-+， 解得b=12， ∴抛物线的解析式为211y=x x 322-++； （2）如图：连接AD ，与对称轴相交于P ，由于点A 和点B 关于对称轴对称，则BP+DP=AP+DP ，当A 、P 、D 共线时BP+DP=AP+DP 最小．设直线AD 的解析式为y=kx+b ，将A （-2，0），D （2，2）分别代入解析式得， 2k b 0?2k b 2-+=⎧⎨+=⎩，解得，1k ?2b 1⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AD 解析式为y=12x+2． ∵二次函数的对称轴为1 12x 1222=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴当x=12时，y=12×12+2=54． ∴P （12，54）．24、（1）y=﹣2x+340（20≤x≤40）；（2）5200【解析】试题分析：（1）待定系数法求解可得；（2）根据：总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W的最大值．试题解析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．考点：二次函数的应用25、（1）证明见解析；（2）y=x2-x+1=（x-22）2+12；（3）AE的长为2或12．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC∴∠B=∠C=∠ADE=45°∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE∴∠BAD=∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）得△ABD∽△DCE，∴BDEC=ABCD，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴2，2，EC=1-y，∴1xy2-x∴y=x2-x+1=（x-22）2+12；（3）当AD=DE 时，△ABD ≌△CDE ，∴BD=CE ，∴x=1-y ，即x-x 2=x ， ∵x ≠0，∴等式左右两边同时除以x 得：-1∴，当AE=DE 时，DE ⊥AC ，此时D 是BC 中点，E 也是AC 的中点，所以，AE=12； 当AD=AE 时，∠DAE=90°，D 与B 重合，不合题意；综上，在AC 上存在点E ，使△ADE 是等腰三角形，AE 的长为或12． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．26、y ＝x 2﹣2x ．【分析】根据抛物线经过原点可得c=0，根据对称轴公式求得b ，即可求得其解析式．【详解】∵抛物线y ＝x 2+bx+c 经过原点，∴c ＝0，又∵抛物线y ＝x 2+bx+c 的对称轴为x ＝1， ∴﹣2b ＝1， 解得b ＝﹣2∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．。

2020-2021学年度北师大版数学九年级上册同步练习：2.3用公式法求解一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a 、b 、c 的值．对于方程-4x 2+3=5x ，下列叙述正确的是（ ）A ．a 4=-，b 5=，c 3=B ．a 4=-，b 5=-，c 3=C ．a 4=，b 5=，c 3=D ．a 4=，b 5=-，c 3=-2．以为根的一元二次方程可能是（ ） A ．x 2+bx+c=0 B ．x 2+bx ﹣c=0 C ．x 2﹣bx+c=0 D ．x 2﹣bx ﹣c=0 3．方程2x 2-6x+3=0较小的根为p ，方程2x 2-2x-1=0较大的根为q ，则p+q 等于( ) A ．3B ．2C ．1D ．4．下列方程适合用求根公式法解的是（ ）A ．（x ﹣3）2=2B ．325x 2﹣326x+1=0C ．x 2﹣100x+2500=0D ．2x 2+3x ﹣1=05．用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、26．方程2x 2﹣3=0的两根是（ ）A ．B ．C ．D ．7．解一元二次方程x 2﹣2x ﹣5=0，结果正确的是（ ）A ．x 1=﹣，x 2=﹣1B ．x 1，x 2=1C ．x 1=7，x 2=5D ．x 1x 2=18．关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k -++=的根的情况是（ ）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（）A．6 B．5 C．4 D．310．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二、填空题11．一元二次方程ax2﹣2x+4=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围为_____．12．如果关于x的方程x2+kx+9=0有两个相等的实数根，那么k的值为_____．13．如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是．14．方程2x2﹣3x﹣4=0的根的情况是_____．15．已知等腰三角形的一腰为x，周长为20，则方程x2﹣12x+31=0的根为_____．16．若m＞n＞0，m2+n2=4mn，则22m nmn的值等于_____．三、解答题17．用公式法解方程：①4x2﹣x+1=0；②x2x﹣3=0．18．先阅读，再填空解题：①方程x2﹣x﹣6=0的根是x1=3，x2=﹣2，则x1+x2=1，x1x2=﹣6；②方程2x2﹣7x+3=0的根是x1=12，x2=3，则x1+x2=72，x1x2=32．根据以上①②你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，且a、b、c为常数，b2﹣4ac≥0）有两根x1、x2，那么x1+x2、x1x2与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．利用公式法求出方程的根即可．19．阅读并回答问题．求一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根（用配方法）．解：ax 2+bx+c=0，∵a≠0，∴x 2+b a x+c a=0，第一步 移项得：x 2+b a x=﹣c a，第二步 两边同时加上（2b a ）2，得x 2+b a x+（ ）2=﹣c a +（2b a ）2，第三步整理得：（x+2b a ）2=2244b ac a -直接开方得x+2b a∴，∴x 1=2b a -+，x 2=2b a-，第五步 上述解题过程是否有错误？若有，说明在第几步，指明产生错误的原因，写出正确的过程；若没有，请说明上述解题过程所用的方法．20．已知关于x 的方程（m+1）x 2+2mx+（m ﹣3）=0有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）m 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个实数根．参考答案1．B【分析】用公式法求一元二次方程时，首先要把方程化为一般形式．【详解】∵-4x2+3=5x∴-4x2-5x+3=0，或4x2+5x-3=0∴a=-4，b=-5，c=3或a=4，b=5，c=-3．故选B．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程的应用条件，首先要把方程化为一般形式．2．D【解析】【分析】根据求根公式确定二次项系数、一次项系数和常数项进行对比．【详解】根据求根公式可得，-b是一次项系数，二次项系数是1或-1，常数项是-c或c．所以，符合题意的只有D选项．故选：D．【点睛】考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．3．B【解析】试题分析：2x2－6x＋3＝0，这里a＝2，b＝－6，c＝3，∵△＝36－24＝12，∴x，即p 2x 2－2x －1＝0，这里a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，∵△＝4＋8＝12，∴x ，即q ＝12；则p ＋q 12＝2． 故选：B ．点睛：此题考查了解一元二次方程－公式法，利用此方法解方程时，首先找出a ，b ，c ，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式求出解． 4．D【解析】【分析】根据方程的特点及各方法的优缺点解答．【详解】A 选项：此方程适合直接开平方法求解；B 选项：此方程适合因式分解法求解；C 选项：此方程适合因式分解法求解；D 选项：此方程适合公式法求解；故选：D ．【点睛】考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．D【解析】∵3x 2+4=12x ，∴3x2-12x+4=0，∴a=3，b=-12，c=4，∴x=，故选D.6．B【解析】【分析】利用求根公式解方程.【详解】方程：﹣3=0中∴故选：B.【点睛】考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．7．B【解析】【分析】用配方法解方程，求出方程的解即可．【详解】方程两边同加上1，得x2-2x-5+1=1，即x2-2x+1=6，配方得（x-1）2=6，开方得∴x1，x2=1故选：B.【点睛】查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，本题运用的是配方法．8．A【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.【详解】()2x k 3x k 0-++=， △=[-(k+3)]2-4k=k 2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．9．B【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，∴△=22=4×1×(m −2)≥0，解得：m ≤3，又∵m 为正整数，∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；（2）当m=2时，原方程为x2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；（3）当m=3时，原方程为x2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；∴ m=2或m=3符合题意，∴m的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若方程有两个实数根，则△=b2−4ac≥0”是解答本题的关键.10．B【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．11．a＜14且a≠0．【解析】【分析】由于方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可知△＞0，即4-16a＞0，解即可．【详解】：∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4-16a＞0，解得a＜14，∵ax2-2x+4=0是一元二次方程，∴a≠0，故答案是：a＜14且a≠0．【点睛】考查了根的判别式，解题的关键是注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根．12．±6．【解析】【分析】若一元二次方程有两相等根，则根的判别式△=b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值．【详解】∵方程有两相等的实数根，∴△=b2-4ac=k2-36=0，解得k=±6．故答案是：±6．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式的应用，不是很难，解题的关键是根据根的情况列出有关k 的方程．13．c＞9【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（-6）2-4c＜0，再解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（-6）2-4c＜0，即36-4c＜0，解得：c＞9．故答案为c＞9．14．方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】∵△=（-3）2-4×2×（-4）=41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案是：方程有两个不相等的实数根．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．15．【解析】【分析】求出方程的解得到x的值，即为腰长，检验即可得到方程的解．【详解】方程x2-12x+31=0，变形得：x2-12x=-31，配方得：x2-12x+36=5，即（x-6）2=5，开方得：解得：当则方程x2-12x+31=0的根为故答案是：【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，三角形的三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握求根公式是解本题的关键．16．．【解析】【分析】根据已知条件求得，；然后将所求的代数式转化为含有m+n、m-n的形式的代数式，并将，代入求值即可．【详解】∵m＞n＞0，m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m-n）2=2mn，∴∴22m n mn -=()()m n m n mn +-==故答案是：【点睛】考查了完全平方公式的运用,解题关键是根据已知条件将m+n 、m-n 用所求代数式的分母mn 表示的形式.17．（1）x 1=12，x 2=12；（2）x 1=2，x 2=2； 【解析】【分析】分别找出各方程中a ，b ，c 的值，计算判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【详解】①4x 2﹣x+1=0中的a=4，b=﹣，c=1，∵△=32﹣16=16，∴；（2）这里a=1，b=，c=﹣3，∵△=2+12=14，∴． 【点睛】考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．18．∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a ，理由见解析． 【解析】【分析】分别根据公式法求得方程的解，再求x 1+x 2、x 1x 2的值.【详解】猜想方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2，满足x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a．∵b 2﹣4ac≥0，∴x 12x =， ∴x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a． 【点睛】 考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b 2-4ac 的符号．19．有错误，在第四步，错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤见解析.【解析】【分析】①检查原题中的解题过程是否有误：在第四步时，在开方时对b 2-4ac 的值是否是非负数没有进行讨论；②更正：分类讨论b 2-4ac≥0和b 2-4ac ＜0时，原方程的根是什么．【详解】解：有错误，在第四步．错误的原因是在开方时对b 2﹣4ac 的值是否是非负数没有进行讨论．正确步骤为：（x+2b a ）2=2244b ac a- ， ①当b 2﹣4ac≥0时，x+2b ax+2b a，∴x 1x 2． ②当b 2﹣4ac ＜0时，原方程无解．【点睛】考查解一元二次方程：注：（1）公式法与配方法不能混淆，求根公式是由一元二次方程的一般式用配方法推导出来的．（2）用公式法解方程时，先化为一般形式，再利用公式求解．（3）求解过程中，要先判断b2-4ac的符号．20．(1)当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；(2) m=﹣32, x1=x2=﹣3【解析】【分析】（1）根据题意，分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况分析讨论即可；（2）由题意可知，此时原方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式求出m的值，并将所得的m的值代入原方程，再解所得方程即可.【详解】（1）关于x的方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根，分两种情况讨论如下：①当m+1=0即m=﹣1时，原方程是一元一次方程，此时方程为﹣2x﹣4=0，必有实数根；②当m+1≠0时，此时原方程是一元二次方程，∵此时原方程有实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12≥0，解得：m≥﹣32且m≠﹣1；综上可知，当m≥﹣32时，方程（m+1）x2+2mx+（m﹣3）=0有实数根；（2）∵关于x的方程（m﹣1）x2+（2m﹣1）x+m﹣2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×（m+1）×（m﹣3）=8m+12=0，解得：m=﹣32，将m=﹣32代入原方程可得：﹣12x2﹣3x﹣92=0，两边同时乘以﹣2得：x2+6x+9=0，解得x1=x2=﹣3．【点睛】本题的解题要点有以下两点：（1）解第1小题时需分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，不要忽略了其中任何一种；（2）熟知若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0.。

北京市师达中学2024—2025学年九年级上学期开学考试数学试题一、单选题1．变量x 与y 之间的关系是21y x =+，当5y =时，自变量x 的值是（）A ．13B ．5C ．2D ．32．如图所示，在ABCD 中，对角线AC BD 、交于点O ，下列式子中一定成立的是（）A ．AC BD ⊥B ．OA OC=C ．AC BD =D ．AO OD=3．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标是（）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--4．一次函数32y x =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如果将抛物线2y x =向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A ．21y x =+B ．21y x =-C ．()21y x =+D ．()21x -6．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点连接AF ，BF ，∠AFB =90°，且AB=8，BC=14，则EF 的长是（）A ．2B ．3C ．4D ．58．已知一个二次函数图象经过()113,P y -，()221,P y -，()331,P y ，()443,P y 四点，若324y y y <<，则1234,,,y y y y 的最值情况是()A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题9．一次函数()232y a x =++的值随x 值的增大而减少，则常数a 的取值范围是．10．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线21y x =-与直线=k +≠0相交于点()2,3P ．根据图象可知，关于x 的不等式21x kx b ->+的解集是．11．已知关于x 的一元二次方程()22110a x a -+-=有一个根为0，则a =．12．已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =．13．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为．14．如图，二次函数y ＝x 2－2x －2的图象，根据其中提供的信息，使得y ≥1成立的x 的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个交点M ，与平行于x 轴的直线l 交于A 、B 两点．若3AB =，则点M 到直线l 的距离为．16．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为6和2，点F ，G 分别在边BC ，C 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为．三、解答题17．用适当方法解一元二次方程：(1)223x x -=(2)()()22324x x -=+18．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，求代数式(a －2)2＋(a ＋1)(a －1)的值．19．若抛物线的顶点在x 轴上，对称轴是直线1x =-，与y 轴交于点()0,3A -．(1)求抛物线的解析式．(2)写出它的顶点坐标和开口方向．20．在平面直角坐标系xOy 中，函数0y k x b k =+≠()的图象过点()0,3A 和()2,1B -，与过点()0,5且平行于x 轴的直线交于点C ．(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当2x <时，对于x 的每一个值，函数0y mx m =≠()的值小于0y k x b k =+≠()的值，直接写出m 的取值范围．21．如图，ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作∥DE AC 且DE OC =，连接CE ，OE ，OE CD =．(1)求证：ABCD 是菱形；(2)若4AB =，60ABC ∠=︒，求AE 的长．22．某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，6月份的生产成本是324万元．假设该公司5，6，7月每个月生产成本下降的百分率都相同．(1)求每个月生产成本下降的百分率；(2)求7月份该公司的生产成本．23．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示．（1）确定二次函数的解析式；（2）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．24．下表是二次函数y＝ax2+bx+c的部分x，y的对应值：x…﹣1﹣12121322523…y…m14﹣174-﹣274-﹣1142…（1）二次函数图象的开口向，顶点坐标是，m的值为；（2）当x＞0时，y的取值范围是；（3）当抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在直线y＝x+n的下方时，n的取值范围是．25．如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳后恰好落在人梯的顶端B 处，其身体（看成一点）的路径是一条抛物线．现测量出如下的数据，设演员身体距起跳点A水平距离为d米时，距地面的高度为h米．d（米）… 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50…h（米）… 3.40 4.15 4.60 4.75 4.60 4.15…请你解决以下问题：(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度；(3)求起跳点A 距离地面的高度；(4)在一次表演中，已知人梯到起跳点A 的水平距离是3米，人梯的高度是3.40米．问此次表演是否成功？如果成功，说明理由；如果不成功，说明应怎样调节人梯到起跳点A 的水平距离才能成功？26．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．27．已知：在正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，且CE BC ≠，连接DE ，过点D 作DE 的垂线交直线AB 于点F ，连接EF ，取EF 的中点G ，连接CG ．(1)当CE C B <时，①补全图1；②求证：ADF CDE △≌△；③用等式表示线段CD CE CG ，，之间的数量关系，并证明．(2)如图2，当CE BC >时，请你直接写出线段CD CE CG ，，之间的数量关系．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于线段AB 和点Q ，给出如下定义：若在直线y x =上存在点P ，使得四边形ABPQ 为平行四边形，则称点Q 为线段AB 的“相随点”．(1)已知，点()1,3A ，()5,3B ．①在点()11,5Q ，()21,3Q -，()30,4Q ，()45,0Q -中，线段AB 的“相随点”是______；②若点Q 为线段AB 的“相随点”，连接,OQ BQ ，直接写出OQ BQ +的最小值：______．(2)已知点()2,3A -，点()2,1B -，正方形CDEF 边长为2，且以点(),1t 为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形CDEF 上的任意一点，都存在线段AB 上的两点,M N ，使得该点为线段MN 的“相随点”，请直接写出t 的取值范围．。

北京市师达中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸中，为中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．点()1,2A 关于原点对称的点的坐标是（）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()1,2--D ．()2,13．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x ）2=461C ．368（1﹣x ）2=442D ．368（1+x ）2=4424．将抛物线2y x =向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A ．22y x =+B ．22y x =-C ．()2y x =+D ．()22y x =-5．图中的五角星图案，绕着它的中心O 旋转n ︒后，能与自身重合，则n 的值至少是（）A ．144B ．72C ．60D ．506．若点()()1,25,2M N 、在抛物线2()y x h k =-+上，则h 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．17．如图，PA ，PB 分别切O 于点A ，B ，Q 是优弧AB 上一点，若40P ∠=︒，则Q ∠的度数是（）A ．40°B ．65°C ．70°D ．75°8．若()1212x x x x <、是方程()()()1x a x b a b --=<的两个根，则实数12,x x ，a ，b 的大小关系为（）A ．12x x a b <<<B ．12x a x b<<<C ．12a x x b<<<D ．12x a b x <<<二、填空题14．二次函数2y ax =15．如图，在O 中，直线交O 于点D ，连接CD 16．为落实生态文明建设，推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某公司装修采用同质地的A 型、B 型环保板材，具体要求如下：板材要求板材型号板材规格A 型板材60cm ⨯三、解答题17．解方程：2680x x -+=．18．已知a 是方程22310x x --=的一个根，求代数式()231a a -+的值．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231()y a x =--经过点(2,1)．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移_______个单位后，所得抛物线与x 轴只有一个公共点．20．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，将线段CA 绕点C 逆时针旋转60°，得到线段CD ，连接AD ，BD ．（1）依题意补全图形；（2）若BC =1，求线段BD 的长．21．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：O 的切线AB ．25．如图，AB 是O 的直径，AC 点A 作O 的切线与OD 的延长线交于点(1)求证：PC 是O 的切线：(2)如果2,1B CPO OD ∠=∠=，求PC 26．在平面直角坐标系xOy 中，点在抛物线212y x x a=-（0a ≠）上．()0A ，4()(1)判断B ∠与ACD ∠的数量关系并证明；(2)将AC 边绕点C 顺时针旋转重合）．①用等式表示线段DM ，②若AB a =，AC b =，直接写出。

北京市海淀区师达中学2024年数学九年级第一学期开学监测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知反比例函数6y x=的图象上有两点A（a-3，2b），B(a，b-2)，且a<0，则b 的取值范围是（）A ．2b <B ．0b <C ．10b -<<D ．2b <-2、（4分）如图，在▱ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD 交AD 于点E ，AB ＝6，BC ＝10，则EF 长为（）A ．1B ．2C ．3D ．43、（4分）把两个全等的等腰直角三角形如图放置在一起()90ACB ECF ∠=∠=︒，点,E F 关于AC 对称EF 交AC ，AB 于点,M N ，则AMN 与ACB △的面积比为（）A ．2B ．4C ．22-D ．32-4、（4分）已知关于x 的方程2(1)230m x mx ++-=是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠-B ．1m ≠C ．1m >-D ．任意实数5、（4分）已知实数m 、n ，若m ＜n ，则下列结论成立的是（）A ．m ﹣3＜n ﹣3B ．2+m ＞2+nC ．22m n >D ．﹣3m ＜﹣3n6、（4分）已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，那么m 的取值范围为（）A ．m ＞－6且m ≠2B ．m ＜6C ．m ＞－6且m ≠－4D ．m ＜6且m≠－27、（4分）已知关于x 的一次函数()12=-+y mx 的图象如图所示，则实数m 的取值范围为()A ．1m >B ．1m <C ．0m >D ．0m <8、（4分）下列二次根式中是最简二次根式的为（）A ．B ．CD ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）分解因式：1﹣x 2=．10、（4分）将23x =代入反比例函数1yx=-中，所得函数值记为1y ，又将11x y =+代入函数中，所得函数值记为2y ，再将21x y =+代入函数中，所得函数值记为3y ，如此继续下去，则2012y =________.11、（4分）已知反比例函数y=2k x-（k 为常数，k≠2）的图像有一支在第二象限，那么k 的取值范围是_______.12、（4分）如图，AO=OC ，BD=16cm ，则当OB=___cm 时，四边形ABCD 是平行四边形．13、（4分）方程380x +=在实数范围内的解是_____.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 到F ，使得12CF BC =，连接CD 、EF .（1）求证：四边形CDEF 为平行四边形；（2）若四边形CDEF 的周长是32，16AC =，求ABC ∆的面积；（3）在（2）的条件下，求点F 到直线CD 的距离.15、（8分）先化简22122121x x x x x x x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，然后从11x -≤≤的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．16、（8分）计算﹣1)﹣(1﹣217、（10分）某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效提升了20%，这样加工同样多的零件就少用10h ，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？18、（10分）阅读下面材料：数学课上，老师出示了这祥一个问题：如图，在正方形ABCD 中，点F 在AB 上，点E 在BC 延长线上。

北京师范大学附属实验中学2020－2021学年度第一学期初三年级数学月考试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的. 1．二次函数2(1)2y x =−+−的顶点坐标为A ．(12)−，B ．(12)，-C ．(12)−，-D ．(12)，2．在Rt ABC 中，90C =，5AB =，4BC =，则sin B 的值是 A ．54 B ．53 C ．453．对于函数xm y 4−=，当0x 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 A ．4 m B ．4 m C ．4− m D ．4− m4.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠ABC ＝35°，则∠AOC 的度数为A ．20°B ．40°C ．60°D ．70°5．如图，在平面直角坐标系中，以(46)P ，为位似中心，把△ABC 缩小得到△DEF ，若变换后，点A 、B的对应点分别为点D 、E ，则点C的对应点F 的坐标应为A.(42)，B.(44)，C. (45)，D.(54)，6. 如图，等边△ ABC 的边长为6，内切⊙ O 切BC 边于D 点，则图中阴影部分的周长为A ．3B ． 73D ．7. 某小区2019年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2021年屋顶绿化面积要达到2880平方米．若设屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则依题意所列方程是 A ．2880)21（20002=+x B ．2880)-1（20002=x C ．2880)1（20002=+x D ． 288020002=x8. 如图，抛物线2y ax =与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为()2,4A −，()1,1B ，则关于x 的不等式20−− ax bx c 的解集为 A. 21− x B. 21，或 − x xC. 14 xD. 1，或4 x xACDB二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 已知α为锐角，且2sin(α－10°)＝3，则α等于 .10．如图，小东用长为3.2米的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿和旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与旗杆 相距22米，则旗杆的高为 米.11.如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是 .12.请你任写一个顶点在x 轴上（不在原点）的抛物线的解析式 .13.如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则这个反比例函数的解析式为 ．13题图 15题图 16题图14. 正方形边长为3，若边长增加x ，则面积增加y ，y 与x 的函数关系式为 ． 15.抛物线y =−x 2+bx +c 的部分图象如图所示，若y >0，则x 的取值范围是 .xy PABO16.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为()，(0,2)，P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP =45°，则点P 的坐标为______________.三、解答题（本题共52分，第17题5分，第18题6分，第19，20，21，22题每小题5分，第23，24，25题每小题7分）17．已知关于x 的方程ax 2+2x ﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求a 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求a 的值及方程的另一个实数根．18.已知二次函数243y x x =−+.（1）将243y x x =−+化成2()y a x h k =−+的形式； （2）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当x 取何值时，0y . 19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1my x=的图象与一次函 数y 2=kx +b 的图象交于点A （-4，-1（1）求这两个函数的表达式； （2）观察图象，当y 1＞y 2（3）如果点C 与点A 关于y20．如图，已知AB 是⊙O 的直径，过O 点作OP ⊥AB ，交弦AC 于点D ，交 ⊙O 于点E ，且使∠PCA =∠ABC ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若∠P =60°，PC =2，求PE 的长．21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为2千元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于2千元且不高于2.8千元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （千元）之间满足一次函数关系：当销售单价为2.2千元时，销售量为36本；当销售单价为2.4千元时，销售量为32本．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 千元，将该纪念册销售单价定为多少千元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少千元？22.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，E 是AC 边的中点，41312sin 5，， ===BC AD B .（1）求线段CD 的长； （2）求tan 2 ADE 的值.DECBA23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：2240)y ax ax a =−+ （. （1）当a =1时， ①抛物线G 的对称轴为x =____________；②若在抛物线G 上有两点12(2,),(,)y m y ，且21y y ，则m 的取值范围是_____；（2）抛物线G 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点 M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线G 与线段AB 恰有一个公共点，24. 已知△OAB 和△ODC 有公共顶点O ，30OBA OCD = = ，60OAB ODC = = ，连接AD ，BC ，取AD 的中点M 并连接OM ．(1) 如图1，若点D 位于线段OA 上，则_______=BCOM ．（直接写出答案） (2) 如图2，若点D 位于线段OB 上，① 不添加其它字母和连线，直接写出图中除△AOB ∽△DOC 外的另一组相似三角形；② 猜想OM 与BC 的位置关系，并证明你的结论；(3) 当点D 运动到图3所示位置时，线段OM ，BC 之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论．图1图2图3B BB25．在平面直角坐标系xOy 中，若将点P 沿x 轴折叠得到点1P ，再将点1P 绕点R 顺时针旋转90°得到点P ′，则称点P ′是点P 关于x 轴-点R 的折旋点. 例如：点Q （0，1）关于x 轴-点O 的折旋点是点Q ′（-1，0）. （1）如图1，点A (0，-1)． ①若点B 是点A 关于x 轴-点C （√3，0）的折旋点，则点B 的坐标为 ；②若点D (-4，1)是点A 关于x 轴-点E 的折旋点，则点E ； （2）如图2，⨀O 的半径为2．若⨀O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴-点S （4，0）的折旋点，且点M ′在直线y =x+b 上，求b 的取值范围； （3）E (0,t )是y 轴上的动点，⨀E 的半径为2，若⨀E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴-点S （4，0）的折旋点，且点N ′在直线x y 33=上，直接 图1 图2。

北京市师达中学2023-2024学年度第一学期阶段练习初三数学2023．12一、选择题（本题共16分，每小题2分）以下各题选项中，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列事件为随机事件的是（ ）A ．经过任意三点画一个圆B ．直径是圆中最长的弦C ．任意画一个三角形，其内角和为360°D ．一个图形旋转后所得的图形与原图形全等3．一个扇形的半径是3，扇形的圆心角120°，那么这个扇形面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．下列函数中，变量y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．要为一幅长60cm ，宽40cm 的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，若要使整个带框后照片的面积是（相框和照片重叠部分忽略不计），设相框的宽度为x cm ，则x 满足的方程是下列运算中，结果确的是（）A ．B ．C ．D ．6．点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知的内接正方形ABCD ，点E 是上任意一点（除A 、B 两点外），则的度数是（ ）A ．60°B ．45°C ．45°或135°D ．60°或120°8．如图，菱形ABCD 的边长为6cm ，，点E 为BC 的中点，动点P 以2cm/s 的速度沿A →B →E 运动，动点Q 以1cm/s 的速度沿B →D 运动．点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P 运动的时间为x 秒，的面积为，则y 与x 之间的关系用图象大致可表示为（）3x y =31y x =+3xy =3y x=23500cm (602)(402)3500x x ++=(60)(40)3500x x ++=(60)(40)3500x x --=(602)(402)3500x x --=1(3,)A y -2(2,)B y -3(3,)C y 6y x=1y 2y 3y 312y y y <<132y y y <<123y y y <<213y y y <<O O AEB ∠60A ∠=︒BPQ △2cm yA ．B ．C ．D ．二、选择题（本题共16分，每小题2分）9．已知和关于原点对称，则________．10．抛物线再向下平移5个单位长度，则平移后抛物线的解析式为________．11．若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．12．每逢中秋佳节，赏月吃月饼是中国人的传统．有关部门对某食品生产企业生产的某一批次月饼进行抽样检测，结果如下表：抽取月饼数量5010020050010002000优等品数量45921944749511900若从这批月饼中任取一个，则检测结果为优等品的概率约为________．（精确到）13．已知反比例函数的图象分布在第二、四象限，则m 的取值范围是________．14．如图，与是以原点O 为位似中心的位似图形，且位似比为，点A 的坐标为，则点的坐标为________．15．小灵为了测量操场边上一棵树的高度，她在树AB 前方20米E 点处放置一面小镜子，然后她沿BE 方向继续往前走8米到D 点处，转身刚好在镜子里看到树梢，小灵眼睛距地面米，根据这些信息请你算出树的高度是________米．16．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E ，F 分别是边DC ，CB 上的动点，且始终满足，AE ，DF 交于点P ，则的度数为________；连接CP ，线段CP 长的最小值为________．(,3)M a (4,)N b -a b +=2y x =x 220x x m -+=m 0.011m y x-=A B O ''△ABO △1:3(6,3)-A ' 1.44DE CF ＝APD ∠三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分；第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：18．已知是关于的一元二次方程的一个根，若，求的值．19．已知关于x 的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是正整数，求整数m 的值．20．如图，在中，点D 、E 分别在边AC 、AB 上，，．求证：．21．2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A 、B 、C 、D 四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．（1）小明购买门票在A 区观赛的概率为________；（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）22．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：过圆外一点作圆的切线．己知：P 为外一点．求作：经过点P 的的切线．小敏的作法如下：如图，①连接OP ，作线段OP 的垂直平分线MN 交OP 于点C ；②以点C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交于A ，B 两点；③作直线PA 、PB ．（1）请补充完整小敏的作图；（2）连接OA 、OB 可证，其依据是________；由此可证明直线PA 、PB 都是的切线，其依据是________．2450x x --=n x 2450mx x --=246mn n m -+=m 2(2)20(0)mx m x m -++=≠ABC △2AB AD =2AC AE =ADE ABC △∽△O O O 90OAP OBP ∠=∠=︒O23．在平面直角坐标系xOy 中，直线与双曲线的一个交点为，与轴、轴分别将于点A ，B ．（1）求m 的值；（2）若，求k 的值．24．如图，在中，，以AB 为直径的交BC 于点D ，于点E ，延长CA 交于点F ．（1）求证：DE 是的切线；（2）若，，求AF 的长．25．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙AB 、CD 之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙AB 与CD 等高，且AB 、CD 之间的水平距离BD 为8米．（1）如图2，两墙AB 、CD 的高度是________米，抛物线的顶点坐标为________；（2）为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M 处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M 到墙AB 距离为3米，使抛物线的最低点距墙AB 的距离为2米，离地面2米，求点M 到地面的距离．26．已知：二次函数的图象经过、、、四点．（1）直接写出二次函数的对称轴（用含t 的代数式表示）；(0)y kx b k =+≠8y x=(2,)P m x y 2PA AB =ABC △AB AC =O DE AC ⊥O O 3AE =6DE =2435y ax x =-+1F 22(0)y ax atx c a =-+≠1(4,)A y -2(2,)B y -3(1,)C y 4(3,)D y（2）已知，若，则________0（填“>”或“<”）；（3）若，求t 的取值范围，并判断与的大小关系．27．在平面直角坐标系xOy 中，的半径为1，点A 在上，点P 在内．给出如下定义：连接AP 并延长交与点B ，若 ，则称点P 是点A 关于的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为．①若点P 的坐标为，则点P 是点A 关于的________倍特征点；②在点，，这三个点中，点________是点A关于的倍特征点；③直线l 经过点A ，与y 轴的正半轴交于点D ，，点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于的倍特征点，求点E 的坐标．（2）若当k 取某个值时，对于函数的图象上任意一点M ，在上都存在点N ，使得点M 是点N 关于的k 倍特征点，直接写出k 的最大值和最小值．28．已知，点A 为射线OM 上的定点，点B 为OA 延长线上一点，作线段AB 的垂直平分线，分别交OM 、ON 与点C 、D ，连接AD 、BD ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ，直线AE 与直线OD 交于点F ．（1）依题意补全图形，证明：；（2）用等式表示线段OD 、OB 和OF 的关系，并证明．1t =-230y y ⋅<14y y ⋅324y y y >>1y 2y O O O O AP kAB =O (1,0)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭O 110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭1260DAO ∠=︒O 121(01)y x x =-+<<O O 45MON ∠=︒AF BD =。

相似三角形的基本六大模型考点一 （双）A 字型相似 考点二 （双）8字型相似考点三 母子型相似 考点四 旋转相似考点五 K 字型相似 考点六 三角形内接矩形/正方形考点一 （双）A 字型相似1．（2021·山东临沂·三模）如图 在△ABC 中 DE △BC 若AE ＝2 EC ＝3 则△ADE 与△ABC 的面积之比为ADEABC S S =故选：A 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质6AF AC∆；AEF ABC上AD与）见解析；（2）见解析）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论；根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得Rt ABC中从点C出发出发当有一点到达所在线段的端点时1）求运动时间为多少秒时2）若CPQ的面积为3）当t为多少时为顶点的三角形与ABC相似40Rt CPQ的面积为）分两种情况：△Rt CPQ∽△Rt CPQ∽40为顶点的三角形与ABC相似．用方程的思想解决问题是解本题的关键．AB＝9ADM交直线考点二（双）8字型相似1．（2021·海南海口·九年级期末）如图在▱ABCD中E为CD的中点连接AE、BD且AE、BD交于点F则DEFS△：EFBCS四边形为（）然后求出DEF 和△DEF SS =4BAF S =2ADF S=ABD S 的面积 再根据平行四边形的性质可得DBC ABD S S = 然后相比计算即可得解．【详解】解：四边形是平行四边形//AB DE ∴ AB=CD E 为CD 的中点DEF ∴△△DEF S ∴：(BAF S =设DEF S S = 则4BAF S =EF ：1AF =：2DEF S∴：ADF S EF =：AF 2ADF S S ∴=4ABD BAF ADF S S S S ∴=+=+BD 是平行四边形ABCD DBC ABD SS ∴= 6DBC S S ∴=DEF S ∴：EFBC S 四边形故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键13Rt ABC中⊥作MN CB得,BNM BCA CNM ABD ,可得,BN MN CN BC BD BC,因为1BNCN BC BC ,列出关于即可求出MN 的长．【详解】△MN △BC DB△MN △DB△,BNMBCA CNM ABD ,MNBN MN CN ACBC BD BC 即,23MNBN MN CN BC BC , 又△1BNCN BC BC13MN MN65MN =, 故填：65． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质）求证：ABC△DBE．BC=CE8=6）因为ABC△DBE根据相似三角形的性质可知∠【详解】证明：（1）DBE∴ABC△DBE；2）ABC△DBEDE BE=AC BCBC=CE8AC=6=-=3BE CE BC36【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB=CD AB△CD再证明四边形BECD为平行四边形得到BD△CE根据相似三角形的判定方法由CM△DB可判断△BND△△CNM；（2）先利用AD2=AB•AF可证明△ADB△△AFD则△1=△F再根据平行线的性质得△F=△4△2=△3所以△3=△4加上△NMC=△CMD于是可判断△MNC△△MCD所以MC：MD=CN：CD然后利用CD=AB和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）△四边形ABCD是平行四边形△AB=CD AB△CD而BE=AB△BE=CD而BE△CD△四边形BECD为平行四边形△BD△CE△CM△DB△△BND△△CNM；（2）△AD2=AB•AF△AD：AB=AF：AD而△DAB=△F AD△△ADB△△AFD△△1=△F△CD△AF BD△CE△△F=△4△2=△3△△3=△4而△NMC=△CMD△△MNC△△MCD△MC：MD=CN：CD△MC•CD=MD•CN而CD=AB△CM•AB=DM•CN．若GEC 的面积为可以得到CEF 即可得到ADE ECF ≌ 则答案可证；先证明CEGABG 根据相似三角形的性质得出8ABG S = AG GC BGC S =ABC ABG BCG S S S =+得ABC S △【详解】（1）证明：△四边形//B AD C AD BC =ECF在ADE 和△△()ADE ECF ASA ≌AD CF =BC CF =；（2）△四边形ABCD //AB DC 2AB EC =△CEG ABG△GEC 的面积为22ABGCEG S AB S CE ⎛⎫== ⎪⎝⎭44ABG CEG S S ==⨯△CEGABG 12AG AB GC CE == 11822BGC ABG SS ==⨯8ABC ABG BCG SS S =+=+2212ABCD ABC S S ==⨯=【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质关键是明确题意 利用数形结合的思想解答．考点三母子型相似∠=∠若1．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）如图ABC中点D在边AB上且ACD ABC在ABC中BED=︒45Rt CEF中BF DG⊥Rt CEF．Rt CEF 中 32CE3EF =DGEDG 和△中DGE CEF DEG=∠==∠首先利用相似三角形的判定得出BAD ACE ∽ 得B ∠由BAD ACE ∽可证进而得出CD CE = 再由线段之间关系．【详解】（1）证明：AB AC ECA ∠ ACE ∆∽ EAC ∠ACB ∠=ABC ∴△∽△∴AC BC CD AC=2AC BC CD ∴=．（2）解：BAD ACE ∽AEC ∠CED =∠CEAD ABC 的中线2BC CD CD =22CD CD=此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识根据已知得出BAD ACE ∽是解边上 点E 在AC）如果DEF与ABC互为母子三角形DE．12C．2或12ABC 中 与ADE 互为母子三角形．ABC 中 AD 是中线交于点F 若AGE 与△C ；（2）见解析；（3）AG GF ）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；）根据两角对应相等两三角形相似得出分当,G E 分别在线段△DEF 与ABC 互为母子三角形）AD 是BAC ∠的角平分线 BAD CAD =∠ADE B ∠=∠ ABD ADE ∴∽．又2AB AD =ABD ∴与ADE 互为母子三角形．（3）如图 当,G E 分别在线段AGE 与CD AD GE AG∴=AG DG ∴=AD 是中线BD CD ∴=又//GE BC GEF ∴∽△△DF DB GF GE ∴=3DG GF =3AG GF=．AGE 与CD AD GE AG∴=12AG ∴=AD 是中线BD CD ∴=又//GE BC GEF ∴∽△△DF DB GF GE ∴=DG GF =13AG GF =．3GF考虑全面 进行分类讨论 避免漏解．考点四 旋转相似 1．（2022·吉林长春·九年级期末）在同一平面内 如图① 将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起 点A 为公共顶点 90BAC AED ∠=∠=︒．如图② 若△ABC 固定不动 把△ADE 绕点A 逆时针旋转 使AD 、AE 与边BC 的交点分别为M 、N 点M 不与点B 重合 点N 不与点C 重合．3 3EC CDECDC=CDE绕点C顺时针旋转AF考点五K字型相似3在ABC中F在BC上BPD∠=又BPD∠=DPC∴∠+∠∠=∠DPC∠=∠设DPC∴∠=∠BPC△△ADP∴∽AD AP∴=BP BC）∠∴∽ABD DFEAB AD∴=DF DEADE是等腰直角三角形DE AD∴=2AB=22∴=4DF∠=EFD45∴∠=∠EFC∴∽EFC DECFC EC∴=EC CD=EC=,CD DF52EC FC CD FC∴=⋅=∴=1FC∴=．CD5【点睛】本题考查相似三角形的综合题在ABC中PE与边BC20n n n得到ADE△CDF再判断出ADC△DCB得到ADE△CDF再判断出ADC△CDB△（3）由(2的结论得出ADE△CDF判断出再利用勾股定理计算出即可．【详解】解：n时即：BC=90∠=ACB∴∠+∠=90A ABC⊥CD AB90∴∠+=DCB∴∠=∠A∠=FDE90∴∠-∠-∠FDE ADC∠即ADE∴△CDFADE∠=∠90A DCB∴△CDBADC△AD AC∴=DC BC()290①∠=ACB∴∠+∠=90A ABC⊥CD ABDCB ABC∴∠+∠=90∴∠=∠A DCB∠=90FDE∴∠-∠-∠FDE ADC∠即ADE∴△CDFADEDE AD∴=DF DC∠=∠90A DCB∠∴△CDBADC△AD AC n∴==DC BC m②成立.如图90∠=ACB∴∠+∠=90A ABC又CD AB ⊥90DCB ∴∠+∠A DCB ∴∠=∠90FDE ∠=∠FDE ADC ∴∠+∠+∠即ADE ∠=∠ADE ∴△CDFDE AD DF DC∴= A DCB ∠=∠ 90∠ADC ∴△CDB △AD AC n DC BC m ∴== DE n DF m∴=．()3由()2有ADE △CDF 12DE AC DF BC = 12AD AE DE CD CF DF ∴== 2CF AE ∴=如图4图6 连接EF ．在Rt DEF △Rt CEF中根据勾股定理得CE=25如图5当Rt CEF中根据勾股定理得(2[25 CE+25CE=5如图6当Rt CEF 中 根据勾股定理得(2[2CE CE +25CE = 综上：2CE = 考点六 三角形内接矩形/正方形1．（2022·山东东营·中考真题）如图 在ABC 中 点F 、G 在BC 上 点E 、H 分别在AB 、AC 上 四边是ABC 的高．24△AEF ABC ∽AM 和AD 分别是△AEH ,AM EH DM EF AD BC==AM AD DM AD =-=1CD CB2 2x-=解得30。

北京市海淀区师达中学2025届九年级数学第一学期开学监测试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，有一块Rt △ABC 的纸片，∠ABC=90︒，AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿AD 折叠，使点B 落在AC 上的E 处，则BD 的长为()A ．3B ．4C ．5D ．62、（4分）因式分解x 2﹣9y 2的正确结果是（）A ．（x+9y ）（x ﹣9y ）B ．（x+3y ）（x ﹣3y ）C ．（x ﹣3y ）2D ．（x ﹣9y ）23、（4分）如图，点E ，F 是▱ABCD 对角线上两点，在条件①DE ＝BF ；②∠ADE ＝∠CBF ；③AF ＝CE ；④∠AEB ＝∠CFD 中，添加一个条件，使四边形DEBF 是平行四边形，可添加的条件是()A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④4、（4分）若0234a b c ==≠，则22a b ca -+=()A ．45B ．54C ．34D ．无法确定5、（4分）如图，在周长为18cm 的▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O,OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（）学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm 6、（4分）如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BD 平分∠ABC ．若CD=3,BC+AB=16,则△ABC 的面积为()A ．16B ．18C ．24D ．327、（4分）如图，平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，连接BD ，将△BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD′）与AD 交于一点E ，BC （即BC′）同时与CD 交于一点F 时，下列结论正确的是（）①AE=DF ；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB ；④△DEF 的周长的最小值是4+23A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③④8、（4分）已知菱形的边长等于2cm ，菱形的一条对角线也是长2cm ，则另一条对角线长是（）A ．4cmB ．3cmC 3cmD ．3cm二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）32x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____．10、（4分）若一元二次方程230-+=x x c 有两个相等的实数根，则c 的值是________。