七年级数学下册 9.2 多边形的内角和与外角和导学案1(

多边形的内角和与外角和

【学习目标】

1、了解多边形和正多边形；

2、探索多边形的内角和与外角和公式；

3、学会多边形内角和定理与外角和定理的应用.

【学习重点和难点】

探索和应用多边形的内角和与外角和公式

【学习过程】

一、知识回顾

1、三角形的内角和是 度？是怎样得来的？

2、三角形的外角和是 度？是怎样得来的？

二、预习导学

1、详细任务（在此作了任务了解，同时作为检验预习效果的标准）：

（1）什么是三角形？那你能说出什么是四边形、五边形吗？

（2）三角形的内角和是 ？四边形 、五边形 ？

（3）三角形的外角和是 ？是怎样推导出来的？四边形 、五边形 ？

以上问题涉及到多边形的认识、多边形内角和与外角和定理的推导及其应用.这便是我们今天所要研究的内容.

2、多边形的认识：

（1）多边形的定义：三角形是最简单的多边形.正如三角形的定义一样，由 条不在同一直线上的 首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形.如图：

（1） （2） （3）

图（1）的多边形记作四边形ABCD，图（2）的多边形记作 .

注：所有边相等、所有角也相等的多边形叫正多边形.如：正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形……

（2）多边形的分类：

多边形

）凹多边形，如图（））、（凸多边形，如图（321， 其中，凹多边形不是我们现在所研究的范围.

（3）多边形的组成：

n边形有 条边， 个内角， 个外角.

2、多边形的内角和：

（1）对角线：

○1连结多边形不相邻两个顶点的线段叫多边形的对角线.如图（5），AC就是长方形ABCD的A

E

D C B A B

D

C A B

C D

一条对角线，请画出它的另一条对角线.

（5） （6） （7）

试一试：（a）画出图（6）中五边形的所有对角线.

（b）你能推导出六边形有多少条对角线吗？画图验证.n边形呢？

结论：n边形的对角线条数为

○2从多边形的一个顶点引出的对角线可以把多边形分为若干个三角形.再问一下，从一下顶点出发能画出这样的对角线有多少条？

8.3.3

试一试：（1）你能推导出从n边形的一个顶点引出的对角线可以把n边形分为多少个三角形吗？（再根据三角形内角和为180°，能否推出多边形的内角和公式？）

多边形边数 3 4 5 6 7 …… n

分成的三角形个数 1 ……

多边形内角和 ……

（2）多边形内角和的推导（请你写出一个n边形的内角和公式的推导过程）：

结论：n边形的内角和为 .

注：正n边形的每一个内角为 .

试一试：（a）十边形的内角和为 .

（b）如果一个多边形的内角和为2340°，则这个多边形的边数为 .

3、多边形的外角和：

（1）外角和的定义：与三角形的外角和一样，与多边形的每个内角相邻的外角有两个，这两个角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加， 得到的和称为多边形的外角和. A D

C B

你还有没有其他证明方法？看看P70图9.2.5。聪明的你，若有新方法，请你把你的想法写在这里。（不只一种哦）

A B C 1

2

4

如图，∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形ABCD的外角和.

那么这个和又是多少呢?

（2）外角和的推导：（填表）

多边形的边数 3 4 5 6 7 …… n

多边形内角与外角的总和

多边形的内角和

多边形的外角和

结论：多边形的外角和为 .

注：○1多边形的外角和与边数 .

○2正n边形的每一个外角为 ；每一个内角为 .

三、归纳概括、理解记忆（把你认为重要的知识点概括在这个地方）

结论：

结论：

结论：

四、课堂检测：

1、P86、P88课后练习

2、填空：

（1）多边形的边数每增加1，内角和 ，外角和 .

（2）一个n边形的内角和与外角和相等，则n= .

（3）正十边形的每一个内角为 .

（4）若一个正n边形的每一个外角都等于45°，则n= .

（5）若一个正n边形的每一个内角都等于120°，则n= .

五、收获或疑问

六、能力提升：

1：一个多边形，除去一个内角外，其余各内角之和等于2500°，求这个多边形的边数.

2：一个八边形，现截去一个角，得到一个什么样的多边形，请求出得到的多边形的内角和与外角和.（提示：会不会有多种情况出现）

七、分层练习

A组

一、选择 回忆三角形外角和的推导过程，想一想，与你的伙伴交流交流.

1、下列哪一个度数可以作为某一个多边形的内角和（ ）

A.240° B.600° C.540° D.2180°

2.六边形的外角和是（ ）

A.1080° B.720° C.540° D.360°

3.内角和等于外角和2倍的多边形是（ ）

A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形

4.一个多边形的每一个外角都是45°，则这个多边形的内角和为（ ）

A.360° B.1440° C.1080° D.720°

5.过一个多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角和是（ ）

A.1620° B.1800° C.1980° D.2160°

6.如果一个多边形的每个内角都等于144°，那么它的内角和为（ ）

A.1260° B.1440° C.1620° D.1800°

二、填空

1.若一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形的内角和等于______________度.

2.一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，则个多边形是_____边形.

3.内角和与外角和相等的多边形是_____________边形.

4.若一个内角和与外角和的比试4：1,它的边数是_________，顶点个数是_________，对角线的条数是___________.

5.若一个四边形的四个内角度数之比为1：3：4：2，则这四个内角的度数分别是________.

三、解答题

1、一个多边形的每个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数？（请用两种方法计算）

2、若两个多边形的内角和为1980°，两个多边形的边数之比为1︰2，求这两个多边形的边数.

B组

一、选择

1.若一个多边形有14条对角线，则这个多边形的边数是（ ）

A.10 B.7 C.14 D.6

2.一个多边形的内角和比他的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（ ）

A.5 B.6 C.7 D.8

3.多边形的变数由3增加到n（n>3）,其外角度数之和是（ ）

A.增加 B.保持不变 C.减小 D.变成（n-3）•180°

4.当多边形每增加一条边时，它的（ ）

A.外角和与内角和都增加180° B.外角和与内角和都增大180°

C.外角和增大180°，内角和不变 D.外角和不变，内角和增大180°

二、填空题

1.如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，半径为R

作四个互不相交的圆，则图中阴影部分的面积之和是_____________.

2.一个n边形的内角和小于1999度，那么n的最大值是 .

第1题图

3.如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方开地面，观察图形并猜想：当黑色瓷砖为20块时，白色瓷砖为 块；当白色瓷砖为2n块时，黑色瓷砖为 块.

三、解答题

1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值.

2.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求的内角和为2750°，当发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角，问这个内角的度数是多少？求这个多边形的边数.

3.如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A=130°，∠C=110°，求∠B的度数.

4.如图，∠1=∠2，∠A=135°，∠C=100°，求∠B的度数.

八、家庭作业

A

B C D

E F

第1题图

C

B

A E D

1 D

B

C A

M

E N

2