函数y=Asin(wx+q)的图像与性质

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27 拒绝平庸 追求卓越 拒绝平庸 追求卓越 第一章第八节

课题：§8.3 函数)sin(xAy的图像

科目：数学 主备人：李淑锋 审核人：李亚 定稿人： 定稿时间：2010 年4月 日

09年级 班 学生姓名： 授课教师：

【目标要求】

〖学习目标〗

★⒈ 熟练掌握函数)sin(xAy的图像，知道其中A、、的意义。

★⒉ 会由函数)sin(xAy的图像讨论其性质，会利用整体思想求函数)sin(xAy的值域、最值、单调性。

〖学习重点、难点〗

重点：利用整体思想求形如)sin(xAy的函数的值域、最值、单调性。

难点：求形如)sin(xAy的函数的单调性。

【过程方法】

〖预习提要〗

★⒈ 请写出函数xysin和xycos的最值，并写出取得最值时的x值。

xysin 最大值 对应的x值

最小值 对应的x值

xycos 最大值 对应的x值

最小值 对应的x值

★⒉ 请写出函数xysin和xycos的单调区间。

⒊ 函数2sinxy和xysin的图像有什么关系？其最值有什么变化？取得最值的条件呢？

⒋ 函数xy21sin34与uysin34的最值有什么关系？其最值取得的条件有什么变化？（注意整体思想的应用） ★⒌ 用整体思想求出)43sin(21xy的最值和最值取得的条件。

★⒍ 例6求形如)sin(xAy的函数的单调区间首先也是用到了换元法，这实质也是整体思想的应用。请类比前面求最值取得的条件的方法，求)43sin(21xy的单调递增区间。

1 4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，

x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

ωx＋φ

y＝Asin(ωx＋φ) 2 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

3．由y＝Asin ωx的图像得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.

[试一试]

1．y＝2sin2x－π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________．

2．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2

则ω，φ的值分别是________．

3．设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．

4．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2

①f(x)的图象过点(0，32)；

②f(x)在[π12，2π3]上是减函数；

③f(x)的一个对称中心是(5π12，0)；

④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图象．

考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

例1 设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω>0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质

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“老师，为什么我用五点法作图，总是会出错呢？不是这里错，就是那里错！”

“老师，我觉得在高中数学函数y=Asin(wx+φ)中，函数图像的变化是最容易错的，很多时候我都把几倍的变换弄成是几分之一的变换，真是头都大了！”

“老师，有的题目稍微复杂一点，我就连解析式都求不出来了。”

……

在高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的相关知识确实是很难，不仅要考虑的东西非常多，而且很多知识点都非常容易弄错。

在本省重点中学从事高中数学教学13年，教学实践还算是有些丰富，一直以来，这个知识点都是同学们最大的难点，我总是会话最多的时间去讲评、去给同学们做练习。

但是，同学们的吸收效率还是非常不理想，于是，我就自己花时间去总结。学过这个内容的同学都知道，这个知识点的复杂以及考题的多变，很多时候类似的题目，同学们的答题效果也是非常不理想。

为了帮助同学们更好的学习，让同学们掌握方法才是关键，我自己抽出时间来总结了这个知识点。我总结出了高中数学中国年y=Asin(wx+φ)的三个考点，并且选择了典型的例子给同学们讲解。

高中数学中，y=Asin(wx+φ)的考题变幻无常，同学们看了我举的例子以后一定要自己在做一些练习，强化一下，相信同学们一定会有所进步的。

一、用“五点法”作函数y=Asin(wx+φ)(A>0,W>0)的图像。

五点，及最高点、最低点以及与坐标轴的三个交点，凭这五点，即可完成一个函数图像的绘制。这是解答函数题目的一个非常重要的步骤，考得最多。 二、三角函数图象的变换。

在高中数学中，函数图像的变换也是非常常考的点，在这一部分，同学们一定要分清楚w和φ不同倍数时的纵坐标和横坐标的变化。

三、函数y=Asin(wx+φ)的物理意义。

在高中数学的函数中，y=Asin(wx+φ)的物理意义比较简单，主要就是考它的周期和振幅、频率及相位。

《sinyAx的图像与性质》巩固练习题

( )1．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为π2的奇函数 D．最小正周期为π2的偶函数

( )2．下列函数中，周期为π2的是

A．y＝sinx2 B．y＝sin 2x C．y＝cosx4 D．y＝cos 4x

( )3．下列函数中，不是周期函数的是( )

A．y＝|cos x| B．y＝cos|x| C．y＝|sin x| D．y＝sin|x|

( )4、函数f(x)＝7sin23x＋15π2是

A．周期为3π的偶函数 B．周期为2π的奇函数

C．周期为3π的奇函数 D．周期为4π3的偶函数

( )5、函数y＝|sin x|＋sin|x|的值域是

A．[－2,2] B．[－1,1] C．[0,2] D．[0,1]

( )6、函数f(x)＝tanx1＋cosx的奇偶性是( )

A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数

( )7、函数y＝sin2x＋π6的一个单调递减区间为

A.π6，2π3 B.－π3，π6 C.－π2，π2 D.π2，2π3

( )8、11yx的图象与2sin51yxx的图象所有交点的横坐标之和等于

A.4 B. 8 C.12 D.16

( )9、（2014安徽卷理11）将函数sin24fxx的图像向右平移个单位，所得图像关于y轴对称， 则的最小正值是________.

10、（2014高考上海理12】设常数a使方程2sin3xa在闭区间[0,2]上恰有三个解123,,xxx，则123xxx .