细说函数y=asin(ωx+φ)的图象与性质

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2

π 3π2 2π

y＝Asin

(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3.函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤

法一 法二

函数y＝Asin(ω＋φ)＋b图象画法

例1] (1)已知函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.

①求f(x)的解析式；

②用五点法作f(x)在一个周期内的图象；

③由y＝sin x经过怎样的变换可得到f(x)的图象？

练习

1．若本例(1)条件不变，作出f(x)在x∈0，π]内的图象．

2．将本例(2)变为：由y＝sin 2x如何变换得到y＝sin x－3cos x的图象．

由三角函数图象求解析式

例3] (1)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )

A．A＝3，T＝4π3，φ＝－π6 B．A＝1，T＝4π3，φ＝3π4

C．A＝1，T＝4π3，φ＝－3π4 D．A＝1，T＝4π3，φ＝－π6

(2)(2016·高考全国甲卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )

A．y＝2sin2x－π6

B．y＝2sin2x－π3

C．y＝2sinx＋π6

D．y＝2sinx＋π3

·典例

神木中学 2012年 高一数学 必修4 导学案 编写人：张智亮 时间：11.27

★课题★函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质（4）

学习目标 1．复习巩固三角函数“y=Asin(ωx+φ)+K”型的图像和性质的综合应用，

2．会根据三角函数“y=Asin(ωx+φ)+K”型的部分图象求其解析式;

3．三角函数图像和性质的综合应用。

※

复

习 

探

究※ 例1.画出函数),62cos(3xy]3,6[x的图像,并求函数的最大值和最小值.

例2.已知函数y=Asin(x+)(其中A>0,ω>0,||≤ 2 )

一个周期的图象如下图所示,求函数的解析式.

例3．求方程lgx=xsin根的个数。

例4. 求函数f(x)=-cos2x+2cosx, x]34[，的最大值。

例5.已知三角函数)32sin(2xy，求

（1）解不等式1)(xf（2）解方程3)(xf，其中),0(x

神木中学 2012年 高一数学 必修4 导学案 编写人：张智亮 时间：11.27

※

自

测  巩

固

※ 1. 函数y= - tan(x+6)+2的定义域为_____________________________;

2. 函数y=tan(2x-3),x2125k的周期为_________________;

3. 函数y=-tan(2x-43)的单调区间为_______________;

4. 函数y=tan(-2x+32)的单调区间和对称中心分别是________________________________;

5.方程lgx=-cosx根的个数为________;

6. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b（A>0,ω>0, - 2

1 辅导讲义――函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

教学内容

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

五个特征点的取法：设=ωx＋φ，由取0，2，，23，2来求出相应的x的值，及对应的y值，再描点作图.

如下表所示.

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：

[例1] 函数)421sin(2xy的周期，振幅，初相分别是______________.

[巩固1] 函数)20,0,)(sin(Rxxy的部分图象如图，则=______；=______

知识模块1 y＝Asin(ωx＋φ)

精典例题透析

2 [巩固2] 已知函数)0,0)(sin()(xxf是R上的偶函数，其图象关于点M（0,43）对称，且在区间]2,0[上是单调减函数，则的值为____________.

[巩固3] 已知函数)0)(3sin()(xxf在(0，2]上恰有一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是_____.

[例2] 函数)33tan()(xxf的单调递减区间是_______________.

[巩固] 函数)23sin(3)(xxf的单调递增区间是_____________.

第四十五课时 函数sin()yAx的图象与性质(1)

【学习目标】

１．了解函数sin()yAx的实际意义

２．会用“五点法”作sin()yAx的图象

３．理解sin()yAx的图象与曲线sinyx之间的关系

【题型示例】

例1已知函数3sin(2)3yx

（1）求出它的周期；

（2）用“五点法”作出一个周期的简图；

（3）指出该函数的单调区间.

【分析】考虑抓住哪五点？取“23x”为整体，对应的值分别为30,,,,222。

【解】（1）2T

（2）列表

23x 0

2  32 2

x

6 12 3 712 56

y 0 3 0 -3 0

描点连线

（例1）

减区间：7[,]()1212kkkZ 增区间：5[,]()1212kkkZ

例2用两种方法将函数sinyx的图象变换为函数1sin()24yx的图象

【分析】分清楚先平移变换还是先伸缩变换。

【解】方法1：（11()22224xxxx）将函数sinyx的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到sin2xy，再将sin2xy的图象向右平移2个单位，就得到1sin()24yx的图象

方法2：（1424xxx）将函数sinyx的图象向右平移4个单位，得到sin()4yx的图象，再将sin()4yx的图象横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），就得到1sin()24yx的图象

例3已知函数15sin(2)264yx，xR

（1）求函数y的最大值及相应的x的值;

（2）该函数图象可由sinyx（xR）的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？

【分析】（1）利用正弦函数取最大值的条件；（2）掌握三角函数图象的综合变换，搞清先平移还是先伸缩.