10.3 复数的三角形式及其运算
本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十章《复数》， 10.3复数的三角形式及其运算， 本节课要学的内容包括复数的三角表示、复数乘法与除法运算的三角表示，理解复数的几何意义，了解复数代数表示与三角表示之间的关系，并掌握复数乘除法的三角表示及其几何意义。通过问题探究的形式，让学生发现问题，分析和解决问题，从而发展学生的逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养。
课程目标
学科素养
A通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；
B.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；辐角、辐角主值等概念，理解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.
C. 感受数学知识之间的联系，体会数学知识的整体性，发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养 1.数学抽象：复数的几何意义与三角表示；
2.逻辑推理：复数代数表示与三角表示的关系；
3.数学运算：复数的乘法与除法运算；
4.直观想象：复数乘除运算的几何意义
1.教学重点：复数的代数表示与三角表示之间的关系；
2.教学难点：复数乘除运算的三角表示及其几何意义的运用；
多媒体
教学过程 教学设计意图
核心素养目标 一、 情境与问题
发现与尝试：1.复数的三角形式定义
设复数1+3zi在复平面内对应的点为Z，
（1）写出Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量OZuuur；
（2）记r为向量OZuuur的模，是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，
求r得值，并写出的任意一个值，探讨,r与1+3zi的实部、虚部之间的关系.
答案：（1）(1,3)Z （2）2,,1cos,3sin3rrr
一般地，如果非零复数(,)zabiabR在复平面内对应点(,)Zab，且r为向量OZuuur的模，
是以x轴正半轴为始边，射线OZ为终边的一个角，则22||rzab
根据任意角余弦、正弦地定义可知：
邳州市中等专业学校
理论课程教师教案本
（2015—2016学年第 1学期）
班级名称
课程名称数学
授课教师
教学部
邳州市中等专业学校教案
课题序号 1 授课班级 14机电、商服
授课课时 2 授课形式
教学方法 讲授
授课章节
名称 17.3（2）复数的三角形式
教学手段 多媒体PPT
教学目标
1、 掌握复数三角形式的定义
2、能进行复数的代数形式与三角形式的互化
教学重点 复数的三角形式
教学难点 复数的代数形式与三角形式的互化
更新、补
充、删节
内容
课外作业 课本75页习题3、4
教学后记
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
一、复习引入
1、复数的表示的三种方法：
2、复数的模与辐角
22rzOZab
=-辐角argZ的范围：，
二、新知探究
1、思考：Z=a+bi,模为r,辐角为θ，用r、θ表示a,b：
a=rCosθ，b=rSinθ，∴a+bi=rCosθ+iSinθ= r（Cosθ+iSin θ）
2、z=r（Cosθ+Sinθ）为复数的三角形式
三、典型例题
例1．指出下列复数的模和辐角
0000cos+isin(cos70+isin70)(cos20-isin20)（1）（2）3（3）44
例2．把下列复数的代数形式化成三角形式
（1）Z1=4 (2) Z2=-3i (3) Z3=1+i 4(4)3zi
例3．把下列复数的三角形式化成代数形式
00=2(cos+isin)(cos30+isin30)11（1）z（2）z333
四、巩固练习：课本74-75页练习
1、把下列复数化成三角形式：（1）6 （2）-5 （3）2i （4）-i（5）-2+2i
2、把下列复数化成代数形式
五、课堂小结：
六、课后作业：课本75页习题3、4
1234221(2)3()()3333(3)2(00)(4)5()()22zcosisinzcosisinzcosisinzcosisin
word
10.3
复数的三角形式及其运算
[课程目标] 1.掌握复数的三角形式的乘、除及乘方运算；2.掌握复数的代数形式与三角形式的转化关系．
知识点一 复数的三角形式
[填一填]
1．如果非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应点Z(a，b)，且r为向量OZ→的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，那么r＝|z|＝a2＋b2，根据任意角余弦、正弦的定义可知，cosθ＝ar，sinθ＝br.因此，a＝rcosθ，b＝rsinθ，如下图，从而z＝a＋bi＝(rcosθ)＋(rsinθ)i＝r(cosθ＋isinθ)，上式的右边称为非零复数z＝a＋bi的三角形式(对应地，a＋bi称为复数的代数形式)，其中的θ称为z的辐角．
2．任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个，而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍．特别地，在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值，记作argz.
[答一答]
1．复数的三角形式条件是什么？
提示：z＝r(cosθ＋isinθ)，
①r≥0.
②加号连接．
③余弦在前，正弦在后．
④θ前后一致，可任意值． word
知识点二
复数三角形式的乘法
[填一填]
1．设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，那么z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)×r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
2．两个复数相乘的几何意义：设z1，z2对应的向量分别为OZ1→，OZ2→，将OZ1→绕原点旋转θ2，再将OZ1→的模变为原来的r2倍，如果所得向量为OZ→，那么OZ→对应的复数即为z1z2，如下图．
3．如果n∈N，那么[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn[cos(nθ)＋isin(nθ)]．
[答一答]
2．复数三角形式的乘法的运算原那么是什么？
提示：两个复数相乘，其积还是一个复数，它的模等于两个复数模的积，它的辐角等于两个复数辐角的和．也就是说，两个复数相乘，是把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角．
10.3四册
第十章复数
*10.3 复数的三角形式及其运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1。12(cos 30°+isin 30°）×2(cos 60°+isin 60°）×3(cos 45°+isin 45°）=（ ）
A。3√22+3√22i B.3√22−3√22i
C。—3√22+3√22i D.—3√22−3√22i
答案C
解析12(cos30°+isin30°)×2(cos60°+isin60°)×3(cos45°+isin45°）=12×2×3[cos（30°+60°+45°）+isin（30°+60°+45°）］=3（cos135°+isin135°）=3(-√22+√22i)=-3√22+3√22i。故选C.
2。(cosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)=（ )
A.32+3√32i B.32−3√32i
C.-32+3√32i
D.—32−3√32i
答案C
解析(cosπ2+isinπ2)×3(cosπ6+isinπ6)
=3[cos(π2+π6)+isin(π2+π6)]
=3(cos2π3+isin2π3)
=—32+3√32i.
故选C.
3。4(cos π+isin π)÷[2(cosπ3+isinπ3)]=( ) 10.3四册
A.1+√3i B。1—√3i
C。-1+√3i D。—1-√3i
答案C
解析4（cosπ+isinπ)÷[2(cosπ3+isinπ3)]
=2[cos(π-π3)+isin(π-π3)]
=2(cos2π3+isin2π3)
=—1+√3i.
故选C。
4.2÷［2(cos 60°+isin 60°)］=（
）
A。12+√32i B。12−√32i
C.√32+12i D.√32−12i
答案B
解析2÷2[（cos60°+isin60°)］
=2（cos0°+isin0°）÷[2（cos60°+isin60°)]
