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因式分解重难点

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《因式分解》

一、 教学分析

1、 教学内容分析

因式分解是人教版初中《数学》八年级第 15章的第4节。因式分解与上一 节整式的乘除和下一章分式联系极为密切， 它是因数分解的延伸和推广，是多项 式乘法的逆运算，在分式通分和约分，一元二次方程和函数中有广泛的应用.本 节的提公因式法是最常用，最基本也是最重要的分解方法之一，是后继学习其他 分解方法的基础。因此，本节起着承上启下的作用。

2、 教学对象分析

学生已有整式的乘除、因数分解等知识的基础，通过观察类比得到因式分解 意义，通过与电子白板的整合教学，相互合作交流，归纳确定公因式的步骤及提 公因式的分解方法。在积极倡导下，学生通过动脑、动手、动口，亲身经历体验 数学学习的过程。根据由具体到一般的思维方式，符合学生的认知规律。

3、 教学环境分析

充分地运用媒体、加大了一堂课的教学容量，极大提高了学生的学习兴趣， 提高教学效率。通过与电子白板的整合，可以很好地体现教师在教学过程中的思 路和策略。

二、 教学目标

(1) 初步了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形 .

(2) 会找公因式.

(3) 会用提取公因式法 分解因式.

(4) 体会数学知识之间是相互联系的，是可以相互转化的 .

(5) 进一步培养学生观察、分析、归纳的能力.并向学生渗透对比的数学思想方 法.

三、 教学重点、难点

重点：因式分解的概念，提公因式法.

难点：因式分解与整式乘法的相互关系，确定公因式 .

理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整节因式分解的灵魂， 提公因

式法是因式分解最基本最常用的方法。难点是理解因式分解与整式乘法的相互关 系，利用它们之间的关系进行因式分解的思想。 理由是学生由乘法到因式分解的 变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习， 造成思维定势，学 生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍新概念的形成。公因式的确定，学生往往不 能正确确定公因式，数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都有的字母， 并取它们的最低次幕。

频 创设情境，激趣引入

理解因式分解的概念

1白板 探究比较/ 白板感悟新知/ °白板’巩固运用'

提公因式法因式分解

•白板.学习新知-4白板匕找一找—°白板乙练一练■

V

(白板I课堂总结，引导巩固

G板 检测反馈

2、教学过程设计 —结—束

(1) 整合视频“创设情境，激趣引入”这一过程的意图：数学来源于生活， 身边处处都是数学。同时兴趣是最好的老师，可以激发情感，唤起学习的动机。 从而引导学生成为学习的主人。一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的 认知结构，促使新旧认知结构的连接，满足“温故而知新”的教学原理。二是为 本节课目标的达成作好垫铺。在此基础上引出课题一一因式分解。利用对比分析， 让学生体会，把运算化为积的形式，给计算带来的优越性，顺应了因式分解概念 的引出。渗透了对比，类比的数学思想方法。

(2) 整合“探究发现”这一过程，学生充分展现生动活泼、主动求知的个性， 使学生真正成为学习的主体，使因式分解与整式的乘法的关系得到正强化。

(3) 整合“感悟新知”这一过程，通过对比教学，提高学生对因式分解的知 觉水平；通过具体数的分解这一类比教学，产生正迁移，认识新概念，符合学生

概念形成的认知规律；通过故设偏差法，制造认知冲突，让学生咬文嚼字因式分 解的概念，引导学生主动探索，自主学习的积极势态，促进学生对概念本质属性 的理解。从而进一步突出重点，突破难点。师生归纳要注意的问题： ①因式分解是对多项式而言的一种变形；②因式分解的结果仍是整式； ③因式分解的结果必是一个积；④因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

(4) (5)整合“学习新知”，“寻找公因式”这两个过程，完全放手让学生自

主进行，充分暴露学生的思维过程，本环节是教学内容的难点关键，通过由具体 的数到一般的式，结合提出的问题得出公因式的概念， 再结合题目加强训练，让 学生自行操作，相互交流，教师指导归纳，小结确定公因式的步骤，充分显示了 白板优势，培养了学生学习方法，体验了学习成功的快乐。 四、教学过程

1、教学流程 开始 (6) 整合“练一练”的意图：借助电子白板，既使这一堂课的所学的解法有 了思维的推理过程， 又起到例题的示范作用。 在前面知识铺垫下， 可以让学生亲 自动手，让他们体会发现在解题时易出现的错误并纠正， 使学生的学习达到最大 化，效率倍增。 最后一题拓展题与开始引入的实例呼应， 整个过程先由实际问题 引入新课，然后再回到实际问题中， 解决实际问题。 同时也充分说明了数学来源 于生活，又服务于生活。

(7) 整合“课堂总结，引导巩固”这一意图：使学生从整体上了解本节课的 学习内容，通过自省小结以顺利完成知识的同化与顺应。

(8) 整合“教学反馈与评价”这一过程意图：学生一般临近下课，大脑处于 疲劳状态，注意力开始分散。通过让学生练习，在练习中归纳，再一次点燃学生 即将沉睡而去的心理兴奋点， 点燃学生主题意识的再度爆发。 同时，学生的知识 学习得到了自我评价和巩固， 成为本节课的最后一个亮点。 教师根据反馈信息适 时点拨；同时从新课标评价理念出发，抓住学生语言、思想、动手能力方面的亮 点给予表扬，不足的方面给予帮助、鼓励，形成发展性评价，提高学生学数学， 用数学的信心。

五、教学感悟

教学过程不仅是知识传授的过程， 更是学生掌握良好学习方法， 锻炼思维能

力，培养创新能力，感受数学思想的过程。本课以“问题情境 ，获取新知，应 用与拓展”的模式展开，符合学生的认知规律。教学方法与设置： 运用电子白 板，采用类比、探究式教学，辅以讲练结合，师生互动。引导学生自主、合作、 探索的学习方式， 符合新课标确立新的学习方式的要求。 在各电子白板整合教学 环节中，学生主动探索，合作交流并动手实践， 培养了团结协作精神和创新意识， 形成了灵活开放与生成发展的课堂教学，营造了平等、轻松、活泼的教学氛围。

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因式分解讲义

因式分解讲义

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龙文教育学科教师辅导讲义

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课 题

因式分解

教学目标 1、 了解因式分解的意义。

2、 熟练运用适当的方法进行因式分解。

重点、难点 重点：因式分解的概念以及运用提取公因式法和公式法分解因式。

难点：运用因式分解进行多项式的除法以及解简单的一元二次方程。

教学内容

一、概述

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

分解因式与整式乘法互为逆变形。

二、因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则

1 分解要彻底

2 最后结果只有小括号

3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-32x +x=-x(3x-1)）

基本方法

1】提取公因式

这种方法比较常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等

因式分解总复习学案

因式分解总复习学案

渣渡中心学校“人本健智大课堂”七年级下期 数学 导学案

编号 01 备课组 方菊红 况中初 肖艳 班级 七 姓名

课题 第三章.因式分解总复习学案 审阅

一、知识梳理

1、因式分解的概念

，叫做把多项式因式分解.

注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.

2、提取公因式法

把mambmc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式()abc是mambmc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如 下:()mambmcmabc

注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂.

3、运用公式法

把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

ⅰ）平方差公式 22()()ababab

注意:①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22ba的形式，并弄清a、b分别表示什么.

ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()aabbabaabbab

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2bababa公式原型，弄清a、b分别表示的量.

因式分解知识点归纳

因式分解知识点归纳

因式分解

知识点回顾

1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算

2、常用的因式分解方法：

（1）提取公因式法：)(cbammcmbma

（2）运用公式法： 平方差公式：))((22bababa；

完全平方公式：222)(2bababa

（3）十字相乘法：))(()(2bxaxabxbax

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；

（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法

5、同底数幂的乘法法则：mnmnaaa（nm,都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：235()()()ababab

6、幂的乘方法则：mnnmaa)(（nm,都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(

幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(

如：23326)4()4(4

7、积的乘方法则：nnnbaab)(（n是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx•••

8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,,0都是正整数，且)nm

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab

9、零指数和负指数；

10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。 ppaa1（pa,0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。

如：81)21(233

10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

因式分解教学设计教案

因式分解教学设计教案

长兴中学集备教学设计《因式分解》

（一）教学目标：

1、 目标：

（1）、了解因式分解、公因式等概念；了解因式分解的作用。

（2）、理解因式分解和多项式乘法之间的互逆关系。

（3）、运用提公因式法、公式法等方法分解因式。

2、过程性目标：

（1）、让学生体会因式分解与多项式乘法之间的互逆关系，利用这种关系解答因

式分解的问题。

（2）、让学生通过观察、分析、归纳分解因式的方法。

（二）教学重点、难点：

教学重点：因式分解的目的，因式分解的方法。

（学生习惯依葫芦画瓢，作题有时不理解题目要求，常常把分解因式的题做成

多项式的乘法。让学生理解因式分解的目的是很重要的。讲讲因式分解的作用可以帮

助学生理解因式分解的目的。）

教学难点：因式分解的方法，特别是公式法。

（在以往的教学中发现，学生在使用公式法分解因式时不够灵活，易出错。原 因是不能理解公式中a、b是变量，可以变成其它的式子，单项式或多项式；两个公 式只是两种计算规律。学生的思维往往被公式中a、b这两个字母迷惑。）

教学突破点：

1、 强调因式分解的目的，强调因式分解与多项式乘法的互逆关系，要求学生使 用这种互逆关系检验因式分解的结果。

2、 用“规律”来解释“公式”，强调公式只是描述了一种运算规律；用符号来描

述这种规律。

（三） 教学过程：（共3课时，教学过程的内容就是学习卷的内容。）

教学过程 设计意图

复

习

部

分 一、还记得“分解质因数”吗？

1、列各书分解质因数：

（1）15= _______ （2）18= ____________

（3）65= _______ （4）81= ____________

2、把下列各分数约成最简：

15 65

⑴18= ⑵8r

81 36

（3） = ______ （4） = _______ 27 216 分解因式与分解因

数的概念类似，借复习

分解质因数这个学生熟

悉的小学知识来帮助学