因式分解、分式易错点解析

第五节 因式分解与分式

本节知识导图

河北中考命题规律

考什么 怎么考

考点 年份 题号 题型 考查方式 考频 命题趋势

因式

分解 2019 13 选择题 分式化简与求值，涉及完全平方公式

5年

4考 因式分解常与分式化简结合考查，多为选择题，2019年首次分式化简及求值与数轴相结合，形式新颖，预计2020年仍会考查 2018 14 选择题 分式化简，涉及提公因式

2016 4 选择题 分式化简，涉及平方差公式、完全平方公式

2015 18 填空题 分式化简与求值，涉及平方差公式和提公因式

分式的

运算

2019 13 选择题 分式化简，判断结果在数轴上的位置 5年

4考 中考复习

2 2018 14 选择题 四名同学接力完成分式化简

2017 13 选择题 两项分式减法

2016 4 选择题 两项的分式减法、乘法、除法运算

2015 18 填空题 涉及平方差公式和提公因式，化简并求值 5年1考

河北中考考题试做

因式分解

1．(2013·河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )

A．a(x－y)＝ax－ay

B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1

C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3

D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)

分式化简及求值

2．(2019·河北中考)如图，若x为正整数，则表示（x＋2）2x2＋4x＋4－1x＋1的值的点落在(B)

A．段① B．段② C．段③ D．段④

3．(2018·河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： 中考复习

3

接力中，自己负责的一步出现错误的是(D)

A．只有乙 B．甲和丁

C．乙和丙 D．乙和丁

4．(2016·河北中考)下列运算结果为x－1的是( B )

A．1－1x B.x2－1x·xx＋1

七年级上册数学易错点总结

1、整式中最容易犯错误的要点是分母是“ 1 ”时,不能忘记这一点，否则会出现错误。

2、分式的运算时，应重点标出各项的征称，不可以连锁乘法或连锁加法，比如A/B*C/D ≠ (AC)/(BD)；

3、计算分式的时候，不要忘记要首先将分子分母统一化分母；

4、正确表示分式的乘法，应是“两个分式相乘乘号前后加括号”，即写作 (A/B)*(C/D)；

5、对于不定义的函数的求值应了解，当变量所代表的量与函数表达式中的变量无关，则函数表达式的值为不定向；

6、因式分解时，要注意先将多项式化简，且如果有共同因子要把它提出来，而且不能反复化简，因为可能会改变多项式的形式；

7、幂运算时要特别注意，次方的运算不能超过乘方的小数次幂，也不能使用乘方计算次方；

8、五边形的平面计算时要注意，其周长公式要加上一半斜边，不可以只加每条边；

9、求立体几何体体积时，要加强计算思维，不能只能是死记公式；

10、图形识别时要注意，应先确定图形的角数和能预先算出的边数，然后再正确地用高中所学的公式去求解。

因式分解【知识要点】

1、因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。

概念要点：（1）结果必须是“积”（2）两个因式必须是 “整式”

2、因式分解的方法：“一提，二套，三分组”

（1）、提取公因式法：提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

确定公因式的方法：系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。

（2）套用公式法：

如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式的目的。这种方法叫做运用公式法。

A 平方差公式： “两个平方项，符号不一样 ”

22()()ababab

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

B完全平方公式： “甲平方，乙平方，甲乙2倍在中央”

2222()aabbab

2222()aabbab

①左边相当于一个三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定.

C 补充：（二次三项式的因式分解）

3、因式分解的一般步骤：

第一步：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；

第二步：再看有几项，

如两项，则考虑用平方差公式；

如三项，则考虑用完全平方公式；

第三步：最后看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。

注意：① 分解因式后首项不能为负

② 分解结果中只能出现小括号

③ 应分解到每一个因式都不能再分解为止.

分式与分式方程

知识要点 总结 注意问题

分式因式分解的方法与技巧

分式因式分解是高中数学中的一个重要概念，它是将一个分式表达式表示为两个或多个因式的乘积的形式。分式因式分解的方法和技巧是解决这类问题的关键，下面将介绍一些常见的方法和技巧。

一、分式因式分解的基本概念

分式因式分解是指将一个分式表达式表示为多个因式的乘积的形式。在进行分式因式分解时，需要找出分子、分母的公因式，并将其约掉，从而得到分式的最简形式。

二、分式因式分解的方法

1. 提取公因式法

当分式的分子、分母中存在公因式时，可以提取公因式并约掉，从而实现分式的因式分解。例如，对于分式表达式(2x+4)/(x+2)，我们可以提取公因式2，并得到2(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式2。

2. 分子分解法

当分式的分子可以进行因式分解时，可以将分子进行因式分解，并与分母约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。例如，对于分式表达式(x^2+3x+2)/(x+2)，我们可以将分子进行因式分解，得到(x+1)(x+2)/(x+2)，然后约掉(x+2)，得到最简形式(x+1)。

3. 分母分解法 当分式的分母可以进行因式分解时，可以将分母进行因式分解，并与分子约掉相同的因式，从而得到分式的最简形式。例如，对于分式表达式1/(x^2-x)，我们可以将分母进行因式分解，得到1/x(x-1)，然后约掉(x-1)，得到最简形式1/(x(x-1))。

4. 完全平方式

当分式中存在二次因式时，可以使用完全平方式进行因式分解。例如，对于分式表达式(x^2-4)/(x^2-2x)，我们可以使用完全平方式，将分子分解为(x+2)(x-2)，将分母分解为x(x-2)，然后约掉(x-2)，得到最简形式(x+2)/x。

三、分式因式分解的技巧

1. 观察分子、分母的特征：分式中的分子和分母通常都具有一定的特征，例如是否存在公因式、是否可以因式分解等，观察这些特征可以帮助我们选择合适的分式因式分解方法。