湖北省2021年高二数学第二学期期末模拟考试卷(三)

郑州四中2021-2022学年下期高二年级期末模拟考试理科数学命题人 审题人一､单选题（共60分）1.已知复数i z =，则复数1iz-的模是（ ）A.2 D.32.已知函数()f x 满足()()()221202x f x f e f x x -=-+'，则()f x 的单调递减区间为（ ） A.(),0∞- B.()1,∞+ C.(),1∞- D.()0,∞+3.已知随机变量ξ的分布列如下表，()D ξ表示ξ的方差，则()32D ξ+=（ ）A.2 B.2 C.2 D.1324.5位大学生在若假期间主动参加,,A B C 三个社区的志愿者服务，且每个社区至少有1人参加，则不同的安排方法共有（ ）A.30种B.90种C.120种D.150种5.已知实数,x y 满足2x y +=，则下列结论的证明更适合用反证法的是（ ） A.证明1xy ≤ B.证明,x y 中至少有一个不大于1 C.证明222x y +≥ D.证明,x y 可能都是奇数6.某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高（单位：cm ）和臂展（单位：cm ）进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的平均值为176cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的线性回归方程为ˆˆ1.234uv =-，则下列结论不正确的是（ ）A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系C.这10名志愿者臂展的平均值为176.2cmD.根据回归方程可估计身高为160cm 的人的臂展为158cm 7.下列有关线性回归分析的六个命题：①在回归直线方程20.5ˆyx =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy 平均减少0.5个单位 ①回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ①当相关性系数0r >时，两个变量正相关①如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 就越接近于1①残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 ①甲､乙两个模型的相关指数2R 分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好 其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.已知曲线2ln 3y x x x =-的一条切线在y 轴上的截距为2，则这条切线的方程为（ ） A.420x y --= B.520x y --= C.420x y +-= D.520x y +-=9.柯西分布（Cauchydistribution ）是一个数学期望不存在的连续型概率分布.记随机变量X 服从柯西分布为()0,X C x γ~，其中当01,0x γ==时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为()()211f x x π=+.已知()(211,0,,(1312X C P X P X ~≤=<≤=，则()1P X ≤-=（ ）A.16B.23C.14D.1210.已知实数12em dx x =-⎰，则521m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为（ ） A.130 B.110 C.110- D.130-11.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代，如果在边长为27的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后选代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（ ）12.已知0,0a b >>，且1(1)(3)b a a b ++=+，则（ ） A.1a b >+ B.1a b <+ C.1a b <- D.1a b >-二､填空题（共20分）13.类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征.比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆222:C x y r +=有性质：过圆C 上一点()00,M x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=.类比上述结论，过椭圆22:1124x y E +=的点()3,1P -的切线方程为__________.14.现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有种__________.15.已知函数()32ln 1,042,0x x f x xx x x +⎧>⎪=⎨⎪--<⎩，若方程()f x ax =有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围是__________.16.某武装部在预备役民兵的集训中，开设了移动射击科目，移动射击科目规则如下：每人每次移动射击训练只有3发子弹，每次连续向快速移动的目标射击，每射击一次消耗一发子弹，若目标被击中，则停止射击，若目标未被击中，则继续射击，3发子弹都没打中，移动目标消失.通过统计分析该武装部的预备役民兵李好以往的训练成绩发现，李好第一枪命中目标的概率为0.8，若第一枪没有命中，第二枪命中目标的概率为0.4，若第二枪也没有命中，第三枪命中目标的概率为0.2.则目标被击中的条件下，李好第二枪命中目标的概率是__________.三､解答题（共70分）17.已知122i,34i z a z =+=-（其中i 为虚数单位）（1）若12z z 为纯虚数，求实数a 的值；（2）若2023122iz z -<+（其中2z 是复数2z 的共轭复数），求实数a 的取值范围.18.给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；①若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4：1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（注：若选择多个条件，按第一个解答计分）已知()*nx n N ⎛∈ ⎝⎭，__________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项.19.已知函数()()24ln 1,f x ax x a =-+为常数.（1）若()f x 在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点； （2）若()f x 在[]2,3上是增函数，求实数a 的取值范围. 20.已知数列{}n a 的前n 项和112n n na S a =+-，且0,n a n N +>∈. （1）求123,,a a a ；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.21.随着原材料供应价格的上涨，某型防护口罩售价逐月上升.1至5月，其售价（元/只）如下表所示：（1）请根据参考公式和数据计算相关系数（精确到0.01）说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）某人计划在六月购进一批防护口罩，经咨询届时将有两种促销方案：方案一：线下促销优惠.采用到店手工“摸球促销”的方式.其规则为：袋子里有颜色为红､黄､蓝的三个完全相同的小球，有放回的摸三次.若三次摸的是相同颜色的享受七折优惠，三次摸的仅有两次相同颜色的享受八折优惠，其余的均九折优惠.方案二：线上促销优惠.与店铺网页上的机器人进行“石头､剪刀､布”视频比赛.客户和机器人每次同时､随机､独立地选择“石头､剪刀､布”中的一种进行比对，约定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头.手势相同视为平局，不分胜负.客户和机器人需比赛三次，若客户连胜三次则享受七折优惠，三次都不胜享受九折优惠，其余八折优惠.请用（1）中方程对六月售价进行预估，用X 表示据预估数据促销后的售价，求两种方案下X 的分布列和数学期望，并根据计算结果进行判断，选择哪种方案更实惠.参考公式：()()()()nnii ii xx y y xx y y r ----==∑∑，ˆˆˆybx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 6.5≈， 2.08y =，()()516.4i i i x x y y =--=∑，()5214.208i i y y =-=∑.22.已知函数()cos f x x x =⋅.（1）当()0,x π∈时，求证：()sin f x x <； （2）求证：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，方程()210f x -=有且仅有2个实数根. 参考答案：1.B 【解析】先求出z ，进而根据复数的除法运算法则进行化简，最后求出模即可. 【详解】由题可得i z =，则)()i 1i 1i 2z+=-，所以1i z ==-故选：B. 2.A 【解析】 【分析】对()f x 求导得到关于()2f '､()0f 的方程求出它们的值，代入原解析式，根据0f x 求单调减区间.【详解】由题设()()()22e 0x f x f f x -''=-+，则()()()2202f f f ''=-+，可得()02f =，而()()2022e f f -'==，则()2e 22f '=，所以()212e 22xf x x x =-+，即()2e 2x f x x '=-+，则()00f '=且fx 递增，当0x <时0f x，即()f x 递减，故()f x 递减区间为（-∞，0）.故选：A 3.C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出a ，根据公式求出()D ξ，再根据方差的性质可求出结果. 【详解】根据分布列的性质得11214a a +-+=，得14a =，所以111()2101424E ξ=⨯+⨯+⨯=，所以222111()(21)(11)(01)424D ξ=-⨯+-⨯+-⨯12=，所以9(32)9()2D D ξξ+==. 故选：C 4.D 【解析】 【分析】每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况，分别求每种情况的安排方法可得答案.因为每个社区至少有1人参加，所以这5位大学生共分为三组，共有1，2，2和1，1，3两种情况.若是1，2，2，则共有1223542322C C C A 90A ⨯=（种）； 若是1，1，3，则共有1133543322C C C A 60A ⨯=（种）， 所以共有6090150+=（种）不同的方法. 故选：D. 5.B 【解析】 【分析】根据反证法的特点：假设结论的对立面，最终导出矛盾，从而肯定结论成立，观察四个选项可作出判断. 【详解】实数,x y 满足2x y +=，观察四个选项，更适合用反证法的是B ， 原因是：假设1x >且1y >，则2x y +>，与已知矛盾，故原结论成立， 其它选项均不适合. 故选：B 6.C 【解析】 【分析】利用平均值､极差､线性回归方程的特征进行逐项判断. 【详解】 解：对于选项A ：因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确.对于选项B ：因为1.20>，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 正确. 对于选项C ：因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.217634177.2cm ⨯-=，故C 错误.对于选项D ：若一个人的身高为160cm ，则由回归方程ˆˆ1.234uv =-，可得这个人的臂展的估计值为158cm ，故D 正确. 故选：C 7.B 【解析】 【分析】对于①，根据回归直线方程的特点即可判断；对于①，根据回归直线的几何意义即可判断；对于①，根据相关指数大于0，可得两变量正相关即可可判断；对于①，根据相关系数r 与变量的相关性的关系即可可判断；对于①，根据残差图的特点即可判断；对于①，根据模型的2R 与效果的关系即可判断. 【详解】对于①，根据回归系数的含义，可得回归直线方程ˆ20.5y x =-中，当解释变量x 增加1个单位时，预报变量ˆy平均减少0.5个单位，故①正确； 对于①，回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线，不正确.回归直线也可能不过任何一个点；故①不正确；对于①，当相关性系数0r >时，两个变量正相关，故①正确；对于①，如果两个变量的相关性越强，则相关性系数r 的绝对值就越接近于1；故①不正确； 对于①，残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故①不正确； 对于①，甲､乙两个模型的2R 分别约为0.88和0.80则模型甲的拟合效果更好，故①不正确， 则正确的个数为2. 故选：B. 8.D 【解析】 【分析】设出切点坐标()20000,ln 3x x x x -，根据导数的几何意义写出切线方程，将点()0,2代入求出0x 的值，进而得切线方程. 【详解】函数2ln 3y x x x =-的定义域为()0,∞+，设切点坐标为()20000,ln 3x x x x -，因为ln 61y x x '=-+，则切线斜率为00ln 61x x -+，所以切线方程为()()2000000ln 3ln 61y x x x x x x x -+=-+-，将点()0,2代入切线方程并整理得200320x x --=，解得01x =，或023x =-（舍去），所以这条切线的方程为()351y x +=--，即520x y +-=. 故选：D. 9.C 【解析】 【分析】根据柯西分布的对称性进行求解即可. 【详解】 因为21()()π(1)f x f x x -==+，所以该函数是偶函数，图象关于纵轴对称，由P （|X |=23，可得1(03P X <<=，因为P （1X <≤=112，所以111(01)3124P X <<=-=，因此1(10)4P X -<<=，所以111(1)244P X ≤-=-=， 故选：C 10.C 【解析】 【分析】由微积分基本定理求解m ，将5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭看作5个因式22(1)x x +-相乘，要得到21x ，分析每个因式所取项的情况. 【详解】1ee122ln |2(ln e ln1)2m dx x x=-=-=--=-⎰， 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭表示5个因式22(1)x x +-相乘，所以其展开式中含21x 的项为1个因式中取22x ，4个因式取1-，或者2个因式中取x ，2个因式取22x ，1个因式取1-所得到的项， 则5221x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含21x 的项的系数为()()412225532C 12C C 1110-+-=-. 故选：C. 11.C 【解析】 【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得. 【详解】设最大正三角形的边长为1a ，则127a =，其内部迭代出的正三角形的边长分别为237,,,a a a ⋅⋅⋅，由余弦定理得2222111112222cos 333333a a a a a a π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理得22226237,,33a a a a =⋅⋅⋅=，①62271113a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，①最小的正三角形的面积77711sin 1232S a a π=⨯⨯⨯=⨯=.故选：C. 12.B 【解析】 【分析】根据题意，两边取对数整理得()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++，进而构造函数()()()ln 10x f x x x+=>，利用单调性来比较自变量a 与1b +的大小. 【详解】 解：因为()()113b aa b ++=+，0a >，0b >，所以()()()ln 1ln 3ln 211a b b a b b +++=>++. 设()()()ln 10x f x x x +=>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=.设()()()ln 101x g x x x x =-+>+，则()()()22110111x g x x x x -'=-=<+++， 所以()g x 在()0,∞+上单调递减.当0x →时，()0g x →， 所以()0g x <，即()0f x '<，故()f x 在()0,∞+上单调递减. 因为()()1f a f b >+，所以1a b <+. 故选：B. 13.40x y --= 【解析】 【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=，然后可得.【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆2222:1x y E a b+=上一点00(,)P x y 的椭圆的切线方程为00221x x y y a b +=.所以，，过椭圆22:1124x y E +=上的点()3,1P -的切线方程为31124x y -+=，即40x y --=. 将4y x =-代入221124x y+=得：2690x x -+=，解得3x = 所以直线40x y --=和椭圆22:1124x y E +=有唯一交点()3,1P -，即直线与椭圆相切. 故答案为：40x y --= 14.420按照A B C D E →→→→的顺序进行涂色， 其中B 与D 的颜色可以相同也可以不相同，所以不同的涂色方法共有()5431322607420⨯⨯⨯⨯+⨯=⨯=种.故答案为：42015.()0,1【解析】【分析】将原问题转化为函数()g x 的图象与直线y a =有4个交点，分0x >和0x <两类情况讨论，利用导数判断函数()g x 的单调性求得最值，由此作出函数()y g x =的图象，利用数形结合即可求出实数a 的取值范围.【详解】方程()f x ax =有四个不等的实数根，等价于()222ln 1,024,0x x x y g x x x x +⎧>⎪⎪==⎨⎪--<⎪⎩的图象与直线y a =有4个交点.当0x >时，()22ln 1x g x x+=，则()34ln x g x x -'=，令()0g x '<，可得1x >，则函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故函数()g x 在()0,∞+上的最大值为()11g =.当0x <时，()224g x x x =--，则()()3222122x g x x x x +'=+=，令()0g x '<，可得1x <-，则函数()g x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，故函数()g x 在(),0∞-上的最小值为()11g -=-.作出函数()g x 的图象，如图所示，要使函数()g x 图象与直线y a =有4个交点，则01a <<，故实数a 的取值范围是()0,1.故答案为：()0,1. 16.10113【解析】【分析】根据全概率公式结合条件概率公式计算即可【详解】记事件A ：“李好第一枪击中目标”，事件B ：“李好第二枪击中目标”，事件C ：“李好第三枪击中目标”，事件D ：“目标被击中”，则()()()()()P D P A B C P A P B P C =++=++0.80.20.40.20.60.20.904=+⨯+⨯⨯=，()0.20.40.08P B =⨯=，()()()()()0.08100.904113P BD P B P B D P D P D ====. 故答案为：1011317.（1）83a =（2）24a <<【解析】【分析】（1）根据题意123846i 2525z a a z -+=+，再根据纯虚数性质求解；（2）根据题意得122i z z -<-，即.（1） 由12i z a =+，234z i =-，得()()122i 34i 2i3846i 34i 252525a z a a a z +++-+===+-， 因为12z z 为纯虚数，所以38025a -=，且46025a +≠，所以83a =（2）()()()122i 34i 32i z z a a -=+-+=--， 因为2023122i z z -<+，所以122i z z -<-<即()2345a -+<，解得24a <<.18.（1）4352T x =和74254T x =（2）51T x =，4352T x =，35516T x =【解析】【分析】（1）无论选①还是选①，根据题设条件可求5n =，从而可求二项式系数最大的项.（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.（1）二项展开式的通项公式为：211C C,0,1,2,,2rr r r r n n n r r n T x x r n --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭.若选①，则由题得012C C C 16n n n ++=，①()11162n n n -++=，即2300n n +-=，解得5n =或6n =-（舍去），①5n =.若选①，则由题得()221111C 22141C 22n n n n n n nn n n----⎛⎫- ⎪⎝⎭==-=⎛⎫ ⎪⎝⎭，①5n =，展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为22443515C 22T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，7732345215C 24T x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：5521551C C ,0,1,2,,52r r r r r r r T x x r --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 当52r Z -∈即0,2,4r =时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为：51T x =，5423522215C 22T x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，5342545415C 216T x x -⎛⎫= ⎪=⎝⎭. 19.（1）1a =，极小值点（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，根据极值点列出方程，求出1a =，从而求出单调区间，判断出1x =是()f x 的极小值点；（2）问题转化为2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，求出2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，从而求出实数a 的取值范围. （1）①()f x 定义域为(1,)-+∞，()421f x ax x'=-+； 若()f x 在1x =处有极值，则()1220f a '=-=，①1a =，此时()()24ln 1f x x x =-+，()()()2214 211x x f x x x x+-'=-=++. ①1x >-，①20x +>，10x +>，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数.当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数.①1x =是()f x 的极小值点.（2）由条件知()0f x '≥在[]2,3x ∈上恒成立，即4201ax x -≥+， ①22a x x ≥+在[]2,3x ∈上恒成立，只需2max2a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭， ①2211[6,12]24x x x ⎛⎫+=+-∈ ⎪⎝⎭，①2211,63x x ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，即13a ≥，即a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.20.（1）11a，2a3a （2）n a .【解析】【分析】（1）赋值法进行求解；（2）猜想n a（1）令1n =得：111112a a a =+-，因为0n a >，n ∈+N ，解得：11a ，令2n =得：2122112a a a a +=+-，即2221112a a a +=+-解得：2a ，令3n =得：31233112a a a a a ++=+-，3331112a a a =+-，解得：3a（2）猜想{}n a的通项公式为n a当1n =时，11a ，成立，假设n k =时，k a =则12315321211k k S a a a k k =+++=-+-++--=则当1n k =+时，111112k k k a S a +++=+-，即111112k k k k a S a a ++++=+-1111112k k k a a a++++=+-，解得：1k a +综上：n a n *∈N 都成立.21.（1）相关系数0.98；ˆ0.640.16yx =+ （2）6月预计售价为4元/只；方案一分布列见解析；期望为14645；方案二分布列见解析；期望为446135；应选择方案一【解析】【分析】（1）依据题中所给数据，计算出x y 、的值，带入参考公式计算即可. （2）根据（1）中线性回归方程，求得X 可取的值，依次计算概率，列出分布列，求解数学期望，利用数学期望比较两种方案.（1）相关系数()()56.40.986.5i ix x y y r --==≈≈∑， 由于0.98接近1，说明y 与x 之间有较强的线性相关关系.()()()51521 6.4ˆ0.6410i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆ 2.08 1.920.16a =-=， 所以ˆ0.640.16yx =+. （2）由（1）可知，ˆ0.640.16yx =+，当6x =时，ˆ4y =，即6月预计售价为4元/只. X 可取的值为2.8，3.2，3.6.若选优惠方案一，1331( 2.8)39C P X ===； 1111321332( 3.2)33C C C C P X ===； 3332( 3.6)A P X ===； 此时122438146() 2.8 3.2 3.693913545E X =⨯+⨯+⨯==. 若选优惠方案二，客户每次和机器人比赛时，胜出的概率为132133C =，则不胜的概率为23.33311( 2.8)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；211221331212242( 3.2)3333993P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 30328( 3.6)327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；此时128446() 2.8 3.2 3.627327135E X =⨯+⨯+⨯=.438446135135<，说明为使花费的期望值最小，应选择方案一.22.【解析】（1）令()()sin cos sin g x f x x x x x =-=⋅-，()g x 的定义域为(0)π，，()cos sin cos sin g x x x x x x x =--=-⋅'⋅， 当0()x π∈，时，()0g x '<恒成立，①()g x 在(0)π，上单调递减， ①当0()x π∈，时，()(0)0g x g <=恒成立，故当0()x π∈，时，()sin f x x <；（2）设()2()12cos 1h x f x x x =-=⋅-，()h x 的定义域为(0)2π，，()2(cos sin )h x x x x =-⋅'，设()cos sin x x x x ω=-⋅，()x ω的定义域为(0)2π，，()2sin cos x x x x ω=--⋅'，当(0)2x π∈，时，()0x ω'<恒成立，①()x ω在(0)2π，上单调递减，又(0)10ω=>，()022ππω=-<，①存在唯一的0(0)2x π∈，使据0()0x ω=，当00x x <<时()0x ω>，则()2()0h x x ω'=>，①()h x 在0(0)x ，上单调递增， 当02x x π<<时()0x ω<，则()2()0h x x ω'=<，①()h x 在0()2x π，上单调递减，①()h x 在0x x =处取得极大值也是最大值，又(0)10h =-<，()104h π>，()102h π=-<，①()h x 在(0)4π，与()42ππ，上各有一个零点，即当(0)2x π∈，时，方程2()10f x -=有且仅有2个实数根.。

2021-2022学年湖北省高二上学期期末调考数学试题一、单选题1．与空间向量()1,2,3a =-共线的一个向量的坐标是（ ） A ．()2,1,0- B ．()1,2,3 C ．13,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,3,2--答案：C根据空间向量共线的坐标表示即可得出结果. 解：131,1,222a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭.故选：C.2．抛物线212x y =的焦点坐标是（ ） A ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D由解析式可判断焦点的位置，再求p ，继而可求出焦点坐标.解：∵ 212x y =， ∴ 焦点在y 轴正半轴上，且122p =， ∴128p = ∴ 抛物线212x y =的焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故选：D.3．在单调递减的等比数列{}n a 中，若31a =，24103a a +=，则1a =（ ） A ．9 B ．3C ．13D ．19答案：A利用等比数列的通项公式可得1103q q +=，结合条件即求. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由31a =，24103a a +=，得 1103q q +=，解得13q =或3q =，又{}n a 单调递减， 故13q =，3129a a q ==.故选：A.4．若OA 、OB 、OC 为空间三个单位向量，OA OB ⊥，且OC 与OA 、OB 所成的角均为60，则OA OB OC ++=（ ）A ．5 BC D答案：C先求OA OB OC ++的平方后再求解即可.解：()22222OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OA OC ++=+++⋅+⋅+⋅ 11320522⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭，故5OA OB OC =++， 故选：C5．雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为（ ）A ．34B ．12C ．14D ．16答案：B由已知条件得基本事件总数为24C 6=种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.解：从四类比赛中选两类参赛，共有24C 6=种选择，其中“诵读中国”被选中的情况有3种，即“诵读中国”和 “诗教中国” ，“诵读中国”和“笔墨中国”， “诵读中国”和“印记中国” ，由古典概型公式可得3162P ==， 故选：B .6．由直线25y x =+上的点向圆221x y +=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．2答案：D切点与圆心的连线垂直于切线，切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系， 利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值，结合勾股定理即可得出结果.解：设(),P x y 为直线25y x =+上任意一点，min 225512OP ==+，切线长的最小值为：212l OP =-=，故选：D.7．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率 / 0.4 0.4 0.8乙获胜概率 0.6 / 0.6 0.3丙获胜概率 0.6 0.4 /0.5丁获胜概率 0.2 0.7 0.5 /则甲最终获得冠军的概率是（ ）A ．0.165B ．0.24C ．0.275D ．0.36答案：B先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果. 解：甲最终获得冠军的概率()0.40.50.40.50.80.24p =⨯+⨯=， 故选：B.8．在xOy 平面上有一系列点()()()111222,,,,,,,n n n P x y P x y P x y ，对每个正整数n ，点n P 位于函数()20y x x =≥的图象上，以点n P 为圆心的n P 与x 轴都相切，且n P 与1n P +彼此外切．若11x =，且()*1n n x x n +<∈N ,1n n n T x x +=,{}n T 的前n 项之和为n S ，则10S =（ ）A ．919B ．2021C ．1021D ．1123答案：C根据两圆的几何关系及其圆心在函数()20y x x =≥的图象上，即可得到递推关系式112n n n n x x x x ++-=，通过构造等差数列求得n x 的通项公式，得出112121n T n n =⋅-+，最后利用裂项相消，求出数列{}n T 前n 项和n S ，即可求出10S . 解：由n P 与1n P +彼此外切， ()()22111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222111n n n n n n x x y y y y +++-+-=+，()()()222221111144n n n n n n n n n n x x y y y y y y x x +++++-=+--==，又∵1n n x x +<， ∴1111122n n n n n n x x x x x x +++-=⇒-=，故1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且111x =，2d =， 则()112121n n n x =+-=-121n x n ⇒=-， 111111=212122121n n n T x x n n n n +⎛⎫==⋅- ⎪-+-+⎝⎭， 则1111111+23352121n S n n ⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭， 即101021S =，故答案选：C . 二、多选题9．过点()2,1-且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A ．20x y += B ．10x y ++= C ．30x y -+= D ．20x y -=答案：AC将点代入直线方程，并求出横纵截距即可判断答案.解：对A ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为0，则A 正确； 对B ，点()2,1-满足直线方程，且横纵截距均为-1，则B 错误； 对C ，点()2,1-满足直线方程，且横截距为-3，纵截距为3，则C 正确； 对D ，点()2,1-不满足直线方程，则D 错误. 故选：AC.10．关于双曲线22:1916x y C -=，下列结论正确的是（ ）A ．离心率为53B ．实轴长为6C ．渐近线方程为430x y ±=D ．焦点F 到一条渐近线的距离为3 答案：ABC由双曲线方程求a b c ，，，由此判断A ，B ，再求渐近线方程及焦点F 到渐近线的距离，由此判断C ，D.解：∵双曲线22:1916x y C -=∴ 3a =，4b =，5c =，故离心率为53e =，实轴长为26a =，A 对，B 对，又双曲线C 的渐近线方程为：430x y ±=，焦点F 的坐标为(5,0)± 焦点F 到一条渐近线的距离为4d ==，C 对，D 错，故选：ABC.11．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为,a b ，则下列结论正确的是（ ） A ．7a b +=时的概率为536B ．2a b≥时的概率为16C ．6ab =时的概率为19D ．a b +是6的倍数的概率是16答案：CD先求出所有的基本事件的个数为6636⨯=个，再求出四个选项中每一个事件发生包含的基本事件的个数，利用古典概率公式计算概率即可判断是否正确，进而得出正确答案. 解：先后抛掷两颗质地均匀的骰子，共有36种不同的情形.A.7a b +=时满足的情形有()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1，故61366P ==，故A 错误； B.2ab≥时满足的情形有()2,1，()3,1，()4,1，()4,2，()5,1，()5,2，()6,1，()6,2，()6,3，故91364P ==，故B 错； C.6ab =时满足的情形有()1,6，()2,3，()3,2，()6,1，故41369P ==，故C 正确； D. a b +是6的倍数的情形有()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1,()6,6，故a b +是6的倍数的概率是16，故D 正确.故选：CD.12．如图，P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>在第一象限的交点，且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ，则下列结论正确的是（ ）A ．12,PF a m PF a m B ．若60θ=︒，则2221314e e += C ．若90θ=︒，则2212e e +的最小值为2D ．tan2n bθ=答案：ABD根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.解：由椭圆和双曲线的定义得：121222PF PF aPF PF m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1PF a m =+，2PF a m =-，A正确；在12F PF △中，由余弦定理得：()()()()()2222cos 2a m a m a m a m c θ-++--+=， 整理得()()2221cos 1cos 2a m cθθ-++=，()()22221cos 1cos 2a m c c θθ-++=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=， 当60θ=︒时，222132122e e +=，即2221314e e +=，B 正确；当90θ=︒时，2212112e e +=，2222222112122222121211)11()()1(22e e e e e e e e e e ++++==+12≥=，当且仅当121e e ==时取“=”，而1201,1e e <<>，C 不正确；在椭圆中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F a c PF PF θ=+-=--，即2122||||1cos b PF PF θ=+， 在双曲线中，22222121212122||||cos ||||||442||||PF PF PF PF F F m c PF PF θ=+-=-+，即2122||||1cos n PF PF θ=-，于是得22222222sin 221cos 2tan 1cos 1cos 1cos 22cos 2n b n b θθθθθθθ-=⇔===-++，而022θπ<<，则tan2nbθ=，D 正确. 故选：ABD点评：方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系. 三、填空题13．直线10x -=的倾斜角为_______________. 答案：150由直线10x -=的斜率为k =，得到00tan [0,180)αα=∈，即可求解.解：由题意，可知直线10x +-=的斜率为k =，设直线的倾斜角为α，则003tan ,[0,180)3αα=-∈，解得0150α=， 即换线的倾斜角为0150.点评：本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 14．等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若66a =，则11S =________． 答案：66直接利用等差数列前n 项和公式和等差数列的性质求解即可. 解：由已知条件得()11161111226622a a a S +===, 故答案为：66.15．由曲线()222x y x y +=-围成的图形的面积为________．答案：2π4-曲线()222x y x y +=-围成的图形关于x 轴，y 轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.解：将x -或y -代入方程，方程不发生改变，故曲线()222x y x y +=-关于关于x 轴，y 轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当0x >，0y >时，曲线()222x y x y +=-可化为：22(1)(1)2x y -++=，在第一象限为弓形，其面积为()2111ππ2211422S =-⨯⨯=-， 故π412π42S ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：24π-.16．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且,AB AD 的斜率之积为34-，则椭圆的离心率为________．答案：120.5根据对称性设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，根据34AB ADk k ⋅=-得到2234b a -=-，再求离心率即可.解：由对称性，B ，D 关于原点对称，设()11,A x y ，()00,B x y ，()00,D x y --，2222012222210101022222101010101134AB ADx x b b a a y y y y y y b k k x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⋅=⋅===-=-+---， 故22211142b e e a =-=⇒=.故答案为：12 四、解答题17．甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为23,34，求：(1)甲、乙恰好有一人击中的概率； (2)目标被击中的概率． 答案：(1)512； (2)1112. （1）分为甲击中且乙没有击中，和乙击中且甲没有击中两种情况，进而根据独立事件概率公式求得答案；（2）先考虑甲乙都没有击中，进而根据对立事件概率公式和独立事件概率公式求得答案. (1)设甲、乙分别击中目标为事件A ，B ，易知A ，B 相互独立且()23P A =，()34P B =，甲、乙恰好有一人击中的概率为()233511343412P AB AB 2⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)目标被击中的概率为()()321111114312P A B P AB ⎛⎫⎛⎫+=-=---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,16,12n S S S =-=-． (1)求{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ． 答案：(1)29n a n =-；(2)2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N且且.（1）根据等差数列前n 项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式； （2）结合（1）求出n S ，再令0n a ≥得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案. (1)设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，∴1111434162382254656122a d a d a d a d ⨯⎧+=-⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⨯⎩⎪+=-⎪⎩，解得：172a d =-⎧⎨=⎩ 所以()71229n a n n =-+-⨯=-. (2)29n a n =-，所以()()2171282n S n n n n n =-+-⨯=-.当02905n a n n ≥⇒-≥⇒≥；当02904n a n n <⇒-<⇒≤，当04n <≤，*n ∈N 时，()212128n n n T a a a a a a n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-，当5n ≥时，()()()21245428216n n n T a a a a a S S n n =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-=--⨯-2832n n =-+.综上：2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线:2l y kx =+与C 交于,A B 两点且OA OB ⊥（O 为坐标原点）． (1)求抛物线C 的方程；(2)设()2,2P ，若直线,PA PB 的倾斜角互补，求k 的值．答案：(1)22x y =；(2)2-.（1）利用韦达定理法即求； （2）由题可求122PA x k +=，222PB x k +=，再结合条件即得. (1)设()11,A x y ，()22,B x y ，由222x py y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x pkx p --=， 故124x x p =-，由OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，即221212022x x x x p p+⋅=， ∴1p =，故抛物线C 的方程为：22x y =；(2)设PA 的倾斜角为θ，则PB 的倾斜角为πθ-，∴()tan tan π0PA PB k k θθ+=+-=,由222x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2240x kx --=，∴122x x k +=，∴21111112222222PA x yx k x x --+===--，同理222PB x k +=，由0PA PB k k +=，得1222022x x +++=，∴1240x x ++=，即240k +=，故2k =-.20．如图，在棱长为3的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是,AB BC 上的点且2AE BF ==．(1)求证：A F C E ''⊥；(2)求平面B EF '与平面BEF 的夹角的余弦值．答案：(1)证明见解析(2)27（1）建立空间直角坐标系后得到相关向量，再运用数量积证明；（2）求出相关平面的法向量，再运用夹角公式计算即可.(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系：()3,0,3A '，()1,3,0F ，()0,3,3C '，()3,2,0E()2,3,3A F '=--，()3,1,3C E '=--，∴6390A F C E ''⋅=--+=，故A F C E ''⊥.(2)()3,3,3B '，()0,1,3B E '=--，()2,0,3B F '=--，设平面B EF '的一个法向量为(),,m x y z =， 由0302300B E m y z x z B F m ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩'⎩'，令2z =-，则()3,6,2m =-， 取平面BEF 的一个法向量为()0,0,1n =，设平面B EF '与平面BEF 夹角为θ，易知：θ为锐角， 故2cos 793641m nm n θ⋅===++⨯， 即平面B EF '与平面BEF 夹角的余弦值为27.21．某情报站有A B C D E 、、、、．五种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周末使用的四种密码中等可能地随机选用一种．设第一周使用A 密码，k P 表示第k 周使用A 密码的概率．(1)求1234,,,P P P P ；(2)求证：15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求k P 的表达式． 答案：(1)11P =，20P =，314P =，4316P =(2)证明见解析，1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ (1)根据题意可得第一周使用A 密码，第二周使用A 密码的概率为0，第三周使用A 密码的概率为14，以此类推； (2)根据题意可知第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14，进而可得1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，结合等比数列的定义可知15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求出结果.(1)11P =，20P =，314P =，()43131416P P =-⨯= (2)第1k +周使用A 密码，则第k 周必不使用A 密码（概率为1k P -），然后第1k +周从剩下的四种密码中随机选用一种，恰好选到A 密码的概率为14故()1114k k P P +=-，即1111545k k P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ 故15k P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列且11455P -=，公比14q =- 故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故1141554k k P -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22．已知22:4200A x y x ++-=，直线l 过()2,0B 且与A 交于,C D 两点，过点B 作直线AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求证：EA EB +为定值，并求点E 的轨迹T 的方程；(2)设动直线:n y kx m =+与T 相切于点P ，且与直线3x =交于点Q ，在x 轴上是否存在定点(),0M t ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：(1)证明见解析，22162x y +=（0y ≠）(2)存在，()2,0M(1)根据题意和椭圆的定义可知E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =，进而得出椭圆标准方程；(2)设()00,P x y ，联立动直线方程和椭圆方程并消元得出关于x 的一元二次方程，根据根的判别式可得点P 和Q 的坐标，结合0PM QM ⋅=，利用平面向量的坐标表示列出方程组，即可解出点M 的坐标.(1)圆A ：()22224x y ++=，r =∵AC AD =，∴ACD ADC ∠=∠，又BE AC ∥，∴EBD ACD ∠=∠∴EBD EDB ∠=∠，∴EB ED =，故4EB EA ED EA AB +=+=>= ∴E 点的轨迹是以A ，B为焦点的椭圆，且2a =24c =∴2222b a c =-=，故T ：22162x y +=（0y ≠）； (2) 由22162y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222136360k x mkx m +++-= ∴()()()2226436130mk m k ∆=--+=，故()22213m k =+， 设()00,P x y ，则023631mk k x k m =-=-+，002y kx m m=+=， 故62k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()33Q k m +，， 由0PM QM ⋅=可得：()()62330k t t k m m m ⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭ 由()232620k t t t m-++-=对∀k ，m 恒成立 ∴2320220t t t t ⎧-+=⇒=⎨-=⎩ 故存在()20M ，使得以PQ 为直径的圆恒过定点M。

七宝中学2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷出卷人 卜照泽 审卷人 尹赵 本场考试时间120分钟，满分150分.一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第16题每题4分，712题每题5分）1. 在5(1的展开式中，2x 的系数为 .(用数字作答)2. 将5个人排成一排，若甲和乙须排在在一起，则有 种不同的排法.(用数字作答)3. 某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2:2:1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为 .4. 已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ，n 的比值mn= .5. 抗击疫情期间，小志参与了社区志愿者工作.现在要对服务时长排名前20％的志愿者进行表彰.该社区的志愿者服务时长（单位：小时）如下：186.0 102.0 22.0 64.0 36.0 68.0 106.0 126.0 110.0 210.0 124.0 226.0 154.0 230.0 58.0 162.0 70.0 162.0 166.0 16.0 根据以上数据，该社区志愿者服务时长的第80百分位数是 .（精确到0.1） 6．某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数，则()1P X ≤＝ ．7. 某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程x (单位：万千米)对应维修保养费用y (单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：若用最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.58yx b =+，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是 .8. 新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为23，乙小组研发成功的概率为12.在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为 .9.小强对重力加速度做n 次实验，若以每次实验的平均值作为重力加速度的估值，已知估值的误差290,n N n ⎛⎫⎪⎝∆⎭～，为使误差n ∆在()0.5.0.5−内的概率不小于0.6827 ，小强至少需要做 次实验.（参考数据：若()2,X N μσ～，()0.6827P X μσμσ−≤≤+=） 10. 设随机变量X ，Y 满足：31Y X =−，()2,XB p ，若()519P X ≥=，则[]D Y = . 11. 设随机事件A 、B ，己知()0.4P A =，()0.3P B A =，()0.2P B A =，则()P B = . 12.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p 、2p 、3p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘且在第二盘与甲、乙、丙比赛的概率分别为p 甲、p 乙、p 丙，则p 甲、p 乙、p 丙的大小关系为 .二、选择题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13. 在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为mn，当n 很大时，事件A 发生的概率()P A 与mn的关系是 ( )A ．()P A mn≈ B ．()m P A n < C ．()m P A n > D ．()m P A n =14．若二项式1()2n x −展开式中所有项的系数之和为n a ，所有项的系数绝对值之和为n b ，二项式系数之和为n c ，则下列结论不成立的是 （ ）A ．n n n a b c <<B ．103n n n n b a a b +≥C ．对任意,1N n n ∈≥均有n n n a b c +≤D ．存在,1N n n ∈≥使得n n n a b c +>15. 由于疫情各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为 （ ）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++.A ．130 16．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==−∑.命题1：若1(1,2,,)i p i n n==，则()H X 随着n 的增大而增大；命题2：若2n m =，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +−==+=，则()()H X H Y ≤.则以下结论正确的是 （ ） A ．命题1正确，命题2错误 B ．命题1错误，命题2正确 C ．两个命题都错误 D ．两个命题都正确 三、解答题（本大题共5题，满分76分）17. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 求满足下列方程组的正整数的解： (1)32228n n P P =；(2)112311n n n nn n n n C C C C +−−+++−=+.18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知()(31),,1N n f x x n n =−∈≥.(1)若()f x 的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中2x 的系数； (2)若2023n =，且()2023220230122023(31)f x x a a x a x a x =−=++++，求012023a a a +++.19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m 名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m 名学生的各项平均成绩(满分100分)，按照以下区间分为7组：[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，并得到频率分布直方图(如)．已知测试平均成绩在区间[)30,60内的有20人．(1)求m 的值及中位数n ；(2)若该校学生测试平均成绩小于n ，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．设每场比赛双方获胜的概率都为12．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）2022年冬奥会刚刚结束，比赛涉及到的各项运动让人们津津乐道．高山滑雪（Alpine Skiing）是以滑雪板、雪鞋、固定器和滑雪杖为主要用具，从山上向山下，沿着旗门设定的赛道滑下的雪上竞速运动项目．冬季奥运会高山滑雪设男子项目、女子项目、混合项目．其中，男子项目设滑降、回转、大回转、超级大回转、全能5个小项，其中回转和大回转属技术项目．现有90名运动员参加该项目的比赛，组委会根据报名人数制定如下比赛规则：根据第一轮比赛的成绩，排名在前30位的运动员进入胜者组，直接进入第二轮比赛，排名在后60位的运动员进入败者组进行一场加赛，加赛排名在前10位的运动员从败者组复活，进入第二轮比赛．现已知每位参赛运动员水平相当．（1）求每位运动员进入胜者组的概率，及每位败者组运动员复活的概率；（2）从所有参赛的运动员中随机抽取5人，设这5人中进入胜者组的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）从败者组中选取10人，其中最有可能有多少人能复活？试用你所学过的数学和统计学理论进行分析．。

哈三中2021—2022学年度下学期高二学年期末考试数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（共60分）（一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2|),(x y y x A ==，{}(,)|B x y y x ==，则集合B A 的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则11a b <C ．若0a b <<，则22a ab b >>D ．若0a b <<，则b a a b>3．已知1,0x y >>，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为A ．9B ．10C ．11D ．7+4．函数()f x =的单调递增区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(3,)+∞A ．设随机变量1~62XB ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()2E X =B ．已知随机变量()2~2X N σ，且(4)0.9P X <=，则(02)0.1P X <<=C ．设随机变量X 服从两点分布，若()()100.4P X P X =-==，则()E X =0.6D ．四位同学到4所大学访问，每人只去一所大学，设事件A =“4个人去的大学互不相同”，事件B =“甲独自去一所大学”，则2(|)9P A B =6．已知奇函数()f x 满足()()()2f x f x x -=-∈R ，且[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则关于x 的方程()()001f x m m -=<<在区间[]4,8-上的所有根之和是A ．4B ．6C ．8D ．107．已知函数xx x f ln )(=，22)1ln()(ax x x g ++=，若],1[21e x ∈∀，)1,0(2∈∃x 使得)()(21x g x f >成立，则实数a 的取值范围是A ．ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．ln 2,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．1,e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．ln 2,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8．已知函数()ln()(0)xf x e a ax a a a =-+->，，若关于x 的不等式0)(>x f 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,eC ．1(,1)eD ．(0,)e （二）多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9．下列关于回归分析的说法中，正确的是A ．在回归分析中，散点图内的散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，我们称两个变量呈正相关B ．在回归分析中，残差点所在的带状区域宽度越宽，说明模型的拟合精度越高C ．在回归分析中，样本数据中一定有样本点()x yD ．决定系数2R 越大，模型的拟合效果越好A ．函数x mx x f ln )(2-=在)2,1(上单调递增的一个必要不充分条件是⎭⎬⎫⎩⎨⎧>41|m m B ．“2||>+b a ”是“2||||>+b a ”充分不必要条件C ．“1a >”是“11a<”的必要不充分条件D ．命题“01],3,2[2≥+-∈∃mx mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围为1|6m m ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭11．下列说法中正确的是A ．函数2123y x x =-+的值域为1(,]2-∞B．函数2y =的值域为[2,)+∞C．函数y =[2,D ．若函数22log (2)y ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[0,1]12．悬链线指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，例如悬索桥等，因其与两端固定的绳子在均匀引力作用下下垂相似而得名．适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其标准方程为cosh x y a a =（e e cosh 2xxa ax a a a -+=⋅，其中a 为非零常数，e 为自然对数的底数）．当a ＝1时，记()cosh f x x =，则下列说法正确的是A ．()()2221f x f x =-B ．()f x 是周期函数C ．()f x 的导函数()f x '是奇函数D ．()f x 在(],0-∞上单调递减二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数(21)f x -的定义域为．14．哈三中理学会组建甲、乙两个数学解题小组，两个小组独立开展解题工作，已知某道竞赛题甲小组解题成功的概率为23，乙小组解题成功的概率为12．在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为．15．函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤+-=1,231619)(22x a x x x ax x x f ，，若)1()(f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为．16．已知定义在R 上的函数)(x f 满足),0[,)()(212+∞∈∀=-+x x x x f x f ，，均有12121212()())2f x f x x x x x x x -+>≠-（，则不等式21)1()(->--x x f x f 的解集为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知集合|⎧⎪==⎨⎪⎩A x y ，集合{|211}B x a x a =-<<+.（1）求集合A ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为3 5 .（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bca b c d a c b d χ-=++++.()2P kχ≥0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828某大学为了了解数学专业研究生招生的情况，对近五年的报考人数（单位：个）进行了统计，得到如下统计数据：年份20182019202020212022年份编号x 12345报考人数y3060100140170（1）经分析，y 与x 存在显著的线性相关性，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+并预测2023年的报考人数；（2）每年报考该专业研究生的考试成绩大致符合正态分布2(,)N μσ，根据往年统计数据，2385,225μσ==.录取方案：总分在400分以上的直接录取，总分在[385,400]之间的进入面试环节，录取其中的80%，低于385分的不予录取，请预测2023年该专业录取的大约人数(最后结果四舍五入，保留整数).参考公式和数据：()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-.若随机变量X ()2~,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973.P X μσμσ-<<+=随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式：()60,03080,30120150x v k R kx x <≤⎧⎪=∈⎨-<≤⎪-⎩.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.2.236≈）公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现Z 症状的情况，决定对小白鼠进行接种试验.该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为14，假设每次接种后当天是否出现Z 症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望.22．（本题满分12分）已知()2ln(1).x f x e a x =++（1）若()f x 在0x =处的切线恰好与轴平行，讨论此时()f x 的单调性；（2）当1a =-时，判断()sin 1()x g x f x e x ---=的零点个数.哈三中2021—2022学年度下学期高二学年期末考试数学试卷答案一、选择题：题号123456789101112答案BCBDDBAAADABCDACD二、填空题：13.1[,2]2-14.2515.[2,4]16.1(,)2+∞三、解答题：17.（1）(,1)[2,)A =-∞-+∞ （2）当B =∅时，211a a -≥+，2a ≥当B ≠∅时，21121111212a a a a a a -<+-<+⎧⎧⎨⎨+≤--≥⎩⎩或，3222a a ≤-≤<或综上，322a a ≤-≥或18.（1）（2）零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，220.00125<10.828=6χχ=,依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100（3）X 的可能取值为0,1,2,3，3(3,5X B 3123283236(0)((1)()512555125P X P X C =====⋅⋅=,22333254327(2)(),(3)()551255125P X C P X ==⋅⋅====.X ∴的分布列为X 0123P812536125541252712539()355E X =⨯=.19.（1）()11234535x =++++=，()130601001401701005y =++++=，所以()()()121360ˆ3610niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑，则ˆˆ1003638a y bx=-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程是ˆ368yx =-，当2023年时，即6x =时，ˆ3668208y=⨯-=，即2023年的报考人数大约为208人.（2）考试成绩()2~385,15X N ，则40038515=+，10.6827(400)0.158652P X ->==，直接录取人数为2080.1586533⨯≈，[385，400]之间的录取人数为0.68272080.8572⨯⨯≈，所以2023年该专业录取的大约为335790+=人.20.（1）由题意知当120x =（辆/千米）时，0v =（千米/小时），代入80150kv x=--，解得2400k =，所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩.当030x <≤时，6040v =≥，符合题意；当30120x <≤时，令24008040150x-≥-，解得90x ≤，所以3090x <≤.答：若车流速度v 不小于40千米/小时，则车流密度x 的取值范围是(]0,90.（2）由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当030x <≤时，60y x =为增函数，所以1800y ≤，当30x =时等号成立；当30120x <≤时，240045008080[180(150)]150150x y x x x x=-=--+--4800(33667≤-≈.当且仅当4500150150x x-=-，即30(583x =-≈时等号成立.答：隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.21.（1）已知每只小白鼠接种后当天出现Z 症状的概率均为14，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现Z 症状的概率为114p =，在第二天接种后当天出现Z 症状的概率为2113131444416p ⎛⎫=-⨯=⨯= ⎪⎝⎭，在第三天接种后当天出现Z 症状的概率为3331944464p =⨯⨯=，所以，一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为123139374166464p p p p =++=++=；（2）设事件C =“某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z 症状”，则()32333131544432P C C C 2⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,随机变量X 可能的取值为1、2、3，则()()5132P X P C ===,()()()2751352132321024P X P C P C ==-⋅=⨯=⎡⎤⎣⎦,()()227277293132321024P X P C ==-=⨯=⎡⎤⎣⎦,所以X 的分布列为：X 123P 53213510247291024随机变量X 的数学期望为51357292617()12332102410241024E X =⨯+⨯+⨯=.22.（1）()2,1x a f x e x '+=+()200f a ='+=2a ∴=-()22ln(1).x f x e x ∴=-+()()22,1x f x e f x x '+'=-在()1,-+∞单调递增，且()00.f '=当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时(),0f x '>.所以函数()f x 在(-1，0)单调递减，在()0,∞+单调递增.（2）证明:略。

2021年秋季新洲一中、黄陂一中期末联考高二数学试卷（文）命题学校：新洲一中 命题老师：蔡敏 审题老师：马金爱考试时间：2022年元月26日上午8:00～10:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 命题“若3a >-,则6a >-”以及它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 2．已知命题1)1(,0:>+>∀x e x x p 总有，则p ⌝为 （ ）A. 1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使B. 1)1(,0≤+>∀xe x x 总有C. 1)1(,0000≤+>∃x ex x 使 D.1)1(,0≤+≤∀xe x x 总有 3．抛物线22y x =的准线方程为 （ ）A. 12y =-B. 18y =-C. 12x =-D. 18x =-4. 物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查， 5家商场的售价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：价格x(元) 99.5 1010.5 11 销售量y(件)11 10865由散点图知，销售量y 与价格x 之间有线性相关关系，且回归直线 方程是y ＝－3.2x ＋a ，则a ＝( )A. 40B. －24C.35.6D. 40.5 5．假如执行右上图的算法语句输出结果是2，则输入的x 值是（ ） A.0 B.0或2 C.2 D.-1或26. 接受系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为( )A.12B.13C.14D.157. 已经抛物线2:C y x =与直线:1,l y kx =+ 则"0"k ≠ 是“直线与抛物线有两个不同交点” 的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 用随机数表法从100名同学(男生20人)中抽选25人进行评教，某男同学被抽到的可能性是( ) A ．0.01 B ．0.04 C ．0.2D ．0.259．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，以|21F F |为直径的圆与曲线渐近线的一个交点为（3,4），则双曲线的方程为 （ ）A.191622=-y xB. 14322=-y xC. 116922=-y xD. 13422=-y x10．下列函数在区间),0(+∞上是增函数的是（ ）A ．x y sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -=ln11．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的直线交椭圆于A,B 两点，右焦点为2(,0),F c 则2ABF 的最大面积为（ ）A ．2bB ．abC ．acD ．bc12. 已知在R 上可导的函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()0f x f x ⋅'<的解集为( )A.(2,0)-B.(,2)(1,0)-∞-⋃-C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D. (2,1)(0,)--⋃+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是13,2y x =+则()()/11f f +=___14．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+y mx 的离心率为__________.15．对任意的R x ∈，函数ax ax x x f 7)(23++=有三个单调区间，则a 的范围为 16．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++= ．三、解答题（共70分）INPUT x IF 1x < THEN 21y x ∧=+ ELSE2y x x ∧=-END IF PRINT y17．（满分10分）已知命题p ：R x ∈∀，不等式0232>+-mx x 恒成立，命题q ：椭圆13122=-+-m y m x 的焦点在x 轴上．若命题p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围18．（满分12分）由507名画师集体创作的999 幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参与创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表． （Ⅰ）求a ，b 的值(即①②)；并补全频率分布直方图； （Ⅱ）依据频率分布直方图估量这507名画师年龄的平均数；（III ）在抽出的[20,25)岁的5名画师中有3名男画师,2名女画师.在这5名画师中任选两人 去参与某绘画竞赛，选出的恰好是一男一女的概 率是多少？19．（满分12分）已知圆C:0322=++++Ey Dx y x 关于直线01=-+y x 对称，圆心C 在其次 象限,圆的半径为2. （1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.20．（满分12分） 已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是1.2（1）求n 的值（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为.b（i ）记“2a b +=”为大事A ,求大事A 的概率；（ii ）在区间[0，2]内任取2个实数,x y ，求大事“222()x y a b +>-恒成立”的概率21．(满分12分)已知圆22:(2)12A x y ++=，圆A 内肯定点(2,0)B ，圆P 过点B 且与圆A 内切. （Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线2y kx =+与点P 的轨迹交于,C D 两点.问是否存在常数k ，使得以CD 为 直径的圆过坐标原点O ,若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22. （满分12分）已知函数2()(23)x f x x ax a e =+--，（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值；（2）设0a <，当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2y e =上方，求实数a 的取值范围。

上期期末考试 高二文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，时量：120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目.2. 考生作答时，选择题和非选择题均须做在答题卡上，在本试题卷上答题无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.3. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.4. 本试题卷共4页，如缺页，考生须声明，否则后果自负.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上. 1. 已知i 是虚数单位，则复数122ii+-等于（ ） A. i B. i -C. 5iD.45i + 2. 设集合{}|0A x x =>，{}2|5140B x x x =--<，则A B 等于（ ）A. {}|05x x <<B. {}|27x x <<C. {}|25x x <<D. {}|07x x <<3. 设R θ∈，则“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知等比数列{}n a 中33a =，则15a a 等于（ ） A. 9B. 5C. 6D. 无法确定5. 已知向量()1,2a =，(),2b x =-，且a b ⊥，则a b +等于（ ）A. 5B.5 C. 2D.31 6. 椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为6，P 到另一个焦点的距离为（ ） A. 5B. 6C. 4D. 107. 关于函数2()2sin cos 23f x x x x =-，下列结论中不正确．．．的是（ ） A. ()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. ()f x 的一个对称中心为,36π⎛-⎝ C. ()f x 的最小正周期为πD. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为23,0⎡⎤-⎣⎦ 8. 函数3223125y x x x =--+在[]2,1-上的最大值、最小值分别是（ ）A. 12；-15B. l ；-8C. 5；-16D. 12；-89. 如图所示的三视图表示的四棱锥的体积为323，则该四棱锥的最长的棱的长度为（ ）A. 42B. 17C. 6D. 310. 函数()sin x x y e e x -=+的部分图像大致为（ ）A. B. C. D.11. 设正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 14m n a a a =，则14m n+的最小值为（ ） A.53B.32C.256D. 不存在12. 已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上有A ，B 两点满足OA OB ⊥，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为（ ）A. 51+ B.5 C. 13+ D.3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.14. 已知球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于______.15. 曲线313y x =在82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭点处的切线方程为______. 16. ()f x 满足：存在T R ∈，0T ≠，对定义域内的任意x ，()()()f x T f x f T +=+恒成立，则称()f x 为T 函数.现给出下列函数：①1y x=；②xy e =；③ln y x =；④sin y x =.其中为T 函数的序号是______.（把你认为正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，1221a a +=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n T . 18. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点.（Ⅰ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求三棱锥C BEP -的体积.19. 某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单价x 和月销售量y 之间的一组数据，如下表所示： 销售单价x （元） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量y （万件）1110865（Ⅰ）根据统计数据，求出y 关于x 的回归直线方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值； （Ⅱ）生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励.现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，求抽到的产品含有月销量量不低于10万件的概率.参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑.20. 如图，已知AOB △的一个顶点为抛物线22y x =的顶点O ，A 、B 两点都在抛物线上，且90AOB ∠=︒.（Ⅰ）证明直线AB 必过一定点； （Ⅱ）求AOB △面积的最小值. 21. 已知函数()13ln 144x f x x x=-+-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()224g x x bx =-+-，若对任意()10,2x ∈，[]21,2x ∈，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数b 的取值范围.请考生在第22，23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos sin x yαα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=-.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）若P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最大值. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围.。

湖北省武汉市部分重点中学2021-2022学年高二上学期期末数学试卷（A卷）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线y＝﹣x+5的倾斜角为（）A．B．C．D．2．（5分）椭圆的一个焦点坐标为，则p＝（）A．2B．3C．4D．83．（5分）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a5+a7+a9＝（）A．21B．42C．63D．844．（5分）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点（﹣5，2）在抛物线上，则抛物线的方程为（）A．y2＝﹣2x B．y2＝﹣4xC．y2＝2x D．y2＝﹣4x或y2＝﹣36x5．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，有下列四个等式，甲：a1＝1；乙：S3＝9；丙：S6＝36；丁：a4＝6．如果只有一个等式不成立，则该等式为（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}中，a1＝4，且a1，a7，a10成等比数列，则其前n 项和S n取得最大值时，n的值为（）A．12B．13C．12或13D．13或147．（5分）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（）个奇数A．1012B．1346C．1348D．13508．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，P A，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是（）A．B．2C．3D．3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，下列结论正确的有（）A．若a2021＞0，则a1a2＞0B．若a1a2＞0，则a2a3＞0C．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2D．若a1a2＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＜010．（5分）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：mx+x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（）A．直线l恒过定点（﹣1，1）B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1C．直线l与圆C有一个交点D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝811．（5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐金筀宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线x＝0，y＝4，y＝﹣2围成的曲边四边形ABMN 绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（）A．双曲线C的方程为B．双曲线与双曲线C共渐近线C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为312．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+1，n∈N*，则（）A．是等比数列B．C．{a n}是递增数列D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程是．14．（5分）写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列a n＝．15．（5分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的右顶点为P，右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C2的顶点与C1的中心O重合．若C1与C2相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则C1的离心率为．16．（5分）作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为a1，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为a n，则a6＝，现有1个半径为a1的圆，2个半径为a2的圆，…，n﹣1个半径为a n﹣1的圆，n 个半径为a n的圆，则所有这些圆的面积之和为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。