《双曲线》练习题经典(含答案)
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《双曲线》练习题
一. 选择题：
1. 已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y=±4
2. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为近，则双曲线方 程为（B ）
D."-讨
1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x・y=0,则双曲
c-¥4=^<=i D•学辱
十 22
4.已知椭圆2/ + 2沪=1 （a>b>0）与双曲线/ 一方2 =1有相同的焦点.则椭圆的离心率为（A ）
丄 鱼 心
B.㊁ C.飞一 D. 丁
2
=一二1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是（A ） 卅_ n
B・（-1, VI） C. （0> 3） D・（0, V3） 6•设双曲线笃-牛1 （0
2 b2
禽为乎U则双曲线的离心率为（A ）
A. 2 B. V3 C. V2 D.色空 3
7. 已知双曲线4~4=1的两条渐近线与以椭圆£+各=1的左焦点为圆心、半径为竽 的圆相切，则双曲 线的离心率为（A ）
A- i B- I c- J D. ?
8. 双曲线虚轴的一个端点为"，两个焦点为为、E, Z斤莎=120° ,则双曲线的离心率为（B ）
f V"
9. 已知双曲线一一 一 =1（加>0/>0）的一个焦点到一条渐近线的距离是2, 一个顶点到它的一条渐近线的
m n
距离为则m等于（D ） V13
A. 9 B・ 4 C・ 2 D・,3
10. 已知双曲线的两个焦点为尺（_ 顾,0）、E（何 0） , M是此双曲线上的一点，且满足 x" - y"=l B・ x" - y"=2 C・ x" - y"=V2
3.在平而直角坐标系中，双曲线C过点P （b 线C的标准方程为（
42
A. 2
2
5.已知方程今一
rn'+n
A. ( - 1, 3) = OJ MFX N MF, \= 2,则该双曲线的方程是（A ）
■ ■ ■
■ y y y
—y = 1 B・ x-—=l ——=1 —y=l
■
11 •设凡 尺是双曲线/一計=1的两个焦点，尸是双曲线上的一点，且3 〃 =4|啟"则△彤E的而枳等于 （c ）
A・ 4、也 B・ 8、/5 C. 24 D・ 48
12.过双曲线y-/=8的左焦点片有一条弦尸0在左支上，若1PQ =7,匹是双曲线的右焦点，则△啟。的周 长是（C ）
A・ 28 B・ 14-8^2 C・ 14 + 8、^ D・ 8^2
2 2
13吨曲线亍討2。），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线
2 2
14•设双曲线务-牛1 （a>0, b>0）的左、右焦点分别为F“兔，以兔为圆心，FfJ为半径的圆与双曲 a2 b2
线在第一、二象限内依次交于A, B两点，若3 F：B =iF:A ,则该双曲线的离心率是（C ）
A. B. ?C・色 D. 2 4 3 2
9
15-过双曲线宀宁“的右焦点作直线】交双曲线于A、B两点，若屈汕则这样的直线共有（C ）条。
好是右焦点与右顶点的中点，此交点到渐近线的距藹为些，则双曲线方程是（C ） 5
线的左右两支分别交于点A、B.若△ABF：为等边三角形，则双曲线的离心率为（B ）
A. 4 B. V? C.空3D. V3 3 相交于A, B, C, D四点，四边形ABCD的而积为2b, 则双曲线的方程为（D ）
A宇平氏4 3 2 2
D. U 4 12
A. 1 B. 2 C. 3
D. 4
（a>0, b>0）,以原点为圆心，b为半径的圆与x轴正半轴的交点恰
r 2 r 2 2 2 2 2 2 2 A. 5x -5y -1 B. X -y -1 C. X - y -ID. X "-1
24 16 16 9 9 16 16 25
2 2
2
16.已知双曲线C：.
a
17.如图，F】、氏是双曲线备-宁1 （a>0, b>0）的左、右焦点，过珀的直线1与双曲 a2 b2 2 2
18. 如图，已知双曲线二厂宁1 0, b>0)的左右焦点分别为F“ F“ Ff』二4, P是双曲线右支上的一
a2 b2
点，F：P与y轴交于点A, AAPFi的内切圆在边PF】上的切点为Q,若PQ二1,则双曲线的离心率是(B ) A. 3 B. 2
C. V3 D•典
19. 已知点M(—3,0), N(3,0), 3(1,0),动圆C与直线MN切于点3 ,过M、N与圆C相切的两直线相
交于点P，则P点的轨迹方程为(B )
2 2 2 2
A. X2-—= l(x<-l) B・ x2- — = l(x>l) C・ x2 + — = 1 (x > 0) D・ x2- —= l(x>l) 8 8 8 10
20 •已知椭圆q与双曲线C?有共同的焦点仟(一2,0),竹(2.0),椭圆的一个短轴端点为3,直线F&与双曲线
的一条渐近线平行.椭圆G与双曲线C?的藹心率分别为竹疋2,
则©+勺取值范囤为(D )
A. [2,+oo) B. [4,+8) C. (4,+s) D・(2,+s)
x V ―z- + —j- ■ 1 (a > 〃 > 0)
21 •已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆“沪 的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆
的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为(D )
丄 丄 逅 也
A.亍 B. 2 c. 3 D. 2
22•双曲线-V-r = 1(匕>0">0)过其左焦点人作x轴的垂线交双曲线于A, B两点，若双曲线右顶点在以AB cr lr
为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范用为(A )
3 3
A. (2, +8) B・(1, 2) C・(二,+8) D・(1,-) 2 2
.2 2 2 23•已知双曲线亠-丄r = l @〉0e〉0)的右焦点F,直线x =—与其渐近线交于A, B两点，且5ABF为钝 a c
角三角形，则双曲线离心率的取值范用是(D )
B. (1, V3) C・(Q+s) D. (1,近)
24.我们把离心率为。=埠丄的双曲线<-4=1 (a>0, b>0)称为黄金双曲线.给出以 乙
下几个说法：①双曲线玄一話―=1是黄金双曲线;
② 若 —C,则该双曲线是黄金双曲线：
③ 若Z"A=90° ,则该双曲线是黄金双曲线；
④若ZJ/Q\=90° ,则该双曲线是黄金双曲线.
英中正确的是(D) V
Bi 7 /
F"：/ 0
•
\
A. ®® B. ®(§)C. 礎④ D.①②®® y 6
4 二、填空题：
25. 如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为6，G, 6, 6,其大小关系为 ___________ 6
■
26. 已知双曲线Y-y= 1的左顶点为血 右焦点为忌P为双曲 线右支上一点，则PA； • PF；的最小值为
■ ■ 27. 已知点尸是双曲线1一2=1上除顶点外的任意一点，玖、尺分别为左、右焦点，c a b
为半焦距，△朋E的内切圆与乙匹切于点"，则凡胡•別= ________________ • E
28・已知双曲线岂一召=l(a>0, b>0)的左.右焦点分别为片(一 °0)、乙(&0)・若双 a b
曲线上存在点只使¥「:黎=£,则该双曲线的离心率的取值范围是 ________ (1,迈+ 1)
29. 已知双曲线宀計的左、右焦点分别为弘F. P为双曲线右支上-点，点Q的坐标为「2, 3),则
PQ + PFi的最小值为_. 7
三、解答题：
30. 已知"曲线C： ++f=l.
⑴ 由曲线Q上"任一点三向x轴作垂线，垂足为只动点尸满足FP = 3EP,求点尸的轨迹.尸的「轨迹可能是 圆吗请说明理由：
⑵ 如果直线/的斜率为边，且过点曲0, — 2),直线2交曲线Q于小万两点，又顾•屈=一专，求曲线C 的方程.
31. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(、疗,0).
(I )求双曲线C的方程
(II)若直线l-.y = kx+42与双曲线恒有两个不同的交点A和B且刃• OB>2 (其中O为原点)，求k的 取值范围
32. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2, 0),实轴长为2羽.
(1) 求双曲线Q的方程；
(2) 若直线2： y= kPr型与双曲线C左支交于月、万两点，求&的取值范囤；
(3) 在(2)的条件下，线段A5的垂直平分线，。与y轴交于"(0,成，求也的取值范围.
2 2
33•已知椭圆C： - -y -=1 (a>b>0)的离心率为些，椭圆C与y轴交于A. B两点，AB =2.
a." b" 2
(I )求椭圆c的方程；
(II)已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA, PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P,使得以MN
为直径的圆经过点(2, 0)若存在，求出点P的横坐标：若不存在，说明理由. A
30. 已知「曲线G亍+€=1・
（1）由曲线CUi一点厅向X轴作垂线，垂足为尸，动点F满足序=3丽，求点F的轨迹.尸的「轨迹可能 是圆吗请说明理由：（2）如果直线1的斜率为谑，且过点M0, -2）,直线1交曲线Q于£、万两点，又
MA.MB = ^-9求曲线Q的方程.
2
解：(1)设 E(x°, y°), P(x, y),则 F(xo O), V FP = 3EP,,
代入¥+x：= 1中，得長+x—1为P点的轨迹方程.当扌时，轨迹是圆.
⑵由题设知直线1的方程为y=血_2,设A（“ Y1）, B（x“ yj,
y = >/2x _ 2,
联立方程组4、,2 消去 y 得：(X+2)xs-4V2x+4-X=0.
— + x2 = l.
A
•••方程组有两解，・・・n+2H0且△>（）,
4 —入
•••入>2或入〈0且XH —2, X! • ±=亍帀，
而 MA»MB =XiX：4- (y,+2) • (y：+2) =x1x：+^/2x1 • \[2xz=3xix;—■
.••VZ7=-|»解得入=一14.曲线C的方程是x=-y7=l.
31. （本题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为（、疗,0）.
（I ）求双曲线C的方程
（II）若直线l:y = kx+>/2与双曲线恒有两个不同的交点A和B且刃• OB>2 （其中O为原点），求k的 取值范围
2 2
解（1）设双曲线方程为亠一「= 1由已知得a = yf3.c = 2.再由a2+b2 = 22 9得b2 = \
cr 汶
故双曲线c的方程为= 1.
（2）将y = 6+近代入-一 y2 3
=1得(1_3，)疋_6岳丫_9 = 0/. (x—Xo, y) =3(x —x°, y—y0)・
