第３期 ２０１２年３月 机械设计与制造 Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ Ｄｅｓｉｇｎ＆Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ ２２１ 文章编号：１００１—３９９７（２０１２）０３—０２２１—０３ 悬臂压电叠层复合梁的弯曲振动固有频率 木
龚立娇１，３王玉山 （ 石河子大学机械电气工程学院）（ 石河子大学水利建筑工程学院，石河子８３２００３） （．３中国科学技术大学精密机械与精密仪器系，合肥２３００２７） ＮａｔｕｒａＩ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ０ｆ ｆｌｅｘｕｒａＩ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｉａｍｉｎａｔｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｂｅａｍ ＧＯＮＧ Ｌｉ－ｊｉａｏ ，ＷＡＮＧ Ｙｕ－ｓｈａｎ （ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ａｎｄ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈｉｈｅｚｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｉｎａ） （ Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ＆Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈｉｈｅｚｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｉｈｅｚｉ ８３２００３，Ｃｈｉｎａ） （ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｍａｃｈｉｎｅｒｙ ａｎｄ Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｉｎｓｔ Ｖｕｍｅｎｔａｔｉｂｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｃｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ ２３００２７，Ｃｈｉｎａ） ● ．、●一卜＾ｔ一’ ｔ斤，、ｔ一’、－ ＾ｔ斤’ ● ’ ● ＾● ’、ｔ一十 ●一’、ｔ ＾§ ｌ，”、ｔ ｔ、曼十 十’、ｌ ＾ｅ 十 § ● ｅ １、曼 、． ／卜 、ｔ ＂、§斤 斗 曼，Ｈ、§ ＾１ ”、． ’ ｌ ＾ｔ ｌ 【摘要】压电叠层复合梁是一种三叠片对称结构。这里以压电陶瓷一金属一压电陶瓷复合结构为； 》研究对象，给出了悬臂式对称压电复合结构的压电振子弯曲振动共振频率表达式，并建立了相应的有限｛ ｌ元模型；计算分析了压电陶瓷一金属复合梁弯曲振动的固有频率值与几何尺寸之间的关系，并与相应的； ；有限元模态分析结果进行了比较。结果表明，两种分析方法得到的压电振子的固有频率值基本符合，计； ｝算公式和模型是精确有效的；压电叠层复合梁愈细长则表达式的计算结果愈准确。 ｛ ｌ 关键词：压电叠层复合梁；固有频率；弯曲振动 ２ ｝ 【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌａｍｉｎａｔｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ ｂｅａｍ ｉｓ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｉｔｈ ｔｈｒｅｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ｛ ｌ ２∞ｎ ｍｅ． ｐ ｚ。ｅｆｅｃ ｒ ｃ ｃｅｒａｍｉｃ—ｍｅｔａｌ－ｐ ｅ 。ｅ ｃ ｒ ｃ ｃｅｒａｍｉｃ ｃ。ｍｐ。ｓｉｔｅ ｓｔｒｕｃ “ｒｅ ｒｅｓｅｎｒｃ 。ｂｊｅｃ ，｛ ；ｔｈｅ ｂｅｎｄｉｎｇ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｆｉｅｑｕｅｎｃｙ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｅｒａｍｉｃ－ｍｅｔａｌ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｃ帆一ｉ ｝妣ｉｌ ｒ ｐｉ ｏｅｆｅｃ ０， ｄｅ砌ｅｄ ａｎｄ ｆｉｎ ｔｅ－ｅｌ㈣肌￡ｍｏｄｅｌ 盯 ｎｓｈｉｐ ６ｅ一｛ ｌ ｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｖａｌｕｅｓ ａｎｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｏｆｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ ｃｅｒａｍｉｃ—ｍｅｔａｌ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｓｔｒｕｃ－｛ ；ｔｕｒｅ ｂｅａｍｓ ａｒｅ ｃ ｃ“ｌａｔｅｄ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅ ｄ，ｗｈｉｃｈ ａｒｅ ｃ。ｍｐａｒｅｄ ｅ ｒｅｓ ｈｓ ｆｒｏｍ ＦＥＭ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｔｈｅ ｒｅｓ“ｆ ｓ； ？ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｖａｌｕｅ ｏｆ￡ｋ ｐｅｉｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ ｖｉｂｒａｔｏｒ ｏｂＬａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｗｏ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ．ｆｉｔｓ． ｅ ｒｅｓｕｈｓ｛ ；ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｆｏｒｍｕｌａ ａｎｄ ＦＥＭ ｍｏｄｅｌ ａｒｅ ６１￣ｃｕｒａｔｅ ａｎｄ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ． ｅ ｌｏｎｇｅｒ ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌａｍｉｎａｔｅｄ ２ 》ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｂｅａｍ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｒｅ ａｃｃｕｒａｔｅ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｈｓ ｏｆｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｉｓ． ｛ ｌ Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｐｉｅｚｏｅｌｅｃｔｒｉｃ ｌａｍｉｎａｔｅｄ ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ ｂｅａｍ；Ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ；Ｆｌｅｘｕｒａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｊ 中图分类号：ＴＨ１６，ＴＮ３０４．９，ＴＨ１１３．１文献标识码：Ａ ｌ 弓『言 应，可作为驱动元件，已在电子、航空航天、机械制造、生物工程和 压电材料既有正压电效应，可作为传感元件，又有逆压电效 机器人等技术领域得到广泛的应用。 ★来稿日期：２０１１－０５—０２女基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０９０７０４２） ｌ４ｊ Ｇｕｉｎｇａｎｄ，Ｍ．ａｎｄＶａｎｊａｎｙ，Ｊ．Ｐ．ａｎｄＪａｃｑｕｉｎ，Ｃ．Ｙ．Ｑｕａｓｉ—ｓｔａｔｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓｏｆ ａｆａｃｅｇｅａｒ ｕｄｅｒｔｏｕｑｕｅ【Ｊｊ，Ｃｏｍｐｕｔｅｒｍｅｔｈｏｄｓｉｎ印ｐＪｉｅｄｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。１９４２００５：４３Ｏ１—４３１８． ［５］Ｌｉｔｖｉｎ，Ｆ．Ｌ．Ｎａｖａ，Ａ．Ｆａｎ Ｑ．ＮｅｗＧｅｏｍｅｔｒｙｏｆＦａｃｅＷ０ｒｉｌｌＧｅａｒＤｒｉｖｅｓｗｉｔｈ ＣｏｎｉｃａｌａｎｄＣｙｌｉｎｄｒｉｃａｌＷｏｒｍｓ ｌ Ｍ Ｊ／／：Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ．ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＭｅｓｈｉｎｇ， ａｎｄ ＳｔｒｅｓｓＡｎａｌｙｓｉｓ．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｍｅｔｈｏｄｓｉｎａｐｐｌｉｅｄｍｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄｅｎｇｉｎｅｅｒ－ ｉｎｇ，１９１ ２００２：３０３５－３０５４． ［６］朱如鹏．面齿轮传动的啮合特性研究［Ｄ］．南京：南京航空航天大学，２００９． ［７］杨连顺，朱如鹏，曾英．正交面齿轮弯曲应力的分析［Ｊ］．机械科学与技 术，１９９９，２０（５）：７０８—７０９． ［８］郭辉，赵宁，方宗德．基于接触有限元的面齿轮传动弯曲强度研究＿＿Ｊ］． 航空动力学报，２００８，２３（８）：１４３８—１４４２． ［９］李政民卿，朱如鹏．面齿轮传动的承载接触分析［Ｊ］南京航空航天大学 学报，２０１０，４２（２）：１ １９—２２３． ［１０］靳广虎，朱如鹏，朱自冰．面齿轮传动齿面瞬时接触温度的分析［ＪｌＪ． 机械科学与技术，２００９（３）１２８． ［１１］靳广虎，朱如鹏，鲍和云．正交面齿轮传动系统的非线性振动挣ｌ生冲 南大学学报：自然科学版，２０１０，４１（５）：１８０７一ｌ８１３． ［１２］付自平．正交面齿轮的插齿加工仿真和磨齿原理研究［Ｄ］．南京：南京 航空航天大学，２００６． ［１３］沈平，刘光磊斜齿面齿轮蜗杆砂轮磨削的双参数法［Ｊ］．机械科学与 技术，２ｏ０８（７）７９－８１． ［１４］薛东彬，陈大立，李永祥．面齿轮的数控铣削加Ｔ［Ｊ Ｊｌ机械制造技术， ２０１０（１ １）６４—６７． ［Ｉ５］王延忠，王庆颖，吴灿辉，等．正交面齿轮齿面偏差的坐标测量［ＪＪ．机 械传动，２０１０（７）３５—３７． ［１６］贺鹏，刘光磊．面齿轮传动安装误差特性研究［Ｊｊ．机械科学与技术， ２００８，２７（１）：９２—９５． ［１７］李政民卿，朱如鹏．装配偏置误差对正交面齿轮传动接触特性的影响 ［Ｊ］．航空学报，２００９，３０（７）：１３５３一ｌ３６０． ［１８］沈云波，方宗德，赵宁，等．齿廓方向修形的斜齿面齿轮啮合特性研究 ［Ｊｌ＿中国机械工程，２００８，１９（１８）：２２１９—２２２２． ［１９］李永祥，陈国定，袁夫彩，等．变位面齿轮齿宽特性的研究［Ｊ］．机械传 动，２００９，３３（４）：１６—１８．
第２９卷第１期 ２ ０ ０ ２年２月 湖 南 大 学 学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ，￣ｉｅｒ，ｃｅｓ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．２９．Ｎｏ．１ Ｆｅｂ．２ ０ ０ ２
文章编号：１０００—２４７２（２００２）０１—００４３—０６
带集中质量的梁弯曲振动特性新
的解析表达式
彭献，彭 凡
（湖南大学工程力学系，湖南长沙４１００８２）
摘要：引八运算符号，导得带任意个集中质量的渠弯曲振动频率方程
和振型函数新的解析表达式．给出运算符号的递推套式．适夸符号运算或
数值计算，便于工程应用．
关键词：集中质量；梁；频率方程和振型函数；运算符号｝连推公式
中圈分类号：０３２６ 文ｔ标识码：Ａ
Ｎｅｗ Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ Ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ Ｌａｔｅｒａｌ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ
Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ａ Ｂｅａｍ ｗｉｔｈ Ｌｕｍｐｅｄ Ｍａｓｓｅｓ
ＰＥＮＧＸｉａｎ，ＰＥＮＧＦａｎ
（Ｄｅｐｔ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｈｕｎａｎ Ｕｎｉｖ，Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１００８２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ ａ ｓｙｍｂｏｌ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｎｅｗ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ
ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｄａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ＩａｔｅｒａＩ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｂｅａｍ ｗｉｔｈ Ｉｕｍｐｅｄ
ｍａｓｓｅｓ ｗｅｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ，ａ ｒｅｃｃｕｒｓｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ＳｙＴｎｂｏｌ ｗａｓ
ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ．Ｉｔ ｉｓ ｖｅｒｙ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ｆｏｒ ｓｙｍｂｏｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｅｎｇｉｎｅｅｒ－
天津大学学报第３ｊ卷第２期２００２年３月
ＪＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＩＡＮ ＪＩＮ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ Ｖｏｌ ３３ Ｎｏ ２ Ｍａｒ． ２００２
非线性连接梁形结构弯曲振动的分岔
张琪昌 ，郝淑英 ．陈予恕
（１．天津大学机械工程学院．五津３０００７＿￣；２．天津理工学院．天津３００１９１）
摘要：建立了具有非线性连接姑构的弹性组合梁的动力学方程，求出系统的分岔方程．得出
分岔图．并求出了精理枣数域下的转迁集．用奇异性理论分析了连接结构参数变化对系统的
动力学特性的影响．发现连接站掏参数对整十系统的稳定性厦解的特性有很太的影响．
关键词：非线性振动；奇异性｝分岔 连接结构
中图分类号：０３２２ 文献标识码：Ａ 文章编号：０４９３—２１３７（２００２）０２叭４３—０４
随着现代航天技术的高速发展．越来越多的航天
结构向大型化、复杂化、轻质量和太柔度方向发展，其
构成通常是由许多子结构通过各种各样的连接结构组
装而成
连接结构构形及工况的复杂性和多样性导致其
力学特性受多种因素的影响而相当复杂，且具有不确
定性、随机性和非线性。。 ，给准确预测航天器的动力
学特性及控制方案的设计带来许多困难．连接结构为
整个结构刚度较弱的部位，低频大幅振动容易导致连
接结构松动和滑移，影响整个系统的动力学特性，导致
系统故障［２一．
Ｍｏｏｎ用实验证明了连接结构的间隙导致系统出
现混沌运动 ，Ｂｕｌｌｏｃｋ则通过实验发现连接结构的各
组成部分都会影响结构的动力学特性 ，Ｂｏｗｄｅｎ的数
值计算结果表明连接结构的局部非线性刚度使得结构
所有自由度的响应都呈现非线性特性 ．吴志刚等人
用随机参数摄动方法研究了局部结构参数的随机性对
整体结构特在值和特征向量的影响
本文以航天结构和机器人手臂等为背景．建立了
由非线性柔性铰连接两弹性梁的力学模型．用拉格朗
日函数导出了梁的振动方程，以平均法求出系统的主
共振定常懈，导出系统的分岔方程．用奇异性理论分
1、梁弯曲分析，自由振动分析的C程序
程序：
#include
#include
float zgxj(float b,float h) /*轴惯性矩计算子程序*/
{
float I;
I=b*h*h*h/12;
return(I);
}
void main() /*主函数*//**/
{
int i,j;
float a[4][4];
float L,b,h,jz,l; /*设置轴的长度、周截面的高度h、宽带b、轴惯性矩、梁单元长度*/
int N; /*设置节点数量N*/
float E; /*刚度系数模量*/
printf("请输入刚度系数：");
scanf("%f",&E);
printf("\n");
printf("请输入杆的长度：");
scanf("%f",&L);
printf("\n");
printf("请输入杆的宽带和高度(数据之间用空格隔开)：");
scanf("%f %f",&b,&h);
printf("\n");
printf("请需要输入划分的节点数量（建议不要太大<20）：");
scanf("%d",&N);
printf("\n");
jz=zgxj(b,h);/*计算轴惯性矩的值*/
l=L/(N+1);/*求梁单元长度*/
a[0][0]=12*E*jz/(l*l*l); /*计算刚度矩阵*/
a[0][1]=6*E*jz/(l*l);
a[0][2]=(-12)*E*jz/(l*l*l);
a[0][3]=6*E*jz/(l*l);
a[1][0]=6*E*jz/(l*l);
a[1][1]=4*E*jz/l;
a[1][2]=(-6)*E*jz/(l*l);
a[1][3]=2*E*jz/l;
a[2][0]=(-12)*E*jz/(l*l*l);
a[2][1]=(-6)*E*jz/(l*l);
