梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图课件

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力 Q 和弯矩 M 可以表示为坐标的函数，即

它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标 轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。

例 5-1 简支梁 AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

图 5-10

解： (1) 计算支反力 以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、

B 两端的支反力应相等，即

(1)

方向如图。

(2) 建立剪力、弯矩方程 以梁左端 A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力 Q () 、弯矩 M () 皆为正，如图 5-10b 所示。由平衡方程

将 (1) 式代入上面两式，解得

（ 2 ）

（ 3 ）

(2) 、 (3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。

(3) 绘制剪力图、弯矩图 由式 (2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如 A 、 B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图 5 - 10c 所示。

由式 (3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值：当时 , M =0

；当时，；当 时，。由此作出的弯矩图，如图 5-10d 所示。

由剪力图和弯矩图可知，在靠近 A 、 B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为

在梁的中央截面上，剪力 Q ＝ 0 ，弯矩为最大，其值为

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标准 简单载荷 梁内力图（剪力图与弯矩图）

梁的简图 剪力Fs图 弯矩M图

1

laF sFFlaFlal+- Flala)(+M

2

leM sFlMe+ MeM+

3

laeM sFlMe+ MeMlaleMla+-

4

lq sF+-2ql2ql M82ql+2l

5

lqa sF+-lalqa2)2(lqa22 M2228)2(lalqa+lalqa2)(2lala2)2(

6

l0q sF+-30lq60lq M3920lq+3)33(l

7 aFl sFF+ Fa-M

8 aleM sF +eMM 实用文档

标准 9

lq sFql+ M22ql-

10

l0q sF2lq+ M620lq-

注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁

表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征

某一段梁上的外力情况 剪力图的特征 弯矩图的特征

无载荷 水平直线 斜直线 或

集中力 F 突变 F 转折 或或

集中力偶 eM 无变化 突变 eM

均布载荷

q 斜直线 抛物线 或

零点 极值

表3 各种约束类型对应的边界条件

约束类型 位移边界条件 力边界条件

（约束端无集中载荷）

固定端 0w,0 —

简支端 0w 0M

自由端 — 0M,0SF

注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。

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标准 常用截面几何与力学特征表 表2-5

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标准 实用文档

标准 实用文档

标准

注：1．I称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm4）。基本计算公式如下：•AdAyI2

2．W称为截面抵抗矩（mm3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxyIW

3．i称截面回转半径（mm），其基本计算公式如下：AIi

5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图

梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力 Q 和弯矩 M 可以表示为坐标的函数，即

它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标 轴，值表示各截面的位置；以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。

例 5-1 简支梁 AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。

图 5-10

解： (1) 计算支反力 以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即

(1)

方向如图。

(2) 建立剪力、弯矩方程 以梁左端 A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力 Q () 、弯矩 M () 皆为正，如图 5-10b 所示。由平衡方程

将 (1) 式代入上面两式，解得

（ 2 ）

（ 3 ）

(2) 、 (3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。

(3) 绘制剪力图、弯矩图 由式 (2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如 A 、 B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图 5 - 10c 所示。

由式 (3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值：当时 , M =0 ；当时，；当 时，。由此作出的弯矩图，如图 5-10d 所示。

由剪力图和弯矩图可知，在靠近 A 、 B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为

在梁的中央截面上，剪力 Q ＝ 0 ，弯矩为最大，其值为

剪力图和弯矩图

一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图

由以上分析可知，一般剪力和弯矩是随着截面的位置不同而变化。如取梁的轴线为轴，以坐标表示横截面的位置，则剪力和弯矩可表示为的函数，即

，

上述关系式表达了剪力和弯矩沿轴线变化的规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。

为了清楚地表明剪力和弯矩沿梁轴线变化的大小和正负，把剪力方程或弯矩方程用图线表示，称为剪力图或弯矩图。作图时按选定的比例，以横截面沿轴线的位置为横坐标，以表示各截面的剪力或弯矩为纵坐标，按方程作图。

例8-3 图8-12(a)所示的简支梁为齿轮传动轴的

计算简图，试列出它的剪力方程和弯矩方程，并作剪力 (a)

图和弯矩图。

解 （1）计算梁的支反力 取整个梁为研究对

象。由平衡条件：和，得

，(b)

（2）列出剪力方程和弯矩方程 以梁的左端A为坐标

原点，选取坐标系如图8-12(a)所示。集中力作用于(c)

点，梁在和两段内的剪力和弯矩不能用同一方程

来表示，应分段考虑。设各段任意截面的剪力和弯矩均以 图8-12

截面之左的外力表示，则得

段 ＜＜ （1）

≤≤ （2）

段 ＜＜ （3）

≤≤ (4)

（3）按方程分段作图 由式（1）与式（3）可知，段和段的剪力均为常数，所以剪力图是平行于轴的直线。段的剪力为正，故剪力图在轴上方；段剪力为负，故剪力图在轴之下，如图8-12(b)所示。

由式（2）与式（4）可知，弯矩都是的一次方程，所以弯矩图是两段斜直线。根据式（2）、（4）确定三点

，

，

，

由这三点分别作出段与段的弯矩图，如图8-12(c)。