梁弯曲时的变形PPT课件

梁弯曲时的强度计算

[教学目的]

1. 能正确判断梁中最大弯矩所在的位置，并能确定其数值；

2.能准确的判断危险截面和危险点的位置，进行正应力强度计算。

[教学重点、难点]

确定危险截面和危险点的位置；进行强度校核、设计截面和确定许可载荷的计算。

[教学过程]

复习

1.梁纯弯曲时横截面上的正应力分布规律和计算公式？

3.梁纯弯曲时横截面上的最大正应力计算式？

4.常见截面的Iz和Wz的计算公式？

新课

一、梁弯曲时的正应力强度条件

1. 对于等截面梁，全梁的最大正应力一定出现在最大弯矩（Mmax）所在截面的上下边缘处。

危险截面、危险点

2.要使梁能够正常工作，必须使梁危险截面上危险点处的工作应力不超过材料的许用应力[σ]，即：

3.利用上式可解决弯曲强度计算的三类问题：

校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷

4.对抗拉和抗压性能不同的脆性材料，即[σ+]<[σ-]，其强度条件应为：

][maxmaxzIyM ，

二、例题

1. 如图所示的螺旋压板装置，已知工件受到的压紧力F=2.5kN，板长为3a，a=50mm，压板材料的许用应力[σ]=140MPa，试校核压板的弯曲强度。

][maxmaxzWM][maxmaxzIyM

例2.悬臂工字钢梁AB，长l=1.2m，在自由端有一集中载荷P，工字钢的型号为18号。已知钢的许用应力[σ]=170MPa，略去梁的自重，试计算集中载荷P的最大许可值。

三、课堂练习

简支木梁AB，跨度l=5m，承受均布载荷q=3.60kN/m，木材的许用应力[σ]=10MPa。如梁的截面为矩形，试为截面高度h与宽度b选择适当尺寸。（取截面宽高比为2：3）

作业布置:教材P153 7-7、7-11

1. 直梁弯曲的概念只发生弯曲(或弯曲为主)变形的杆件，称为梁。

工程中常用的梁，其横截面通常至少具有一根对称轴，如图所示：

（1）平面弯曲当作用在梁上的外力或力偶都在梁的纵向对称面内，且各力都与梁的轴线垂直，梁则会产生弯曲变形。（2）平面弯曲变形的受力特点与变形特点

①受力特点：外力或力偶垂直于杆件的轴线，且外力或力偶都作用在梁的纵向对称面内。②变形特点：梁的轴线由直线变成在外力作用面内的一条曲线。

C’2. 梁的弯曲变形相关概念：

（1）纵向对称面：横截面对称轴（y）与梁的轴线

（x）构成的平面称为纵向对称面。

（2）纯弯曲：梁横截面的剪力为零，弯矩为常数

的弯曲变形。（3）中性层：既不伸长也不缩短的纵向纤维层。（4）纯弯曲变形时的应力：横截面上只有正应力；正应力呈规律变化；中性轴处应力为零；宽度相同的截

面处正应力相同；离中性轴最远处正应力最大。中性轴σtmax3. 梁的支座

梁的支撑情况，要通过分析来确定在载荷作用平

面内支座对梁的约束类型，以及相应的约束反力数目。

一般情况下，可将梁的支承简化为以下三种典型支座

之一：

（1）活动铰链支座

（2）固定铰链支座

（3

）固定端支座4. 载荷的基本类型：

①集中力

②集中力偶

③均布载荷5. 静定梁的基本类型

（1）简支梁一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座。（2）外伸梁一端或两端伸出支座外的简支梁，并在外伸端有载荷作用。（3）悬臂梁一端为固定端，另一端为自由端。6.梁横截面上的内力——剪力和弯矩当作用在梁上的所有外力（载荷和支座反力）都已知时，用截面法可求出任一横截面上的内力。

（1）剪力：力FQ（FQ′），其作用线平行于外力并

通过截面形心（沿截面作用），故称为剪力。

（2）弯矩：力偶矩M（M′），其力偶面垂直于横截

面，称为弯矩。（3）确定剪力和弯矩的大小

梁任一截面上的内力FQ（FQ′）与M（M′）

的大小，由该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，其公式为：

FQ（FQ′）=截面一侧所有外力的代数和

第４卷第１期　２ＯＯ７年２月　铁道科学与工程学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＲＡＩＬＷＡＹ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＶｏＩ．４　Ｆｅｂ．　Ｎｏ．１　２Ｏ０７　蜂窝梁弯曲变形的实用算法　周朝阳，刘纯洁　（中南大学土木建筑学院，湖南长沙４１００７５）　摘要：基于对蜂窝梁抗弯刚度准确值的确定，对蜂窝梁弯曲变形计算中抗弯刚度既有取值进行评价。费氏空腹桁架比拟　法过去长期用于估计蜂窝梁的挠度，其抗弯刚度倒数按实腹截面和空腹截面取算术平均值。对比结果表明，采用该刚度算　法普遍高估了实际值，其原因在于开孔削弱了实腹梁段的抗弯效率，并提出了增大空腹截面刚度权重的加权平均法，提高　了计算精度。虽然空腹截面抗弯刚度低估了蜂窝梁平均刚度，鉴于其形式简单，提出了直接采取空腹截面刚度表达式但折　减其孔高的计算方法，具有实用价值。采用本文方法所得抗弯刚度值可直接代入经典力学公式计算蜂窝梁和局部蜂窝梁　的弯曲挠度。　关键词：蜂窝梁；抗弯刚度；弯曲挠度；六边形孔；圆孔　中图分类号：ＴＵ３７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７２—７０２９（２００ｒ７）０１—００７２—０５　Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｆｌｅｘｕｒａＩ　ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ＺＨＯＵ　Ｃｈａｏ—ｙａｎｇ，ＬＩＵ　Ｃｈｕｎ—ｊｉｅ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＣｉｖｉｌ　ａｎｄ　ＡｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｃｅｎｔｒａｌ　Ｓｏｕｔｈ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｃｈ８ｎ　ａ４１００７５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｆｌｅｘｕｍｌ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ａｌｅ　ｅｖａｌｕａｔｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅｉｒ　ａｃ—　ｃｕｒａｔｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｉｎ　ａ　ｒｅｃｅｎｔ　ｐａｐｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ａｕｔｈｏｒ．Ｔｈｅ　Ｖｉｅｒｅｎｄｅｃｌ’Ｓ　ｏｐｅｎ—ｗｅｂ　ｔｒｕｓｓ　ａｎａｌｏｇｙ　Ｗａｓ　ｕｓｅｄ　ｔｏ　ｐｒｅｄｉｃｔ　ｔｈｅ　ｄｅｎｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ．Ｔｈｅ　ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌ　ｏｆ　ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｗａｓ　ｃｏｎｖｅｎｔｉｏｎａｌｌｙ　ｔａｋｅｎ　ａｓ　ｔｈｅ　ａｒｉｔｈ—　ｍｅｔｉｃ　ａｖｅｒａｇｅ　ｏｆ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｏｌｉｄ　ｏｎｅ．Ｉｔ　ｉｓ　ｆｏｕｎｄ　ｔｈａｔ　ｓｕｃｈ　ｔｒｅａｔｍｅｎｔ　ａｌｗａｙｓ　ｇｉｖｅｓ　ｈｉｇｈｅｒ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｔｈａｎ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ　ｏｎｅ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｏｖｅｒｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｉＳ　ｄｕｅ　ｔｏ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎｉｎｇ　ｒｅｄｕｃｅｓ山ｅ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｏｌｉｄ　ｓｅｃｔｉｏｎｓ　ｔｏ　ｒｅｓｉｓｔ　ｂｅｎｄｉｎｇ　ｍｏｍｅｎｔ．Ｔｏ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｃｙ，ａ　ｎｅｗ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　ｏｆ　ｗｅｉｇｈｅｄ　ａｖｅｒａｇｅ　ｉｓ　ｐｒｏ—　ｐｏｓｅｄ　ｗｉｔｈ　ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｗｅｉｇｈｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ．Ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｏｐｅｎ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｕｎｄｅｒｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｓｔｉｆｆ－　ｎｅｓｓ　ｏｆ、ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ．Ｉｎ　ｖｉｅｗ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｓｉｍｐｌｅ　ｆｏｒｍ，ｉｔ　ｉｓ　ａｄｏｐｔｅｄ　ｔｏ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ｂｙ　ｒｅ—　ｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｄｅｐｔｈ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｈｏｌｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ａｎｄ　ｓａｔｉｓｆａｃｔｏｒｙ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｒｅ　ａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ　ｒｅｃｋｏｎｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｔｗｏ　ａｐｐｒｏａｃｈｅｓ　ｓｕｇｇｅｓｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　Ｃａｎ　ｂｅ　ｉｎｓｅｒｔｅｄ　ｄｉｒｅｃｔｌｙ　ｉｎｔｏ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｉｃａｌ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｔｏ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ　ｔｈｅ　ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｄｅｆｅｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｍｓ　ａｎｄ　ｂｅａｍｓ　ｗｉｔｈ　ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｐａｒｔｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃａｓｔｅｌｌａｔｅｄ　ｂｅａｎａ；ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｓｔｉｆｎｅｓｓ；ｆｌｅｘｕｒａｌ　ｄｅｆｔｅｃｔｉｏｎ；ｈｅｘａｇｏｎａｌ　ｈｏｌｅ；ｃｉｒｃｕｌａｒ　ｈｏｌｅ　蜂窝梁是一种侧向成排开孔的“工”字形截面　钢梁，其孔洞形状多种多样，最初是六边形，后来又　有了八边形、矩形、圆形或半圆与矩形组合形（也有　称之为椭圆形的），有时同一根梁上孔洞形状还不　止１种。蜂窝梁的制作方法可分为２种：有把既有　“工”字钢梁按一定的折线或曲线切割后错位焊接　而成的，不妨叫做错位成孔法；也有在实心腹板上　直接成孔的，大多采用切割，美国也有用锻压的，当　原材料非“工”字型钢而是钢板时，此后再焊翼板。　与实腹“工”字形截面梁相比，蜂窝梁能够节省材　收稿日期－＇２００６—１０—１７　基金项目：湖南省建设科技计划项目（２Ｏ０４—２５）　作者简介：周朝阳（１９６４一），男，湖南衡阳人，教授，博士生导师，从事工程结构分析、

第七章 梁弯曲时的变形

§7−1 概 述

图7−1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x轴方向的线位移，称为挠度，用y表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C截面转过的角度θ即为C截面的转角。

梁变形后的轴线可用下式表示：

)(xfy （7−1）

称为挠曲线方程。

)(ddtanxfxy （7−2）

称为转角方程。

§7−2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分

在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为

EIxMxy)(dd22 （7−3）

式中的正负号取决于22ddxy与)(xM的正负号的规定。在如图11−2所示的坐标系中，y轴以向下为正，当M(x)>0时，梁的挠曲

线向下凸，此时0dd22xy；当M(x)<0时，梁的挠曲线向上凸，此时0dd22xy。)(xM与22ddxy的符号关系如图11−2所示。这样，在图示坐标系中，)(xM与22ddxy的符号总是相反，所以式（7−3）中应取负号，即： x

x

y

y

O

O

M<0

0dd22xy M

M

M

M

图7−2

M>0

0dd22xy C'

θ

C

B

A

图7−1 y

xy

y

θ

EIxMxy)(dd22 （7−4）

对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。

当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI为常数，对式（7−4）积分一次，得

CxxMEIxyd)(1dd （7−5）

再积分一次，可得

DCxxxMEIy2d1 （7−6）

以上两式中，C、D为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7−3a）中，A、B支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7−3b）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C、D确定后，代入式（7−5）、（7−6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。