高中数学 双曲线练习题(含答案)

第 1 页 共 9 页 双曲线检测试题

一．选择题

1．设P是双曲线22ax－92y=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于

A.1或5 B.6 C.7 D.9

2． “ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

3．双曲线42x－92y=1的渐近线方程是

A.y=±23x B.y=±32x C.y=±49x D.y=±94x

4．过点（2，－2）且与双曲线22x－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是

A.22y－42x=1 B.42x－22y=1

C.42y－22x=1 D.22x－42y=1

5．如果双曲线642x－362y＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是

A.10 B.7732 C.27 D.532

二．填空题

6．给出问题：F1、F2是双曲线162x－202y=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.

______________________________________________________.

7．过点A（0，2）可以作____________条直线与双曲线x2－42y＝1有且只有一个公共点.

8．已知圆C过双曲线92x－162y=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.

9．求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________. 第 2 页 共 9 页 三．解答题

10． 根据下列条件，求双曲线方程：

（1）与双曲线92x－162y=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；

（2）与双曲线162x－42y=1有公共焦点，且过点（32，2）.

11．设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.

12．如下图，在双曲线122y－132x=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.

x yOA

A

A B

B

B C

C

C F121212l

（1）求y1+y3的值；

（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

13．已知双曲线的方程是16x2－9y2=144.

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.

14．已知双曲线x2－22y=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.

（1）求直线AB的方程；

（2）若Q（1，1），证明不存在以Q为中点的弦.

15．双曲线kx2－y2＝1，右焦点为F，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于A，FA与左准线交于B，与双曲线左支交于C，若B为AC的中点，求双曲线方程.

第 3 页 共 9 页 16．已知l1、l2是过点P（－2，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.

（1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若｜A1B1｜＝5｜A2B2｜，求l1、l2的方程.

17．在双曲线162x－92y＝1上求一点M，使它到左右两焦点的距离之比为3∶2，并求M点到两准线的距离．

18．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：22ax－22by=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

19．已知双曲线22ax－22by=1的离心率e>1+2，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?

20．设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为25，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程.

第 4 页 共 9 页 双曲线必做习题参考答案：

一．选择题

1．C 2． C 3．A 4．A 5．D

二．填空题

6．|PF2|=17 7．4 8．316 9． 92x－162y=1（x＞0）

三．解答题

10．解法一：（1）设双曲线的方程为22ax－22by=1，

ab=34，

22)3(a－22)32(b=1，

解得a2=49，b2=4. 所以双曲线的方程为492x－42y=1.

（2）设双曲线方程为22ax－22by=1. 由题意易求c=25.

又双曲线过点（32，2），∴22)23(a－24b=1.

又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.

故所求双曲线的方程为122x－82y=1.

解法二：（1）设所求双曲线方程为92x－162y＝λ（λ≠0），

将点（－3，23）代入得λ＝41，所以双曲线方程为92x－162y＝41.

（2）设双曲线方程为kx162－ky42＝1，

将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为122x－82y＝1.

11．解：设点P的坐标为（x，y），依题意得||||xy=2，即y=±2x（x≠0）. ①

因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2.

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，

∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.

故22mx－221my=1. ② 由题意，得 第 5 页 共 9 页 将①代入②，并解得x2=22251)1(mmm，

∵1－m2>0，∴1－5m2>0.解得0<|m|<55，

即m的取值范围为（－55，0）∪（0，55）.

12．（1）解：c=1312=5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|.

①

分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，

即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有

2|BB2|=|AA2|+|CC2|，

此即2×6=y1+y3，可见y1+y3=12.

（2）证明：AC的中垂线方程为

y－231yy=－3131yyxx（x－231xx），

即y－6=－3131yyxxx+)(2312321yyxx. ②

由于A、C均在双曲线上，

所以有1221y－1321x=1，1223y－1323x=1.

相减得132321xx=122321yy.于是有

312321yyxx=1213（y1+y3）=1213·12=13，

故②变为y=－3131yyxxx+225，易知此直线过定点D（0，225）.

13．解：（1）由16x2－9y2=144得92x－162y=1，

∴a=3，b=4，c=5.焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=35，

渐近线方程为y=±34x.

（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=||||2||||||212212221PFPFFFPFPF 第 6 页 共 9 页 =||||2||||||2|)||(|2122121221PFPFFFPFPFPFPF=641006436 =0.∴∠F1PF2=90°.

14．（1）解：设过P（1，2）点的直线AB方程为y－2=k（x－1），

代入双曲线方程得

（2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）=0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有x1+x2=－22242kkk，

由已知221xx=xp=1，

∴24222kkk=2.解得k=1.

又k=1时，Δ=16＞0，从而直线AB方程为x－y+1=0.

（2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，Δ＜0，所以这样的直线不存在.

15．解：由题意k＞0，c=k11，

渐近线方程l为y=kx，

准线方程为x=±kc1，于是A（kc1，kck），

直线FA的方程为 y=21)(kccxk，

于是B（－kc1，)1(122kcckkc）.

由B是AC中点，则xC=2xB－xA＝－kc3，

yC=2yB－yA＝)1(322kcckkc.

将xC、yC代入方程kx2－y2＝1，得

k2c4－10kc2＋25＝0.

解得k（1+k1）＝5，则k＝4.

所以双曲线方程为4x2－y2＝1．

16．解：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交.设l1的斜率为k1，则l1的方程为y＝k1（x＋2）.