同济大学第五版高数

总 习 题 六

1 一金属棒长3m 离棒左端xm处的线密度为11)(xx

(kg/m) 问x为何值时 [0 x]一段的质量为全棒质量的一半?

解 x应满足300112111dttdttx

因为212]12[1100xtdttxx 1]12[2111213030tdtt

所以 1212x

45x(m)

2 求由曲线asin a(cossin)(a>0)所围图形公共部分的面积

解

432222)sin(cos21)2(21daaS

24322241)2sin1(28adaa

3 设抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 且当x[0 1]时 y0

试确定a、b、c的值 使得抛物线cbxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为94 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小

解 因为抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 所以c0 从而

bxaxy2

抛物线bxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为

23)(102badxbxaxS

令9423ba

得968ab

该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

)235()(221022abbadxbxaxV

)]968(2)968(315[22aaaa

令0)]128(18181863125[aaaddV

得35a 于是b2

4 求由曲线23xy与直线x4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积

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GAGGAGAGGAFFFFAFAF 习题127 1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？

(1)x x2

解 因为xxx2不恒为常数 所以x x2是线性无关的

(2)x 2x

解 因为22xx 所以x 2x是线性相关的

(3)e2x 3e2x

解 因为332xxee 所以e2x 3e2x是线性相关的

(4)ex ex

解 因为xxxeee2不恒为常数 所以ex ex是线性无关的

(5)cos2x sin2x

解 因为xxx2tan2cos2sin不恒为常数 所以cos2x sin2x是线性无关的 精品文档

GAGGAGAGGAFFFFAFAF (6) 2xe 22xxe

解 因为xexexx2222不恒为常数 所以2xe 22xxe是线性无关的 (7)sin2x cos x×sin x

解 因为2sincos2sinxxx 所以sin2x cos x×sin x是线性相关的

(8)excos2x exsin2x

解 因为xxexexx2tan2cos2sin不恒为常数 所以excos2x

exsin2x是

线性无关的

(9)ln x xln x

解 因为xxxxlnln不恒为常数 所以ln x xln x是线性无关的

(10)eax ebx(ab) 精品文档

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 解 因为xabaxbxeee)(不恒为常数 所以eax ebx是线性无关的 2 验证y1cosx及y2sinx都是方程y2y0的解 并写精品文档

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 出该方程的通解

解 因为

y12y12cosx2cosx0

习题122

1 求下列微分方程的通解

(1)xyyln y0

解 分离变量得

dxxdyyy1ln1

两边积分得

dxxdyyy1ln1

即 ln(ln y)=ln x+ln C,

故通解为y=eCx .

(2)3x25x5y0

解 分离变量得

5dy(3x25x)dx

两边积分得

dxxxdy)53(52

即 123255Cxxy

故通解为Cxxy232151 其中151CC为任意常数

(3)2211yyx

解 分离变量得

2211xdxydy

两边积分得

2211xdxydy

即 arcsin yarcsin xC

故通解为ysin(arcsin xC)

(4)yxya(y2y)

解 方程变形为(1xa)yay2

分离变量得

dxxaadyy112 两边积分得

dxxaadyy112

即 1)1ln(1Cxaay

故通解为)1ln(1xaaCy 其中CaC1为任意常数

(5)sec2x tan ydxsec2y tan xdy0

解 分离变量得

dxxxyyytansectansec22

两边积分得

dxxxyyytansectansec22

即 ln(tan y)ln(tan x)ln C

故通解为tan x tan yC 

(6)yxdxdy10

106

1 利用高斯公式计算曲面积分

(1)dxdyzdzdxydydzx222 其中为平面x0 y0 z0 xa

ya za所围成的立体的表面的外侧

解 由高斯公式

原式dvzyxdvzRyQxP)(2)(

aaaadzdyxdxxdv0400366(这里用了对称性)

(2)dxdyzdzdxydydzx333 其中为球面x2y2z2a2的外侧

解 由高斯公式

原式dvzyxdvzRyQxP)(3)(222

20004sin3adrrdd5512a

(3)dxdyzyxydzdxzyxdydzxz)2()(2322 其中为上半球体

x2y2a2 2220yxaz的表面外侧

解 由高斯公式

原式dvyxzdzRyQxP)()(222

2020022sinadrrrdd552a

(4)zdxdyydzdxxdydz其中界于z0和z3之间的圆柱体

x2+y29的整个表面的外侧

解 由高斯公式 原式813)(dvdvzRyQxP

(5)yzdxdydzdxyxzdydz24其中为平面x0 y0 z0 x1

y1 z1所围成的立体的全表面的外侧

解 由高斯公式

原式dvyyzdvzRyQxP)24()(