理论力学-动能定理
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第 页 1 教学目标 知识目标： 常力的功，变力的功，平面运动刚体上力系的功，重力的功，弹性力的功，质点系的功能，质点的动能定理，质点动能定理的微分、积分形式，功率方程。
能力目标：
素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风
教 学 内 容 与 教 学 过 程 设 计 注 释
理论力学-动能定理
〖理论学习〗
13.1力的功
13.1.1常力的功
功是对力在一段路程上积累效应的度量，是一个过程量。如图13-1所示，物体在常力F作用下，沿直线从M1运动到M2，其路程为s，力F在这段路程上所做的功定义为力F在位移方向的投影与其路程的乘积，以W表示，即 (13-1)。
图13-1
13.1.2变力的功
设质点M做曲线运动，从位置M1运动到位置M2，受到变力F的作用，如图13-2所示。为了计算变力F在曲线上的功，考虑微弧段ds，在此微段上力F可视为常力，ds也可视为直线。力F在此无限小位移上所做的功称为元功，记为δW。此时，力F的元功为
δW=Fcosθds (13-2)
图13-2
13.1.3平面运动刚体上力系的功
平面运动刚体上力系的功等于刚体所受各力做功之代数和。
(1)当刚体在平面上平移时，各点的位移都与质心的位移相同，ri=rC。则力系的功
为 (13-6)。即平移刚体上力系的功等于力系的主矢在质心位移上所做的功。
(2)当刚体绕z轴做定轴转动时，如图13-3所示。
比较常力的功和变力的功。
教师讲解平面运动刚体上力系的功。
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图13-3
(3)当刚体平面运动时，受到多个力作用，如图13-4所示。取刚体的质心C为基点，把该力系向基点简化得到一个力F′R和一个力偶MC，分别在质心位移和转角位移上做功。
平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。
图13-4
13.1.4典型力的功
1．重力的功
设质点受重力P=mg的作用，沿曲线从位置M1运动到位置M2，如图13-5所示。
图13-5
物体重力的功只与质心的始末位置高度差有关，与物体的运动路径无关。
2．弹性力的功
弹性力的功只与质点始末位置的弹簧变形量有关，而与质点的运动路径无关。
3．理想约束和内力的功
对于光滑固定面和一端固定的不可伸长的绳索等约束，其约束力方向都垂直于力作用点的位移，约束力不做功。又如光滑铰支座、固定端、轴承约束等，显然其约束力也不做功。把约束力不做功或约束力做功之和等于零的约束称为理想约束。
在质点系中设A、B两点间的相互作用力为FA、FB，且有FA=－FB。如图138所示，内力的元功之和
δW=FA·drA+FB·drB=FA·(drA－drB)=FA·drAB
式中，drAB为A、B两点间的微小相对位移，一般情况下，其元功δW≠0。
图13-8
刚体的所有内力做功之和为零。刚体内力可看成理想约束力。
4．摩擦力的功
当物体受到固定面的静滑动摩擦力时，其接触面没有相对位移，固定面上的静滑动摩擦力做功为零。比如，若轮子在固定面上只滚不滑，此时，静摩擦力不做功。
比较不同情况下所做功的不同。
区分不同种类典型力的功。
第 页 3 当物体沿固定面滑动时，受到动滑动摩擦力的作用。动摩擦力方向与物体的位移方向总是反向的，固定面上的动滑动摩擦力做负功。
当两个运动的物体相接触，它们之间的摩擦力做功与内力做功相同。两个物体不发生相对滑动时，存在静滑动摩擦力。对单个物体来说，静滑动摩擦力做功一般不为零。但两个物体受到的静摩擦力互为作用力与反作用力，两个摩擦力做功之和为零。
当两个物体发生相对滑动时，存在动滑动摩擦力。由于两个物体的位移不同，所以，两个物体间的动滑动摩擦力做功之和一般不为零。由于摩擦力总是阻碍物体间相对滑动，两个摩擦力做功之和为负。
当物体相对固定面或物体系内没有相对滑动时，摩擦可以看成理想约束；发生相对滑动时，摩擦力对系统做负功。
13.2质点和质点系的动能
13.2.1质点的动能
设质点的质量为m，速度为v，质点的动能定义为
T=1/2（mv2） (1313)
动能和动量、动量矩都是描述物体运动强度的物理量，但动量和动量矩是矢量，而动能是标量，恒为正值。动能是状态量，在国际单位制中，动能的单位为J。
13.2.2质点系的动能
设质点系由n个质点组成，质点系的动能等于质点系内各质点动能之和，即(13-14)。
1．平移刚体的动能
平移刚体的动能等于刚体的质量与质心速度平方的乘积的一半，它与质点的动能形式一样。
2．定轴转动刚体的动能
定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与角速度平方的乘积的一半。
3．平面运动刚体的动能
刚体做平面运动时，取刚体质心所在的平面图形，如图1312所示。
图13-12
刚体平面运动的动能等于随质心平移动能和绕质心转动动能之和。
值得注意的是：上述刚体平面运动的动能分成两部分的和的形式仅限于以质心为基点的运动分解。
13.3质点和质点系动能定理
13.3.1质点的动能定理
质点动能定理的微分形式：质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。
质点动能定理的积分形式：质点在某一段路程上运动时，质点动能的改变量等于作用在质点上的力所做的功。
13.3.2质点系的动能定理
质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量等于作用于质点系的全部力(内力和外力)所做元功之和。
质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段路程上运动时，质点系动能的改变量等于
教师讲解质点和质点系的动能。
用动能定理求解例12-3中单摆的运动规律。
第 页 4 作用于质点系的全部力在运动过程中所做功的和。
应当注意：
(1)当研究刚体动力学问题时，由于刚体内力做功之和为零，理想约束力的功也为零，只需考虑作用在刚体上的主动力的功和摩擦力的功。
(2)动能和功都是标量，动能定理所对应的方程是标量方程，没有投影形式。
13.4功率和功率方程
13.4.1功率
力在单位时间内所做的功称为该力的功率，即 (13-23)。式中，r、v分别为力F作用点的矢径和速度。该式表明，力的功率等于力与其作用点速度的点积。
若考虑力偶或力矩的功率，则 (13-24)。
式中，φ、ω分别为力偶或力矩作用平面的转角和角速度。该式表明，力偶或力矩的功率等于该力偶的力偶矩或力矩与其作用平面角速度的乘积。
在国际单位制中，功率的单位为W或kW，有
1 W=1 J/s=1 N·m/s
13.4.2功率方程
式（13-25）称为功率方程。它表明质点系动能对时间的一阶导数等于作用在质点系上所有力的功率的代数和。
功率方程可用来研究机械系统(如机器)在工作时能量的变化和转化问题。一般机器在工作时，必须输入一定的功率。如机床在接通电源后，电场对电机转子做正功，使转子转动，同时使电能转化为动能，而电场力的功率称为输入功率。转子转动后，通过传动机构(如皮带、齿轮等)传递输入功率，在功率传递的过程中，由于机构的零件与零件之间存在摩擦，摩擦力做负功，使一部分机械能转化为热能，因而损失部分功率。同时，传动系统中零件的相互碰撞也要损失部分功率。这些功率都取负值，称为无用功率或损耗功率。机床加工工件时的切削阻力对夹持在机床主轴上的工件做负功，但这是机床加工工件时必须付出的功率，称为有用功率或输出功率。
由于所有机器的功率一般都可分为上述三部分，于是式(13-25)便可写成
dT/dt=P输入-P有用-P无用 (13-26)
或
P输入=dT/dt+P有用+P无用 (13-27)
上式亦称为机器的功率方程。
13.5动力学普遍定理的综合应用
动量定理(质心运动定理)、动量矩定理和动能定理构成动力学普遍定理，它们从不同侧面反映机械运动量与力、力矩和功之间的关系。动量定理和动量矩定理是矢量式，应用时采用其投影形式；动能定理是标量式，没有投影形式。动量定理和质心运动定理一样是分析质点系所受外力与质点系的动量和质点系质心运动的关系；动量矩定理是分析质点系所受外力矩与质点系动量矩的关系，这两个定理中动量、质心运动和动量矩的变化均与内力无关。动能定理是从能量角度研究质点系动能的变化与作用在质点系上力的功的关系，质点系动能的变化与主动力和非理想约束力有关，非理想约束力也包括质点系的内力。但当质点系是刚体时，内力看成理想约束，动能的变化只与外力功有关。若刚体仅受外部理想约束(包括静摩擦)时，只需考虑主动力的功。
在具体问题计算时，应根据问题适当选择普遍定理中的某一个定理，有时是这些定理的联合应用。一般情况下，动量定理和质心运动定理主要是研究平移运动的质点系问题，动量矩定理主要是研究定轴转动质点系问题，质心运动定理和动量矩定理联合应用是研究刚体平面运动问题，它们求解动力学第一类基本问题比较方便。动能定理是研究一般机械运动问题，求解动力学第二类基本问题比较方便。当要求质点系的运动(如速度、角速度、加速度和角加速度)时，常先采用动能定理，因为它是标量方程，易于求解；当要求作用在质点系上的力时，
结合例题讲解动力学普遍定理的
