2021-2022学年内蒙古呼和浩特市高二(上)期末数学试卷(文科)(附答案详解)

2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知点(3,0,4)A -，点A 关于原点的对称点为B ，则||AB =（ ） A ．25 B ．12C ．10D ．5【答案】C【分析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可. 【详解】因为点(3,0,4)A -关于原点的对称点为B ，所以(3,0,4)B -, 因此222||(33)(00)(44)10AB =--+-++=， 故选：C2．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A ．40 B ．30C ．20D ．12【答案】B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40， 所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.3．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）A ．13时~14时B ．16时~17时C ．18时~19时D ．19时~20时【答案】B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可 【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间 故选：B .【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题. 4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．332+D ．332+【答案】A【分析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解. 【详解】由三视图还原原几何体如图：其中PA ⊥平面,ABC AB AC ⊥，1PA AB AC ===，则该四面体的体积为111111326V =⨯⨯⨯⨯=.故选：A.5．下面三种说法中，正确说法的个数为（ ） ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l αβ=，则M l ∈．A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】A【分析】对于①，有两种情况，对于②考虑异面直线，对于③根据线面公理可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故①不正确； 两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确； 若M α∈，M β∈，l αβ=，可知M 必在交线上，则M l ∈，故③正确；综上所述只有一个说法是正确的. 故选：A6．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【分析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K 为1BB 的四等分点，L 为1CC 的中点，M 为1DD 的四等分点，1,2BK CL ==， 取1AA 的中点N ，易证//KN LM ，则异面直线AK 和LM 所成角即直线AK 和KN 所成角AKN ∠， 在AKN △中，2AK NK ==2AN =， 故90AKN ∠= 故选：D7．在区间0,1内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是（）．A．45B．15C．1725D．825【答案】C【分析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于65的区域，进而根据面积比求概率. 【详解】由题意知：若两个数分别为,(0,1)x y∈，则65x y<+<，如上图示，阴影部分即为65x y<+<，∴两数之和小于65的概率144117255125EBOD AECEBODS SPS-⨯⨯-===.故选：C8．已知实数x、y满足4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则11yzx-=+的最大值为（）A．1B．12C．13D．2【答案】A【分析】作出可行域，利用代数式11yzx-=+的几何意义，利用数形结合可求得11yzx-=+的最大值.【详解】作出不等式组4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立340y x y =⎧⎨+-=⎩可得13x y =⎧⎨=⎩，即点()1,3A ，代数式11y z x -=+的几何意义是连接可行域内一点(),M x y 与定点()1,1P -连线的斜率， 由图可知，当点M 在可行域内运动时，直线MP 的倾斜角为锐角， 当点M 与点A 重合时，直线MP 的倾斜角最大，此时z 取最大值，即max 31111z -==+. 故选：A.9．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大的．”如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．1或7-D ．2或7- 【答案】A【分析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，设圆心C 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】解：设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b b a b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍去），因此，点P 的横坐标为1，故选：A.10．已知点()2,3A -，()3,2B --，直线:10l mx y m --+=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．34m ≤-或4m ≥B ．4m ≤-或34m ≥ C ．344m -≤≤ D ．344m -≤≤【答案】B【分析】由()11y m x =-+可求出直线l 过定点()1,1P ，作出图象，求出PA k 和PB k ，数形结合可得PA m k ≤或PB m k ≥，即可求解.【详解】由10mx y m --+=可得：()11y m x =-+，由1010x y -=⎧⎨-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l ：10mx y m --+=过定点()1,1P ，作出图象如图所示：31421PA k --==--，213314PB k --==--，若直线l 与线段AB 相交，则4m ≤-或34m ≥， 所以实数m 的取值范围是4m ≤-或34m ≥， 故选：B11．若球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是236cm π，则球心到截面圆心的距离是（ ） A ．5cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm【答案】C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离． 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知，截面圆的半径为6cm ，则球心到截面圆心的距离为221068d =-=cm ． 故选：C ．【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．12．已知圆()22:22C x y -+=，P 为圆C 外的任意一点，过点P 引圆C 的两条切线PA 、PB ，使得PA PB ⊥，其中A 、B 为切点．在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为（ ） A ．2π B ．πC ．22πD ．2π【答案】D【分析】连接PC 、AC 、BC ，分析可知四边形PACB 为正方形，求出点P 的轨迹方程，分析可知线段PA 所扫过图形为是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接PC 、AC 、BC ，由圆的几何性质可知AC PA ⊥，BC PB ⊥，又因为PA PB ⊥且AC BC =，故四边形PACB 为正方形，圆心()2,0C -2，则2PC ，故点P 的轨迹方程为()2224x y -+=，所以，线段PA 扫过的图形是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环， 故在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为()2422πππ-⨯=.故选：D. 二、填空题13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．【答案】9【详解】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ， 乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据． 14．过圆222440x y x y +-+-=内的点()3,0M 作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最长，则直线l 的方程是______． 【答案】30x y --=【分析】当直线l 过圆心时满足题意，进而求出答案.【详解】圆的标准方程为：()()22:129C x y -++=，圆心()1,2C -，当l 过圆心时满足题意，02131CM k +==-，所以l 的方程为：330y x x y =-⇒--=. 故答案为：30x y --=.15．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个n 次多项式写成n 个一次式相组合的形式，如可将5432()421022f n n n n n n =---++写成()((((1)4)2)10)22f n n n n n n =---++，由此可得(5)f =__________． 【答案】2022【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】(5)((((51)54)52)510)522(((204)52)510)522((802)510)522(39010)5222000222022.f =-⋅-⋅-⋅+⋅+=-⋅-⋅+⋅+=-⋅+⋅+=+⋅+=+=故答案为：202216．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面正方形ABCD 的中心，点P 在侧面正方形11BB C C 的边界及其内部运动，若1D O OP ⊥，则点P 的轨迹的长度为______．【答案】5【分析】取1BB 中点Q ，利用线面垂直的判定方法可证得1D O ⊥平面OQC ，由此可确定P 点轨迹为CQ ，再计算即可.【详解】取1BB 中点Q ，连接1,OQ D Q ，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，1DD OC ∴⊥，又四边形ABCD 为正方形，OC BD ∴⊥，又1DD BD D =，1,DD BD ⊂平面11BDD B ，OC ∴⊥平面11BDD B ，又1D O ⊂平面11BDD B ，1D O OC ∴⊥；由题意得：1426DO +=123OQ =+=1813D Q +=， 22211D O OQ D Q ∴+=，1D O OQ ∴⊥；,OQ OC ⊂平面OQC ，OQ OC O =，1D O ∴⊥平面OQC ，1D O OP ⊥，P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动，P ∴点轨迹为线段CQ ；2222215CQ BC BQ ∴=++5三、解答题17．有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.【答案】（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中a的值；（2）先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数．【详解】（1）由频率分布直方图得：++++⨯=，(0.0100.0150.0200.015)101aa=．解得0.040∴图中a的值为0.040．-+⨯=，（2）竞赛分数不少于70分的频率为：1(0.0100.015)100.75∴估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为10000.75750⨯=．（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．0.01010550.01510650.04010750.02010850.015109576.5【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，1AC 与1A C 交于点D ，E 为1BC 的中点，(1)求证：//DE 平面111A B C ； (2)求证：平面1AC B ⊥平面1A BC ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 且四边形11ACC A 为平行四边形，又11AC A C D =，则D 为1AC 的中点，又E 为1BC 的中点，故//DE AB ，即：11//DE A B ，且DE ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ， 所以//DE 平面111A B C ； (2)在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 则1AA BC ⊥，且AC BC ⊥，1AA AC A =，1AA AC ⊂，平面11ACC A ，故BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥， 又在平行四边形11ACC A 中，1AC CC =，则四边形11ACC A 为菱形，所以11A C AC ⊥，且1BC AC C =， 1BC A C ⊂，平面1A BC ，故1AC ⊥平面1A BC ，因为1AC ⊂平面1AC B ，所以平面1AC B ⊥平面ABC .19．己知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y．(1)当直线ll 与圆C 相交所得的弦长；(2)设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 【答案】(1)(2)y x =或y x =-【分析】（1）、由题意可知直线l的方程为y =，圆C 的圆心为()0,3求出圆心到直线l 的距离，根据勾股定理即可求出l 与圆C 相交所得的弦长；（2）、设()11,A x y ，因为A 为OB 的中点，所以()112,2B x y ，又因为A ，B 均在圆C 上，将A ，B 坐标代入圆C 方程，即可求出A 点坐标，即可求出直线l 的方程． (1)由题意：直线l 过坐标原点O ，且直线l直线l的方程为y =， 圆C 的方程为22640x y y∴圆C 的方程可化为：()2235x y +-=∴圆C 的圆心为()0,3，半径为R =∴圆C 的圆心到直线l：y =的距离为d ==l ∴与圆C相交所得的弦长为L =(2)设()11,A x y ，A 为OB 的中点 ∴()112,2B x y ，又A ，B 均在圆C 上，()()2211122111640221240x y y x y y ⎧+-+=⎪∴⎨+-+=⎪⎩2211122111640441240x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩ 2211122111640310x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩1111x y =±⎧∴⎨=⎩ ∴()1,1A 或()1,1A -∴直线l 的方程y x =或y x =- 20．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：()()71i ii x xy y =--=14.00∑，()7217.08ii y y =-=∑14.10．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ0.5 2.3y x =+；失效费为6.3万元． 【分析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数r 可得结果；（2）根据公式求出ˆb和ˆa 可得y 关于x 的线性回归方程，再代入8x =可求出结果. 【详解】（1）由题意，知123456747++++++==x，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428i i x x=-=-+-+-+-+-+-+-=∑．∴结合参考数据知：14.000.9914.10r =≈≈．因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）∵()()()7172114ˆ0.528iii i i x x y y bx x==--===-∑∑， ∴ˆ 4.30.54 2.3ˆy abx -==-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3yx =+， 将8x =代入线性回归方程得ˆ0.58 2.3 6.3y=⨯+=万元， ∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元．21．已知正三棱柱底面边长为26，M 是BC 上一点，1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)证明：M 是BC 的中点； (2)求点C 到平面1AMC 的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)2.【分析】（1）证明出AM ⊥平面11BB C C ，可得出AM BC ⊥，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；（2）计算出三棱锥1C ACM -的体积以及1AC M 的面积，利用等体积法可求得点C 到平面1AMC 的距离. (1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -，1CC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则1AM CC ⊥， 因为1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则1AM MC ⊥， 111CC MC C =，则AM ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，所以，AM BC ⊥，因为ABC 为等边三角形，故点M 为BC 的中点. (2)解：因为ABC 是边长为26266032AM == 1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则1CC BC ⊥，即1CC CM ⊥，所以，221118623CC C M CM =-=-=116323322ACM S CM AM =⋅==△11113323633C ACM ACM V S CC -∴=⋅=⨯=△，设点C 到平面1AMC 的距离为d ，(12192AC M S =⨯=△，11119633C AC M AC MV Sd d -∴=⋅=⨯=，解得2d =.因此，点C 到平面1AMC 的距离为2.22．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 在x 轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于5π． (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点()0,3M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)()2214x y -+=； (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，可得出a <，根据已知条件可得出关于实数a 的方程，求出a 的值，可得出r 的值，进而可得出圆C 的标准方程； （2）分析可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与圆C 的方程联立，由0∆>可求得k 的取值范围，列出韦达定理，分析可得OD OA OB =+，可求得点D 的坐标，由已知可得出OD MC k k =，求出k 的值，检验即可得出结论. (1)解：设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，则0r <<375a r +=，由勾股定理可得ra <<由题意可得375a a ⎧+=⎪⎨⎪<⎩1a =，则2r =，因此，圆C 的标准方程为()2214x y -+=. (2)解：若直线l 的斜率不存在，此时直线l 与y 轴重合，则A 、B 、O 三点共线，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22314y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可得()()2216260k x k x ++-+=，()()22622410k k ∆=--+>，解得k <或k > 由韦达定理可得122261kx x k -+=+，12261x x k =+，则()121222661k y y k x x k ++=++=+， 因为四边形OADB 为平行四边形，则()1212222626,,11k k OD OA OB x x y y k k -+⎛⎫=+=++= ⎪++⎝⎭， 因为//OD MC ，则30301OD MC k k -===--，则26332613k k k k ++==---，解得34k =，因为34k k ⎧⎪∉<⎨⎪⎩或k >⎪⎭， 因此，不存直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行.。

2 2(B)=1 (yw0) 25 9内蒙古呼和浩特市第七高二上学期期末考试数学试卷本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷第1页〜第2页，第II卷第3页〜第6页.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.全卷满分150分，考试时间为120分钟.第I卷(选择题共60分)一、选择题(每小题5分，共12小题，满分60分)1.已知两个非零实数a,b满足a a b ,下列选项中一定成立的是( )(A) a2>b2(B) 2a>2b(C) -<-(D) a > ba b2.抛物线x2 = y的准线方程是(… 1 1 一1 1(A) x=—(B)y=—(C) x=——(D) y =——2 2 4 43.不等式x2 <x+6的解集为( )(A) {x| -2 <x<3) (B) {x|x<-2} (C) {x|x<-2 或x>3}4.在等差数列匕0}中，已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于((A) 58 (B) 88 (C) 143 (D) 1765.已知命题p : \/x W R,sin x W1,则一P 是((A) x R,sin x - 1 (B) 一x R,sin x - 1(C) x R,sin x 1 (D) 一x R,sin x 16.等比数列｛a n｝中，a3 =7 , 前3项之和S3 =21 ,则公比q的值为((D)1x|x 3))))一, 〜 1 ...1 (1)(A) 1 B) -一 (C) 1或一(D) 1 或一一2 2 27.在AABC中，a,b,c分别是角A, B,C的对边，且满足acosA = bcosB ,那么AABC的形状一定是( )(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰或直角三角形(D)等腰直角三角形8. 4ABC的两个顶点为A(-4,0) , B(4,0) , △ ABC周长为18,则C点轨迹为()2 2 (Q 二 +L =1 (y w 0)16 9 2 2(D)工+土=1 (y W0)16 93................ ................9.曲线f(X)=X +X 在点P 处的切线的斜率为 4,则P 点的坐标为((A) (1,2)(B) (1,2)或(_1,—2)(C) (2,10) (D) (2,10)或(—1,—2)210.设F 1、F 2是双曲线 二_y 2=l 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足/ F 1PF 2=90° ,则4△ PF F 2的面积是() (A) 1(B)也(C) 2(D)场211 .函数y =8x2 -ln x 在区间10,1i 和T,1 i 内分别为(),4212 .如图，定点A, B 都在平面口内，定点P 更久,PB la , C 是a 内异于A 和B 的动点，且PC _L AC .那么，动点C 在平面a 内的轨迹是()(A) 一条线段，但要去掉两个点 (B) 一个圆，但要去掉两个点 (C)一个椭圆，但要去掉两个点(D)半圆，但要去掉两个点(A)增函数，增函数(B)增函数，减函数 (C)减函数，增函数(D)减函数，减函数第R卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分,共4小题，满分20分）113.已知物体运动的万程为s（t） =vt--gt2 ,则在t =1时的瞬时速度是 .y < 2x—八I ……，…14.右变量x, y满足约束条件（x + y E1,则x+2y的最大值是........y之-1115.已知｛a n｝是等比数列，a2 =2,8 = —，则a1a2+a2a3+ +a n a n^ = .n 4 1 12 216.在MBC中，若AB =2, AC + BC =8,则AABC的面积的最大值为三、解答题（共6小题，满分70分）17.（本题满分10分）在AABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,且bsin A = J3acosB .（I）求角B的大小；（n）若b =3,sin C =2sin A ,求a,c 的值.18.（本题满分12分）已知椭圆C的两焦点分别为F I（-272,0卜F2（2&,0 ）,长轴长为6.（I）求椭圆C的标准方程；（n）已知过点（0, 2）且斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长度.19.(本题满分12分)已知S n是等比数列｛a n｝的前n项和，S3、S9、S6成等差数列(I )求数列｛a n｝的公比q ；(n)求证a?、a g、a§成等差数列.20.(本题满分12分)“坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法.请用坐标法证明下面问题：已知圆。

2021-2022学年内蒙古呼和浩特市回民区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（3*10=30分）1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（）=0A.ax2+bx+c=0B.x2+1x2C.3x2+2xy=1D.x2=63. 将抛物线y=2x2向上平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的抛物线为( )A.y=2(x+2)2+1B.y=2(x−2)2+1C.y=2(x+2)2−1D.y=2(x−2)2−14. 下列命题中的真命题是（）A.全等的两个图形是中心对称图形B.关于中心对称的两个图形全等C.中心对称图形都是轴对称图形D.轴对称图形都是中心对称图形5. 用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为()A.(x+4)2=9B.(x−4)2=9C.(x+8)2=23D.(x−8)2=96. (−1, y1)，(2, y2)与(3, y3)为二次函数y=−x2−4x+5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y37. 在同一直角坐标系中，函数y＝kx2−k和y＝kx+k(k≠0)的图象大致是（）A. B. C. D.8. 某养殖户的养殖成本逐年增长，第一年的养殖成本为12万元，第3年的养殖成本为16万元．设养殖成本平均每年增长的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（）A.12(1−x)2＝16 B.16(1−x)2＝12C.16(1+x)2＝12D.12(1+x)2＝169. 左平面直角坐标系中，以原点为中心，把点A(4, 5)逆时针旋转90∘，得到的点A′的坐标为（）A.(−4, 5)B.(−5, 4)C.(−4, 4)D.(−5, 5)10. 如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−1, 0)，与y轴的交点B在(0, −2)和(0, −1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc>0②4a+2b+c>0③4ac−b2<8a④13<a<23⑤b>c．其中含所有正确结论的选项是( )A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤二、填空题（3*6=18分）一元二次方程x(x+3)＝0的根是________．若函数y＝(m−3)x m−2是二次函数，则m的值为________．若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．下列运动方式中：①钟表上钟摆的摆动，②投篮过程中球的运动，③“神十一”火箭升空的运动，④传动带上物体位置的变化，属于旋转的是________．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝2，且经过点(1, 4)和点(5, 0)，则该抛物线的解析式为________．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是________．三、解答题解下列方程：（1）x(x−3)＝0（2）x(x−1)＝1−x（3）x2+2x−35＝0（4）4x2−3＝12x（公式法）如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A(2, 2)，B(1, 0)，C(3, 1)（1）请在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（2）请在图中作出△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在☉O上．（1）若∠AOD＝54∘，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求弦AB的长．关于x的一元二次方程(m−1)x2−x−2＝0（1）若x＝−1是方程的一个根，求m的值及另一个根．（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．若x1，x2是方程x2−2x−3＝0的两个实数根，求（1）1x1+1x2的值．（2）(x1−1)(x2−1)的值．某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，日获利润为750元？（4）当销售单价为多少元时，该公司日获利润最大？最大利润是多少元？如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且A // CD，BO＝6cm．CO＝8cm，（1）求证：BO⊥CO；（2）求⊙O的半径．x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对如图，抛物线y=−12称轴交x轴于点D，已知A(−1, 0)，C(0, 2)．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？请求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标．参考答案与试题解析2021-2022学年内蒙古呼和浩特市回民区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（3*10=30分）1.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．【解答】由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转180∘后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．2.【答案】D【考点】一元二次方程的定义【解析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)是整式方程；(4)含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．【解答】解：A、a=0时，是一元一次方程，故A错误；B、是分式方程，故B错误；C、是二元二次方程，故C错误；D、是一元二次方程，故D正确.故选：D．3.【答案】B【考点】二次函数图象与几何变换【解析】直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式．【解答】解：∵将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到y=2x2+1，再向右平移2个单位，得到的解析式为：y=2(x−2)2+1．故选B.4.【答案】B【考点】命题与定理【解析】根据中心对称的性质即可求出答案．【解答】A、错误，比如，一个含有30度角的直角三角形平移后的图形与原三角形全等，但不是中心对称图形；B、关于中心对称的两个图形全等，正确；C、错误，平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；D、错误，正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．5.【答案】A【考点】解一元二次方程-配方法【解析】将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．【解答】解：x2+8x+7=0，移项得：x2+8x=−7，配方得：x2+8x+16=9，即(x+4)2=9．故选A.6.【答案】B【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解析】把原函数解析式化简成顶点式，然后根据函数图象的性质即可比较大小．【解答】解：∵(−1, y1)，(2, y2)与(3, y3)为二次函数y=−x2−4x+5图象上的三点，∴把函数y=−x2−4x+5变形为：y=−(x+2)2+9，∴由函数图象可知当x=−2时此函数有最大值为9，当x>−2时，y的值随x的增大而减小，∴y1>y2>y3.故选B．7.【答案】D【考点】一次函数的图象二次函数的图象【解析】可先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【解答】A、由一次函数y＝kx+k的图象可得：k>0，此时二次函数y＝kx2−kx的图象应该开口向上，错误；B、由一次函数y＝kx+k图象可知，k>0，此时二次函数y＝kx2−kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误；C、由一次函数y＝kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；D、正确．8.【答案】D【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】解决此类两次变化问题，可利用公式a(1+x)2＝c，那么两次涨价后售价为12(1+x)2，然后根据题意可得出方程．【解答】根据题意可列方程：12(1+x)2＝16，9.【答案】B【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】分别过A、A′作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明△AOC≅△OA′D，可求得A′D和OA′的长，则可求得A′点坐标．【解答】如图，分别过A、A′作x轴的垂线，垂足分别为C、D，∵A(4, 5)，∴OC＝4，AC＝5，∵把点A(4, 5)逆时针旋转90∘得到点A′，∴OA＝OA′，且∠AOA′＝90∘，∴∠A′OD+∠AOC＝∠AOC+∠CAO＝90∘，∴∠A′OD＝∠CAO，在△AOC和△OA′D中{∠ACO=∠A′DO ∠OAC=∠A′ODOA=OA′，∴△AOC≅△OA′D(AAS)，∴OD＝AC＝5，A′D＝OC＝4，∴A′(−5, 4)，10.【答案】D【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过(3, 0)，则得②的判断；根据图象经过(−1, 0)可得到a、b、c 之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在(0, −2)和(0, −1)之间可以判断c的大小得出④的正误．【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，ab<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴abc>0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A(−1, 0)，对称轴为直线x＝1，∴图象与x轴的另一个交点为(3, 0)，∴当x＝2时，y<0，∴4a+2b+c<0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A(−1, 0)，∴当x＝−1时，y＝(−1)2a+b×(−1)+c＝0，∴a−b+c＝0，即a＝b−c，c＝b−a，∵对称轴为直线x＝1∴−b2a=1，即b＝−2a，∴c＝b−a＝(−2a)−a＝−3a，∴4ac−b2＝4⋅a⋅(−3a)−(−2a)2＝−16a2<0∵8a>0∴4ac−b2<8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在(0, −2)和(0, −1)之间，∴−2<c<−1∴−2<−3a<−1，∴23>a>13；故④正确⑤∵a>0，∴b−c>0，即b>c；故⑤正确；综上，正确的结论有①③④⑤. 故选D.二、填空题（3*6=18分）【答案】x＝0或−3【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】利用分解因式法即可求解．【解答】x(x+3)＝0，∴x＝0或x＝−3．【答案】4【考点】二次函数的定义【解析】根据二次函数的定义得出m−3≠0且m−2＝2，求出即可．【解答】∵函数y＝(m−3)x m−2是二次函数，∴m−3≠0且m−2＝2，解得：m＝4．【答案】k>−1且k≠0【考点】根的判别式【解析】由关于x的一元二次方程kx2−2x−1＝0有两个不相等的实数根，即可得判别式△>0且k≠0，则可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×k×(−1)=4+4k>0，∴k>−1，∵对于x的一元二次方程kx2−2x−1=0，∴k≠0，∴k的取值范围是：k>−1且k≠0．故答案为：k>−1且k≠0．【答案】①【考点】生活中的旋转现象【解析】利用旋转和平移的定义对各运动方式进行判断．【解答】钟表上钟摆的摆动属于旋转；投篮过程中球的运动属于抛物运动，神十一”火箭升空的运动和传动带上物体位置的变化属于平移．【答案】y=−12x2+2x+52【考点】待定系数法求二次函数解析式【解析】根据题意，已知对称轴x＝2，图象经过点(5, 0)，根据抛物线的对称性，可知图象经过另一点(−1, 0)，设抛物线的交点式y＝a(x+1)(x−5)，把点(1, 4)代入即可．【解答】∵抛物线的对称轴为x＝2，且经过点(5, 0)，根据抛物线的对称性，图象经过另一点(−1, 0)，设抛物线的交点式y＝a(x+1)(x−5)，把点(1, 4)代入，得：4＝a(1+1)×(1−5)，解得a=−12，所以y=−12(x+1)(x−5)，即y=−12x2+2x+52．【答案】16cm【考点】切线长定理【解析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得PA的长；根据切线长定理，得BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，从而求解．【解答】连接OA．∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴BD＝CD，CE＝AE，PA＝PB，OA⊥AP．在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8，∴△PDE的周长为2AP＝16．三、解答题【答案】∵x(x−3)＝0，∴x＝0或x＝3．∵x(x−1)＝1−x，∴x(x−1)+x−1＝0，∴(x−1)(x+1)＝0，∴x＝1或x＝−1．∵x2+2x−35＝0，∴(x+7)(x−5)＝0，∴x＝−7或x＝5．原方程化为4x2−12x−3＝0，∴a＝4，b＝−12，c＝−3，∴△＝144+48＝192，∴x=12±√1928=3±2√32【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-公式法【解析】（1）根据因式分解法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．（3）根据因式分解法即可求出答案．（4）根据公式法即可求出答案．【解答】∵x(x−3)＝0，∴x＝0或x＝3．∵x(x−1)＝1−x，∴x(x−1)+x−1＝0，∴(x−1)(x+1)＝0，∴x＝1或x＝−1．∵x2+2x−35＝0，∴(x+7)(x−5)＝0，∴x＝−7或x＝5．原方程化为4x2−12x−3＝0，∴a＝4，b＝−12，c＝−3，∴△＝144+48＝192，∴x=12±√1928=3±2√32【答案】如图，△A1B1C1即为所求；如图，△A2B2C2即为所求．【考点】作图-轴对称变换作图-旋转变换【解析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；（2）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可．【解答】如图，△A1B1C1即为所求；如图，△A2B2C2即为所求．【答案】∵OD⊥AB，∴AD̂=BD̂，∴∠DEB=12∠AOD=12×54∘＝27∘．∵OC＝3，OA＝5，∴AC＝4，∵OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD=12弧AB，∴AC＝BC=12AB＝4，∴AB＝8．【考点】圆周角定理垂径定理勾股定理【解析】（1）欲求∠DEB，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解；（2）利用垂径定理可以得到AC＝BC=12AB＝4，从而得到结论．【解答】∵OD⊥AB，∴AD̂=BD̂，∴∠DEB=12∠AOD=12×54∘＝27∘．∵OC＝3，OA＝5，∴AC＝4，∵OD⊥AB，∴弧AD＝弧BD=12弧AB，∴AC＝BC=12AB＝4，∴AB＝8．【答案】将x＝−1代入原方程得m−1+1−2＝0，解得：m＝2．当m＝2时，原方程为x2−x−2＝0，即(x+1)(x−2)＝0，∴x1＝−1，x2＝2，∴方程的另一个根为2．∵方程(m−1)x2−x−2＝0有两个不同的实数根，∴{m−1≠0△=(−1)2−4×(−2)(m−1)>0，解得：m>78且m≠1，∴当m>78且m≠1时，方程有两个不同的实数根．【考点】根的判别式【解析】（1）将x＝−1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；（2）根据二次项系数非零及根的判别式△>0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】将x＝−1代入原方程得m−1+1−2＝0，解得：m＝2．当m＝2时，原方程为x2−x−2＝0，即(x+1)(x−2)＝0，∴x1＝−1，x2＝2，∴方程的另一个根为2．∵方程(m−1)x2−x−2＝0有两个不同的实数根，∴{m−1≠0△=(−1)2−4×(−2)(m−1)>0，解得：m>78且m≠1，∴当m>78且m≠1时，方程有两个不同的实数根．【答案】原式=x1+x2x1x2=23．原式＝x1x2−(x1+x2)+1＝−3−2+1＝−4【考点】根与系数的关系【解析】（1）根据根与系数的关系即可求出答案．（2）根据根与系数的关系即可求出答案．【解答】原式=x1+x2x1x2=23．原式＝x1x2−(x1+x2)+1＝−3−2+1＝−4【答案】设y＝kx+b，根据题意得{60k+b=8050k+b=100，解得：k＝−2，b＝200，∴y＝−2x+200(30≤x≤60)；w＝(x−30)(−2x+200)−450＝−2x2+260x−6450＝−2(x−65)2+2000；根据题意得：−2x2+260x−6450＝750，解得：x＝40或x＝90（舍去）答：当销售单价为40元时，日获利润为750元；w＝−2(x−65)2+2000，∵30≤x≤60，∴x＝60时，w有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．【考点】二次函数的应用一元二次方程的应用【解析】（1）根据y与x成一次函数解析式，设为y＝kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；（2）根据利润＝单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；（3）令w＝750求解一元二次方程即可得到正确的答案；（4）利用二次函数的性质求出w的最大值，以及此时x的值即可．【解答】设y＝kx+b，根据题意得{60k+b=8050k+b=100，解得：k＝−2，b＝200，∴y＝−2x+200(30≤x≤60)；w＝(x−30)(−2x+200)−450＝−2x2+260x−6450＝−2(x−65)2+2000；根据题意得：−2x2+260x−6450＝750，解得：x＝40或x＝90（舍去）答：当销售单价为40元时，日获利润为750元；w＝−2(x−65)2+2000，∵30≤x≤60，∴x＝60时，w有最大值为1950元，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．【答案】连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB // CD，∴∠ABC+∠BCD＝180∘，∴∠OBE+∠OCF＝90∘，∴∠BOC＝90∘，∴BO⊥CO；由（1）知，∠BOC＝90∘．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC=√82+62=10cm，∵OF⊥BC，=4.8cm．∴OF=OB⋅OCBC【考点】切线的性质【解析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180∘，则有∠OBC+∠OCB＝90∘，即∠BOC＝90∘，进而证明BO⊥CO；（2）由勾股定理可求得BC的长，再由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB // CD，∴∠ABC+∠BCD＝180∘，∴∠OBE+∠OCF＝90∘，∴∠BOC＝90∘，∴BO⊥CO；由（1）知，∠BOC＝90∘．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC=√82+62=10cm，∵OF⊥BC，∴ OF =OB⋅OC BC =4.8cm ．【答案】∵ A(−1, 0)，C(0, 2)在抛物线y =12x 2+bx +c 上，∴ {−12−b +c =0c =2 ，解得{b =32c =2， ∴ 抛物线解析式为y =−12x 2+32x +2；∵ y =−12x 2+32x +2=−12(x −32)2+258，∴ 抛物线对称轴为直线x =32，∴ D(32, 0)，且C(0, 2)，∴ CD =√(32)2+22=52，∵ 点P 在对称轴上，∴ 可设P(32, t)，∴ PD ＝|t|，PC =√(32)2+(t −2)2，当PD ＝CD 时，则有|t|=52，解得t ＝±52，此时P 点坐标为(32, 52)或(32, −52)；当PC ＝CD 时，则有√(32)2+(t −2)2=52，解得t ＝0（与D 重合，舍去）或t ＝4，此时P 点坐标为(32, 4)；综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(32, 52)或(32, −52)或(32, 4)； 当y ＝0时，即−12x 2+32x +2＝0，解得x ＝−1或x ＝4，∴ A(−1, 0)，B(4, 0)，设直线BC 解析式为y ＝kx +s ，由题意可得{s =24k +s =0 ，解得{s =2k =−12， ∴ 直线BC 解析式为y =−12x +2，∵ 点E 是线段BC 上的一个动点，∴ 可设E(m, −12m +2)，则F(m, −12m 2+32m +2)，∴ EF =−12m 2+32m +2−(−12m +2)=−12m 2+2m =−12(m −2)2+2， ∴ S △CBF =12×4⋅EF ＝2[=−12(m −2)2+2]＝−(m −2)2+4， ∵ −1<0，∴ 当m ＝2时，S △CBF 有最大值，最大值为4，此时−12x +2＝1， ∴ E(2, 1)，即E 为BC 的中点，∴ 当E 运动到BC 的中点时，△CBF 的面积最大，最大面积为4，此时E 点坐标为(2, 1)．【考点】二次函数综合题【解析】（1）由A 、C 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）可设出P 点坐标，则可表示出PC 、PD 和CD 的长，分PD ＝CD 、PC ＝CD 两种情况分别得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标；（3）由B 、C 的坐标可求得直线BC 的解析式，可设出E 点坐标，则可表示出F 点的坐标，从而可表示出EF 的长，可表示出△CBF 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E 的坐标．【解答】∵ A(−1, 0)，C(0, 2)在抛物线y =12x 2+bx +c 上，∴ {−12−b +c =0c =2 ，解得{b =32c =2， ∴ 抛物线解析式为y =−12x 2+32x +2；∵ y =−12x 2+32x +2=−12(x −32)2+258，∴ 抛物线对称轴为直线x =32，∴ D(32, 0)，且C(0, 2)，∴ CD =√(32)2+22=52，∵ 点P 在对称轴上，∴ 可设P(32, t)，∴ PD ＝|t|，PC =√(32)2+(t −2)2，当PD ＝CD 时，则有|t|=52，解得t ＝±52，此时P 点坐标为(32, 52)或(32, −52)；当PC ＝CD 时，则有√(32)2+(t −2)2=52，解得t ＝0（与D 重合，舍去）或t ＝4，此时P 点坐标为(32, 4)； 综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(32, 52)或(32, −52)或(32, 4)；当y ＝0时，即−12x 2+32x +2＝0，解得x ＝−1或x ＝4，∴ A(−1, 0)，B(4, 0)，设直线BC 解析式为y ＝kx +s ，由题意可得{s =24k +s =0 ，解得{s =2k =−12， ∴ 直线BC 解析式为y =−12x +2，∵ 点E 是线段BC 上的一个动点，∴ 可设E(m, −12m +2)，则F(m, −12m 2+32m +2)，∴ EF =−12m 2+32m +2−(−12m +2)=−12m 2+2m =−12(m −2)2+2， ∴ S △CBF =12×4⋅EF ＝2[=−12(m −2)2+2]＝−(m −2)2+4， ∵ −1<0，∴ 当m ＝2时，S △CBF 有最大值，最大值为4，此时−12x +2＝1，∴ E(2, 1)，即E 为BC 的中点，∴ 当E 运动到BC 的中点时，△CBF 的面积最大，最大面积为4，此时E 点坐标为(2, 1)．。

绝密★启用前内蒙古呼和浩特市普通高中2021-2022学年高二年级上学期期末教学质量监测语文试题参考答案解析2022年1月1.B（3分）A项，一个大国的气质基于其文化传统，但并非所有大国都有“悠久的历史传统”。

C项，原文第三段说的是“中国人特有的思维特点是塑造其大国气质的重要因素。

”，不是主要因素。

D项，因果颠倒，应是“中华文明的独特的价值体系影响中国人的行为方式”。

2.D（3分）不是逐层深入。

3.C（3分）原文第二段说的是“可以说，中国的大国气质中沉淀的历史底蕴之深厚，是其他大国不能比拟的。

这也使中国的大国气质更稳定、更具有持续性。

”递进关系错误。

4.D（3分）5.C（3分）6.（6分）①生涯教育有助于促进学生自我认识；②生涯教育帮助学生进行生涯选择；③生涯教育有助于实现学生自我管理。

（以上三点，每点2分）7.D（3分）8.（6分）①外貌描写：细致地对陈秉正老人的手进行特写，突出他勤劳纯朴、热爱劳动的形象。

②心理描写：看到新运来的桑杈第一时间想到集体的事情，手套第一次丢了想到“孩子们好心好意给买上了,丢了连找也不找一趟,未免对不起他们”,体现了他为集体和他人着想的特点。

③侧面衬托：副组长王新春对陈秉正辛勤劳作的介绍和年轻人劳动时的抱怨和不理解,突出表现了陈老汉的严肃、认真、一丝不苟的劳动态度以及他热爱劳动、助人为乐的高尚品德。

（以上三点,每点2分）9.（6分）①设置悬念。

标题“套不住的手”,设置悬念,让读者对这双手产生“为何套不住”的思考,引发了读者的阅读兴趣。

②情节一波三折。

文章以“手”为线- 1 -。

2021-2022学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线，的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 重合2.已知空间向量，若，则实数x的值是A. B. 0 C. 1 D. 23.若直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.4.若直线与圆相切，则b的值是( )A. 或12B. 2或C. 或D. 2或125.直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则( )A. B. C. D.7.阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．已知椭圆C：的面积为，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且的周长为16，则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.8.如图1，矩形ABCD ，，，E 为CD 中点，F 为线段除端点外的动点.如图2，将沿AF 折起，使平面平面ABC ，在平面ABD 内，过点D 作，K 为垂足，则AK长度的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.下列圆锥曲线中，焦点在x 轴上的是( )A.B.C.D.10.已知空间向量，，则下列正确的是( )A. B.C.D.，11.如图，正四面体的顶点 A 、 B 、 C 分别在两两垂直的三条射线 Ox ， Oy ， Oz 上，则下列选项中正确的是( )A. 三棱锥是正三棱锥B. 直线平面ACDC. 直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为D. 异面直线AB 和CD 所成角是12.已知抛物线，点，，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有( )A. 点P的坐标为B.C. 的面积的最大值为D. 的取值范围是三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.双曲线的渐近线方程是__________.14.已知，，若直线l的方向向量与直线AB的方向向量平行，则实数等于__________.15.已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若，则实数__________.16.双曲线上一点点P在第一象限，过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A，B两点点A，B异于点，设直线PA，PB的斜率分别为、，且，则双曲线C的离心率为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x02．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣15．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0 10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为千亿元．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，≤sin x0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝1【分析】由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．【解答】解：由已知抛物线方程可得：2p＝4，所以p＝2，所以准线方程为x＝−＝−1，即x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）【分析】根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．【解答】解：∵点A（1，﹣1，1），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（1，1，﹣1）故选：B．【点评】本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题【分析】直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．【解答】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b 都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是：若是无理数，则a 也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，进而根据裂项法即可求解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，S＝++...+＝（1﹣）+（）+...+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）【分析】求得方程表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得：﹣3＜m＜1且m≠﹣1，则方程表示椭圆的充要条件是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}，则：方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}的真子集，选项D，m∈（﹣3，﹣1）符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关【分析】利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．【解答】解：由散点图得：对于A，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56﹣38＝18，超过15分，故A正确；对于B，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B正确；对于C，该同学8次测试成绩的中位数是：＝48分，故C错误；对于D，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减得：+＝0，因为弦AB恰好被点M（1，1）平分，所以有x1+x2＝2，y1+y2＝2．所以直线AB的斜率k＝＝﹣•＝﹣，因此直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即4x+3y﹣1＝0，故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S白＝22﹣×﹣××﹣×1×1＝，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程，推出a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：PF1的方程：y＝，PF2的方程为：y＝﹣（x﹣c），联立，解得P（，），点P在双曲线上，可得，可得：b4﹣3a2b2﹣4a4＝0，可得：b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．【解答】解：曲线C：x2+y2＝|x|+|y|可知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×（）2＝2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×＝2，故命题②错误；设圆心C到直线3x+4y﹣12＝0的距离为d＝＝，故曲线上任意一点P（m，n）到直线l的距离的最小值为最小值为﹣，故|3m+4n﹣12|的最小值是，故命题③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为4．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆x2+2y2＝4，可得，可得a＝2，所以椭圆长轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是29．【分析】求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号．【解答】解：系统抽样间隔为40÷5＝8，且抽取的第一位编号是05，所以第四位的编号是5+8×3＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝ 1.6；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为 3.65千亿元．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．【解答】解：由题意可得：＝2.4．＝＝3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3＝2.4﹣0.84，解得＝1.6．，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x，则5＝1.6x﹣0.84，解得x＝3.65．故答案为：1.6；3.65．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是[，+∞）．【分析】设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得|PO|＝c，则∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2＝n，可得m2+n2＝4c2①，m+n＝2a1②，|m﹣n|＝2a2③，进一步求出e2的取值范围．【解答】解：设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得||＝2||，所以2c＝2|PO|，所以|PO|＝c，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2+n2＝4c2，①m+n＝2a1，②，|m﹣n|＝2a2，③②2+③2，得2m2+2n2＝4（a12+a22），代入①，得2×4c2＝4（a12+a22），所以2c2＝a12+a22，所以+＝2，④又e1＝，e2＝，所以＝，＝，所以④化为+＝2，即＝2﹣，因为e1∈（，]，所以＜e12≤，所以≤＜2，所以﹣2＜﹣≤﹣，所以0＜2﹣≤2﹣＝，即0＜≤，则e22≥，又e2＞1，所以e2≥，所以e2的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中点，l与AC平行，从而斜率相等，即可设出l，代入A、C中点求得l．【解答】解：（Ⅰ）由题意知AC斜率为k＝＝﹣，所以AC边所在直线方程为y﹣0＝﹣（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可设为3x+4y+m＝0，又AB边中点为（5，），将点（5，）代入直线l的方程得3×5+4×+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程为3x+4y﹣29＝0．【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【分析】（Ⅰ）利用古典概型直接求解．（Ⅱ）采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【解答】解：：（Ⅰ）用A表示“认为作业不多”，用B表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝．（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生，“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为＝，∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B，B1}，{B，B2}，{B，B3}，{B，B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．【分析】（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），再将点P （5，5）代入圆C方程，即可求解．（II）将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【解答】解：（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），∵圆C经过点P（5，5），∴（5﹣1）2+（5﹣2）2＝r2，即r2＝25，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．（II）由（I）知圆C的圆心为C（1，2），半径为5，∵圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5﹣m|＜|OC|＜5+m，∵，∴，故m的取值范围是．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．【分析】（Ⅰ）所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值．（Ⅱ）平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．【解答】（Ⅰ）由图知第三组频率为1﹣（0.01+0.04+0.02）×10＝0.30，所以第三组矩形的高为m＝＝0.03．因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（Ⅱ）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为＝65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02＝82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【点评】本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得|AF|＝3+＝4，求得p，则抛物线E的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，可得直线PQ与MN的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C与D的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|AF|＝3+＝4，得p＝2．∴抛物线E的方程为x2＝4y；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，故直线PQ的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，∵C（x C，y C）为弦PQ的中点，∴x C＝（x1+x2）＝2k．由y C＝kx C+1＝2k2+1，故点C（2k，2k2+1），同理，可得D（﹣，），故|FC|＝＝2，|FD|＝＝2．∴|FC|•|FD|＝4＝．当且仅当，即k＝±1时，等号成立．∴|CF|•|FD|的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，进而可得答案．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1k2＝•，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又因为|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，所以|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，所以2a＝4，即a＝2，2c＝2，即c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以点Q的轨迹方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得2x2+4bx+4b2﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣2b，x1x2＝2b2﹣2，所以k1k2＝•＝＝＝＝＝，所以k1k2为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

2021-2022学年内蒙古呼和浩特市九年级（上）期中数学试卷1.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.下列方程中，一元二次方程是()=0 C. x2−3=0 D. x−2y=0A. 2x+1=0B. x2+1x3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为()A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm4.将抛物线y=x2向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式为()A. y=(x+1)2+4B. y=(x−1)2+4C. y=(x+4)2−1D. y=(x−4)25.已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为()A. 1B. 7C. 4或3D. 7或16.函数y=ax2−a与y=ax−a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.7.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是()A. 50°B. 60°C. 80°D. 100°8.已知a是一元二次方程x2−3x−5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是()A. −2<a<−1B. 2<a<3C. −4<a<−3D. 4<a<59.如图，⊙O是△ABP的外接圆，半径r=2，∠APB=45°，则弦AB的长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 410.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(−2,0)，对称轴为直线x=1.有以下结论：①abc>0；②8a+c>0；③若A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，当x=x1+x2时，y=c；④若方程a(x+2)(4−x)=−2的两根为x1，x2，且x1<x2，则−2≤x1<x2<4．其中结论正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.将点P(−2,3)向右平移3个单位得到点P1，点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是______．12.抛物线的形状大小、开口方向都与y=−12x2相同且顶点为(1,−2)，则该抛物线的解析式为______．13.某种药品连续两次降价后，由每盒200元下调到每盒128元，这种药品每次降价的百分率为______．14.如图，点P(x,y)在抛物线y=−(x−1)2+2的图象上，若−1<x<2，则y的取值范围是______．15.如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2√3、√2、4，则正方形ABCD的面积为______．16.已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于两点(m,0)，(n,0)，且过A(0,b)，B(3,a)两点(b,a是实数)，若0<m<n<2，则ab的取值范围是______．17.用适当的方法解下列方程．①x2−3x+1=0；②(x+4)2=5(x+4)．18.已知α、β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根．(1)试确定m的取值范围；(2)当1α+1β=−1时，求m的值．19.如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线y=−15x2+3.5运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为3.05米．(1)球在空中运行的最大高度为多少米？(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？20.分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．21.某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．22.如图所示，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．23.已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD．(1)若点E是AC上一点，且CE=BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图(1)中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；(2)将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图(2)中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明．24.已知抛物线y=ax2+kx+ℎ(a>0)．(1)通过配方可以将其化成顶点式为______ ，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴______ (填上方或下方)，即4aℎ−k2______ 0(填大于或小于)时，该抛物线与x轴必有两个交点；(2)若抛物线上存在两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；(为了便于说明，不妨设x1<x2且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图)(3)利用二次函数(1)(2)结论，求证：当a>0，(a+c)(a+b+c)<0时，(b−c)2>4a(a+b+c)．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】C【解析】解：A.2x+1=0，是一元一次方程，故此选项不合题意；=0，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B.x2+1xC.x2−3=0，是一元二次方程，故此选项符合题意；D.x−2y=0，是二元一次方程，故此选项不合题意；故选：C．直接利用一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程的定义分别判断得出答案．此题主要考查了一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：∵AB=48，∴BD=12AB=12×48=24cm，∵⊙O的直径为52cm，∴OB=OC=26cm，在Rt△OBD中，OD=√OB2−BD2=√262−242=10cm，∴CD=OC−OD=26−10=16(cm)，故选：C．4.【答案】B【解析】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为(0,0)，平移后抛物线顶点坐标为(1,4)，又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y=(x−1)2+4．故选：B．抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为(1,4)，根据顶点式可确定所得抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．5.【答案】D【解析】解：如图所示，连接OA，OC.作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=12AB=4，CF=12CD=3，根据勾股定理，得OE=√AO2−AE2=3，OF=√OC2−CF2=4，所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF=OF−OE=1，当AB和CD在圆心的异侧时，则EF=OF+OE=7．故选：D．连接OC、OA，作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，AE，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况．6.【答案】A【解析】解：A、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−a 的图象应该开口向上，图象的两交点在坐标轴上，故A正确；B、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故B错误；C、由一次函数y=ax−a的图象可得：a>0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向上，图象的两交点不在坐标轴上，故C错误．D、由一次函数y=ax−a的图象可得：a<0，此时二次函数y=ax2−a的图象应该开口向下，图象的两交点不在坐标轴上，故D错误；故选：A．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．7.【答案】D【解析】【分析】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD= 180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：如图，圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8.【答案】A【解析】解：一元二次方程x2−3x−5=0，∵a=1，b=−3，c=−5，∴△=9+20=29，∴x=3±√29，2，即−2<a<−1，则较小的根a=3−√292故选：A．利用公式法表示出方程的根，估算即可．此题考查了解一元二次方程−公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理；熟练掌握圆周角定理，由勾股定理求出AB是解决问题的关键．连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB= 2∠APB=90°，由勾股定理求出AB即可．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：则∠AOB=2∠APB=90°，∵OA=OB=r=2，∴AB=√OA2+OB2=√22+22=2√2；故选：C．10.【答案】B【解析】解：①由图象可知：a>0，c<0，>0，−b2a∴abc>0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的对称轴为直线x=1，∴−b=1，2a∴b=−2a，当x=−2时，y=4a−2b+c=0，∴4a+4a+c=0，∴8a+c=0，故②错误；③∵A(x1,m)，B(x2,m)是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a−4a+c=c，故③正确；④∵图象过点(−2,0)，对称轴为直线x=1.抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(4,0)，∴y=ax2+bx+c=a(x+2)(x−4)若方程a(x+2)(4−x)=−2，即方程a(x+2)(x−4)=2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，∵x1<x2，∴x1<−2<4<x2，故④错误；故选：B．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数图象和性质的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．11.【答案】(−1,−3)【解析】解：∵点P(−2,3)向右平移3个单位得到点P1，∴点P1的坐标是(1,3)；∵点P2与点P1关于原点对称，∴P2的坐标是(−1,−3)．故答案为：(−1,−3)．首先根据点P(−2,3)向右平移3个单位得到点P1，可得点P1的坐标是(1,3)，然后根据点P2与点P1关于原点对称，求出P2的坐标是多少即可．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，以及坐标与图形变化问题−平移，要熟练掌握．12.【答案】=−12(x−1)2−2【解析】解：设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=−12x2相同，∴a=−12，∴y=−12(x−ℎ)2+k，∴y=−12(x−1)2−2，故答案为：y=−12(x−1)2−2．设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)2+k，由条件可以得出a=−12，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．13.【答案】20%【解析】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意得：200(1−x)2=128，解得：x1=0.2=20%，x2=1.8=180%(舍去)，故答案为：20%．设这种商品每次降价的百分率是x，则第一次下调后的价格为200(1−x)，第二次下调的价格为200(1−x)2，根据题意可列方程为200(1−x)2=128求解即可．本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．14.【答案】−2<y≤2【解析】解：由抛物线y=−(x−1)2+2可知二次函数的对称轴为直线x=1，∵a=−1<0，∴当x=1时，有最大值2，当x=−1时，有最小值为−(−1−1)2+2=−2，∴y的取值范围为−2<y≤2．故答案为−2<y≤2．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最大值和最小值即可，然后写出y的取值范围即可．本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的最值问题和增减性，熟记性质并求出对称轴是解题的关键．15.【答案】14+4√3【解析】解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，连接PM，过点B作BH⊥PM于H．∵BP=BM=√2，∠PBM=90°，∴PM=√2PB=2，∵PC =4，PA =CM =2√3，∴PC 2=CM 2+PM 2，∴∠PMC =90°，∵∠BPM =∠BMP =45°，∴∠CMB =∠APB =135°，∴∠APB +∠BPM =180°，∴A ，P ，M 共线，∵BH ⊥PM ，∴PH =HM ，∴BH =PH =HM =1，∴AH =2√3+1，∴AB 2=AH 2+BH 2=(2√3+1)2+12=14+4√3，∴正方形ABCD 的面积为14+4√3．故答案为14+4√3．如图，将△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBM ，连接PM ，过点B 作BH ⊥PM 于H.首先证明∠PMC =90°，推出∠CMB =∠APB =135°，推出A ，P ，M 共线，利用勾股定理求出AB 2即可．本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题．16.【答案】0<ab <8116【解析】由已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点(m,0)，(n,0)， 所以可设交点式y =(x −m)(x −n)，分别代入(0,b)，(3,a)，∴ab =mn(3−m)(3−n)=(3m −m 2)(3n −n 2)=[−(m −32)2+94][−(n −32)2+94]， ∵0<m <n <2，∴0<−(m −32)2+94≤94，0<−(n −32)2+94≤94，∵m <n ，∴ab 不能取8116，∴0<ab <8116．故答案为：0<ab <8116．先表示出b =mn ，a =(3−m)(3−n)，进而得ab =[−(m −32)2+94][−(n −32)2+94]，再判断出0<−(m −32)2+94≤94，0<−(n −32)2+94≤94，即可得出结论．此题主要考查了二次函数与x 轴的交点，完全平方的非负性，判断出a =b 以及抛物线与x 轴只有一个交点时，ab 最大这个分界点是解本题的关键．17.【答案】解：①∵a =1，b =−3，c =1，∴Δ=(−3)2−4×1×1=5>0，则x =−b±√b 2−4ac 2a =3±√52， 即x 1=3+√52，x 2=3−√52；②∵(x +4)2=5(x +4)，∴(x +4)2−5(x +4)=0，则(x +4)(x −1)=0，∴x +4=0或x −1=0，解得x 1=−4，x 2=1．【解析】①利用公式法求解即可；②先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即△=(2m +3)2−4m 2>0，解得m >−34；(2)∵α，β是方程的两个实数根，∴α+β=−(2m+3)，αβ=m2．∵1α+1β=−1，∴−(2m+3)=−m2，解得m1=3，m2=−1．∵m>−34，∴m=3．【解析】(1)根据方程有两个相等的实数根可知△>0，求出m的取值范围即可；(2)根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca是解答此题的关键．也考查了根的判别式．19.【答案】解：(1)因为抛物线y=−15x2+3.5的顶点坐标为(0,3.5)所以球在空中运行的最大高度为3.5米；(2)当y=3.05时，3.05=−15x2+3.5，解得：x=±1.5又因为x>0所以x=1.5当y=2.25时，x=±2.5又因为x<0所以x=−2.5，由|1.5|+|−2.5|=1.5+2.5=4米，故运动员距离篮框中心水平距离为4米．【解析】(1)最大高度应是抛物线顶点的纵坐标的值；(2)根据所建坐标系，水平距离是蓝框中心到Y轴的距离+球出手点到y轴的距离，即两点横坐标的绝对值的和．根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．20.【答案】解：逆时针旋转90°的图形如下：；逆时针旋转180°的图形如下：．【解析】根据题意所述旋转三要素，依次找到各点对应点，然后顺次连接即可得出旋转后的图形．此题考查了旋转作图的知识，解答此类问题一定要仔细审题，找到旋转三要素，然后找到各点的对应点，注意规范作图．21.【答案】解：(1)当6≤x ≤10时，设y 与x 的关系式为y =kx +b(k ≠0)根据题意得{1000=6k +b 200=10k +b ，解得{k =−200b =2200∴y =−200x +2200当10<x ≤12时，y =200故y 与x 的函数解析式为：y ={−200x +2200,(6≤x ≤10)200,(10<x ≤12)(2)由已知得：W =(x −6)y当6≤x≤10时，W=(x−6)(−200x+2200)=−200(x−172)2+1250∵−200<0，抛物线的开口向下∴x=172时，取最大值，∴W=1250当10<x≤12时，W=(x−6)⋅200=200x−1200∵y随x的增大而增大∴x=12时取得最大值，W=200×12−1200=1200综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．【解析】(1)根据函数图象得到直线上的两点，再结合待定系数法即可求得y与x的函数解析式；(2)根据总利润=每千克利润×销售量，列出函数关系式，配方后根据x的取值范围可得W 的最大值．本题主要考查的是待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，根据相等关系列出函数解析式，并由二次函数的性质确定其最值是解题的关键；22.【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=10cm，AC=6cm，∴BC2=AB2−AC2=102−62=64，∴BC=√64=8(cm)，又CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD⏜=DB⏜，∴AD=BD，又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD2+BD2=102，∴AD=BD=√1002=5√2(cm)．【解析】本题考查了圆周角定理，同圆或等圆中等弧对等弦，勾股定理，根据直径所对的角是90°，判断出△ABC和△ABD是直角三角形，根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D，判断出△ADB为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值．解答此题要抓住两个关键，(1)判断出△ABC和△ABD是直角三角形，以便利用勾股定理；(2)判断出线段AD=DB，然后将各种线段转化到直角三角形中利用勾股定理解答．23.【答案】(1)补全图形图1，证明：在△ABD和△BEC中，{AB=BC∠ABD=∠C=60°BD=CE∴△ABD≌△BEC(SAS)∴∠BAD=∠CBE．∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°；(2)补全图形图2，AQ=12CD，证明：在△ABD和△BEC中，{AB=BC∠ABD=∠C=60°BD=CE∴△ABD≌△BEC(SAS)∴∠BAD=∠CBE，∵∠APE是△ABP的一个外角，∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°．∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，∴AF=AD，∠DAF=120°．∵∠APE=60°，∴∠APE+∠DAP=180°．∴AF//BE，∴∠1=∠2，∵△ABD≌△BEC，∴AD=BE．∴AF =BE ．在△AQF 和△EQB 中，{∠1=∠2∠AQF =∠EQB AF =BE△AQF≌△EQB(AAS)，∴AQ =QE ，∴AQ =12AE ，∵AE =AC −CE ，CD =BC −BD ，且AE =BC ，CD =BD ．∴AE =CD ，∴AQ =12CD ．【解析】(1)根据全等三角形性质和三角形外角的性质即可得到结论；(2)根据全等三角形的性质得到∠BAD =∠CBE ，根据三角形的外角的性质得到∠APE =∠BAD +∠ABP =∠CBE +∠ABP =∠ABC =60°.根据旋转的性质得到AF =AD ，∠DAF =120°.根据全等三角形的性质得到AQ =QE ，于是得到结论．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】(1)y =a(x +k 2a )2+4aℎ−k 24a ，下方，<(2)若设x 1<x 2且不等于顶点横坐标则A ，B 两点位置可能有以下三种情况： ①当A ，B 都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随x 的增大而减小，所以点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，顶点M 在点B 下方，所以抛物线顶点必在x 轴下方．如图所示：②当A ，B 都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随x 的增大而增大，所以点B在x轴上方，点A在x轴下方，顶点M在点A下方，所以抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：③当A，B在对称轴两侧时，由于A，B分布在x轴两侧，所以不管A，B哪个点在x轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在x轴下方．如图所示：(3)证明：令y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)，a>0，当x1=0时，y1=a+b+c；当x2=−1时，y2=2(a+c)．而(a+c)(a+b+c)<0，∴y1⋅y2<0，∴y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)上存在两点(−1,2a+2c)，(0,a+b+c)分别位于x 轴两侧，∴由(1)(2)可知，y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)顶点在x轴下方，<0，即4a(a+b+c)−(b−c)24a又a>0，∴4a(a+b+c)−(b−c)2<0，即：(b−c)2>4a(a+b+c)．【解析】解：(1)y=ax2+kx+ℎ=a(x2+ka x)+ℎ=a[x2+kax+(k2a)2−(k2a)2]+ℎ=a(x+k2a )2−k24a+ℎ=a(x+k2a)2+4aℎ−k24a，∴顶点式为：y=a(x+k2a )2+4aℎ−k24a，当顶点在x轴下方时，即4aℎ−k2<0(填大于或小于)时，该抛物线与x轴必有两个交点；故答案为：y=a(x+k2a )2+4aℎ−k24a，下方，<；(1)先提公因式a，再利用配方法配成完全平方公式，即可得到答案；(2)若设x1<x2且不等于顶点横坐标则A，B两点位置可能有以下三种情况：①当A，B都在对称轴左侧时，②当A，B都在对称轴右侧时，③当A，B在对称轴两侧时，根据二次函数性质可得答案；(3)令y=ax2+(b−c)x+(a+b+c)，根据点的特殊性得，y=ax2+(b−c)x+(a+ b+c)上存在两点(−1,2a+2c)，(0,a+b+c)分别位于x轴两侧，然后根据(1)(2)可得答案．此题考查的是二次函数与系数的关系，根据题意画出正确图形是解决此题关键．。

2021-2022高二数学上学期期末考试试题 文（全卷满分150分,考试时间为120分钟）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1.顶点在原点，焦点是()0,2的抛物线的方程是(A) 28y x = (B) 28x y = (C) 28x y = (D)28y x =2.已知,给出下列条件：①；②；③，则使得成立的充分而不必要条件是(A) ① (B) ② (C) ③ (D)①②③3.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 84.如图是房间壁灯照到墙上的光影的照片，壁灯轴线与墙面平行，则光影的边缘是（A ）抛物线 （B ）双曲线一支 （C ）椭圆 （D ）抛物线或双曲线 5.曲线)1ln()(+=x x f 在点处的切线方程为(A)x y = (B)02=-y x (C)0=+y x (D)02=-y x6.演讲比赛共有9位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(A)平均数 (B)中位数 (C)方差 (D)极差7.一个质量kg m 5=的物体作直线运动，设运动距离s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数21)(t t s +=表示，并且物体的动能221mv E k =，则物体开始运动后第4s 时的动能是（A ）160J （B ）165J （C ）170J （D ）175J8.若正项等比数列{}n a 的公比q ≠1，且356a a a ，，成等差数列，则3546a a a a ++等于(A)21 (B)25 (C)215+ (D)215- 9.设点A ，B 的坐标分别为（-1,0）,(1,0),直线AP,BP 相交于点P ,且它们的斜率之和为2,则点P 的轨迹方程是 (A)x x y 1+= (B)x x y 1-= (C)()11±≠-=x x x y (D)()11±≠+=x xx y 10. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 (A)消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米. (B)以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多.(C)甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油.(D)某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油.11. 已知()2,1-是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，则直线l 的方程是 （A ） 20x y -= （B ） 240x y -+= （C ） 230x y ++= （D ） 2310x y --= 12．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则(A)()f x 在（0,2）单调递增 (B)()f x 在（0,2）单调递减(C)()f x 的图像关于直线x =1对称 (D)()f x 的图像关于点（1,0）对称2021-2022度上学期期末素质测试试卷高二数学（文科卷）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分.16小题第1空2分,第2空3分）13. 双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_____．14．已知1sin()44x π-=，则sin2x 的值为_________.15.在⊿ABC 中，已知面积为2221()4a b c +-，则角C 的度数为_________.16.某部门在同一上班高峰时段对某地铁站随机抽取50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟）．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图，则a =__________；在上班高峰时段某乘客在该地铁站乘车等待时间少于20分钟人数的估计值为____________.三、解答题（共6小题，满分70分）17. （本题满分10分）在ABC ∆中，2π3C ∠=，6a =. （Ⅰ）若14c =，求sin A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为33c 的值.乙O0.0480.00.00.0O40510152频0.00.00.00.0甲站频率/组距乘车等待时间（分钟）353025201510518. （本题满分12分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知7612,531==S a ． （1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值．19.（本题满分12分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至202X 年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值(单位：亿元)，折线图为体育产业年增长率(％)．(Ⅰ)从2007年至202X 年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；(Ⅱ)从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；(Ⅲ)由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？(结论不要求证明)20. （本题满分12分）已知知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1，x ∈R +)，若x 1，x 2∈R +，判断()()[]2121x f x f +与⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x f 的大小，并加以证明.21. （本题满分12分）已知在平面直角坐标系中，动点P 到定点F (1,0)的距离比到定直线x =-2的距离小1. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与（1）中轨迹C 交于A ，B 两点，通过A 和原点O 的直线交直线x =-1于D ，求证：直线DB 平行于x 轴.22. （本题满分12分）已知函数()e 4xf x a x =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，求证：曲线()y f x =在抛物线21y x =--的上方.2021-2022度上学期期末素质测试试卷文科数学参考答案一、选择题：BCCB ABAD CDBC二、填空题：13、1；14、87；15、4π；16、0.036, 25. 三、解答题17.解(1) 在ABC ∆中，因为sin sin a cA C=， 即6sin A =分所以sin A =……………………….4分（Ⅱ）因为1sin 2ABC S a b C ∆=⋅⋅⋅. 所以162b =⨯，解得2b =. ……5分 又因为2222cos c a b a b C =+-⋅⋅. …………………….8分所以21436226()2c =+-⨯⨯⨯-,所以c ==…………………….10分 18..解：（1）∵等差数列{a n }中，7612,531==S a ， ∴a 1=5，3a 1+3d =12+76，解得75-=d ，---------4分 ∴()()n n a n -=--=8751755；-----------------6分（2）()561125215145145758755222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n nn n n S n -----------------10分 ∴当n =7或8时，前n 项的和S n 取得最大值．-------------12分19.解：（Ⅰ）从2007年至202X 年这十年中，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上有2009年，2011年，202X 年，202X 年． 根据题意，所求概率为42105P ==． ……………………………….3分 （Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A ，B ，其它三年设为C ，D ，E ，从五年中随机选出两年，共有10种情况：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况，所以所求概率为710. ………………….9分 （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． ………….12分20.解：f (x 1)+f (x 2)=log a x 1+ log a x 2=log a (x 1x 2)∵ x 1，x 2∈R +，∴ x 1x 2≤2212⎪⎭⎫⎝⎛+x x (当且仅当x 1= x 2时取“=”号). ——2分∵当a >1时，f (x )=log a x 是增函数∴当a >1时，有log a (x 1x 2)≤log a 2212⎪⎭⎫⎝⎛+x x——5分∴21log a (x 1x 2)≤log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x ，21( log a x 1+ log a x 2)≤log a ⎪⎭⎫⎝⎛+221x x ， 即21[f (x 1)+f (x 2)] ≤f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x (当且仅当x 1= x 2时取“=”号) ——7分∵当0<a <1时，f (x )=log a x 是减函数∴log a (x 1x 2)≥log a 2212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ，即 (log a x 1+log a x 2)≥2 log a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+221x x ，--------------10分即21[f (x 1)+f (x 2)] ≥f ⎪⎭⎫⎝⎛+221x x (当且仅当x 1=x 2时取“=”号). ——12分21.（1）所求轨迹为以F (1,0)为焦点，直线x =-1准线的抛物线，其方程为24y x = ①---------3分（2）设直线AB 的方程为1x my =+ ② ②代入①，整理得2440y my --=设()()1122,,,,A x y B x y 则 124y y =- ------6分 所以点B 的纵坐标214y y =-③-------7分因为2114y x =，所以直线OA 的方程为1114y y x x x y == ④ 可得D 的纵坐标为14D y y =-⑤-------10分 由③⑤知，DB ∥x 轴 -------------12分22. 解：（Ⅰ）求导得()e 4xf x a '=-.定义域x ∈R .当0a ≤时，()0f x '<,函数()f x 在R 上为减函数. 当0a >时，令()0f x '>得4lnx a >,()f x 为增函数； 令()0f x '<得4ln x a<,()f x 为减函数.所以0a ≤时，函数()f x 减区间是(,)-∞+∞. 当0a >时，函数()f x 增区间是 4(ln,)a +∞；减区间是4(,ln )a-∞. ………5分 （Ⅱ）依题意，只需证2e 410x x x -++>.设2()e 41xF x x x =-++.则()e 42xF x x '=-+，设()()G x F x '=.因为()e 20xG x '=+>，所以()G x 在(,)-∞+∞上单调递增.----------7分又因为(0)30,(1)e 20G G =-<=->，所以()0G x =在(0,1)内有唯一解，-----8分 记为0x 即00e42x x =-.当0x x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；所以022min 000000()()e 4165,(0,1)xF x F x x x x x x ==-++=-+∈.--------10分设22()65(3)4g x x x x =-+=--，(0,1)x ∈. 则()(1)0g x g >=.所以0()0F x >.所以()0F x >，即曲线()y f x =在抛物线21y x =--上方.………12分。

2021-2022学年内蒙古呼和浩特市七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共18.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若盈余2万元记作+2万元，则−2万元表示( )A. 盈余2万元B. 亏损2万元C. 亏损−2万元D. 不盈余也不亏损2.若−2a m b4与5a2b m−2n是同类项，则m−n的值是( )A. 3B. −3C. 1D. −13.北京大兴国际机场采用“三纵一横”全向型跑道构型，可节省飞机飞行时间，遇极端天气侧向跑道可提升机场运行能力．跑道的布局为：三条南北向的跑道和一条偏东南走向的侧向跑道．如图，侧向跑道AB在点O南偏东70°的方向上，则这条跑道所在射线OB与正北方向所成角的度数为( )A. 20°B. 70°C. 110°D. 160°4.下列计算正确的有( )①−2(a−b)=−2a+2b②2c2−c2=2③3a+2b=5ab④x2y−4yx2=−3x2yA. 3个B. 2个C. 1个D. 0个5.下列方程变形中，正确的是( )A. 方程23t=32，系数化为1得t=1B. 方程3−x=2−5(x−1)，去括号得3−x=2−5x−5C. 方程x−12−x5=1，去分母得5(x−1)−2x=10D. 方程3x−2=2x+1，移项得3x−2x=−1+26.多项式x2−4−3xy2的次数和常数项分别是( )A. 1和−4B. −3和−4C. 2和−4D. 3和−47.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是( )A.B.C.D.8.为迎接“双十一”购物节，东关街某玩具经销商将一件玩具按进价提高60%后标价，销售时按标价打折销售，结果相对于进价仍可获利20%，则这件玩具销售时打的折扣是( )A. 7.5折B. 8折C. 6.5折D. 6折二、填空题（本大题共8小题，共18.0分）9.拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计，全国每年浪费粮食总量约50000000000千克，这个数据用科学记数法表示为______ 千克．10.比较图中∠BOC、∠BOD的大小：因为OB和OB是公共边，______在∠BOD的内部，所以∠BOC______∠BOD.(填“>”，“<”或“=”)11.a、b两个数在数轴上的位置如图所示，则化简|b|−|b−a|的结果是______．12.下列说法：①两点之间，线段最短．②射线AB和射线BA是同一条射线．③连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离．其中正确的序号是______．13.化简：−6ab+ba+8ab的结果是______．14.一副三角板按如图所示的方式摆放，且∠1的度数是∠2的3倍，则∠2的度数为______．15.点A，B，C在同一条直线上，AB=6cm，BC=2cm，M为AB中点，N为BC中点，则MN的长度为______．16.下列判断正确的有______.(填序号即可)①若a+b=0，则a与b的同一偶数次方相等；②若a>b，则a的倒数小于b的倒数；③若|a|>2，则在数轴上表示有理数a的点一定在−2的左侧，2的右侧；④ax2+a=0，可以看作是关于a的一元一次方程，且其解为a=0．三、计算题（本大题共3小题，共36.0分）17.计算：(1)(−8)×(−7)÷(−12)；(2)(23−34+16)÷(−124)；(3)−14−(1−0.5)×13−|1−(−5)2|；(4)|13−12|÷(−112)−18×(−2)3．18.先化简，再求值：3m2−[5m−2(m−13)+4m2]，其中m=−13．19.解方程：(1)3x+7=32−2x；(2)2x−3(20−x)=0；(3)3x+52=2x−13；(4)5y+43+y−14=2−5y−312．四、解答题（本大题共4小题，共28.0分。