福建省泉州市2011届普通高中毕业班高三数学质量检测试题 理

福建省2011届高三考前质量检测数学试卷理科1第Ⅰ卷（选择题 共50分）一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．） 1. 已知集合M = {1,2}，N = {2a −1｜a ∈M }，则M ∪N 等于A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{1}D ．∅ 2．复数121i,2i z b z =+=-+，若12z z 的对应点位于直线x +y =0上，则实数b 的值为A ．-3B ．3C ．-13 D ． 133.已知实数等比数列{}n a 中，S n 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于A ．35 B.33 C.31 D.29 4. 函数f (x )=ln x +x -2的零点位于区间 ( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 5. a 的值由右边程序框图算出，则二项式9)(xax -展开式的常数 项为A. 59567C T ⨯-=B. 39347C T ⨯= C. 39347C T ⨯-= D. 49457C T ⨯=6. 函数)32sin()(π-=x x f 的图象为C ，给出以下结论：①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②图象C 关于点)0,32(π对称；③函数)(x f 在区间)125,12(ππ-内是增函数；④由x y 2sin =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的是A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ②③④7. 若圆x 2+y 2=2在点(1，1)处的切线与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率等于8. 下列四个命题中，错误的是A.已知函数f (x )=()x x x e e dx -+⎰，则f (x )是奇函数B.设回归直线方程为x y5.22ˆ-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均减少2.5个单位 C.已知ξ服从正态分布 N (0,σ 2)，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.1P ξ>=D.对于命题p ：“∃x ∈R ，210x x ++<”，则⌝ p ：“∀x ∈R ，210x x ++>”9. 如图，动点P 在正方体1AC 的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面D D B B 11的直线， 与正方体表面相交于M 、N ，设x BP =，y MN =，则)(x f y =的图象大致是10．已知函数f (x )满足：①当0≤x ≤2时，f (x )=(x -1)2，②∀ x ∈[0，8]，f (x -12)= f (x +32) . 若方程 f (x )=M log 2x 在[0，8]上有偶数个根，则正数M 的取值范围是 A. M <≤103 B. M <≤103或M =1或2 C. M <≤103或M =1或12 D. M <≤103或M =1或12或log 62第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）11. 非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |，则a 与a +b 的夹角为______________.12. 一个空间几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .13. 若在区域34000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩内任取一点P ，则点 P 落在单位圆221x y +=内的概率为 .14. 某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如右图所示，则时速超过60km/h 的汽车数量为 辆.15.设集合I={1，2，3，……，n } (n ∈N ，n ≥2)，构造 I 的两个非空子集A ，B ，使得B 中最小的数大于A 中最大的数，则这样的构造方法共有__________种.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算过程．）16.（本题满分13分）在锐角ABC ∆中，三个内角A B C 、、所对的边依次为c b a 、、．设(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n A A =- ，a =，12m n ⋅=- 且.（Ⅰ）若b =，求ABC ∆的面积；（Ⅱ）求b +c 的最大值．17. (本小题满分13分)对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得根据上表信息解答以下问题：(Ⅰ)从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数1)(2--=x x x f η在区间(4，6)内有零点”的事件为A ，求A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.18.(本题满分13分)如图，菱形ABCD 中，∠ABC =60o, AE ⊥平面ABCD ，CF ⊥平面ABCD ，AB = AE =2，CF =3.（Ⅰ）求证EF ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求锐二面角E —BD —F 的大小.19. （本题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b +=经过点（0），离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x =4上的射影依次为点D 、K 、E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 交y 轴于点M ，且,MA AF MB BF λμ==，当直线l 的倾斜角变化时，探求λμ+ 的值是否为定值？若是，求出λμ+的值，否则，说明理由；（Ⅲ）连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数f (x )=ae x，g (x )= ln a -ln(x +1)（其中a 为常数，e 为自然对数底），函数y =f (x )在A (0，a )处的切线与y =g (x )在B (0，ln a )处的切线互相垂直. (Ⅰ) 求f (x ) ，g (x )的解析式；(Ⅱ) 求证：对任意n ∈N *， f (n )+g (n )>2n ；(Ⅲ) 设y =g (x -1)的图象为C 1，h (x )=-x 2+bx 的图象为C 2，若C 1与C 2相交于P 、Q ，过PQ 中点垂直于x 轴的直线分别交C 1、C 2于M 、N ，问是否存在实数b ，使得C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？说明你的理由.21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

2011年福建省泉州市高中毕业班质量检查理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置. １. 设{|10}{|360}S x x T x x =+>=-<，，则ST 等于（ ）A.∅B.{|1}x x <-C.{|2}x x >D.{|12}x x -<< 2．等比数列{}n a 中，已知23a =，71036a a ⋅=，则15a 等于（ ）A ．12 B.12- C.6 D.6-3.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(10)0f =，则不等式()0f x x<的解集为（ ） A ．(100)(10)-+∞，，U B ．(10)(010)-∞-，，U C ．(10)(10)-∞-+∞，，U D ．(100)(010)-，，U 4.某同学设计右面的程序框图用以计算数列{}2n n ⋅的前100项和，则在判断框中应填写 ( )A ．99i ≤B ．99i ≥C ．100i ≤D ．101i ≤5.设实数x 和y 满足约束条件20203x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的取值范围为A ．[]1,1-B ．[]2,1-C ．[]1,0-D ．[]0,16.设函数sin 2,0()2,0x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，则方程x x f =)(的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 命题“平行于同一_______的两______平行.”请在上述空格中分别填入“直线”或者“平面”，使之组成四个不同的命题，则其中的真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D.4 8.将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移6π个单位得函数()g x 的图象，再将()g x 的图象所有点的横坐标伸长为原来的２倍得到函数()h x 的图象，则（ ）．A. ()sin 2g x x =,()sin 4h x x =B. ()sin 2g x x =,()sin h x x =C. 2()sin(2)3g x x π=+,2()sin(4)3h x x π=+ D. 2()sin(2)3g x x π=+,2()sin()3h x x π=+ 9. 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为()2012S t v t at =+，设物体第n 秒内的位移为n a ，则数列{}n a 是（ ）0.020.030.04A.公差为a 的等差数列 B. 公差为a -的等差数列 C. 公比为a 的等比数列 D. 公比为1a的等比数列 10. 如图所示，圆锥SO 的轴截面SAB ∆是边长为4的正三角形，M 为母线SB 的 中点，过直线AM 作平面β⊥面SAB ，设β与圆锥侧面的交线为椭圆C ，则 椭圆C 的短半轴为（ ）AB．2CD ．2 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．复数21a iz i+⋅=+是纯虚数，则实数a ＝ 12．若()2011220102011012201020111x a a x a x a x a x -=+++++ ，则12320102011a a a a a+++++=______。

2011年福建省普通高中毕业班质量检查试题理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷。

第Ⅰ卷为必考题，第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分。

本试卷共12页，满分300分，考试时间150分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效；按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号;非选择题答案使用0.5亳米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写.，字体工整、笔迹清楚。

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

5．保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损；考试结束后，将答题卡交回。

相对原子质量：O 16 Cl 35.5 Ca 40第Ⅰ卷（选择题共108分）本卷共18小题，每小题6分，共108分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．下列概念图中，错误．．的是2．巨尾桉具有速生、高产的特点。

某地区将天然林全部砍伐烧毁，大量单一种植巨尾桉，对环境造成不利的影响。

下列叙述正确的是A．天然林替换成巨尾桉林的过程属于初生演替B．天然林替换成巨尾桉林后物种丰富度增加C．巨尾桉林比天然林的抵抗力稳定性高D．在巨尾桉林中混种其它林木有利于改善该地区环境3．采用骨髓移植的方法治疗人类白血病时，植入患者体内的造血干细胞可以A．与感染病原体的靶细胞密切接触，使靶细胞裂解死亡B．进行分裂，细胞中染色体数目呈周期性变化C．增殖、分化形成骨细胞D．合成、分泌出抗体4．盐碱地中生活的某种植物，其细胞的液泡膜上有一种载体蛋白，能将细胞质中的Na+逆浓度梯度运人液泡，减轻Na+对细胞质中酶的伤害。

下列叙述错误的是A．Na+进入液泡的过程属于主动运输B．Na+进入液泡的过程体现液泡膜的选择透过性C．该载体蛋白作用的结果不利于增强细胞吸水能力D．该载体蛋白作用的结果有助于提高植物的耐盐性5．某种蛙眼色的表现型与基因型的对应关系如下表(两对基因独立遗传)：A．3：1 B．3：2 C．9：7 D．13：36. 下列说法正确的是A. 有机物只含有碳、氢、氧三种元素B. 分子式为C4H10的物质只有一种C. 用新制Cu(OH)2悬浊液可以鉴别乙酸、葡萄糖、淀粉三种溶液D. 氨基酸、蛋白质和纤维素均属于髙分子化合物7. 常温下，不可能与NaHCO3溶液反应生成气体的物质是A.酸B.碱C.盐D.氧化物8. 美国普度大学研究开发出一种利用铝镓合金制备氢气的新工艺（如右下图所示）。

准考证号 姓名（在此卷上答题无效）保密★启用前2012年泉州市普通高中毕业班质量检测理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数()()11z a a i =-++(,a R i ∈为虚数单位)是纯虚数，则a =A ．-1 B.1 C. 1± D.0 2. 下列向量中与向量a ()1,2=垂直的是A ．b=()1,2- B. c=()2,4- C ．d=()3,6- D ．e=()6,3-3. 已知,a l 是直线，α是平面，且a α⊂，则“l a ⊥”是“l α⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知1sin cos 3θθ+=，则sin 2θ=5.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，现从中随机取出2个小球，则取出的2个小球标注的数字之和为5的概率是（ ）A ．425 B ．310 D ．110位：万元）与年产量x （单位：千件）满足关系：()()2324010R x x x =-+<≤．该公司为了在生产中获得最大利润（年利润=年销售收入－年总成本），则年产量应为A ．5千件B ．C ．9千件D ．10千件9. 如图1所示，一平面曲边四边形ABCD 中，曲边BC 是某双曲线的一部分，该双曲线的虚轴所在直线为l ，边AD 在直线l 上，四边形ABCD 绕直线l 旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺寸如图2所示，其中俯视图中小圆的半径为1，则该双曲线的离心率是A ．3B ．4CD ．210.设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究并利用函数40222012f ⎛++ ⎝第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 11. 设集合{}3,2a A =，{},B a b =，若{}2AB =，则A B =________ .12. 已知圆2220x y x +-=与直线(1)y k x =+（k R ∈）有公共点，则实数k 的取值范围是_______.13. 已知不等式组140x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为Ω,从Ω中任取一点P ，则点P 横坐标大于2的概率为_____.14.在某次模拟考试中，某校1000名考生的数学成绩近似服从正态分布(120,100)N ，则该校数学成绩在140分以上的考生人数约为 .（注： 若2(,)N ξμσ，则图1(22)0.954P μσξμσ-<<+=）15. 在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程()2110c xy c e c =>转化为线性回归方程，即两边取对数,令ln z y =,得到21ln z c x c =+.受其启发，可求得函三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知等差数列{}n a 满足26145,3a a a a ==+且. （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）从集合{}12310,,,,a a a a 中任取3个不同的元素，其中偶数的个数记为ξ，求ξ的分布列和期望. 17．(本小题满分13分)（Ⅰ）求函数()f x 的周期；18.（本小题满分13分）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆C 与椭圆22:184x y Γ+=相似，且椭圆C 的一个短轴端点是抛物线214y x =的焦点.（Ⅰ）试求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线:(0,0)l y kx t k t =+≠≠与椭圆C 交于,A B 两点，且与椭圆E 交于,H K 两点.若线段AB 与线段HK 的中点重合，试判断椭圆C 与椭圆E 是否为相似椭圆？并证明你的判断.19. （本小题满分13分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD EFGH -材料切割成三棱锥H ACF -.（Ⅰ）若点,,M N K 分别是棱,,HA HC HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：//MG ACF 平面；（Ⅱ）已知原长方体材料中，2AB m =，3AD m =，1DH m =，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高.(i) 甲工程师先求出AH 所在直线与平面ACF 所成的角θ，再根据公式sin h AH θ=⋅求出三棱锥H ACF -的高.请你根据．．．．甲工程师的思路．．．．．．，求该三棱锥的高. （ii ）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？（请直接写出t 的值，不要求写出演算或推证的过程）.20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x x ax =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；（Ⅱ）若1x 、2x 为函数()f x 的两个极值点，且1212x x +=-，试求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）设函数()f x 在点()()00,C x f x （0x 为非零常数）处的切线为l ，若函数()f x 图象上的点都不在直线l 的上方，试探求0x 的取值范围.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换已知矩阵213a M ⎛⎫=⎪-⎝⎭的一个特征值为1.（Ⅰ）求矩阵M 的另一个特征值；（Ⅱ）设32α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求5M α.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()04πρθ+=.（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设函数()211f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()0f x ≤的解集D ；（Ⅱ）若存在实数x D ∈a >成立，求实数a 的取值范围．2012届泉州市普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1． B 2．D 3．B 4．B 5．C 6． C 7．A 8．C 9 D ． 10．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．{}1,2,3 12．23 15三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分． 解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，由已知得1115543a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩解得123a d =⎧⎨=⎩. ……2分 故1(1)31n a a n d n =+-=-，21()31222n n n a a S n n +==+. ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(1)31n a a n d n =+-=-， ∴{}{}12310,,,,2,5,8,,29a a a a =有5个奇数，5个偶数. ……6分ξ有0,1,2,3共四个取值，03122130555555553333101010101551(0),(1),(2),(3)12121212C C C C C C C C P P P P C C C C ξξξξ============故ξ的分布列为：……10分 则15513E =0+1+23121212122ξ⨯⨯⨯+⨯=. ……13分 17. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分．∴26||160PQ PQ --=，∴||8PQ =或||2PQ =-（舍去）. ……………3分 ∴函数()y f x =的周期为8. ………….5分（Ⅱ）T 又函数…….13分18. 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分13分．解析：（Ⅰ）椭圆22:184x y Γ+=抛物线214y x =的焦点为(0,1). ……2分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意，得：2221c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为 2212x y +=. ……5分 （Ⅱ）解法一：椭圆C 与椭圆E 是相似椭圆. ……6分联立椭圆C 和直线l 的方程，22184x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ， 得222(12)4280k x ktx t +++-=， ……7分 设,A B 的横坐标分别为12,x x ，则122412ktx x k +=-+. ……8分设椭圆E 的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠， ……9分联立方程组22221x y m n y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()2()0n m k x ktm x m t n +++-=,设,H K 的横坐标分别为34,x x ，则2342222ktm x x n m k +=-+. ……10分∵弦AB 的中点与弦HK 的中点重合， ……11分 ∴12x x +=34x x +，2412ktk-=+22222ktm n m k -+， ∵0,0k t ≠≠，∴化简得222m n =， ……12分求得椭圆E的离心率2e m ===，……13分 ∴椭圆C 与椭圆E 是相似椭圆.解法二：设椭圆E 的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠，并设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y H x y K x y . ∵,A B 在椭圆C 上，∴221128x y +=且222228x y +=，两式相减并恒等变形得12122x x k y y +=-+. ……8分由,H K 在椭圆E 上，仿前述方法可得234234x x m k n y y +=-+. ……11分∵弦AB 的中点与弦HK 的中点重合， ∴222m n =， ……12分求得椭圆E的离心率2e ===，……13分 ∴椭圆C 与椭圆E 是相似椭圆.19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解:（Ⅰ）证法一：∵,,HM MA HN NC HK KF ===，∴//,//MK AF MN AC .,MK ACF AF ACF ⊄⊂平面平面,∴MK ∥平面ACF ，同理可证MN ∥平面ACF , ……3分 ∵,MN MK ⊂平面MNK ,且MKMN M =，∴//MNK ACF 平面平面， ……4分又MG MNK ⊂平面，故//MG ACF 平面.……5分 证法二：连HG 并延长交FC 于T ，连接AT . ∵,HN NC HK KF ==， ∴//KN FC ,则HG GT =，又∵HM MA =，∴//MG AT ， ……2分,MG ACF AT ACF ⊄⊂平面平面，∴//MG ACF 平面. ……5分（Ⅱ）(i)如图，分别以,,DA DC DH 所在直线为x y z 轴,轴,轴建立空间直角坐标系O xyz -.则有(3,0,0),(0,2,0),(3,2,1)A C F ，(0,0,1)H . ……6分(3,2,0),(0,2,1)AC AF =-=，(3,0,1)AH =-. 设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有32020n AC x y n AF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得232x yz y⎧=⎪⎨⎪=-⎩,令3y =，则(2,3,6)n =-, ……8分∴sin ||||7AH n AH n θ⋅===⋅, ……9分 ∴三棱锥H ACF -的高为12sin 7AH θ⋅==. ……10分 （ii ）2t =. ……13分20. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．满分14分．解析：（Ⅰ）函数()2ln f x x x ax =-+的定义域为{|,0}x x R x ∈≠.当0x >时，()2ln f x x x ax =-+，∴()12f x x a x '=-+； ……1分 当0x <时，()()2ln f x x x ax =--+，∴()12f x x a x'=-+； ……3分综上可得 ()()120f x x a x x'=-+≠. ……4分（Ⅱ）∵()12f x x a x'=-+221x ax x -++=，1x 、2x 为函数()f x 的两个极值点，∴1x 、2x 为方程2210x ax -++=的两根，所以122a x x +=，又∵1212x x +=-，∴1a =-. ……5分此时，()()()221121x x x x f x x x --+--+'==，由()0f x '≥得()()2110x x x-+≤，当0x >时，1(21)(1)0,12x x x -+≤-≤<，此时102x <≤；当0x <时，1(21)(1)0,12x x x x -+≥≤-≥或，此时1x ≤-.∴当()0f x '≥时，1x ≤-或102x <≤. ……7分当()0f x '≤时，同理解得1102x x -≤<≥或. ……8分综上可知1a =-满足题意，且函数()f x 的单调递增区间为(,1]-∞-和10,2⎛⎤⎥⎝⎦. ……9分 （Ⅲ）∵()00012f x x a x '=-+，又()20000,ln C x x x ax -+， ∴切线l 的方程为()()20000001ln 2y x x ax x a x x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭，即20000121ln y x a x x x x ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭（0x 为常数）. ……10分 令()()20000121ln g x f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2200001ln 21ln x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()001122g x x x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()0000012()()212x x x xx x x x xx x-+⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭， 11分当00x >时，x 、()g x '、()g x 的关系如下表：当00x <时，x 、()g x '、()g x 的关系如下表：函数()2ln f x x x ax =-+的图象恒在直线l 的下方或直线l 上， 等价于()0g x ≤对0x ≠恒成立.∴只需()00g x ≤和2022000111ln 0224g x x x x ⎛⎫-=+-≤ ⎪⎝⎭同时成立. ……12分 ∵()00g x =，∴只需2022000111ln 0224g x x x x ⎛⎫-=+-≤ ⎪⎝⎭. 下面研究函数()()1ln 022x m x x x x=+->， ∵()()222111110222x m x x x x+'=++⋅=>， ∴()m x 在()0,+∞上单调递增，注意到()10m =，∴当且仅当01x <≤时，()0m x ≤. ……13分∴当且仅当21012x <≤时，0102g x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 由21012x <≤解得02x ≥或02x ≤-. ∴0x的取值范围是2(,[,)22-∞-+∞. ……14分 21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）矩阵M 的特征多项式()213a f λλλ--⎛⎫=⎪-⎝⎭()()32a λλ=--+，…1分 又矩阵M 的一个特征值为1，∴()10f =，∴0a =， ……2分由()()320fλλλ=-+=，得121,2λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2. ……3分（Ⅱ）矩阵M 的一个特征值为11λ=，对应的一个特征向量为121ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，……4分另一个特征值为22λ=，对应的一个特征向量为211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，……5分∵12αξξ=+，∴5M α()512M ξξ=+55211211⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3433⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解析：（Ⅰ）曲线C 可化为()2224x y -+=即2240x x y -+=， ……1分所以曲线C 在极坐标系中的方程为24cos 0ρρθ-=， ……2分 由于4cos ρθ=包含0ρ=的情况，∴曲线C 在极坐标系中的方程为4cos ρθ=. ……3分 （Ⅱ）直线l 的方程可化为0x y +=， ……4分∴圆C 的圆心()2,0C 到直线l的距离为d = ……5分又圆C 的半径为2r =，∴直线l 被曲线C截得的弦长l ==……7分（3）选修4—5；不等式选讲本题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解析：（Ⅰ）当1x ≤-时，由()20f x x =-+≤得2x ≥，所以x ∈∅；当112x -<≤时，由()30f x x =-≤得0x ≥，所以102x ≤≤； 当12x >时，由()20f x x =-≤得2x ≤，所以122x <≤. ……2分综上得：不等式()0f x ≤的解集D {}02x x =≤≤. ……3分= ……4分由柯西不等式得2()()()312x x ≤++-8=，∴≤……5分当且仅当32x=时取“=”，∴a的取值范围是(,-∞. ……7分。

DC ACBD日都记得母亲生日 父亲生日日都不记得 2011年福建省泉州市毕业、升学模拟考试数 学 试 题（本卷共26题，满分：150分；考试时间：120分钟） 命题者：吕超群 2011-6-15一、选择题（每小题3分，共21分） 1．下列运算正确的是（ ）A ．24±=B ．532a a a =⋅C ．263-=-D ．3252a a a += 2．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）A ．2个B ．1个C ．4个D ．3个3．若整数x 同时满足x x <-73与3123-<+-x ，则该整数x 是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．若01x <<，则1-x 、x 、2x 的大小关系是（ ）A ．21x x x<<- B ．12-<<x x x C ．12-<<x x xD ．x x x <<-12 5．已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切 6．为鼓励居民节约用水,某地区将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米,则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算)．现假设该市某户居民某月用水x （x ＞4）立方米,水费为y 元,则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′，两图 叠成一个“蝶形风筝”（如图所示），则这个风筝的面积是（ ） A ．2－33 B ．332 C ．2－43 D ．2二、填空题（每小题4分，共40分）8．2011-的相反数是 ．9．人体内某种细胞的直径约为56 001 0.000米，这个数用科学记数法表示约为 米. 10．分式方程112x =-的解是 . 11．如图，在57⨯的网格图中，若每个小正方形的边长为1， 则□ABCD 的面积是 .12．方程组321026x y x y +=⎧⎨+=⎩，的解为 ．13．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BCA ，CM 是中线，点G 为重心，若6=AB ，则.______=MG14．一组数据31,0,,3--，x 的平均数是1，则这组数据的极差为 ．15．如图，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD OC ∥，则AOD ∠= .16．已知反比例函数y ＝2x，若第一象限内的一点P 在反比例函数图像上，请写出一 个符合的P 点坐标 ；当－4≤x ≤－1时，y 的最大值是 . 17．如图，有一直径为1的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60° 的扇形ABC .那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ； 用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= .三、解答题（共89分）18.（9分）计算： ()︒+-----30cos 2231(3201π19.（9分）已知31=-x ，求代数式4)1(4)1(2++-+x x的值．20.（9分）记者抽查了市区几所中学的100名学生，调查内容是 “你记得父母的生日吗？”根据调查问卷数据，记者画出如图所示的统计图，请你根据图中提供的信息答下列问题：（1）这次调查，“只记得双亲中一方生日”的学生总共有多少人？（2）在这次调查的四个小项目中，“众数”是那一个项目？它所 占的百分比是多少？圆柱圆锥 球 正方体21. (9分) 如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，AD 垂直平分EF （1）证明：BE=CF ；（2）将条件：“AD 垂直平分EF BE=CF 仍成立，请直接写出这个条件.22. (9分)有三张完全相同的卡片,在正面分别写上2、3 上洗匀后，小丽从中抽取一张，记下这个数后放回洗匀，小明又从中抽出一张． （1）直接写出小丽抽取的卡片恰好是3的概率；（2）小刚为他们俩设计了一个游戏规则：若两人抽取的卡片上两数之积是有理数，则小丽获胜，否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请用列表法或画树状图进行分析说明．23.（9分）如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求： （1）点B 的坐标； （2）cos BAO ∠的值．24.（9分）某酒厂每天生产A 、B 两种品牌的白酒共600瓶，A 、B 两种品牌的白酒每瓶的成本和利润如下表：设每天生产A (1)求y 关于x 的函数关系式；(2)如果该酒厂每天至少投入成本26400元,那么每天至少获利多少元？25.（13分）如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在(2)基础上试探索：①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．26.（13分）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．（1）直接写出直线DE 的解析式；（2）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标； （3）以点C 为圆心、12t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接PA 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围； ②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．x2011年毕业、升学模拟考试参考答案及评分标准校审：吕超群一、选择题（每小题3分，共21分） 1-5 B A C C B 6-7C A二、填空题（每小题4分，共40分）8．2011 9．61056.1-⨯ 10．x =3 11．12 12．⎩⎨⎧==22y x 13．1 14．9 15．40° 16．21)2,1(-；答案不唯一，如 17．1238；π三、解答题（共89分）18.原式2312=-+24=19. ＝320. 解：(1) “只记得双亲中一方生日”的学生总共有13+2=15(人) ………（3分） ⑵“众数”是“父母生日都记得” ……（6分） 它所占的百分比是%6310063=. ………………（9分） 21. （1）证明：∵ ∠B=∠C ，∴ AB=AC. ……… 2分 又∵ AD 垂直EF ，∴ BD=CD ， ……… 4分 ∵ AD 平分EF ， ∴ DE=DF. ………5分∴ BE=CF. ………6分（2）换成条件：AE=AF. 或 ∠BAE=∠CAF 或 ∠A ED =∠AFD 等 …… 9分 解：（1）P （小丽抽取的卡片恰好是3=31………（3分） （2）列举所有等可能结果，画出树状图如下（列表如下）：…………（6分）由上图（表）可知，所有等可能结果共有9种，两张卡片上的数字之积为有理数的结果共5种,∴95)(＝数字之积为有理数P ＞21……………………………（8分） ∴这个游戏不公平，对小丽有利. ………………………（9分） 23. 解：（1）如图，作BH OA ⊥，垂足为H ，在Rt OHB △中，5BO = ，3sin 5BOA ∠=， 3BH ∴=．4OH ∴=． ∴点B 的坐标为(43)，．……………（4分） （2） 10OA =，4OH =，6AH ∴=．在Rt AHB △中，3BH = ，AB ∴=cos 5AH BAO AB ∴∠==9分） 24. 解:(1)(4分) y =20x +15(600-x )即y =5x +9000……………（3分） (2)(6分)根据题意得:50x +35(600-x )≥26400 ∴x ≥360……………（5分）在y =5x +9000中，y 随x 增大而减小；……………（7分） 所以当x =360时, y 有最小值,代入y =5x +9000得 y =5×360+9000=10800∴每天至少获利10800元. ……………（9分）x25. 解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+． 把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解之，得225,.36a k ==-故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26-（2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--， ∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离． ∵OA 是OEAF 的对角线，∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+ ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0）， 所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6． （3）①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=． 化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x ==故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形．②当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．26. 解：（1）434+-=x y ………………………………（2分） （2）(50)C t -，，34355P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ········································································· （4分） （3）①当C ⊙的圆心C 由点()50M ，向左运动，使点A 到点D 并随C ⊙继续向左运动时，有3532t -≤，即43t ≥．………………（5分） 当点C 在点D 左侧时，过点C 作CF ⊥射线DE ，垂足为F ， 则由CDF EDO ∠=∠，得CDF EDO △∽△， 则3(5)45CF t --=．解得485t CF -=．………………（6分） 由12CF ≤t ，即48152t t -≤，解得163t ≤．∴当C ⊙与射线DE 有公共点时，t 的取值范围为41633t ≤≤． ·························· （8分） ②当PA AB =时，过P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，有222PA PQ AQ =+221633532525t t t ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭．………………（9分） 2229184205t t t ∴-+=，即2972800t t -+=．解得1242033t t ==，． ··············· （10分） 当PA PB =时，有PC AB ⊥，3535t t ∴-=-．解得35t =． ························ （11分） 当PB AB =时，有222221613532525PB PQ BQ t t t ⎛⎫=+=+--+ ⎪⎝⎭．………………（12221324205t t t ∴++=，即278800t t --=．解得452047t t ==-，（不合题意，舍去）． ∴当PAB △是等腰三角形时，43t =，或4t =，或5t =，或203t =． （13分）。

泉州一中高三数学适应性训练班 号 姓名一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，则ii +1的实部与虚部之积等于（ ） A ．41 B ．41- C ．i 41D ．i 41- 2. 为了解某商品销售量y(件）与销售价格x （元/件）的关系，统计了（ｘ，ｙ)的10组值，并画成散点图如右图,则其回归方程可能是（ ）A ． 10198y x ∧=--B ． 10198y x ∧=-+C ． 10198y x ∧=+ D ． 10198y x ∧=-图13．4名志愿者和1位老人拍照，要求排成一排,且老人必须排在正中间,那么不同的排法共有（ )A ．120种B ．72种C ．56种D ．24种 4．已知α、β、γ为互不重合的三个平面,命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上不共线的三点到β的距离相等,则//αβ。

对以上两个命题，下列结论中正确的是 （ ） A ．命题“p 且q "为真 B ．命题“p 或q ⌝”为假 C ．命题“p 或q ”为假 D ．命题“p ⌝且q ⌝”为假 5．已知数列{}n a 各项均为正数．若对于任意的正整数p q 、总有p q p qa a a +=⋅且816a =，则10a =（ ） A ．16 B ．32 C ．48 D ．646. 已知两条直线2121//,08)5(2:,0534)3(:l l y m x l m y x m l =-++=-+++,则直线1l 的一个方向向量是（ ) A ．（1,－错误!） B ．（－1，－1） C ．(1,－1） D ．（－1,－错误!）7．一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．33π+B ．323π+C ．23π+D ．3π+8．若多项式10109910103)1()1()1(+++++++=+x a x a x a a x x ，则=9a ()A ．9B ．10C ．－9D ．－109．泉南高速公路福建永宁段122Km ，起于泉州市收费站，终于永宁收费站,全长122Km ，假设某汽车从泉州市收费站进入高速公路后以不低于60Km/小时，且不高于120Km/小时的速度匀速行驶到永宁收费站,已知汽车每小时的运输成本y (以元为单位)由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分与速度的平方成正比，当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元，若使汽车的全程．．运输成本最低,其速度为（ ）km / 小时A ．80B ．90C ．100D ．11010．在平面直角坐标系中,设点(,),[]||||P x y OP x y =+定义，其中O 为坐标原点,对于以下结论：①符合［OP ］=1的点P 的轨迹围成的图形的面积为2；②设P 为直线5220x y +-=上任意一点，则［OP ］的最小值为1； ③设P 为直线(,)y kx b k b R =+∈上的任意一点，则“使［OP]最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“1k =±”； 其中正确的结论的个数是（ ）ks5u A ．1 B ．2 C ．3 D ．0第Ⅱ卷（非选择题,满分90分) 二、填空题：本大题共5小题,每小题4分，共20分． 11．y=x1，x=1,x=2，y=0所围成的封闭图形的面积为________________． 12．给出一个算法：Input x0Ifx Then ≤ ()4f x x =Else()2xf x =End ifPr int ()f x End根据以上算法,可求得(3)(2)f f -+的值为________________． 13．已知离心率为553的双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的左焦点与抛物线y mx =22的焦点重合，则实数m =________________．14．设函数()2xf x x x =⋅+,0A 为坐标原点，n A 为函数()y f x =图像上横坐标为*()n n N ∈ 的点,向量11nnk kk AA -==∑a ,(1,0)=i ,设nθ为na 与i 的夹角，则1tan nkk θ=∑=________________．15。

（在此卷上答题无效）保密★启用前2012年泉州市普通高中毕业班质量检测理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数()()11z a a i =-++(,a R i ∈为虚数单位)是纯虚数，则a =A ．-1 B.1 C. 1± D.0 2. 下列向量中与向量a ()1,2=垂直的是A ．b=()1,2- B. c=()2,4- C ．d=()3,6- D ．e=()6,3- 3. 已知,a l 是直线，α是平面，且a α⊂，则“l a ⊥”是“l α⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知1sin cos 3θθ+=，则sin 2θ=5.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，现从中随机取出2个小球，则取出的2个小球标注的数字之和为5的概率是（ ）A ．425B ．310 D ．110位：万元）与年产量x （单位：千件）满足关系：()()2324010R x x x =-+<≤．该公司为了在生产中获得最大利润（年利润=年销售收入－年总成本），则年产量应为A ．5千件B ．C ．9千件D ．10千件9. 如图1所示，一平面曲边四边形ABCD 中，曲边BC 是某双曲线的一部分，该双曲线的虚轴所在直线为l ，边AD 在直线l 上，四边形ABCD 绕直线l 旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺寸如图2所示，其中俯视图中小圆的半径为1，则该双曲线的离心率是A ．3B ．4CD ．210.设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈且122x x a +=，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究并利用函数40222012f ⎛++ ⎝ks5u第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置. 11. 设集合{}3,2a A =，{},B a b =，若{}2AB =，则A B =________ .12. 已知圆2220x y x +-=与直线(1)y k x =+（k R ∈）有公共点，则实数k 的取值范围是_______.13. 已知不等式组140x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为Ω,从Ω中任取一点P ，则点P 横坐标大于2的概率为_____.14. 在某次模拟考试中，某校1000名考生的数学成绩近似服从正态分布(120,100)N ，则该校数学成绩在140分以上的考生人数约为 .（注： 若2(,)N ξμσ，则图1(22)0.954P μσξμσ-<<+=）15. 在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程()2110c xy c e c =>转化为线性回归方程，即两边取对数,令ln z y =,得到21ln z c x c =+.受其启发，可求得函三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知等差数列{}n a 满足26145,3a a a a ==+且. （Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅱ）从集合{}12310,,,,a a a a 中任取3个不同的元素，其中偶数的个数记为ξ，求ξ的分布列和期望. 17．(本小题满分13分)（Ⅰ）求函数()f x 的周期；18.（本小题满分13分）如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似.已知椭圆C 与椭圆22:184x y Γ+=相似，且椭圆C 的一个短轴端点是抛物线214y x =的焦点.（Ⅰ）试求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线:(0,0)l y kx t k t =+≠≠与椭圆C 交于,A B 两点，且与椭圆E 交于,H K 两点.若线段AB 与线段HK 的中点重合，试判断椭圆C 与椭圆E 是否为相似椭圆？并证明你的判断.19. （本小题满分13分）某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD EFGH -材料切割成三棱锥H ACF -.（Ⅰ）若点,,M N K 分别是棱,,HA HC HF 的中点，点G 是NK 上的任意一点，求证：//MG ACF 平面；（Ⅱ）已知原长方体材料中，2AB m =，3AD m =，1DH m =，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高.(i) 甲工程师先求出AH 所在直线与平面ACF 所成的角θ，再根据公式sin h AH θ=⋅求出三棱锥H ACF -的高.请你根据．．．．甲工程师的思路．．．．．．，求该三棱锥的高. （ii ）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t 的值是多少？（请直接写出t 的值，不要求写出演算或推证的过程）.20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x x ax =-+.（Ⅰ）求函数()f x 的导函数()f x '；（Ⅱ）若1x 、2x 为函数()f x 的两个极值点，且1212x x +=-，试求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）设函数()f x 在点()()00,C x f x （0x 为非零常数）处的切线为l ，若函数()f x 图象上的点都不在直线l 的上方，试探求0x 的取值范围.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换已知矩阵213a M ⎛⎫=⎪-⎝⎭的一个特征值为1.（Ⅰ）求矩阵M 的另一个特征值；（Ⅱ）设32α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求5M α.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()04πρθ+=.（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程； （Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲设函数()211f x x x =--+. （Ⅰ）求不等式()0f x ≤的解集D ；（Ⅱ）若存在实数x D ∈a >成立，求实数a 的取值范围．2012届泉州市普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1． B 2．D 3．B 4．B 5．C 6． C 7．A 8．C 9 D ． 10．D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．{}1,2,3 12．23 15三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．满分13分． 解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，由已知得1115543a d a d a d+=⎧⎨+=+⎩解得123a d =⎧⎨=⎩. ……2分ks5u 故1(1)31n a a n d n =+-=-，21()31222n n n a a S n n +==+. ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得1(1)31n a a n d n =+-=-， ∴{}{}12310,,,,2,5,8,,29a a a a =有5个奇数，5个偶数. ……6分ξ有0,1,2,3共四个取值，03122130555555553333101010101551(0),(1),(2),(3)12121212C C C C C C C C P P P P C C C C ξξξξ============故ξ的分布列为：……10分 则15513E =0+1+23121212122ξ⨯⨯⨯+⨯=. ……13分 17. 本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数公式以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．满分13分．∴26||160PQ PQ --=，∴||8PQ =或||2PQ =-（舍去）. ……………3分 ∴函数()y f x =的周期为8. ………….5分（Ⅱ）T 又函数…….13分18. 本题主要考查椭圆的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类整合思想、数形结合思想、化归转化思想等．满分13分．解析：（Ⅰ）椭圆22:184x y Γ+=抛物线214y x =的焦点为(0,1). ……2分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意，得：2221c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为 2212x y +=. ……5分 （Ⅱ）解法一：椭圆C 与椭圆E 是相似椭圆. ……6分联立椭圆C 和直线l 的方程，22184x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ， 得222(12)4280k x ktx t +++-=， ……7分 设,A B 的横坐标分别为12,x x ，则122412ktx x k +=-+. ……8分设椭圆E 的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠， ……9分联立方程组22221x y m n y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得22222222()2()0n m k x ktm x m t n +++-=,设,H K 的横坐标分别为34,x x ，则2342222ktm x x n m k +=-+. ……10分∵弦AB 的中点与弦HK 的中点重合， ……11分 ∴12x x +=34x x +，2412ktk-=+22222ktm n m k -+， ∵0,0k t ≠≠，∴化简得222m n =， ……12分ks5u求得椭圆E的离心率2e m ===，……13分 ∴椭圆C 与椭圆E 是相似椭圆.解法二：设椭圆E 的方程为22221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠，并设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y H x y K x y . ∵,A B 在椭圆C 上，∴221128x y +=且222228x y +=，两式相减并恒等变形得12122x x k y y +=-+. ……8分由,H K 在椭圆E 上，仿前述方法可得234234x x m k n y y +=-+. ……11分∵弦AB 的中点与弦HK 的中点重合， ∴222m n =， ……12分求得椭圆E的离心率2e ===，……13分 ∴椭圆C 与椭圆E 是相似椭圆.19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和算法初步等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解:（Ⅰ）证法一：∵,,HM MA HN NC HK KF ===，∴//,//MK AF MN AC .,MK ACF AF ACF ⊄⊂平面平面,∴MK ∥平面ACF ，同理可证MN ∥平面ACF , ……3分 ∵,MN MK ⊂平面MNK ,且MKMN M =，∴//MNK ACF 平面平面， ……4分又MG MNK ⊂平面，故//MG ACF 平面.……5分 证法二：连HG 并延长交FC 于T ，连接AT . ∵,HN NC HK KF ==， ∴//KN FC ,则HG GT =，又∵HM MA =，∴//MG AT ， ……2分,MG ACF AT ACF ⊄⊂平面平面，∴//MG ACF 平面. ……5分（Ⅱ）(i)如图，分别以,,DA DC DH 所在直线为x y z 轴,轴,轴建立空间直角坐标系O xyz -.则有(3,0,0),(0,2,0),(3,2,1)A C F ，(0,0,1)H . ……6分(3,2,0),(0,2,1)AC AF =-=，(3,0,1)AH =-. 设平面ACF 的一个法向量(,,)n x y z =，则有32020n AC x y n AF y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，解得232x yz y⎧=⎪⎨⎪=-⎩,令3y =，则(2,3,6)n =-, ……8分∴sin ||||7AH n AH n θ⋅===⋅, ……9分 ∴三棱锥H ACF -的高为12sin 7AH θ⋅==. ……10分 （ii ）2t =. ……13分20. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想．满分14分．解析：（Ⅰ）函数()2ln f x x x ax =-+的定义域为{|,0}x x R x ∈≠.当0x >时，()2ln f x x x ax =-+，∴()12f x x a x '=-+； ……1分 当0x <时，()()2ln f x x x ax =--+，∴()12f x x a x'=-+； ……3分综上可得 ()()120f x x a x x'=-+≠. ……4分（Ⅱ）∵()12f x x a x'=-+221x ax x -++=，1x 、2x 为函数()f x 的两个极值点，∴1x 、2x 为方程2210x ax -++=的两根，所以122a x x +=，又∵1212x x +=-，∴1a =-. ……5分此时，()()()221121x x x x f x x x --+--+'==，由()0f x '≥得()()2110x x x-+≤，当0x >时，1(21)(1)0,12x x x -+≤-≤<，此时102x <≤；当0x <时，1(21)(1)0,12x x x x -+≥≤-≥或，此时1x ≤-.∴当()0f x '≥时，1x ≤-或102x <≤. ……7分当()0f x '≤时，同理解得1102x x -≤<≥或. ……8分综上可知1a =-满足题意，且函数()f x 的单调递增区间为(,1]-∞-和10,2⎛⎤⎥⎝⎦. ……9分 （Ⅲ）∵()00012f x x a x '=-+，又()20000,ln C x x x ax -+， ∴切线l 的方程为()()20000001ln 2y x x ax x a x x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭，即20000121ln y x a x x x x ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭（0x 为常数）. ……10分 令()()20000121ln g x f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2200001ln 21ln x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()001122g x x x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()0000012()()212x x x xx x x x xx x-+⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭， 11分当00x >时，x 、()g x '、()g x 的关系如下表：当00x <时，x 、()g x '、()g x 的关系如下表：ks5u函数()2ln f x x x ax =-+的图象恒在直线l 的下方或直线l 上， 等价于()0g x ≤对0x ≠恒成立.∴只需()00g x ≤和2022000111ln 0224g x x x x ⎛⎫-=+-≤ ⎪⎝⎭同时成立. ……12分 ∵()00g x =，∴只需2022000111ln 0224g x x x x ⎛⎫-=+-≤ ⎪⎝⎭. 下面研究函数()()1ln 022x m x x x x=+->， ∵()()222111110222x m x x x x+'=++⋅=>， ∴()m x 在()0,+∞上单调递增，注意到()10m =，∴当且仅当01x <≤时，()0m x ≤. ……13分∴当且仅当21012x <≤时，0102g x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 由21012x <≤解得02x ≥或02x ≤-. ∴0x的取值范围是2(,[,)22-∞-+∞. ……14分 21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）矩阵M 的特征多项式()213a f λλλ--⎛⎫=⎪-⎝⎭()()32a λλ=--+，…1分 又矩阵M 的一个特征值为1，∴()10f =，∴0a =， ……2分由()()320fλλλ=-+=，得121,2λλ==，所以矩阵M 的另一个特征值为2. ……3分ks5u（Ⅱ）矩阵M 的一个特征值为11λ=，对应的一个特征向量为121ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，……4分另一个特征值为22λ=，对应的一个特征向量为211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭，……5分∵12αξξ=+，∴5M α()512M ξξ=+55211211⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3433⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解析：（Ⅰ）曲线C 可化为()2224x y -+=即2240x x y -+=， ……1分所以曲线C 在极坐标系中的方程为24cos 0ρρθ-=， ……2分 由于4cos ρθ=包含0ρ=的情况，∴曲线C 在极坐标系中的方程为4cos ρθ=. ……3分 （Ⅱ）直线l 的方程可化为0x y +=， ……4分∴圆C 的圆心()2,0C 到直线l的距离为d = ……5分又圆C 的半径为2r =，∴直线l 被曲线C截得的弦长l ==……7分（3）选修4—5；不等式选讲本题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解析：（Ⅰ）当1x ≤-时，由()20f x x =-+≤得2x ≥，所以x ∈∅；当112x -<≤时，由()30f x x =-≤得0x ≥，所以102x ≤≤； 当12x >时，由()20f x x =-≤得2x ≤，所以122x <≤. ……2分综上得：不等式()0f x ≤的解集D {}02x x =≤≤. ……3分= ……4分由柯西不等式得2()()()312x x ≤++-8=，∴≤……5分ks5u当且仅当32x=时取“=”，∴a的取值范围是(,-∞. ……7分。

泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分 所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分 因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)k k k P X k C k -==⨯⨯=. ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63k k k k k k C P X k k P X k C k ----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分 所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅==-m n ， ………………2分 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分 （Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π-=， 因为0A π<<，所以3A π=.…………5分 （ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分 所以()6B A C ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+2222cos AB AB AC A AC λλ==+⋅+，…10分 又3AB AC ==，3A π=，所以AB AC λ+2(1AB ==12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+的值取得最小值.………………13分 另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b+=，………………1分 因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分 故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分 （Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,m m y y +=-+……①1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分 由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分 当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分 所以直线l的方程为2x y =+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k=++，…………① 2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分 由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 代入②得2222228188181648343434k k k k k k-+-=+++………………11分 化简，得254k =， 当254k =时，0∆>，故k =，…………12分 所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥ ，PA AD A =，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ）点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EFAB ⊥，又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =，(1,2,PC =-，………………5分AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为2)=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====n n n∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为7……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP ==2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅==11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ， 则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅， 即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12+=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<， 所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+， 不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分 令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分 （Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+，所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=，所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-，令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =， 所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y xx y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-， 所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分 所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式， 可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥， 当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。

2017年泉州市普通高中毕业第二次质量检查理 科 数 学第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}21xA x =>，{}2560B x x x =-+<，则A B =ð（A ）(2,3) （B ）(,2][3,)-∞+∞ （C ）(0,2][3,)+∞ （D ）[3,)+∞（2）已知复数i()z a a =+∈R .若z <2i z +在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）公差为2的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若312S =，则3a =（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）14（4）已知实数,x y 满足约束条件,220,y x x y ≤⎧⎨--≤⎩z x y =+，则满足1z ≥的点(,)x y 所构成的区域面积等于（A ）14 （B ）12 （C ）34（D ）1（5）榫卯（s ǔn m ǎo ）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”.某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”体积等于（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15（6）执行一次如图所示的程序框图，若输出i 的值为0，则下列关于框图中函数()()f x x ∈R 的表述，正确的是 （A ）()f x 是奇函数，且为减函数（B ）()f x 是偶函数，且为增函数（C ）()f x 不是奇函数，也不为减函数（D ）()f x 不是偶函数，也不为增函数（7）已知以O 为中心的双曲线C 的一个焦点为F ，P 为C 上一点，M 为PF 的中点.若OMF ∆为等腰直角三角形，则C 的离心率等于（A 1 （B ）1 （C ）2 （D（8）已知曲线π:sin(2)()2C y x ϕϕ=+<的一条对称轴方程为π6x =，曲线C 向左平移θ（0θ>）个单位长度，得到的曲线E 的一个对称中心为π(,0)6，则ϕθ-的最小值是（A ）π12 （B ）π4 （C ）π3 （D ）5π12（9）在梯形ABCD 中，AB CD ，1AB =，2AC =，BD =60ACD ∠= ，则AD =（A ）2 （B （C （D ）13-（10）某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个.现密码破译者得知：甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁（11）已知直线,PA PB 分别与半径为1的圆O 相切于点,A B ，2PO =，2(1)PM PA PB λλ=+-.若点M 在圆O 的内部（不包括边界），则实数λ的取值范围是 （A ）(1,1)- （B ）2(0,)3 （C ）1(,1)3（D ）(0,1)（12）已知函数()e x f x =，2()g x ax ax =-.若曲线()y f x =上存在两点关于直线y x =的对称点在曲线()y g x =上，则实数a 的取值范围是（A ）(0,1) （B ）(1,)+∞ （C ）(0,)+∞ （D ）(0,1)(1,)+∞第 Ⅱ 卷本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知椭圆22:143x y C +=的左顶点、上顶点、右焦点分别为,,A B F ，则A B A F ⋅= _________.（14）已知曲线2:2C y x x =+在点(0,0)处的切线为l ，则由,C l 以及直线1x =围成的区域面积等于__________.（15）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点(,1)(1)P x x ≥，则cos sin θθ+的取值范围是_____.（16）已知在体积为12π的圆柱中，,AB CD 分别是上、下底面两条不平行的直径，则三棱锥A BCD -的体积最大值等于_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在数列{}n a 中，14a =，21(1)22n n na n a n n +-+=+. （Ⅰ）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .（18）（本小题满分12分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.表1表2已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题.（Ⅰ）求,a b 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；（Ⅱ）根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+；（Ⅲ）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于（Ⅰ）中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（Ⅱ）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？（附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.）（19） （本小题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，60CBD ∠= ，24BD BC ==，点E 在CD 上，2DE EC =．（Ⅰ）求证:AC BE ⊥；（Ⅱ）若二面角E BA D --的余弦值为5，求三棱锥A BCD -的体积.（20） （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于,A B 两点，交x 轴于点D ，B 到x 轴的距离比BF 小1.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若BOF AOD S S ∆∆=，求l 的方程.（21） （本小题满分12分）已知函数()ln f x x kx k =-+.（Ⅰ）若()0f x ≥有唯一解，求实数k 的值；（Ⅱ）证明：当1a ≤时，2(())e 1x x f x kx k ax +-<--. （附：ln 20.69≈，ln 3 1.10≈，32e 4.48≈，2e 7.39≈）请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cossin ρθθ=．（Ⅰ）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l ：y kx =(0)x ≥分别交1C ，2C 于,A B 两点（,A B 异于原点）.当(1k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a x a =-++. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()6f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()21f x a <-有解，求实数a 的取值范围.2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）C （2）B （3）B （4）C （5）C （6）D （7）B（8）A（9）B（10）C（11）B（12）D（11）解法一：以圆心O 为原点，OP的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，则有()2,0P ，1(2A ，1(2B -.设()00,M x y ，可解得()01132x λ=-，)031y λ=-，因为()00,M x y 在圆内，所以()()22131331144λλ-+-<，整理，得311λ-<，解得2(0,)3λ∈，故答案选（B ）.解法二：如图，在线段PA 的延长线上取点Q ，使得PA AQ =.连结OQ ，交圆O 于C .可求得60BOP AOP AOQ ∠=∠=∠=，故,,B O Q 三点共线.因为2PA PQ =，所以2(1)(1)PM PA PB PQ PB λλλλ=+-=+- ，故B M B Q λ=.又因为点M 在圆O 的内部（不包括边界），所以2(0,)3λ∈，答案选（B ）.（12）解法一：可以看出，(1,0)是曲线(1)y ax x =-与曲线ln y x =的一个公共点，且当1a =时，两曲线在点(1,0)处的切线方程均为1y x =-.由导数的概念，可知当01a <<或1a >时，曲线(1)y ax x =-与直线1y x =-交于两点，必与曲线ln y x =交于两点，故答案为（D ）.解法二：方程2ln ax ax x -=显然有一个根1x =.若满足在去心邻域(1,1)δδ-+存在非1的根则符合题意.又因为对于区间(1,1)δδ-+（其中δ为任意充分小正数），1l n x x - （ 表示等价无穷小 ），故去心邻域(1,1)δδ-+中，方程等价为1ax =，所以a 取遍去心邻域11(,)11δδ+-，所以排除选项（A ）（B ）（C ），答案为（D ）.解法三：2ln ax ax x -=有两个不同根，由于两者都是连续函数，令特殊值1a =，不合题意；令特殊值2a =，符合题意；令特殊值12a =，符合题意.故选项（D ）. 解法四：依题意，可知()ln 1x a x x =-有两个不同实根.设()ln x F x x =，则()21l n 'xF x x -=. 当(0,1)x ∈时，()F x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()F x 单调递减；当1a =时，()()1F x a x ≤-恒成立，当且仅当1x =取到等号，即只有一个根，与题意不合.当1a <时，显然符合题意.当1a >时，可以发现0x +→时，()()1F x a x <-；（或者()()111F aa a --<-） 21x a =当时，()211F x a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭（证明后补）.根据零点存在性定理可得在(0,1)必有一根.故两图象有两个公共点.故a 的取值范围是(0,1)(1,)+∞ .补证：21x a =时，()()1F x a x >-，即证2221ln 1a a a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即证221ln a a a a >-， 这是显然的22ln 0a a >，而10a a-<.得证解法五：方程2ln ax ax x -=显然有一个实根1x =，故当1x ≠时方程()ln 1xa x x =-还有另一个实根，当0x +→时，()ln 1x x x →+∞-；当x →+∞时，()ln 01xx x +→-；且()()()()()2111111ln 'ln 'ln 1lim lim lim lim lim 112121'1'x x x x x x x xx x x x x x x x x x -----+→→→→→=====-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ()()()()()2111111ln 'ln 'ln 1lim lim lim lim lim 112121'1'x x x x x x x xx x x x x x x x x x +++++-→→→→→=====-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； 显然，0a >，且1a ≠都是符合题意.二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（13）6 （14）13（15） （16）8解析：（15）解法一：依题意，可知π(0,]4θ∈，所以ππ(,]442πθ+∈，故πsin()(42θ+∈，所以πcos sin )4θθθ+=+∈，故答案为.解法二：由三角函数定义，得cos θ=，sin θ=，所以cos sin θθ+=====， 因为1y x x=+在[1,)+∞单调递增，所以[2,)y ∈+∞， 所以2(0,1]1x x∈+，从而cos sin θθ+(1∈，故答案为.（16）解：设上、下底面圆的圆心分别为1,O O ，圆的半径为r ，由已知21π12πV r OO =⋅=圆柱，所以2112r OO ⋅=，则A BCD C OAB D OAB V V V ---=+， 因为O 是CD 中点，所以C 到平面OAB 的距离与D 到平面OAB 的距离相等，故C OABD OAB V V --=，从而2A BCD C OAB V V --=.设三棱锥C OAB -的高为h ，则h r ≤，所以11221223323A BCD D OAB OAB V V S h AB OO h r OO h --∆===⋅⋅=⋅212212833r OO ≤⋅=⨯=， 故三棱锥A BCD -的体积最大值等于8.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）21(1)22n n na n a n n +-+=+的两边同时除以(1)n n +，得*12()1n na a n n n+-=∈+N ， ·············································································· 3分所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列. ················································· 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得22n a n n =+， ········································································ 7分 所以222n a n n =+，故2111(1)111()222(1)21n n n a n n n n n n +-==⋅=⋅-+++， ···················· 8分 所以111111[(1)()()]22231n S n n =-+-++-+ ， 1111111[(1)()]223231n n =++++-++++ ， 11(1)212(1)n n n =-=++. ····································································· 12分 解法二：依题意，可得1(1)22n n n a a n n++=++， ······················································ 1分 所以1(1)222211n n n n n n n a n a a a a a n n n n n n n++++-=-=+-=++， 即*12()1n n a a n n n+-=∈+N ， ················································································· 3分 所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列. ················································· 6分 （Ⅱ）同解法一. ························································································ 12分（18）（本小题满分12分）本小题主要考查频率分布直方图、数学期望等基础知识；考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查统计与概率思想、分类与整合思想.解：（Ⅰ）依题意，得6502610a =-，解得40a =， ····················································· 1分 又36100ab ++=，解得24b =； ········································································ 2分 故停车距离的平均数为26402482152535455527100100100100100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ············ 4分 （Ⅱ）依题意，可知50,60x y ==， ····································································· 5分 2222221030305050607070909055060ˆ1030507090550b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=++++-⨯， ·································· 6分 710=， ·········································································································· 7分7ˆ60502510a =-⨯=， 所以回归直线为ˆ0.725yx =+. ·············································································· 8分 （Ⅲ）由（I ）知当81y >时认定驾驶员是“醉驾”. ··············································· 9分 令ˆ81y>，得0.72581x +>，解得80x >， ························································· 11分 当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”.············································· 12分（19） （本小题满分12分）解法一:（Ⅰ）取BD 的中点O ，连结,,AO CO EO .因为AB AD =，BO OD =，所以AO BD ⊥， ····················································· 1分 又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ， ····················································································· 2分 又BE ⊂平面BCD ，所以AO BE ⊥.在BCD ∆中，2BD BC =，2DE EC =，所以2BD DE BC EC==， 由角平分线定理，得CBE DBE ∠=∠， ································································ 3分 又2BC BO ==，所以BE CO ⊥， ····································································· 4分 又因为AO CO O = ，AO ⊂平面ACO ，CO ⊂平面ACO ，所以BE ⊥平面ACO ， ····················································································· 5分 又AC ⊂平面ACO ，所以AC BE ⊥. ·································································· 6分（Ⅱ）在BCD ∆中，24BD BC ==，60CBD ∠= ，由余弦定理得CD =222BC CD BD +=，即90BCD ∠= ，所以30EBD EDB ∠=∠= ，BE DE =，所以EO BD ⊥， ····································· 7分结合（Ⅰ）知，,,OE OD OA 两两垂直.以O 为原点，分别以向量,,OE OD OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图），设(0)AO t t =>，则()0,0,A t ，()0,2,0B -，E ， 所以()0,2,BA t =，BE = ， ························································· 8分 设(),,x y z =n 是平面ABE 的一个法向量，则0,0,BA BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即20,20,y tz x y +=⎧+=，整理，得,2,x z y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩令1y =-，得21,)t =-n . ·········································································· 9分 因为OE ⊥平面ACD ，所以(1,0,0)=m 是平面ABD 的一个法向量. ······················ 10分 又因为二面角E BA D --，所以cos ,<>==m n 2t =或2t =-（舍去）， ····················· 11分 又AO ⊥平面BCD ，所以AO 是三棱锥A BCD -的高，故111223323A BCD BCD V AO S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=. ········································ 12分 解法二：（Ⅰ）取BD 中点O ，连结,,OA OC OE .因为AB AD =，BO DO =，所以AO BD ⊥， ················································· 1分 又因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD ， ···················································································· 2分在平面BCD 内，过O 作OF OD ⊥（如图），则OF ，OD ,OA 两两垂直.以O 为原点，分别以向量,,OF OD OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图），设()0AO t t =>， ··············································· 3分在BCD ∆中，24BD BC ==，60CBD ∠=，由余弦定理得CD =因为222BC CD BD +=，所以90BCD ∠= ，故30CDB ∠= ， ······························· 4分 则有()0,0,A t ，()0,2,0B -，1,0)C -，(3E ， ······························· 5分所以1,)AC t =--，(,2,0)3BE = ，所以()()1200AC BE t ⋅=-⨯+-⨯= ， 所以AC BE ⊥. ··························································································· 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()0,2,BA t = .设(),,x y z =n 是平面ABE 的法向量，则0,0,BA BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即20,20,y tz x y +=⎧+=整理，得,2,x z y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩令1y =-，得21,)t =-n . ·········································································· 9分 因为OE ⊥平面ACD ，所以(1,0,0)=m 是平面ABD 的一个法向量. ······················ 10分 又因为二面角E BA D --所以cos ,<>==m n 2t =或2-（不合，舍去）， ··············· 11分 又AO ⊥平面BCD ，所以AO 是三棱锥A BCD -的高，故11122332A BCD BCD V AO S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ········································ 12分 解法三:（Ⅰ）同解法一. ······················································································ 6分（Ⅱ）过点O 作OF AB ⊥于点F ，连结EF.在BCD ∆中，24BD BC ==，60CBD ∠=，由余弦定理可得CD =因为222BC CD BD +=，所以90BCD ∠= ，故30EBD EDB ∠=∠= ，BE DE =，所以EO BD ⊥， ····································· 7分又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，EO ⊂平面BCD ，所以EO ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ，所以EO AB ⊥， ································· 8分 又因为EO OF O = ，所以AB ⊥平面EOF ，又EF ⊂平面EOF ，所以AB EF ⊥，所以EFO ∠为二面角E BA D --的平面角， ······························· 9分所以cos EFO ∠=3tan 3EO EFO FO FO ∠===，解得FO = ··················································································································· 10分设()0AO t t =>，则2t 2t =或2-（不合，舍去）， ··············· 11分又AO ⊥平面BCD ，所以AO 是三棱锥A BCD -的高，所以11122332A BCD BCD V AO S -∆=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ····································· 12分（20） （本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）C 的准线方程为2p x =-， ···································································· 1分 由抛物线的定义，可知BF 等于点B 到C 的准线的距离. ········································ 2分 又因为点B 到x 轴的距离比BF 小1，所以点B 到x 轴的距离比点B 到抛物线准线的距离小1， ·········································· 3分 故12p =，解得2p =， 所以C 的方程为24x y =. ·················································································· 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得C 的焦点为(0,1)F ，设直线l 的方程为()10y kx k =+≠，11(,)A x y ,22(,)B x y .则1(,0)D k-. ····································································· 5分 联立方程组24,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=. ·············································· 6分 22(4)41(4)16160k k ∆=--⨯⨯-=+>，由韦达定理，得12124,4x x k x x +==-. ······························································· 7分 设点O 到直线l 的距离为d ，则12BOF S d BF ∆=⋅,12AOD S d AD ∆=⋅. 又BOF AOD S S ∆∆=，所以BF AD =. ································································ 8分 又,,,A B D F 在同一直线上,所以121()x x k --=，即211x x k-=， ······························ 9分 因为222211212()()4(4)4(4)x x x x x x k -=+-=-⨯-， ········································· 10分 所以221(4)4(4)()k k-⨯-=，整理，得42161610k k +-=，故2k =，解得k = ······························································ 11分所以l 的方程为1y x =+. ································································ 12分 解法二：（Ⅰ）C 的焦点为(0,)2p F ， ·········································································· 1分 将2p y =代入22x py =，得x p =或x p =-，故2p BF =，。

2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1. 复数3+i 2−i等于（ ）A 1−iB 1+iC −1+iD −1−i2. 设全集U =R ，集合A ={x|x(x −2)<0}，B ={x|x <a}，若A 与B 的关系如图所示，则实数a 的取值范围是( )A [0, +∞)B (0, +∞)C [2, +∞)D (2, +∞)3. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3a 5=4，则数列{log 2a n }的前7项和等于（ ） A 7 B 8 C 27 D 284. 已知向量a →与b →的夹角是120∘，且|a →|=1，|b →|=2．若(a →+λb →)⊥a →，则实数λ等于（ ）A 1B −1C −√33 D √335. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 23和log 32，则输出M 的值是（ ）A 0B 1C 2D −16. 设二次函数f(x)=ax 2−2ax +c 在区间[0, 1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是（ ）A (−∞, 0]B [2, +∞)C (−∞, 0]∪[2, +∞)D [0, 2]7. 设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（ ）A 当m ⊂α，n ⊂β时，若m // n ，则α // βB 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥n ，则α⊥βC 当m ⊂α，n ⊂α，且m 、n 相交时，若m // β，n // β，则α // βD 当m ⊂α，n ⊂β时，若m ⊥β，则n ⊥α8. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =l ，c =4√2，B =45∘，则sinC 等于（ ） A 441 B 45 C 425 D4√41419. 函数f(x)={log3x，x>0cosπx,x<0的图象上关于y轴对称的点共有（）A 0对B 1对C 2对D 3对10. 定义在区间[0, a]上的函数f(x)的图象如图所示，记以A（0, f(0)），B （a, f(a)），C（x, f(x)）为顶点的三角形的面积为S(x)，则函数S(x)的导函数S′(x)的图象大致是（）A B C D二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11. ∫|4x−2|dx=________．12. 设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=sin nπ2，n∈N∗，则S2011=________．13. 若以双曲线x24−y2=1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是________．14. 已知平面区域D1={(x, y)|{|x|<2|y|<2}，D2={(x, y)|kx−y+2<0}．在区域D1内随机选取一点若点M恰好取自区域D2的概率为p，且0<p≤18则A的取值范围是________．15. 某棋赛采用单循环赛（每两名选手均比赛一盘）方式进行，并规定：每盘胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分．今有8名选手参加这项比赛，已知他们的得分互不相等，且按得分从高到低排名后，第二名选手的得分是最后四名选手的得分之和．以下给出五个判断：①第二名选手的得分必不多于6分；②第二名选手的得分必不少于6分；③第二名选手的得分一定是6分；④第二名选手的得分可能是6.5分；⑤第二名选手的得分可能是5.5分．其中正确判断的序号是________（填写所有正确判断的序号）．三、解答题（共6小题，满分80分）16. 已知函数f(x)=√3cos2x+sinxcosx−√32，x∈R．（1）设角a的顶点在坐标原点，始边在x轴的负半轴上，终边过点P(12, −√32)，求f(a)的值；（2）试讨论函数f(x)的基本性质（直接写出结论）．17. 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩，记“成绩优秀”的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； (II)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关． 甲班（A 方式） 乙班（B 方式） 总计总计附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（此公式也可写成x 2=n(n 11n 22−n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2）18. 如图，在Rt △ABC 中，AB =BC =4，点£在线段AB 上．过点E 作EF // BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置（点A 与P 重合），使得∠PEB =60∘． (I )求证：EF 丄PB ；(II )试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．19. 已知函数f(x)=x +2a 2x+alnx ．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）设a =1，g(x)=f′(x)，问是否存在实数k ，使得函数g(x)（均的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ？若存在，求k 的取值范围；若不存在，说明理由．20.已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为√32，且过抛物线C:x 2=4y 的焦点F ． （1）求椭圆E 的方程；（2）过坐标平面上的点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，它们分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点．(I)若点F′恰好是点F 关于-轴的对称点，且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点（如图），求证：△ABF′的外接圆过点F ；(II)试探究：若改变点F′的位置，或切线l 3的位置，或抛物线C 的开口大小，(I)中的结论是否仍然成立？由此给出一个使(I)中的结论成立的命题，并加以证明． 21. （1）选修4−2：矩阵与变换已知矩阵M =(2a2b)的两个特征值分别为λ1=−1和λ2=4．（I ）求实数的值；（II ）求直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程． （2）选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，（α为参数），曲线D 的坐标方程为ρsin(θ−π4)=−3√22． (I)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(II)判断曲线c 与曲线D 的交点个数，并说明理由． （3）选修4−5：不等式选讲 已知a ，b 为正实数． (I)求证：a 2b +b 2a≥a +b ；(II)利用(I)的结论求函数y =(1−x)2x+x 21−x (0<x <1)的最小值．2011年福建省高三质量检查数学试卷（理科）答案1. B2. C3. A4. A5. C6. D7. C8. B9. D 10. D 11. 4 12. 013. (x −2)2+y 2=45 14. [−1, 0)∪(0, 1] 15. ①②③16. 解：解法一：（1）因为点P(12, −√32)在α终边上， 所以sinα=−√32，cosα=12f(α)=√3cos 2α+sinαcosα−√32=√3×(12)2+(−√32)×12−√32=−√32（2）f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) 函数的基本性质如下：①函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；②函数f(x)单调增区间为[kπ−5π12, kπ+π12]，单调减区间为：[kπ+π12,kπ+7π12](k ∈Z)； ③函数的最大值我1，最小值为−1； ④函数的周期为：π解法二：f(x)=√3cos 2x +sinxcosx −√32=√3×1+cos2x 2+12sin2x −√32=12sin2x +√32cos2x =sin(2x +π3) （1）因为点P(12, −√32)在α终边上， 所以α=2kπ−π3，k ∈Z所以f(α)=sin[2(2kπ−π3)+π3]=sin(4kπ−π3)=sin(−π3)=−√32（2）同解法一；17. 解：(1)根据频率分步直方图可得成绩优秀的人数是4， ξ的可能取值是0，1，2 P(ξ=0)=C 462C 502=207245，P(ξ=1)=C461C41C502=1841225，P(ξ=2)=C42C502=61225∴ ξ的分布列是∴ Eξ=0×207245+1×1841225+2×61225=425(II)由频率分步直方图知，甲班成绩优秀和成绩不优秀的人数是12，38，乙班成绩优秀和成绩不优秀的人数是4，46根据列联表可知K2=100(12×46−4×38)216×84×50×50=4.762，由于4.762>3.841，∴ 有95%的把握说成绩优秀与教学方式有关．18. 解：(I)证明：在Rt△ABC中，∵ EF // BC∴ EF⊥AB∴ EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E∴ EF⊥平面PEB又∵ PB⊂平面PEB∴ EF⊥PB(II)在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，由(I)知，EF⊥PD∴ PD⊥平面BCFE在平面PEB中过点B作直线BH // PD则BH⊥平面BCFE如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，设PE=x(0<x<4)，又∵ AB=BC=4∴ BE=4−x，EF=x在Rt△PED中，∠PED=60∘∴ PD=√32x，DE=12x∴ BD=4−x−12x=4−32x∴ C(4, 0, 0)，F(x, 4−x, 0)，P(0, 4−32x, √32x) 从而CF →=(x −4, 4−x, 0)，CP →=(−4, 4−32x, √32x) 设n →=(a, b, c)是平面PCF 的一个法向量，则： {a(x −4)+b(4−x)=0−4a +(4−32x)b +√32x =0即{a −b =0√3b −c =0令b =1，则n →=(1, 1, √3)是平面PCF 的一个法向量， 又∵ 平面BCF 的一个法向量为v →=(0, 0, 1) 设二面角P −FC −B 的平面角为θ，则 Cosθ=|n →|⋅|v →|˙=√155∴ 当点E 在线段AB 上移动时，二面角P −FC −B 的平面角的余弦值为定值√15519. 解：（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)， ∵ f(x)=x +2a 2x+alnx ，∴ f′(x)=1−2a 2x 2+a x=(x+2a)(x−a)x 2，当a =0时，f′(x)=1>0，所以f(x)的单调递增区间是(0, +∞)； 当a >0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >a ，所以f(x)的单调递增区间是(a, +∞)；当a <0时，由f′(x)>0，即(x+2a)(x−a)x 2>0，解得x >−2a ，所以f(x)的单调递增区间是(−2a, +∞)．（2）当a =1时，g(x)=1−2x 2+1x ，假设存在实数k ，使得g(x)的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k ， 即对任意x 2>x 1>0，都有g(x 2)−g(x 1)x 2−x 1≥k ，亦即g(x 2)−kx 2≥g(x 1)−kx 1，可设函数ℎ(x)=g(x)−kx =1−2x 2+1x−kx(x >0)， 故问题等价于ℎ′(x)=4x 3−1x 2−k ≥0，即k ≤4x 3−1x 2对x >0恒成立， 令t =1x ，则F(t)=4t 3−t 2(t >0)，所以F′(t)=12t 2−2t ， 令F′(t)=0，解得t =0（舍去）或t =16， 当t 变化时，F(t)与F′(t)的变化情况如下表：故知F(t)在(0, 16)内单调递减，在(16, +∞)内单调递增， 所以当t =16时，F(t)取得最小值，且最小值为−1108，∴ 当x >0时，F(1x )=4x 3−1x 2≥−1108，当且仅当x =6时取等号， 故k 的取值范围是(−∞, −1108]．20. 解：（1）由已知得F(0, 1)，设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则，b =1 椭圆的离心率为√32，可得，ca=√32，又∵ a 2=b 2+c 2，∴ a =2，c =√3∴ 椭圆方程为x 24+y 2=1(2)(I)依题意，点F ′的坐标为(0, −1)，过点F ′且与拋物线c 相切的直线斜率存在，设其方程为y =kx −1．代入抛物线方程，消y ，得x2−4kx +4=0，令△=0，得k =±1 则切线l 1和l 2方程分别为y =x −1和y =−x −1，又∵ 且l 3与拋物线c 的切点恰好为拋物线的顶点．∴ l 3的方程为y =0．由{y =x −1y =0，得点A 坐标为(1, 0)由{y =−x −1y =0，得点B 坐标为(−1, 0)设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +4F =0，则{1+D +F =01−D +F =01−E +F =0，解得{D =0E =0F =−1∴ 设△ABF ′′的外接圆方程为x 2+y 2=1：△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．(II)使(I)中的结论成立的命题为：设F ′为抛物线外一点，若过点F ′作拋物线c 的两条切线l 1和l 2，分别交拋物线C 的另一条切线l 3于A ，B 两点，则△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ． 证明：不妨设拋物线方程为x 2=2py ，l i 分别与抛物线交于点P i (x i , y i )(i =1, 2, 3) 依题意，x 1，x 2，x 3中至少有两个不为0，不妨设x 1≠0，x 2≠0． ∵ y ′=xp 故切线l i 的方程为y −y i =x i p(x −x i )，i =1，2，3由{y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 2=x 2p(x −x 2)，得F ′(x 1+x 22, x 1x 22p)由 {y −y 1=x 1p (x −x 1)y −y 3=x 2p(x −x 3)得A(x 1+x 32, x 1x 32p){y −y 2=x1p (x −x 2)y −y 3=x 2p(x −x 3)，得B( x 1+x 32, x 1x 32p ) ∴ AF ′的垂直平分线方程为y −x 1x 2+x 1x 34p =−p x 1(x −2x 1+x 2+x 34)， BF ′ 的垂直平分线方程为 y −x 1x 2+x 2x 34p=−px 2(x −x 1+2x 2+x 34)它们的交点为M(x 1+x 2+x 34−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3+p 24p)又∵ F(0, p 2)，AF 的中点为N(x 1+x 34, x 1x 3+p 24p )从而 FA →=( x 1+x 32, x 1x 3−p 22p)，NM →=( x24−x 1x 2x 34p 2, x 1x 2+x 2x 34p)FA →⋅NM →=x 1+x 32(x 24−x 1x 2x 34p 2)+x 1x 3−p 22p⋅x 1x 2+x 2x 34p=0∴ FA →⊥NM →，∴ AF ′，BF ′AF 的垂直平分线教育一点M 圆上，即△ABF′的外接圆过抛物线的焦点F ．21. A ：解：(I)矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−2−a −2λ−b |，即f(λ)=λ2−(b +2)λ+2b −2a ， 由于λ1=−1和λ2=4是此函数的零点， ∴ {3=b +2−4=2b −2a ⇒{a =3b =1（II ）由上知，M =[2321]，直线x −2y −3=0上任一点(x, y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像(x′, y′) 由[x′y′]=[2321][xy]得到：{x =−x′+3y′4y =x′−y′2代入x −2y −3=0化简得到5x′−7y′+12=0．直线x −2y −3=0在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程5x −7y +12=0． B ：解：(I)∵ 已知曲线C 的参数方程为{x =sinαy =2cos 2α−2，∴ 消去参数α得：x 2=−y2，x ∈[−1, 1]．(II)由方程为ρsin(θ−π4)=−3√22．得到：曲线D 的方程为：x −y −3=0．由上述方程消去y 得到：2x 2+x −3=0，此方程有两个不等的实根，∴ 曲线c 与曲线D 的交点个数是2． C ：解：(I)(a 2b +b 2a)(b +a)=a 2+a 3b+b 2+b 3a≥a 2+b 2+2ab =(a +b)2；∴ a 2b +b 2a≥a +b ；(II)解：依题意可知y=(1−x)2x +x21−x≥1∴ y=(1−x)2x +x21−x(0<x<1)最小值为1．。